数值分析作业答案.doc
数值分析课后习题答案
0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0
1 2
0 0 0 1 1 0
1 2
1 2
1 2
1
0 0 0 1 0
1 2
1 2
0
1 2
1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2
2 11
22
1
5 2
1
3 21来自，所以 A12
1
2 1 1
5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7
r1r2
消元
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
(完整版)数值分析整理版试题及答案,推荐文档
9
1
xdx T4
h[ 2
f
1
3
2 k 1
f
xk
f
9]
2[ 1 2 3 5 7 9] 2
17.2277
（2）用 n 4 的复合辛普森公式
由于 h 2 ， f x
x
，
xk
1
2k k
1, 2,3，
x
k
1
2
2k k
0,1, 2,3，所以，有
2
3
9
1
xdx S4
h[ 6
f
1
若 span1, x，则0 (x) 1 ，1(x) x ，这样，有
2
1
0 ,0 1dx 1
0
1,1
1 0
x2dx
1 3
0
,1
1,0
1
0
xdx
1 2
1
f ,0 exdx 1.7183
0
1
f ,1 xexdx 1
0
所以，法方程为
1
1
1
2 1
a0
a1
1.7183 1
1 0
1
23
2 1
a0
a1
6 1
12
3
再回代解该方程，得到
a1
4
，
a0
11 6
故，所求最佳平方逼近多项式为
S1*
(
x)
11 6
4x
例 3、 设 f (x) ex ， x [0,1] ，试求 f (x) 在[0, 1]上关于 (x) 1 ， span1, x的最
佳平方逼近多项式。 解：
1
4
x1
1 5
数值分析习题解答
6.（1）设(1,0,5,2)Tx =-，试求12,,x x x∞（2）设40004402A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求12,,,F A A A A ∞ 解12128,5;6,8,FxxxA AAA∞∞=======；4．设05813622,10612422A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， （1）试对A 进行PLU 分解：PA LU =； （2）根据PLU 分解求解Ax b =。
解 （1）162201011,102,00100.517100L U P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）(1,1,1)Tx =8．分别用Householder 变换法和MGS 法对A 进行QR 分解⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=542112111A解 (1) Householder 法对A 进行QR 分解[]()()()123123,,,1,2,2,1,1,4,1,1,5T T TααααααA ===--=-令()11,2,2Tαα==，调用算法2.1有[]13,,42212Tu ρβ=-==，所以 []1122333100412210102422123330012212333T uu β---⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥H =I -=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 故1333003033--⎡⎤⎢⎥H A =-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦再令()0,3Tα'=-,调用算法2.1得20110H ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦,则 2100001010⎡⎤⎢⎥H =⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21333033003--⎡⎤⎢⎥H H A =-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故121223331212,0333221003T TQ R -----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=H H =--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦. 10．设131112000,110001A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦求Ax b =的最小二乘问题的全部解。
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
数值分析课后习题部分参考答案.doc
数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10) 5.求厲的近似值x*,使其相对误差不超过0.1%。
解：V2 = 1.4 ••- o设X*有"位有效数字，则le(x*)lV0.5xl0xl(T"。
,*““0.5x10-" 牛(x )1< ] 。
从而，丨<故，若0.5x10-" <0.1%,则满足要求。
解之得，M>4O %* =1.414 O(P10) 7.正方形的边长约100cm ,问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过1 cm2 o解：设边长为a ,则a心100cm。
设测量边长时的绝对误差为e,由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:® 2xl00xe…按测量要求，l2xl00xel<l解得，lel< 0.5x10 2 oChapter 2(P47) 5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：‘1 1 -1]A = 2 1 0 。
