高考数学(理)大题分解专题10 大题训练小卷03

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新(全国甲卷)高考数学三轮增分练高考小题分项练10圆锥曲线理

高考小题分项练10 圆锥曲线1．椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点分别为点F 1、F 2，点P 是椭圆上任意一点(非左右顶点)，则△PF 1F 2的周长为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12答案 C解析由x 29＋y 25＝1知a ＝3，b ＝5，c ＝a 2－b 2＝2，所以△PF 1F 2周长为2a ＋2c ＝6＋4＝10，故选C.2．已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线x 2＝4y 的准线相切，则实数m 等于( )A ．±2 2B ．± 3 C. 2 D. 3答案 B解析因为圆x 2＋y 2＋mx －14＝0，即(x ＋m 2)2＋y 2＝m 2＋14与抛物线x 2＝4y 的准线相切，所以m 2＋14＝1，m ＝±3，故选B.3．点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为( ) A. 3 B ．2 C.7 D ．3答案 C解析 ∵△ABF 2是等边三角形，∴|BF 2|＝|AB |，根据双曲线的定义，可得 |BF 1|－|BF 2|＝2a ， ∴|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a ，又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ，∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a . ∵在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ， ∠F 1AF 2＝120°，∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|·cos 120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×(－12)＝28a 2，解得c ＝7a ，由此可得双曲线C 的离心率e ＝c a＝7.4．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F ，过抛物线上一点A (3，y )向准线l 作垂线，垂足为B ，若△ABF 为等边三角形，则抛物线的标准方程是()A ．y 2＝12xB ．y 2＝x C ．y 2＝2x D ．y 2＝4x答案 D解析设抛物线方程为y 2＝2px ，则F (p2，0)，将A (3，y )代入抛物线方程得y 2＝6p ，y ＝6p ，由于△ABF 为等边三角形，故k AF ＝3，即6p －03－p2＝3，解得p ＝2.5．过双曲线x 2－y 215＝1右支上一点P ，分别向圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝4和圆C 2：(x －4)2＋y 2＝1作切线，切点分别为M ，N ，则|PM |2－|PN |2的最小值为( ) A ．10 B ．13 C ．16 D ．19答案 B解析 |PM |2－|PN |2＝(|PC 1|2－4)－(|PC 2|2－1)＝|PC 1|2－|PC 2|2－3 ＝(|PC 1|－|PC 2|)(|PC 1|＋|PC 2|)－3 ＝2(|PC 1|＋|PC 2|)－3≥2|C 1C 2|－3＝13，故选B.6．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝2px (p >0)相交于A ，B 两点，直线AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B ．1＋ 2 C ．2 2 D ．2＋ 2答案 B解析由题意，得x A ＝x B ＝p2＝c ，|y A |＝2p ·p2＝p ＝2c ，因此c 2a 2－4c 2b 2＝1⇒4c 2b 2＝b 2a2⇒b 2＝2ac ⇒c 2－a 2＝2ac⇒e 2－2e －1＝0⇒e ＝1＋2(负值舍去)，故选B.7．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0答案 B解析 a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，离心率为a 2－b 2a ；双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，离心率为a 2＋b 2a.∵C 1与C 2的离心率之积为32， ∴ a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，∴(b a )2＝12，b a ＝22， C 2的渐近线方程为：y ＝±22x ，即x ±2y ＝0.故选B.8．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知点F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，点P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝30°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是( ) A ．7－4 3 B ．2－ 3 C.3－1 D ．4－2 3答案 B解析由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线方程为x 2a 21－y 2b 21＝1，且c ＝c 1.由题意c a ·ca 1＝1，(*)又∠F 1PF 2＝30°，由余弦定理得：在椭圆中，4c 2＝4a 2－(2＋3)|PF 1||PF 2|，在双曲线中，4c 2＝4a 21＋(2－3)|PF 1||PF 2|，可得b 21＝(7－43)b 2，代入(*)得c 4＝a 21a 2＝(c 2－b 21)a 2＝(8－43)c 2a 2－(7－43)a 4，即e 4－(8－43)e 2＋(7－43)＝0，得e 2＝7－43，即e ＝2－3，故选B.9．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为双曲线x 2－2y 2＝1的右支上的一个动点，若点P 到直线2x －2y ＋2＝0的距离大于m 恒成立，则实数m 的最大值为( ) A ．2 B.32C.63D. 263答案 C解析设点P (x ，y )，由题意得[|2x －2y ＋2|6]min >m ，而直线2x －2y ＋2＝0与渐近线2x－2y ＝0的距离为|2|6＝63，因此[|2x －2y ＋2|6]min >63，即m ≤63，实数m 的最大值为63，故选C.10．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0，c ＝a 2＋b 2)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝c 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线C 的右支于点P ，若点E 为PF 的中点，则双曲线C 的离心率为( ) A.2＋1 B.2＋12 C.3＋1 D.3＋12答案 C解析设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0，c ＝a 2＋b 2)的右焦点是F ′，则PF ′的长是c ，并且∠FPF ′＝π2，∴|PF |＝3c ，从而3c －c ＝2a ，∴e ＝3＋1，故选C.11．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的离心率为3，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线C 的渐近线交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为42，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝4x C ．y 2＝2x D ．y ＝43x答案 A解析 ∵e ＝c a＝3⇒c ＝3a ，∴b ＝c 2－a 2＝2a ， ∴y ＝±b ax ＝±2x ，∴S △AOB ＝12·p2·2p ＝42，∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x ，故选A.12．已知点P (2，3)在双曲线x 2a 2－y 23＝1上，双曲线的左、右焦点分别为点F 1、F 2，△PF 1F 2的内切圆与x 轴相切于点M ，则MP →·MF 2→的值为( ) A.3＋1 B.2－1 C.2＋1 D.3－1答案 B解析点P (2，3)在双曲线x 2a 2－y 23＝1上，可得a ＝1，设点M (x,0)，内切圆与x 轴相切于点M ，PF 1，PF 2与圆分别切于点N ，H ，由双曲线的定义可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，由切线长定理知|PN |＝|PH |，|NF 1|－|HF 2|＝2，即|MF 1|－|MF 2|＝2，可得(x ＋2)－(2－x )＝2，解得x ＝1，M (1,0)，MP →·MF 2→＝(2－1，3)·(2－1,0)＝2－1，故选B.13．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，当点P 到直线y ＝x ＋4的距离最短时，点P 的坐标是________．答案 (1,2)解析设P (y24，y )，则点P 到直线y ＝x ＋4的距离d ＝|y 24－y ＋4|2＝14y －2＋32，当y ＝2时，d 取得最小值．把y ＝2代入y 2＝4x ，得x ＝1，所以点P 的坐标为(1,2)．14．已知点F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析由PF 1→⊥PF 2→知∠F 1PF 2＝90°，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，12|PF 1|·|PF 2|＝9，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，所以b ＝3.15．已知点F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 216＝1的左、右焦点，点M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则a 2＝________. 答案 25解析由椭圆的对称性，知满足题意的点M 是椭圆短轴的端点， |MF 1|＝|MF 2|＝a .设内切圆半径为r ，则2πr ＝3π，r ＝32，又12×(2a ＋2c )r ＝12×2c ×4，所以(a ＋a 2－16)×32＝4a 2－16，解得a 2＝25.16．方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题：①曲线C 不可能是圆； ②若1<k <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52.其中正确的是________．答案 ③④解析 ①x 24－k ＋y 2k －1＝1，当4－k ＝k －1，k ＝52时为圆，错误．②若曲线C 为椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧4－k >0，k －1>0，4－k ≠k －1，解得{k |1<k <4，且k ≠52}，错误．③若C 为双曲线，则(4－k )(k －1)<0，解得k <1或k >4，正确．④C 表示焦点在x 轴上的椭圆，得⎩⎪⎨⎪⎧4－k >k －1，4－k >0，k －1>0，4－k ≠k －1，解得：1<k <52，正确．综上，正确的是③④.。

