微分几何答案第二章

第二章 曲面论

§1曲面的概念

1、求正螺面r =｛ u v cos ,ｕ v sin , b ｖ }的坐标曲线、

解 u －曲线为r ={u 0cos v ,ｕ 0sin v ,bv 0 }={０,0,bv 0}+u {0cos v ,0sin v ,0｝,为曲线的直母线;ｖ-曲线为r =｛0u v cos ,0u v sin ,b ｖ }为圆柱螺线.

２.证明双曲抛物面r ={ａ(u ＋v), b(u －v),2uv ｝的坐标曲线就就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a(ｕ+0v ), b(u －0v ),２u 0v }={ a 0v , ｂ0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ ａ0v , b 0v ,０}以{ａ,b,20v ｝为方向向量的直线;

v-曲线为r ={a(0u +ｖ), b(0u －v),20u ｖ}={a 0u , b 0u ,0｝+ｖ{a,－b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,０)以｛ａ,－b,20u }为方向向量的直线。

3、求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面与法线方程。 解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ,ϕr

=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -

任意点的切平面方程为00

cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕ

ϑϕ

ϑϑϕϑϕ

ϑϑϕϑϕ

ϑa a a a a a z a y a x

即 xcos ϑc ｏs ϕ + ｙcos ϑs ｉn ϕ ＋ z ｓin ϑ － a = ０ ;

法线方程为

ϑ

ϑ

ϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4.求椭圆柱面22

221x y a b

+=在任意点的切平面方程,并证明沿每一条直母线,此曲面只有一

个切平面 。

解 椭圆柱面22

221x y a b +=的参数方程为x = co ｓϑ, y ＝ asi ｎϑ, z = t ,

}0,cos ,sin {ϑϑθb a r -= , }1,0,0{=t r

。所以切平面方程为:

01

0cos sin sin cos =----ϑϑϑϑb a t

z b y a x ,即x bcos ϑ + y asin ϑ － a b = ０ 此方程与ｔ无关,对于ϑ的每一确定的值,确定唯一一个切平面,而ϑ的每一数值对应一条直母线,说明沿每一条直母线,此曲面只有一个切平面 。

5.证明曲面},,{3

uv a v u r = 的切平面与三个坐标平面所构成的四面体的体积就是常数。

证 },0,1{23v

u a r u -= ,},1,0{23uv a r v -= 。切平面方程为:33=++z a uv

v y u x 。

与三坐标轴的交点分别为(３ｕ,0,０),(0,３v,０),(0,0,uv a 2

3)。于就是,四面体的体积为:

3

32

9||3||3||361a uv a v u V ==就是常数。

§2 曲面的第一基本形式

1. 求双曲抛物面r ＝{a(u ＋v), b(ｕ－v),2uv}的第一基本形式、

解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==

2

222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=⋅=

,

∴ I ＝ +++2222)4(du v b a ２2

22222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。 2、求正螺面r =｛ u v cos ,ｕ v sin , ｂｖ }的第一基本形式,并证明坐标曲线互相垂直。 解

}

,cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==

,

1

2==u r E

,

=⋅=v u r r F ,

222b u r G v +==

,∴ I =2222)(dv b u du ++,∵F=０,∴坐标曲线互相垂直。

3.在第一基本形式为I =2

2

2

sinh udv du +的曲面上,求方程为u = v 的曲线的弧长。 解 由条件=2

ds 2

2

2

sinh udv du +,沿曲线ｕ ＝ v 有d ｕ＝ｄｖ ,将其代入2

ds 得

=2ds 222sinh udv du +＝22cosh vdv ,d ｓ = c ｏshvdv , 在曲线u = ｖ上,从1v 到2v 的弧

长为|sinh sinh ||cosh |

122

1

v v vdv v v -=⎰

。

4、设曲面的第一基本形式为I ＝ 2

2

2

2

)(dv a u du ++,求它上面两条曲线u + v = 0 ,ｕ–v = ０的交角。

分析 由于曲面上曲线的交角就是曲线的内蕴量,即等距不变量,而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式,不需知道曲线的方程。

解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ,0=v F ,2

2a u G +=,曲线ｕ

+ v = ０与u – ｖ = 0的交点为ｕ = 0, ｖ = 0,交点处的第一类基本量为

1=E ,0=v F ,2a G =。曲线ｕ ＋ ｖ ＝ 0的方向为ｄu ＝ －dv , u – v = ０的方向

为δu=δv , 设两曲线的夹角为ϕ,则有

c ｏs ϕ=

22

222211a a v

G u E Gdv Edu u Gdv u Edu +-=+++δδδδ 。 ５.求曲面ｚ = ａxy 上坐标曲线x ＝ x 0 ,ｙ =0y 的交角、

解 曲面的向量表示为r ={ｘ,ｙ,ａｘy ｝, 坐标曲线x ＝ ｘ0的向量表示为r ＝｛ ｘ

0,y,ａｘ0y ｝ ,其切向量y r

＝｛0,1,ａｘ0｝;坐标曲线ｙ ＝0y 的向量表示为r ={x ,

0y ,ax 0y ｝,其切向量x r

＝{1,0,ａ0y ｝,设两曲线ｘ = ｘ0与y ＝0y 的夹角为ϕ,则有co ｓϕ

= 20

220200211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=⋅

6、 求u-曲线与ｖ-曲线的正交轨线的方程、

解 对于u-曲线dv ＝ 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有

Edu δu + F(du δv + d ｖδｕ)+ Ｇ ｄ v δv = 0,将ｄv =0代入并消去du 得u-曲线的正交

轨线的微分方程为Ｅδu + F δv = 0 、

同理可得v －曲线的正交轨线的微分方程为Ｆδu ＋ G δv = 0 .