J j 0丿解：设A1 =(«0 /)=分别求如下线性方程组:先求A的LU分解(利用分解的紧凑格式),气1)1 (1)1 (-D-(2)2(D-1(0)2、⑴1(-1)2 (0) —3,(1 0 0、 ri 1 -1] 即，厶=2 1 0 ,U =0-12 J 2 1丿<0 0-3经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,1 0Ly =0 和 Ua = v ,得，a = 0J3 2 3 1(P47) 6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:(1 2 1 -3兀1)2 50 -5兀2 2 10 14 1 x 3 16 、一 -5 1 15丿3解：平方根法：先求系数矩阵4的Cholesky 分解(利用分解的紧凑格式),'(1)1、< 1 0 0 0、(2)2(5)1,即，L =2 1 0 0 (1)1 (0)-2 (14)3 1 -2 3 、(_3) _ 3 (-5)1 (1)2 (15<-31 2 b216 改进平方根Ly = 和 II x = y ,得，x = 先求系数矩阵A 的形如A = LDU 的分解，其中厶-(/y .)4x4为单位下二角矩阵,D = diag{d l ,d 2,d 3,d 4}为对角矩阵。
数值分析习题与答案.doc
第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析-第二次作业答案
2020级数值分析第二次作业(非线性方程求根)参考答案和评分标准班级学号姓名一(20分)用二分法求方程3()10f x x x =--=在区间[1.0,1.5]内的一个实根，且要求有3位有效数字。
试完成：(1)估计需要二分的次数；(8分)解：容易知道方程在[1.0,1.5]有且仅有一个实根。
记此实根为*x ，根据二分法误差估计公式有12()1*22k k k b a x x ++--≤=要使得近似解有3位有效数字，只需要有22111022k -+≤⨯从而可得6k ≥，即满足精度要求的二分次数为6次。
(2)将计算过程中数据填入表1.(中间过程填写到小数点后面3位)(12分，每个k x 得2分，其它空不计分)表1题1计算过程kk a k b kx 0 1.0 1.5 1.251 1.25 1.5 1.3752 1.25 1.375 1.3163 1.313 1.375 1.3494 1.313 1.344 1.3285 1.313 1.328 1.32061.3201.3281.324二.(10分)为了计算方程()3sin 2120f x x x =--=的根，某同学将()0f x =改写为14sin 23x x =+，并建立迭代公式114sin 23k k x x +=+。
请问此迭代公式在R 上是否全局收敛的吗？说明理由。
证明：(1)对任意的x R ∈，有11113()4sin 2,333x x R ϕ⎡⎤=+∈⊆⎢⎣⎦；(2)对任意的x R ∈，有22'()cos 2133x x ϕ=≤<;从而可知，迭代格式在R 上全局收敛。
三.(20分)设有方程3()10f x x x =--=，试回答下列问题：(1)确定方程3()10f x x x =--=实根的数目；(4分)解：由2'()31f x x =-可知函数3()1f x x x =--的单调递增区间是,33⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，单调递减区间是,33⎛- ⎝⎭。
数值分析第二版(丁丽娟)答案
第二章答案
第三章答案
0 0.5 0.5 1 1 2.5000
5.0000 5.5000
第四章答案
2 10.5000 19.0000 19.5000
3 42.5000 91.0000 91.5000
4 170.5000 315.0000 315.5000
5 682.5000 1467.0000 1467.5000
第八章答案
练习： 第一章
答案
练习二 A 的哪个特征向量？ 若 A 的按模最大的特征值是单根，用幂法求此特征 值的收敛速度由什么量来决定？怎样改进幂法的收敛速度？
2、 反幂法收敛到矩阵的哪个特征向量？ 在幂法或者反幂法中，为什么每步都要将迭代向量规范化？
1.32
1.68
2.08
2.52
3.00
解答下列问题 （1）试列出相应的差分表； （2）写出牛顿向前插值公式； （3）用二次牛顿前插公式计算 f（0.225）；
例3已知当 x=-1，0，2，3时，对应的函数值为
，
，
，
，
，求 的四次 Newton 插值多项式。
例4 设 对 n=1,2,3时
，证明：
例5 设 （1）
第一章答案第二章答案第三章答案第四章答案050525000500005500010500019000019500021000000000000000380001950004250009100009150001700000000000000018199999999999999166363636363636371705000315000031550001623809523809523716578947368421051161794871794871796825000146700001467500016058823529411764161208791208791201603825136612021827305000505100005051500016014662756598241160349206349206351601109350237717910922500023483000023483500016003663003663004160074982958418521600238500851788743690500080827000080827500016000915583226515160021777865769151600069286350589则开根号得400011444626607140002722140595534000086607000640对应的特征向量为第五章答案第六章答案2727930204331053600038939418364475947673代入数据得132解
数值分析参考答案(第二章)doc资料
证明：
（1）
得证。
+
得证。
14． 求 及 。
解：
若
则