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高考大题专攻练10.分析几何 (B 组 )大题集训练，练就慧眼和规范，占据高考取胜点！1. 已知椭圆E：+=1(a>b>0) 的离心率为，其右焦点为F(1 ，0).(1) 求椭圆 E 的方程 .(2) 若 P，Q，M，N四点都在椭圆 E 上，已知与共线，与.共线，且·=0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值【分析】 (1) 由椭圆的离心率公式可知： e= = ，由 c=1，则 a= ， b2=a2-c 2=1，故椭圆方程为+y2=1.(2)由条件知 MN和 PQ是椭圆的两条弦，订交于焦点 F(1，0) ，且 PQ⊥MN，设直线 PQ的斜率为 k(k ≠0) ，P(x 1，y1) ，Q(x2，y2) ，则 PQ的方程为 y=k(x-1) ，联立整理得： (1+2k2)x 2-4k 2x+2k2 -2=0 ，x1+x2=，x1x2=，则|PQ|=·，于是 |PQ|=，同理： |MN|==.则 S= |PQ||MN|=，令t=k2+，t≥2，S= |PQ||MN|==2，当 k=±1 时， t=2 ，S=，且S是以t为自变量的增函数，当 k=±1 时，四边形 PMQN的面积取最小值.当直线 PQ的斜率为 0 或不存在时，四边形PMQN的面积为 2.综上：四边形 PMQN的面积的最小值和最大值分别为和 2.2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆Ω： +=1(a>b>0) 的离心率为，直线 l：y=2 上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为 1. 世纪金榜导学号 92494446(1)求椭圆Ω的方程 .(2)已知椭圆Ω的上极点为A，点B，C是Ω上的不一样于A的两点，且点 B，C对于原点对称，直线 AB，AC分别交直线 l 于点 E，F. 记直线AC与 AB的斜率分别为 k1，k2.①求证： k1·k2为定值；②求△ CEF的面积的最小值 .【解题导引】 (1) 由题知 b=1，由=，b=1联立求解即可得出.(2)①方法一：直线AC的方程为y=k1x+1，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出 .方法二：设B(x 0，y0)(y 0>0) ，则+ =1，因为点 B，C 对于原点对称，则 C(-x 0，-y 0) ，利用斜率计算公式即可得出.②直线 AC的方程为 y=k1x+1，直线 AB的方程为 y=k2x+1，不如设 k1>0，则 k2<0，令y=2，得E，F，可得△ CEF的面积S△CEF=|EF|(2-y c).【分析】 (1) 由题意知 b=1，由=，因此 a2 =2，b2=1.故椭圆的方程为+y2 =1.(2)①方法一：直线 AC的方程为 y=k1x+1，由21得(1+2 )x+4k x=0，解得 x C=-，同理x B=-，因为 B，O，C 三点共线，则由x C+x B=--=0，整理得 (k 1+k2)(2k 1k2+1)=0 ，因此 k1k2=- .方法二：设B(x 0，y0)(y 0>0) ，则+ =1，因为点 B，C 对于原点对称，则 C(-x 0，-y 0) ，因此k1k2=·===- .②直线 AC的方程为 y=k1x+1，直线 AB的方程为 y=k2x+1，不如设 k1>0，则 k2<0，令 y=2，得 E，F，而 y C=k1x C+1=-+1=，因此，△ CEF的面积 S△CEF= |EF|(2-y c)==··.由 k1k2=-，得k2=-，则 S△CEF=·=3k1+≥，当且仅当k1=时获得等号，因此△ CEF的面积的最小值为.【加固训练】 (2017 ·广元一模 ) 已知点 P 是椭圆 C 上任一点，点 P 到直线 l1：x=-2 的距离为 d1，到点 F(-1 ，0) 的距离为 d2，且= . 直线 l 与椭圆 C 交于不一样两点A，B(A，B 都在 x 轴上方 ) ，且∠ OFA+∠OFB=180°.(1)求椭圆 C的方程 .(2) 当 A 为椭圆与 y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程 .(3)对于动直线 l，能否存在一个定点，不论∠ OFA怎样变化，直线 l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明原因 .【解题导引】 (1) 设 P(x，y) ，得==，由此能求出椭圆 C的方程 .(2) 由已知条件得k BF=-1 ，BF：y=-(x+1)=-x-1，代入+y2=1，得：3x2+4x=0，由此能求出直线l 方程 .(3)B 对于 x 轴的对称点 B1在直线 AF上. 设直线 AF的方程为 y=k(x+1) ，代入+y2=1，得：x2+2k2x+k2-1=0 ，由此能证明直线l 总经过定点 M(-1 ，0).【分析】 (1) 设 P(x ，y) ，则 d1=|x+2| ，d2=，==，化简得+y2=1，因此椭圆 C的方程为+y2 =1.(2) 因为 A(0，1) ，F(-1 ，0) ，因此 k AF= =1，∠ OFA+∠OFB=180°，因此 k BF=-1 ，直线 BF的方程为 y=-(x+1)=-x-1 ，代入+y2=1，得： 3x2+4x=0，因此 x=0 或 x=-，代入y=-x-1得，(舍)或因此B.k AB== ，因此 AB的方程为 y= x+1.(3)因为∠ OFA+∠OFB=180°，因此 B 对于 x 轴的对称点 B1在直线 AF 上.设 A(x1，y1) ，B(x2，y2) ，B1(x 2，-y 2).设直线 AF的方程为 y=k(x+1) ，代入+y2=1，得：x2+2k2x+k2-1=0 ，x1+x2=-，x1x2=，k AB=，因此AB的方程为y-y1=(x-x 1) ，=，令 y=0，得： x=x1-y 1y1=k(x 1 +1)，y2=k(x 2+1) ，x=====-1.因此直线 l 总经过定点 M(-1，0).封闭 Word 文档返回原板块。

2021届高三数学(理)“小题精练”10

2021届高三数学（理）“小题速练”1013. 14. 15. 16.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝[－1，1]，B ＝{x |ln x ＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，1) B ．(0，1] C ．(－1，1)D ．[－1，1]2．已知z 的共轭复数是z ，且|z |＝z ＋1－2i(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a ＝(1，3)，|b |＝3，且a 与b 的夹角为π3，则|2a ＋b |＝( )A ．5B ．37C ．7D ．374．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x ，x ≤0－x 2－2x ＋1，x >0，若f (a －1)≥f (－a 2＋1)，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，1]B ．[－1，2]C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)5．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α6．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( )A.M 2M 1R B ．M 22M 1R C.33M 2M 1RD ．3M 23M 1R7．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y (℃)与时间t (min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y (℃)与时间t (min)近似满足的函数关系式为y ＝80(12)t －a10＋b (a ，b 为常数)．通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )A ．35 minB ．30 minC ．25 minD ．20 min9．已知函数f (x )＝12sin x ＋32cos x ，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6 B ．π4C.π3D ．π210．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (2，3)在双曲线上，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 22－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1 D ．x 216－y 24＝111．在四面体A BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝10，BC ＝2，若四面体A BCD 的外接球的表面积为676π9，则四面体A BCD 的体积为( )A ．24B ．12C ．8D ．412．对实数m ，n ，定义运算“⊗”：m ⊗n ＝⎩⎪⎨⎪⎧m ，m －n ≥0n ，m －n <0.设函数f (x )＝(x －x 2)⊗(x －1)，x ∈R ，实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是( )A ．(1，54)B ．(2，94)C ．(32，74)D ．(14，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为________．14．已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0中有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________．15．已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP (O 是坐标原点)是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．16.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积，进行了一些测量工作，最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，AB ＝2 km ，BC ＝1 km ，∠BAD ＝45°，∠B ＝60°，∠BCD ＝105°，则该绿化区域的面积是________km 2.2021届高三数学（理）“小题速练”10（答案解析）1．解析：选A.由B ＝{x |ln x <0}得B ＝{x |0＜x ＜1}，∵A ＝[－1，1]，∴A ∩B ＝(0，1)，故选A.2．解析：选D.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，∵|z |＝z ＋1－2i ， ∴a 2＋b 2＝(a ＋1)－(b ＋2)i ，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝a ＋1b ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝－2，∴复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.3．解析：选B.∵a ＝(1，3)，∴|a |＝2，∵|b |＝3，a 与b 的夹角为π3，∴a ·b ＝|a |·|b |·cosπ3＝3，∴|2a ＋b |2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝16＋12＋9＝37，∴|2a ＋b |＝37，故选B. 4．解析：选A.因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x ，x ≤0－x 2－2x ＋1，x >0在区间(－∞，＋∞)上单调递减，所以不等式f (a －1)≥f (－a 2＋1)同解于不等式a －1≤－a 2＋1，即a 2＋a －2≤0，解得－2≤a ≤1，故选A.5．解：选B.A 项，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能平行、相交、异面，故A 错误；B 项，若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ，显然成立；C 项，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故C 错误；D 项，若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α若n ∥α或n 与α相交，故D 错误．6．解析：选D.由M 1（R ＋r ）2＋M 2r2＝(R ＋r )M 1R 3，得M 1（1＋r R ）2＋M 2（r R ）2＝(1＋rR )M 1.因为α＝r R ，所以M 1（1＋α）2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3(r R )3≈M 2M 1，所以r ≈ 3M 23M 1R ，故选D.7．解析：选C.f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x ＝－sin x ＋1x ＝－(sin x －1x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数；反之，当f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的充分必要条件．故选C.8．解析：选C .由题意知，当0≤t ≤5时，函数图象是一条线段；当t ≥5时，函数的解析式为y ＝80(12)t －a10＋b .将点(5，100)和点(15，60)代入解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧100＝80（12）5－a10＋b ，60＝80（12）15－a10＋b ，解得a ＝5，b ＝20，故函数的解析式为y ＝80(12)t －510＋20，t ≥5.令y ＝40，解得t ＝25，所以最少需要的时间为25 min.故选C.9．解析：选A.解法一：由题知f (x )＝sin(x ＋π3)，将其图象向左平移m 个单位长度后得到函数g (x )＝sin(x ＋m ＋π3)的图象，∵函数g (x )的图象关于y 轴对称，∴m ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π＋π6(k ∈Z )，∵m >0，∴m 的最小值为π6，故选A.解法二：设将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后得到函数g (x )的图象，∵函数g (x )的图象关于y 轴对称，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝m 对称，由题知f (x )＝sin(x ＋π3)，∴sin(m ＋π3)＝±1，∴m ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π＋π6(k ∈Z )，∵m >0，∴m 的最小值为π6，故选A. 10．解析：选A.解法一：∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋（2c －a ）2－（2c ＋a ）24c （2c －a ）＝c －2a2c －a，又点P 的坐标为(2，3)，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴(c －2a 2c －a )2＋3（2c －a ）2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，c 2－a 2＝b 2＝1，又4a 2－3b2＝1，∴a 2＝1，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝1，故选A.解法二：∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，∵点P 位于第一象限，∴|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2c ＋a ，|PF 2|＝2c －a ，∴cos ∠PF 2F 1＝4c 2＋（2c －a ）2－（2c ＋a ）24c （2c －a ）＝c －2a 2c －a ，又点P 的坐标为(2，3)，∴sin ∠PF 2F 1＝32c －a ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c －2a 2c －a 2＋3（2c －a ）2＝1，化简得(c －2a )2＋3＝(2c －a )2，c 2－a 2＝b 2＝1，此时可以排除选项B ，C ，D ，故选A.11．解析：选C.如图，∵四面体A BCD 的外接球的表面积为6769π，∴球的半径为133，又AB ＝AC ＝10，BC ＝2，∴cos ∠BAC ＝45，∴sin ∠BAC ＝35，设三角形ABC 面积为S ，外接圆半径为R ，则S ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC＝AB ·AC ·BC 4R ＝3，解得R ＝53，即△ABC 的外接圆的半径O 1A ＝53，∴球心O 到平面ABC 的距离OO 1＝⎝⎛⎭⎫1332－⎝⎛⎭⎫532＝4，又AD ⊥平面ABC ，∴AD ＝2OO 1＝8，∴四面体A BCD 的体积为13×S △ABC ×8＝8，故选C.12.解析：选B.由定义可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，x －x 2≥x －1x －1，x －x 2<x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2，－1≤x ≤1x －1，x <－1或x >1，作出其图象如图所示，若f (x )＝k ，当0<k <14时，f (x )＝k 有三个不相等的实数根，即f (a )＝f (b )＝f (c )，若a <b <c ，则a ＋b ＝1，1<c <54，∴2<a ＋b ＋c <94，故选B.13．解析：分析题意可知，抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P ＝C 24·C 23C 58＝928.答案：92814．解析：因为“有且只有一个正确”，所以采用逐一进行验证，现列表如下：所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案：20115．解析：不妨设点P 在x 轴的上方，∵△AOP 是等腰直角三角形，∴直线P A 的斜率为1，则直线P A 的方程为y ＝x ＋a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a x 2a 2＋y 2b 2＝1得(a 2＋b 2)x 2＋2a 3x ＋a 2c 2＝0，设点Q 的坐标为(x 2，y 2)，则(－a )·x 2＝a 2c 2a 2＋b 2，∴点Q 的横坐标x 2为－ac 2a 2＋b 2，∵PQ →＝2QA →，∴－ac 2a 2＋b 2＝－23a ，∴3c 2＝2a 2＋2b 2，又b 2＝a 2－c 2，∴5c 2＝4a 2，∴c a ＝255，∴椭圆的离心率e ＝255.答案：25516．解析：如图，连接AC ，由余弦定理可知AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝ 3 km ，则AC 2＋BC 2＝AB 2，故∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠DAC ＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°.由正弦定理得，AC sin ∠ADC ＝ADsin ∠DCA，即AD ＝AC ×sin ∠DCAsin ∠ADC＝3×6－2412＝32－62(km)，故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×(32－62)2×12＝6－34(km 2)．答案：6－34。