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
解：
若 ，且插值多项式满足条件
插值余项为
由插值条件可知
且
可写成
其中 是关于 的待定函数，
现把 看成 上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四个互异零点。
根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，
数值分析参考答案(第二章)
第二章插值法
1．当 时， ,求 的二次插值多项式。
解：
则二次拉格朗日插值多项式为
2．给出 的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.356675
-0.223144
用线性插值及二次插值计算 的近似值。
解：由表格知，
若采用线性插值法计算 即 ，
则
若采用二次插值法计算 时，
3．给全 的函数表，步长 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求 近似值时的总误差界。
解：求解 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
解：函数 的 展式为
其中
又 是次数为 的多项式
为 阶多项式
为 阶多项式
依此过程递推，得 是 次多项式
数值分析详细答案(全)
第二章 插值法习题参考答案2.)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-⋅+------⋅-+-+-+⋅=x x x x x x x L3723652-+=x x . 3. 线性插值：取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ，则620219.0)54.0()54.0(54.0ln 0010101-=-⋅--+=≈x x x y y y L ；二次插值：取510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ，则)54.0(54.0ln 2L ≈))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----⋅+----⋅+----⋅=＝－0.616707 .6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，则有)()(x R x P x n n k +=)())(()!1(1)(0)1(0n n ni k j j x x x x f n x x l --++=+=∑ ξ由于0)()1(=+ξn f，故有kni k j jxx x l≡∑=0)(.ii) 构造函数,)()(kt x x g -=在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，有∑=-=ni j k j n x l t x x L 0)()()(.插值余项为 ∏=+-+=--nj j n n kx x n g x L t x 0)1()()!1()()()(ξ， 由于).,,2,1(,0)()1(n k g n ==+ξ故有 .)()()()(0∑=-==-ni j k j n kx l t x x L t x令,x t =即得 ∑==-ni j k jx l t x)()(.8. 截断误差].4,4[),)()((61)(2102-∈---=ξξx x x x x x e x R其中 ,,1210h x x h x x +=-= 则hx x 331+=时取得最大值321044392|))()((|max h x x x x x x x ⋅=---≤≤- .由题意， ,10)392(61|)(|6342-=⋅⋅≤h e x R所以，.006.0≤h16. ;1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f .0!7)(]2,,2,2[)8(810==ξf f19. 采用牛顿插值，作均差表：i x)(i x f一阶均差 二阶均差0 1 20 1 11 0-1/2],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+=))()()((210x x x x x x Bx A ---++)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得,41,43=-=B A 所以 .)3(4)(22-=x x x p第三章 函数逼近与计算习题参考答案4.设所求为()g x c =，(,)max(,),max (),min ()a x ba x bf g M c m c M f x m f x ≤≤≤≤∆=--==，由47页定理4可知()g x 在[],a b 上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为()f x 的最大值和最小值处，故由1(),()2M c m c c M m -=--=+可以解得1()()2g x M m =+即为所求。
数值分析参考答案
数值分析参考答案1.4 习题解答或提示1、解：（1）>> a=[1 2 3 ;4 5 6 ]'a =1 42 53 6（2）>> b=[9;7;5;3;1]b =97531（3）>> c=b(2:4)c =753（4）>> d=b(4:-1:1)d =3579（5）>> e=sort(b)e =13579（6）>> f=[3:b']f =3 4 5 6 7 8 92、解：>> x=[7 4 3 ];y=[-1 -2 -3];（1）>> u=[y,x]u =-1 -2 -3 7 4 3 （2）>> u=[x,y]u =7 4 3 -1 -2 -33、解：sum=0;a=[4 -1 2 -8 4 5 -3 -1 6 -7]; for i=1 : length(a)if a(i)>0, sum=sum+a(i); endendsumsum =214、解：m=input('input an array:')input an array:[1 2 5;3 1 2;4 1 3]m =1 2 53 1 24 1 35、解：sum(m)ans =8 4 10>> max(m)ans =4 2 5>> min(m)ans =1 1 26、解：function y=fun_es(x)y=0.5.*exp(x./3)-x.^2.*sin(x);>> fun_es(3)ans =0.0891>> fun_es([1 2 3])ans =-0.1437 -2.6633 0.08917、提示：本题主要考查的是随机数生成函数rand的使用方法，以及选取种子数的方法之一：使用clock命令。
可以参照课本的例1.5来编写函数。
8、解：function y=fun_xa()x=input('input the value of x：');n=input('input the value of n：');y=1;for i=1:1:ny=y+x^i/factorial(i); end>> fun_xa()input the value of x ：1 input the value of n ：4ans =2.70832.4 习题解答1 解：E(lnx)=(ln ’E(x)=)(1x E x =xδ=Er(x) 2. 解 Er(x 2)＝)(22x Er x xx ⨯=4% 3. 解：123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0x x x x x *****=====⨯分别有5 位，2位，4位，5位，2位有效数字4 解 4*1105.0)(-⨯=x E3*2105.0)(-⨯=x E1*3105.0)(-⨯=x E3*4105.0)(-⨯=x E=++)(*4*2*1x x x E +)(*1x E +)(*2x E )(*4x E =0.00105))()((*4*2x E x E E =)()()(*42*4*2*4*2x E x x x x E -5. 解 V=334r π Er(v)=)(//x Er V x dx dV ⨯⨯=3Er(x)%1)(3≤x Er%33.0)(≤x Er6. 解 7830100-=Y Y)783()(100E Y E =＝0.00057．解 x 1，2＝24561122-±＝56783±21,2105.0)x (-⨯=E 2105.0)783(-⨯=E98.27783≈x 1，2＝83.98 或 28.02 8．略。
数值分析作业答案——第五版
数值分析第一次作业及参考答案1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。
（2）构造差商表。
（3）用Newton 插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2x x l x x x +-==-+-+-同理 1211()(2),()(1)36l x x x l x x x =-=+故2202151()()(1)(2)(2)(1)23631i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑（2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12f x x f x x ---==-==-----0124(2)[,,]102f x x x ---==-22()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求xe 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,, 1.xk x f x e fx e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!2.(4,4).6fR x x x h x x x x ht t tet h th t h e heξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤∈-则436((1)(1)100.006.t t th h--+±<<在点取到极大值令 得3.求2()f x x=在［a,b］上的分段线性插值函数()hI x，并估计误差。
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第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
6、在44≤≤-x 上给出xe xf =)(的等距节点函数表，若用二次插值求e x 的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？ 解：以x i-1,x i ,x i+1为插值节点多项式的截断误差，则有),(),)()()((!31)(11112+-+-∈---'''=i i i i i x x x x x x x x f x R ξξ式中.,11h x x h x x i i +=-=+-3434114239313261))()((max 61)(11h e h e x x x x x x e x R i i i x x x i i =≤---=+-≤≤+-令6341039-≤h e 得00658.0≤h插值点个数12178.12161)4(41≤=---+N 是奇数，故实际可采用的函数值表步长006579.0121681)4(4≈=---=N h8、13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[710 f 及]2,,2,2[810 f 。
解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：],[,!)(],,,[)(10b a n fx x x f n n ∈=ξξ 所以有：1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f 0!80!8)(]2,,2,2[)8(81===ξf f15、证明两点三次Hermite 插值余项是),(,!4/)())(()(1212)4(3++∈--=k k k k x x x x x x fx R ξξ并由此求出分段三次Hermite 插值的误差限。
证明：利用[x k ，x k+1]上两点三次Hermite 插值条件)()(),()()()(),()(11331133++++'=''='==k k k k k k k k x f x H x f x H x f x H x f x H 知)()()(33x H x f x R -=有二重零点x k 和k+1。