高考小题标准练三理新人教版

高考小题标准练(三)满分80分,实战模拟,40分钟拿下高考客观题满分!一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=的实部与虚部之和为4，则复数在复平面上对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选B.z=(2-ai)(1+2i)=2+2a+(4-a)i的实部与虚部之和为4，所以a=-2，则z=-2+6i.在复平面内，对应的点(-2，6)在第二象限.2.已知集合Α=，Β={x|≤2，x∈Ζ}，则Α∩Β=( )A. B.C. D.【解析】选D.A=，B=，所以A∩B=.3.已知α，β是不同的两个平面，m，n是不同的两条直线，则下列命题中不正确的是( )A.若m∥n，m⊥α，则n⊥αB.若m⊥α，m⊥β，则α∥βC.若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD.若m∥α，α∩β=n，则m∥n【解析】选D.对于A，如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面，故选项A正确；对于B，如果一条直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面相互平行，故选项B正确；对于C，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，故选项C正确；对于D，注意到直线m与直线n可能异面，因此选项D不正确.4.已知等差数列{a n}的公差为d(d>0)，a1=1，S5=35，则d的值为( )A.3B.-3C.2D.4【解析】选A.利用等差数列的求和公式、性质求解.因为{a n}是等差数列，所以S5=5a1+d=5+10d=35，解得d=3.5.若函数y=2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )A.2B.C.1D.【解析】选C.作出不等式组所表示的平面区域(即△ABC的边及其内部区域)如图中阴影部分所示.点M为函数y=2x与边界直线x+y-3=0的交点，由解得即M(1，2).若函数y=2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，则函数y=2x的图象上存在点在阴影部分内部，则必有m≤1，即实数m的最大值为1.6.某电视台举办青年歌手大奖赛，有七位评委打分.已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况如茎叶图所示(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，，方差为，，则一定有( )A.>，<B.>，<C.>，>D.>，>【解析】选 D.由题意去掉一个最高分和一个最低分后，两数据都有五个数据，代入数据可以求得甲和乙的平均分：=80+=84，=80+=85，故有>.==2.4，==1.6，故>.7.在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是( )A.(4，10]B.(2，+∞)C.(2，4]D.(4，+∞)【解析】选A.设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a-2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a-8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a-26，i=3，满足退出循环的条件；故9a-8≤82，且27a-26>82，解得a∈(4，10].8.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=( )A.3B.6C.9D.12【解析】选B.抛物线y2=8x的焦点为(2，0)，所以椭圆中c=2，又=，所以a=4，b2=a2-c2=12，从而椭圆方程为+=1.因为抛物线y2=8x的准线为x=-2，所以x A=x B=-2，将x A=-2代入椭圆方程可得|y A|=3，可知|AB|=2|y A|=6.9.设P为双曲线-=1右支上一点，O是坐标原点，以OP为直径的圆与直线y=x的一个交点始终在第一象限，则双曲线离心率e的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选B.设P，交点A，则l PA：y-y0=-，与y=x联立，得A，若要点A始终在第一象限，需要ax0+by0>0即要x0>-y0恒成立，若点P在第一象限，此不等式显然成立；只需要若点P在第四象限或坐标轴上此不等式也成立.此时y0≤0，所以>，而=b2，故>-b2恒成立，只需-≥0，即a≥b，所以1<e≤.10.定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f′(x)tanx成立，则( )A.f>fB.f>fC.f(1)<2f sin1D.f<f【解析】选D.记g(x)=，则当x∈时，sinx>0，cosx>0.由f(x)-f′(x)tanx<0知g′(x)==>0，g(x)是增函数.又0<<<，因此有g<g，即2f<f，f<f.11.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象.关于函数g(x)，下列说法正确的是( )A.在上是增函数B.其图象关于直线x=-对称C.函数g(x)是奇函数D.当x∈时，函数g(x)的值域是[-2，1]【解析】选D.f(x)=sinωx+cosωx=2sin，由题知=，所以T=π，ω==2，所以f(x)=2sin.把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到g(x)=2sin=2sin=2cos2x的图象，g(x)是偶函数且在上是减函数，其图象关于直线x=-不对称，所以A，B，C错误.当x∈时，2x∈，则g(x)min=2cosπ=-2，g(x)max=2cos=1，即函数g(x)的值域是[-2，1].12.如图，M(x M，y M)，N(x N，y N)分别是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象与两条直线l1：y=m(A≥m≥0)，l2：y=-m的交点，记S(m)=|x N-x M|，则S(m)的大致图象是( ) 【解析】选C.如图所示，作曲线y=f(x)的对称轴x=x1，x=x2，点M与点D关于直线x=x1对称，点N与点C关于直线x=x2对称，所以x M+x D=2x1，x C+x N=2x2，所以x D=2x1-x M，x C=2x2-x N.又点M与点C，点D与点N都关于点B对称，所以x M+x C=2x B，x D+x N=2x B，所以x M+2x2-x N=2x B，2x1-x M+x N=2x B，得x M-x N=2(x B-x2)=-，x N-x M=2(x B-x1)=，所以|x M-x N|==(常数).二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知向量p=(2，-1)，q=(x，2)，且p⊥q，则|p+λq |的最小值为________.【解析】因为p·q =2x-2=0，所以x=1，所以p+λq =(2+λ，2λ-1)，所以|p+λq|==≥.答案：14.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________.【解析】根据三视图，可知原几何体是一个棱长分别为2，2，1的长方体和一个横放的直三棱柱的组合体，三棱柱底面是一个直角边分别为1，1的直角三角形，高是2，所以几何体体积易求得是V=2×2×1+×1×1×2=5.答案：515.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，a3=5，S k+2-S k=36，则k的值为________. 【解析】设等差数列的公差为d，由等差数列的性质可得2d=a3-a1=4，得d=2，所以a n=1+2(n-1)=2n-1.S k+2-S k=a k+2+a k+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36，解得k=8.答案：816.已知函数f(x)=(2x+a)ln(x+a+2)在定义域(-a-2，+∞)内，恒有f(x)≥0，则实数a的值为__________.【解析】由已知得y=2x+a和y=ln(x+a+2)在内都是增函数，且都有且只有一个零点，若f(x)≥0恒成立，则在相同区间内的函数值的符号相同，所以，两函数有相同的零点，则-=-a-1，解得a=-2.答案：-2。

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编立体几何小题(精解精析)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编立体几何小题（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国乙卷理科)在正方体1111ABCD A B C D -中,P 为11B D 中点,则直线PB 与1AD 所成地角为( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6【结果】D 思路：如图,连接11,,BC PC PB ,因为1AD ∥1BC ,所以1PBC ∠或其补角为直线PB 与1AD 所成地角,因为1BB ⊥平面1111D C B A ,所以11BB PC ⊥,又111PC B D ⊥,1111BB B D B ⋂=,所以1PC ⊥平面1P B B ,所以1PC PB ⊥,设正方体棱长为2,则111112BC PC D B ===,1111sin 2PC PBC BC ∠==,所以16PBC π∠=．故选：D2．(2021年高考全国甲卷理科)在一个正方体中,过顶点A 地三款棱地中点分别为E ,F ,G ．该正方体截去三棱锥A EFG -后,所得多面体地三视图中,正视图如图所示,则相应地侧视图是( )的( )A．B．C．D．【结果】D思路：由题意及正视图可得几何体地直观图,如图所示,所以其侧视图为故选：D3．(2021年高考全国甲卷理科)已如A．B．C是半径为1地球O地球面上地三个点,且⊥==,则三棱锥O ABC,1AC BC AC BC-地体积为( )A B C D【结果】A思路：,1AC BC AC BC ⊥== ,ABC ∴ 为等腰直角三角形,AB ∴=,则ABC,又球地半径为1,设O 到平面ABC 地距离为d ,则d ==,所以11111332O ABC ABC V S d -=⋅=⨯⨯⨯=．故选：A ．【点睛】关键点睛：本题考查球内几何体问题,解题地关键是正确利用截面圆半径，球半径，球心到截面距离地勾股关系求解．4．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知,,A B C 为球O 球面上地三个点,⊙1O 为ABC 地外接圆,若⊙1O 地面积为4π,1AB BC AC OO ===,则球O 地表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【结果】A【思路】设圆1O 半径为r ,球地半径为R ,依题意,得24,2r r ππ=∴=, ABC 为等边三角形,由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=,1OO AB ∴==,依据球地截面性质1OO ⊥平面ABC,11,4OO O A R OA ∴⊥====,∴球O 地表面积2464S R ππ==．故选：A的【点睛】本题考查球地表面积,应用球地截面性质是解题地关键,考查计算求解能力,属于基础题．5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它地形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥地高为边长地正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形地面积,则其侧面三角形底边上地高与底面正方形地边长地比值为( )( )A B C D 【结果】C【思路】如图,设,CD a PE b ==,则PO ==,由题意212PO ab =,即22142a b ab-=,化简得24(210b b a a -⋅-=,解得b a =．故选：C ．【点晴】本题主要考查正四棱锥地概念及其相关计算,考查学生地数学计算能力,是一道容易题．6．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知△ABC等边三角形,且其顶点都在球O 地球面上．若球O 地表面积为16π,则O 到平面ABC 地距离为( )AB ．32C ．1D【结果】C思路：设球O 地半径为R ,则2416R ππ=,解得：2R =．设ABC 外接圆半径为r ,边长为a ,ABC地等边三角形,212a ∴=,解得：3a =,2233r ∴===,∴球心O 到平面ABC地距离1d ===．故选：C ．【点睛】本题考查球地相关问题地求解,涉及到球地表面积公式和三角形面积公式地应用。

高考数学理二轮专题温习高考小题满分练03含解析

答案：A
二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)
11．已知sin ＝，cos(α＋β)＝，α∈ ，β∈(0，π)，则sinα＝________.
解析：∵α∈ ，β∈(0，π)，
∴α＋β∈ ， ∈ ，
∵sin ＝，∴cos ＝，
∴sinβ＝2sin cos ＝，cosβ＝1－2sin2 ＝，∵cos(α＋β)＝，sin(α＋β)＝，∴sinα＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝ .
解析：由题意得＝，T＝π，ω＝2.又2x0＋＝kπ(k∈Z)，x0＝－ (k∈Z)，而x0∈ ，所以x0＝ .
答案：A
2．已知角θ的极点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则sin 的值为()
B．－ D．－
解析：由题意，不妨设θ为第一象限角，故sinθ＝，cosθ＝，sin2θ＝2sinθcosθ＝，cos2θ＝1－2sin2θ＝－，故sin ＝ (sin2θ＋cos2θ)＝ × ＝ .
答案：B
10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部份图象如图所示，则其函数解析式是()
A．f(x)＝sin
B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin
D．f(x)＝sin
解析：依题意可得A＝1，T＝4× ＝2π，故＝2π，得ω＝1.由f(x)＝sin(x＋φ)通过点，得sin ＝1，又0＜φ＜，故φ＝，故f(x)＝sin ，选A.
解析：由题设得，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosC＝13－12cosC，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA·cosA＝5＋4cosC，②

2022高考必备2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编导数大题(精解精析)

值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
5．(2020 年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数 f (x) x3 bx c ，曲线 y f (x) 在点( 1 ，f( 1 ))处的切线与 y 22
轴垂直．
(1)求 b．
(2)若 f (x) 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： f (x) 所有零点的绝对值都不大于 1．
ln 2
ln 2
ln 2
∴函数
f
x
在
0,
2 ln2
上单调递增；
2 ln2
,
上单调递减；
（2）
f
x
xa ax
1 ax
xa
x ln a
a ln x
ln x x
lna a
,设函数 g x
ln x
,
x
则
g
x
1
ln x2
x
,令
g
x
0
，得
x
e
,
在 0,e 内 g x 0 , g x 单调递增；
2012-2021 十年全国卷高考数学真题分类精编导数大题（精解精析）
一、解答题
1．(2021
年高考全国甲卷理科)已知 a
0且a
1，函数
f
(x)
xa ax
(x
0)
．
(1)当 a 2 时，求 f x 的单调区间；
(2)若曲线 y f x 与直线 y 1有且仅有两个交点，求 a 的取值范围．
由于 f x ex 2 0 ，故 f ' x 单调递增，注意到 f 0 0 ，故：
当 x , 0 时， f x 0, f x 单调递减，

(新课标2专版)高考数学分项版解析专题10 立体几何理-人教版高三全册数学试题

【十年高考】（新课标2专版）高考数学分项版解析专题10 立体几何理一．基础题组1.【2013课标全国Ⅱ，理4】已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【答案】：D【解析】因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.2.【2012全国，理4】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，122CC E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为( )A．2 B32 D．1【答案】 D又△AC C1为等腰直角三角形，∴CH=2.∴HM=1.3.【2011新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )【答案】D【解析】4. 【2006全国2，理4】过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为 A.163B.169 C.83 D.329【答案】:A5. 【2006全国2，理7】如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α,β所成的角分别为4π和6π.过A ,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A ′,B ′,则AB ∶A ′B ′等于 A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3【答案】:A6. 【2005全国3，理4】设三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且PA=QC 1，则四棱锥B —APQC 的体积为（） A ．16VB ．14VC ．13VD ．12V【答案】C【解析】连接11,BA BC ，在侧面平行四边形11AAC C 中，∵1PA QC =，∴ 四边形APQC 的面积1S =四边形11PQA C 的面积2S ，记B 到面11AAC C 的距离为h ，∴113B APQC V S h -=，11213B PQAC V S h -=，∴11B APQC B PQA C V V --=，∵11113B A BC V V -=，∴11233B APQC B PQA C V V V V V --+=-=，∴3B APQC V V -=.7. 【2005全国2，理2】正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（）(A) 三角形 (B) 四边形(C) 五边形(D) 六边形【答案】D8. 【2014新课标，理18】（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积.【答案】见解析【解析】（Ⅰ）证明：设O为AC与BD交点，连结OE，则由矩形ABCD知：O为BD的中点，因为E是BD的中点，所以OE∥PB，因为OE⊂面AEC，PB⊄面AEC，所以PB∥平面AEC。

专题03 三角与向量-2021年高考数学(理)试题分项版解析(原卷版)

1.【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22.【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6π D ．f (x )在(2π,π)单调递减 3.【2017课标3，理12】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λAB +μAD ，则λ+μ的最大值为A ．3B ．22C ．5D ．24.【2017北京，理6】设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0<⋅m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5.【2017天津，理7】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=6.【2017课标II ，理12】已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 7.【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 8.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称. 若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 9.【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= .10.【2017天津，理13】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =，()AE AC AB λλ∈=-R ，且4AD AE ⋅=-，则λ的值为___________.12.【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S ．13.【2017浙江，14】已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2．点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△B DC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．14．【2017浙江，15】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是_______．15.【2017课标II ，理14】函数()23sin 34f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是。

2021年高考试题分项版解析数学(理)专题10立体几何(Word精析版)

第十章立体几何（理）一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理zxxk 】设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥2.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理zxxk ）卷】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄l ,l β⊄则（）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l3.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理zxxk ）卷】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为(A)(B)(C)(D)4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理zxxk科】已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC-==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC⊥112AA O=，则球的半径为A．3172B．210C．132D．3105.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_____ .6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理zxxk科】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理zxxk 】若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________2cm .二．能力题组9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理zxxk 科】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）112110.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理zxxk 科】一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<11.【2013年全国高考新课标（I ）理zxxk 科】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) A 、500π3cm 3B 、866π3cm 3C 、1372π3cm 3D 、2048π3cm 312.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理zxxk 】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A.125π B.3π C.4π D.6π 13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理zxxk 】如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,,m n 那么m n +=（） A.8B.9C.10D.1114.【2013年全国高考新课标（I ）理zxxk 科】某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( ) A 、18+8π B 、8+8π C 、16+16π D 、8+16π15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理zxxk 】某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )1 221 1正视图俯视图侧视图侧视图俯视图444 22242A . 4B ．143C ．163D ．616.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理zxxk 科】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A ．23 B ．33 C ．23 D ．1317.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理zxxk 科】已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为060，则球O 的表面积等于18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理zxxk】已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（）A．1B．2C．2-12D．2+1219.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理zxxk】如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为.20.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理zxxk 】在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理zxxk 、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________.21.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V = .三．拔高题组22.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理zxxk 】如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,2CD BE ==,O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中3A O '=..CO B'ACDO BE'AH(Ⅰ) 证明:A O'⊥平面BCDE；(Ⅱ) 求二面角A CD B'--的平面角的余弦值.23.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理zxxk 科】如图，四棱锥P-ABCD 中，090ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形.（Ⅰ）证明：PB CD ⊥；（Ⅱ）求二面角A PD C --的大小.AB=，则设||2P.C-，(0,0,2)A-，(0,2,0)(2,0,0)D-，(22,2,0)121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=,要注意两个法向量的夹角与二面角可能相等也可能互补，要从图上判断一下二面角是锐二面角还是钝二面角，然后根据余弦值确定相等或互补即可.24.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.25.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理zxxk 】如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ,)0(,6,5,4,3,1,//1>=====k k DC k BC k AD k AB AA DC AB（1）求证：⊥CD 平面11A ADD（2）若直线1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值为76，求k 的值（3）26.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理zxxk 科】如图，.AB PA C 是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的点（I ）求证：PAC PBC ⊥平面平面；（II ）2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值27.【2013年普通高等学校统一考试试题新课标Ⅱ数学（理zxxk ）卷】如图，直棱柱ABC-111A B C 中，D ，E 分别是AB ，BB1的中点，1AA =AC=CB=22AB. （Ⅰ）证明：1BC //平面1A CD ；（Ⅱ）求二面角D-1A C -E 的正弦值.28.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理zxxk 】如图所示，在三棱锥PAQ ∆中，PB ⊥平面ABQ ，BA BQ BP ==，,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ 交于G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .（Ⅰ）求证：AB GH ；（Ⅱ）求二面角D GH E --的余弦值.又=，所以AB⊥平面PBQ，由（Ⅰ）知AB∥GH,BP BQ B设平面PDC 的一个法向量为222(,,)n x y z =由0n DP ⋅=，0n CP ⋅=,29.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理zxxk 】如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心,A 1O ⊥平面ABCD, 12AB AA ==.(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小. 30.O D 1B 1C 1D A C BA 1【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江理zxxk 】如图，在四面体BCD A -中，⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.（Ⅰ）证明：//PQ 平面BCD ;（Ⅱ）若二面角D BM C --的大小为060，求BDC ∠的大小.222cos sin tan tan 60322sin 3CG CHG HG ααα∠====tan 3(0,90)6060BDC ααα∴=∴∈∴=∴∠=.31.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理zxxk 】如图5，在直棱柱1111//ABCD A B C D AD BC -中，，190,,1, 3.BAD AC BD BC AD AA ∠=⊥===（I ）证明：1AC B D ⊥；（II ）求直线111B C ACD 与平面所成角的正弦值.33.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理zxxk】如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB ≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F.（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.34.【2013年全国高考新课标（I）理zxxk科】如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.ABC C1A1B1xy z35.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理zxxk 科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点. （Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP =. 记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=.36．【2013年普通高等学校统一考试天津卷理zxxk 科】在四棱柱1111ABCD A B C D 中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26, 求线段AM 的长.37.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理zxxk 】如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面AB C ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1BDBC 的值.48.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理zxxk】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.49.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理zxxk 科】如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的中点.（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理zxxk 由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值.D 1D A B 1C 1A P取22y =，则21z =-，所以2(0,2,1)n =-.设二面角1A A M N --的平面角为θ ，又θ为锐角，则1212(1,3,0)(0,2,1)cos ||||||||25n n n n θ⋅-⋅-===⋅⋅155，。