设2123)())(()(+--=k k x x x x x k x R确定函数k(x):当k x x =或x k+1时k(x)取任何有限值均可；当1,+≠k k x x x 时，),(1+∈k k x x x ，构造关于变量t 的函数2123)())(()()()(+----=k k x x x x x k t H t f t g显然有)(,0)(0)(,0)(,0)(11='='===++k k k k x g x g x g x g x g在[x k ,x][x,x k+1]上对g(x)使用Rolle 定理，存在),(1x x k ∈η及),(12+∈k x x η使得0)(,0)(21='='ηηg g在),(1ηk x ，),(21ηη，),(12+k x η上对)(x g '使用Rolle 定理，存在),(11ηηk k x ∈，),(212ηηη∈k 和),(123+∈k k x ηη使得0)()()(321=''=''=''k k k g g g ηηη再依次对)(t g ''和)(t g '''使用Rolle 定理，知至少存在),(1+∈k k x x ξ使得0)()4(=ξg而!4)()()()4()4()4(t k t f t g -=，将ξ代入，得到)(),(!41)(1,)4(+∈=k k x x f t k ξξ 推导过程表明ξ依赖于1,+k k x x 及x综合以上过程有：!4/)())(()(212)4(3+--=k k x x x x f x R ξ 确定误差限：记)(x I h 为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite 插值函数。
nab h n k kh a x k -==+=),,1,0(, 在区间[x k ，x k+1]上有212)4(212)4()()(max )(max !41!4/)())(()()(1+≤≤≤≤+--≤--=-+k k x x x bx a k k h x x x x x f x x x x f x I x f l k ξ而最值)(,161)1(max )()(max 4422102121sh x x h h s s x x x x k s k k x x x l k +==-=--≤≤+≤≤+ 进而得误差估计：)(max 3841)()()4(4x f h x I x f bx a h ≤≤≤-16、求一个次数不高于4次的多项式)(x p ，使它满足0)0()0(='=p p ，0)1()1(='=p p ，1)2(=p 。
解：满足0)0()0(33='=H H ,1)1()1(33='=H H 的Hermite 插值多项式为)1,0(10==x x322213332010)1(01001121)]()()()([)(x x x x x x x x H x a x H x H j j j j j -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---='+=∑=β设223)1()()(-+=x Ax x H x P ，令1)2(=P 得41=A 于是222232)3(41)1(412)(-=-+-=x x x x x x x P 第3章 曲线拟合的最小二乘法解：经描图发现t 和s 近似服从线性规律。
故做线性模型{}t span bt a s ,1,=Φ+=，计算离散内积有：()611,1502==∑=j ，()7.140.59.30.39.19.00,15=+++++==∑=j j t t()63.530.59.30.39.19.00,222222502=+++++==∑=j j t t t()280110805030100,150=+++++==∑=j js s()10781100.5809.3500.3309.1109.000,5=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑=jj j s t s t求解方程组得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛107828063.537.147.146b a 855048.7-=a ，253761.22=b运动方程为：t s 253761.22855048.7+-= 平方误差：[]2252101.2)(⨯≈-=∑=j j jt s sδ用最小二乘法求形如2bx a y +=的经验公式，并计算均方差。
解： {}2,1x span =Φ，计算离散内积有：()511,142==∑=j ，()53274438312519,122222422=++++==∑=j j x x()72776994438312519,444444422=++++==∑=j jx x x()4.2718.973.730.493.320.19,14=++++==∑=j jy y()5.3693218.97443.73380.49313.32250.1919,22222422=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==∑=j j jy xy x求解方程组得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.3693214.2717277699532753275b a 972579.0≈a ，05035.0=b所求公式为：205035.0972579.0x y+=均方误差：[]1226.0)(2124≈⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-=∑=j jj y x y δ 第4章 数值积分与数值微分1、确定下列求积分公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：（1）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰；（2）21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰；（3）1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++⎰；（4）20()[(0)()]/2[(0)()]hf x dx h f f h ah f f h ''≈++-⎰。