年高考理科数学新课标全国3卷-逐题解析

20１７年普通高等学校招生全国统一考试(全国)理科数学（试题及答案解析)一、选择题:（本题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==,则AB 中元素的个数为（）A ．３ﻩﻩ ﻩB.2 Ｃ．１ﻩ ﻩＤ．0 【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2,故选B ．2.设复数ｚ满足(1i)2i z +=,则z =（） A.12Ｂ2ﻩ ﻩ C 2 ﻩﻩD ．2【答案】C【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-,则22112z + C.3．某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至201６年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.2０１4年 20１5年 20１6年根据该折线图,下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年１月至６月的月接待游客量相对于7月至1２月，波动性更小,变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，２０14年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A ．4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（)A.-80ﻩﻩ ﻩB.-40 ﻩC.40ﻩ ﻩ D ．８０【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=,则33x y 的系数为４0,故选C.５.已知双曲线22221x y C a b -=：(0a >，0b >）的一条渐近线方程为5y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为(） A.221810x y -=ﻩ B ．22145x y -=ﻩ C ．22154x y -= D.22143x y -= 【答案】Ｂ【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y x =,则5b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点,易知3c =，则2229a b c +==② ﻩﻩ由①②解得2,5a b ==则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6.设函数π()cos()3f x x =+,则下列结论错误的是（）Ａ.()f x 的一个周期为2π-ﻩﻩﻩ Ｂ.()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C.()f x π+的一个零点为π6x = ﻩ Ｄ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到,如图可知,()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增,D 选项错误，故选D.π23π53-π36πxy O7.执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于9１，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5 B.4ﻩ C.３ D.2 【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示:S M ﻩ初始状态ﻩ ０ﻩﻩ1０0 ﻩ1第1次循环结束ﻩﻩ1０010- ﻩ2 第2次循环结束 ﻩ901ﻩ 3 此时9091S =<首次满足条件,程序需在3t =时跳出循环,即2N =为满足条件的最小值,故选D.8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()A ．π ﻩﻩB ．3π4 Ｃ．π２ ﻩﻩD.π4【答案】Ｂ【解析】由题可知球心在圆柱体中心,圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=-=⎪⎝⎭, 则圆柱体体积23ππ4V r h ==,故选B ．9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若2a ，3a ,6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为()A ．24-ﻩ ﻩﻩB ．3- ﻩ ﻩC ．3 ﻩ ﻩD.8 【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为． ﻩ则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ ﻩ又∵11a =，代入上式可得220d d +=ﻩﻩ又∵0d ≠，则2d =-ﻩ ∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.10.已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ,2A ,且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为(）ﻩ ﻩBﻩ ﻩﻩﻩﻩ D ．13【答案】Ａ【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离等于半径，∴d a== 又∵0,0a b >>,则上式可化简为223a b =∵222b ac =-,可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a ==11.已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）Ａ.1-２ ﻩﻩﻩＢ.13ﻩC ．12ﻩﻩﻩﻩ D.1 【答案】C【解析】由条件,211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得:221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴, 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =, 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =.１２．在矩形ABCD 中,1AB =，2AD =,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+,则λμ+的最大值为() A ．3ﻩ ﻩﻩＢ． ﻩCﻩﻩﻩ Ｄ.２【答案】Ａ【解析】由题意,画出右图.设BD 与C 切于点E ,连接CE . 以A 为原点，AD 为轴正半轴， AB 为轴正半轴建立直角坐标系, 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =,||2BC =.∴12BD += ∵BD 切C 于点E . ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C . ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=. 设P 点坐标00(,)xy ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下: 0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而00(,)AP x y =，(0,1)AB =,(2,0)AD =. ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴0112x μθ==+,01y λθ==+．两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+=++≤(其中sin ϕ=cos ϕ当且仅当π2π2k θϕ=+-,k ∈Z 时,λμ+取得最大值3.二、填空题：(本题共4小题,每小题５分,共２0分）１３.若ｘ,y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-【解析】由题,画出可行域如图：()A O DxyBPCE目标函数为34z x y =-,则直线344zy x =-纵截距越大,值越小．由图可知：在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．１4.设等比数列{}n a 满足121a a +=-,133a a -=-,则4a =_______＿．【答案】8-【解析】{}n a 为等比数列,设公比为．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩,即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②, 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =, ()3341128a a q ∴==⨯-=-.１5.设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_＿_＿__＿_.【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤,()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭,即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭ 由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：41)2-)由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．16.，为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论: ①当直线AB 与成60︒角时,AB 与成30︒角; ②当直线AB 与成60︒角时,AB 与成60︒角； ③直线AB 与所成角的最小值为45︒;④直线AB 与所成角的最大值为60︒.其中正确的是_＿_＿_＿__(填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意知,a b AC 、、三条直线两两相互垂直,画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为１, 故||1AC =,2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变, B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆.以C 为坐标原点，以CD 为轴正方向，CB 为轴正方向， CA 为轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ,(0,0,1)A ,直线的方向单位向量(0,1,0)a =,||1a =. B 点起始坐标为(0,1,0),直线的方向单位向量(1,0,0)b =,||1b =．设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，其中为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈.那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--,||2AB '=.设AB '与所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]a AB θθαθ--⋅==∈'. 故ππ[,]42α∈，所以③正确,④错误．设AB '与所成夹角为π[0,]2β∈,cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2|cos |AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=.当AB '与夹角为60︒时，即π3α=, 12sin 2cos 2cos 232πθα====． ∵22cos sin 1θθ+=，∴2|cos |θ=． ∴21cos |cos |2βθ==．∵π[0,]2β∈.∴π=3β，此时AB '与夹角为60︒．∴②正确,①错误.三、解答题：（共7０分.第１7－20题为必考题，每个试题考生都必须作答.第2２,23题为选考题，考生根据要求作答) (一)必考题：共60分. 17．（1２分）ABC ∆的内角A ，Ｂ，C 的对边分别为ａ，b ，c ,已知sin 0A A =，a =，2b =. (1）求ｃ；(2)设D 为BC 边上一点,且AD AC ⊥，求ABD △的面积.【解析】（１)由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ,又()0,πA ∈,∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=,故4c =．（2）∵2,4AC BC AB ===,由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形,则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=, 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅△1８.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同，进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位:℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为3００瓶;如果最高气温低于2０,需求量为２00瓶，为了(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位:瓶)的分布列；（２)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元）．当六月份这种酸奶一天的进货量(单位：瓶）为多少时,Y 的数学期望达到最大值？【解析】⑴易知需求量可取200,300,500ﻩ()21612003035P X +===⨯ ﻩ()3623003035P X ===⨯ ﻩ()257425003035P X ++===⨯.ﻩﻩ⑵①当200n ≤时:,此时max400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+= ﻩ 此时max 520Y =,当300n =时取到. ﻩ ③当300500n <≤时，ﻩﻩﻩ()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n -=ﻩ此时520Y <.ﻩ ④当500n ≥时,易知一定小于③的情况. ﻩ综上所述:当300n =时，取到最大值为520．1９．(12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABDCBD ,AB BD ．（1）证明:平面ACD 平面ABC ；(2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C 的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ,连接BO ,DO ； ABC ∆为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ==== 易得:OD ,OB = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥DB C ED BC EOOD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等即E 为BD 中点以O 为原点,OA 为轴正方向，OB 为轴正方向，OD 为轴正方向,设AC a =，建立空间直角坐标系,则()0,0,0O ,,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得:,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为1n ,平面AEC 的法向量为2n , 则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,解得(13,1,n = 220AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,解得(20,1,n = 若二面角D AE C --为，易知为锐角,则12127cos n n n n θ⋅==⋅20.（12分)已知抛物线2:2C y x ，过点（2,0）的直线交C 于A ，B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1)证明：坐标原点O 在圆M 上；（2)设圆M 过点P （4，2)，求直线与圆M 的方程.【解析】⑴显然,当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点,不符合题意．设:2l x my =+,11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立:222y x x my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于，122y y m +=,124y y =-．1212OA OBx x y y ⋅=+ 12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上. ⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或①当12m =-时,:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==-,001924x y =-+=,半径||r OQ =则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时,:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=,半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=２1.（12分)已知函数()1ln f x x a x =--．（1)若()0f x ≥，求的值;（2)设m 为整数,且对于任意正整数，2111(1)(1)(1)222nm ,求m 的最小值.【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f =当0a ≤时,()0f x '>,()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意; 当0a >时,当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减; 当x a >时,()0f x '>,则()f x 在(,)a +∞上单调递增.①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >,()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =,()f x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =.⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k +<，*k ∈N一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<,即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时,2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ,2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为.２2.选修４-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xO ｙ中，直线的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数)，直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数）,设与l 2的交点为Ｐ，当ｋ变化时,P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程：(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设:(cos sin )l ρθθ3+0，M 为与C 的交点,求M 的极径.【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k=+ ……②①②消可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=; ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③ 联立曲线C和224x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ即M．2３．选修4－５:不等式选讲］(１0分)已知函数()||||f x x x =+1--2．（１)求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求ｍ的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意;②当12x -<<时，211-x ≥,解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上,()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥．⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+,则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥．①当1-x ≤时,()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦;②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭; ③当2x ≥时,()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦. 综上,()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。

高考分解数学试题及答案

高考分解数学试题及答案一、选择题（每小题4分，共40分）1. 若函数$ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，则$ f(1) $的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 已知等差数列的首项$ a_1 = 3 $，公差$ d = 2 $，则该数列的第5项为：A. 13B. 11C. 9D. 7答案：A3. 若$ \cos(\theta) = \frac{1}{2} $，则$ \sin(\theta) $的值为：A. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $B. $ -\frac{\sqrt{3}}{2} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ -\frac{1}{2} $答案：A4. 已知圆的方程为$ x^2 + y^2 = 9 $，直线$ y = x + 1 $与该圆相交于两点，则这两点之间的距离为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B5. 若$ \log_2(3) = a $，则$ \log_2(\frac{1}{27}) $的值为：A. -3aB. 3aC. -$ \frac{1}{3} $aD. $ \frac{1}{3} $a答案：A6. 已知向量$ \vec{a} = (3, -1) $，$ \vec{b} = (-2, 4) $，则向量$ \vec{a} + \vec{b} $的坐标为：A. (1, 3)B. (-5, 3)C. (1, -3)D. (-5, -3)答案：A7. 若$ \tan(\alpha) = 2 $，则$ \tan(2\alpha) $的值为：A. 4B. -$ \frac{4}{3} $C. $ \frac{4}{3} $D. -4答案：C8. 已知双曲线的方程为$ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 $，焦点在x轴上，则该双曲线的离心率为：A. $ \frac{5}{4} $B. $ \frac{4}{3} $C. $ \frac{5}{3} $D. $ \frac{3}{2} $答案：A9. 已知函数$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 $，求导数$ f'(x) $的值为：A. $ 3x^2 - 6x $B. $ x^3 - 3x^2 + 2 $C. $ 3x^2 - 6x + 2 $D. $ x^3 - 3x $答案：A10. 已知$ \sin(\theta) = \frac{3}{5} $，且$ \theta $在第一象限，则$ \cos(\theta) $的值为：A. $ \frac{4}{5} $B. $ -\frac{4}{5} $C. $ \frac{3}{4} $D. $ -\frac{3}{4} $答案：A二、填空题（每小题4分，共20分）11. 若$ \sin(\theta) = \frac{1}{2} $，则$ \cos(\theta) $的值为$ \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} = \sqrt{1 -\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} =\frac{\sqrt{3}}{2} $。

2020版高考数学(理)刷题小卷练： 10 Word版含解析

Earlybird刷题增分练10导数在函数中的综合应用刷题增分练⑩小题基础练提分快一、选择题1．[2019·山东陵县月考]已知函数f(x)＝x2e x，当x＝[－1,1]时，不等式f(x)<m恒成立，则实数m的取值范围为()1 1A.[B.，＋∞)(，＋∞)e eC．[e，＋∞) D．(e，＋∞)答案：D解析：由f′(x)＝e x(2x＋x2)＝x(x＋2)e x，得当－1<x<0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当0<x<1 时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，且f(1)>f(－1)，故f(x)max＝f(1)＝e，则m>e.故选D.a2．函数f(x)＝ln x＋(a∈R)在区间[e－2，＋∞)上有两个零点，则xa的取值范围是()2 1 2 1A.[B.e)[e]，，e2 e22 1 1 2C.(D.e][e]，，e2e2 答案：Aa解析：令f(x)＝ln x＋＝0，x∈[e－2，＋∞)，得－a＝x ln x.记H(x)x＝x ln x，x∈[e－2，＋∞)，则H′(x)＝1＋ln x，由此可知H(x)在[e－2，e－1]上单调递减，在(e－1，＋∞)上单调递增，且H(e－2)＝－2e－2，H(e2 1－1)＝－e－1，当x→＋∞时，H(x)→＋∞，故当≤a< 时，f(x)在[e－e2 e2，＋∞)上有两个零点，选A.3．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是()答案：A解析：根据f′(x)的图象知，函数y＝f(x)的极小值点是x＝－2，极大值点为x＝0，结合单调性知，选A.4．[2019·河南息县中学段测]函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间(－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()EarlybirdA．20 B．18C．3 D．0答案：A解析：对于区间(－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，等价于在区间(－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t.∵f(x)＝x3－3x－1，∴f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．∵x∈(－3,2]，∴函数f(x)在[－3，－1]，[1,2]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝f(－1)＝1，f(x)min＝f(－3)＝－19，∴f(x)max－f(x)min＝20，∴t≥20，即实数t的最小值是20.5．[2019·江西阶段性检测]函数f(x)＝e x2－2x2的图象大致为()答案：A解析：∵f(x)＝f(－x)，当x>0 时，f′(x)＝e x2·2x－4x，令f′(x)＝0，则2x(e x2－2)＝0⇒x＝ln2∈(0,1)，且f( ln2)＝2－2ln2>0，∴当x>0 时，f(x)>0，且只有一个极值点，∴排除B，C，D.故选A.6．[2019·四川双流中学必得分训练]若f(x)＝x3－ax2＋1 在(1,3)上单调递减，则实数a的取值范围是()9A．(－∞，3] B.[，＋∞)29C.(D．(0,3)3，2)答案：B解析：因为函数f(x)＝x3－ax2＋1 在(1,3)上单调递减，所以f′(x)3 3 ＝3x2－2ax≤0 在(1,3)上恒成立，即a≥x在(1,3)上恒成立．因为2 2 9 9< ，所以a≥.故选B.2 21 7．[2019·海南八校联考]已知函数f(x)＝3ln x－x2＋(x在区间a－2)(1,3)上有最大值，则实数a的取值范围是()1 1 11A.(B.－，5)(－2 )，2 21 11 1，5)，2 )( 22Earlybird答案：B3 1 3解析：因为f′(x)＝－2x＋a－，所以结合题意可得f′(x)＝－x 2 x 12x＋a－在(1,3)上只有一个零点且单调递减，则问题转化为Error!则21 11Error!解得－<a< .故选B.2 21 18．[2019·南昌模拟]若函数f(x)＝ln x＋x2－x在区间(0,2)m＋2 (m)内有且仅有一个极值点，则m的取值范围是()1 1A.(∪[4，＋∞)B. ∪[2，＋∞)0，0，4](2]1 1C.(∪(2，＋∞)D. ∪(4，＋∞)0，0，2)(4)答案：B1 1 1解析：f′(x)＝＋x－，由f′(x)＝0 得(x－m) ＝0，m＋x－x(m)(m)1 1 1∴x＝m或x＝.显然m>0.当且仅当0<m<2≤或0< <2≤m时，函m m m1数f(x) 在区间(0,2) 内有且仅有一个极值点．若0<m<2≤，即m 10<m≤，则当x∈(0，m)时，f′(x)>0，当x∈(m,2)时，f′(x)<0，函21 1数f(x)有极大值点x＝m.若0< <2≤m，即m≥2，则当x∈时，0，m(m)1 1 f′(x)>0，当x∈(时，f′(x)<0，函数f(x)有极大值点x＝.综上，，2)m m1m的取值范围是(∪[2，＋∞)．故选B.0，2]二、非选择题9．[2018·江苏卷]若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．答案：－3解析：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(x>0)．①当a≤0 时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上递增，又f(0)＝1，∴f(x)在(0，＋∞)上无零点．Earlybirda②当a>0 时，由f′(x)>0 解得x> ，3a由f′(x)<0 解得0<x< ，3a a∴f(x)在(上递减，在上递增．3)(0，，＋∞)3a a33 )27∴a＝3.此时f(x)＝2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，当x∈[－1,1]时，f(x)在[－1,0]上递增，在[0,1]上递减．又f(1)＝0，f(－1)＝－4，∴f(x)max＋f(x)min＝f(0)＋f(－1)＝1－4＝－3.10．[2019·甘肃诊断]已知f(x)＝(x＋1)3e－x＋1，g(x)＝(x＋1)2＋a，若∃x1 ，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围是__________．27答案：(－∞，解析：∃x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，即为f(x)max≥g(x)min. 又f′(x)＝(x＋1)2e－x＋1(－x＋2)，由f′(x)＝0 得x＝－1 或2，且当x ＜2 时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞2 时，f′(x)＜0，f(x)单调递27 27减，所以f(x)max＝f(2)＝，又g(x)min＝a，则a≤，故实数a的取e e27值范围是(.e ]－∞，11．[2019·辽宁东北育才中学模拟]设函数f(x)＝x3＋(1＋a)x2＋ax 有两个不同的极值点x1，x2，且对不等式f(x1)＋f(x2)≤0 恒成立，则实数a的取值范围是________．1答案：(－∞，－1]∪[，2]2 解析：因为f(x1)＋f(x2)≤0，故x31＋x32＋(1＋a)(x21＋x)＋a(x1＋x2)≤0，2即(x1 ＋x2)[(x1 ＋x2)2 －3x1x2]＋(1＋a)[(x1 ＋x2)2 －2x1x2]＋a(x1 ＋x2)≤0①.由于f′(x)＝3x2＋2(1＋a)x＋a，令f′(x)＝0，得方程3x2＋2(1＋a)x＋a＝0，因为Δ＝4(a2－a＋1)>0，故Error!代入不等式①，并化1简得(1＋a)(2a2－5a＋2)≤0，解不等式得a≤－1 或≤a≤2.因此，当2Earlybird1a≤－1 或≤a≤2 时，不等式f(x1)＋f(x2)≤0 恒成立，故答案为(－∞，21－1]∪[.，2]2x2＋1 x12．设函数f(x)＝，g(x)＝，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x e xg x1f x2不等式≤恒成立，则正数k的取值范围是________．k k＋11答案：[，＋∞)2e－1g x1f x2解析：对任意x1，x2∈(0，＋∞)，不等式≤恒成立等价k k＋1g x1f x2k][k＋1]x2＋1 1∵x>0，∴f(x)＝＝x＋≥2，x x当且仅当x＝1 时取等号，f x2 2∴f(x)min＝f(1)＝2，即[min＝.k＋1]k＋1e x－x e x1－xg′(x)＝＝，e x 2 e x当0<x<1 时，g′(x)>0，当x>1 时，g′(x)<0，∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，1 g x1 1∴g(x)max＝g(1)＝，∴max＝，e [k]ke 1 2 1∴≤，解得k≥.k e k＋1 2e－1刷题课时增分练⑩综合提能力课时练赢高分一、选择题1．若函数f(x)＝2e x ln(x＋a)－2＋x e x存在正的零点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，e)B．(－∞，e)eC．( e，＋∞) D.(，＋∞)2答案：BEarlybird1 x解析：令f(x)＝2e x ln(x＋a)－2＋x e x＝0，可得ln(x＋a)＝－，e x 21 x设g(x)＝ln(x＋a)，h(x)＝－，则由函数f(x)＝2e x ln(x＋a)－2＋x e xe x 2存在正的零点，可得g(0)<h(0)，即ln a<1，解得a<e.2．[2019·河南商丘实验月考]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在x ＝1 处有极值10，则f(2)等于()A．11 或18 B．11C．18 D．17 或18答案：C解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，∴Error!Error!⇒Error!或Error!当Error!时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，∴在x＝1 处不存在极值．当Error!时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，11∴x∈(，f′(x)<0；x∈(1，＋∞)，f′(x)>0，符合题，1)－3意．∴Error!∴f(2)＝8＋16－22＋16＝18，故选C.3．[2019·河南驻马店月考]已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1 既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是() A．(－1,2) B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6) D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)答案：B解析：∵函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1 既存在极大值又存在极小值，且f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6，∴方程3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不同的实数解，∴Δ＝4m2－12(m＋6)>0，解得m<－3 或m>6，∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)．故选B.4．[2019·河北保定月考]函数f(x)＝3＋x ln x的单调递减区间是()1 1A.(B.，e)(e)0，e1 1C.(D.e)(－∞，，＋∞)e答案：BEarlybird1 解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，x1令f′(x) ＝ln x＋1<0 ，得0<x< . 所以函数f(x) 的单调递减区间为e1.故选B.0，(e)5．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式g(x)<g(1) 的解集是()A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1)C．(－1,1) D．(－1,0)∪(0,1)答案：D解析：因为g(x)＝x2f(x)，所以g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)＝x[xf′(x) ＋2f(x)]，由题意知，当x>0 时，xf′(x)＋2f(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，则g(x)也是偶函数，所以g(x)＝g(|x|)，由g(x)<g(1)，得g(|x|)<g(1)，所以Error!则x∈(－1,0)∪(0,1)．故选D.6．[2019·河北内丘月考]设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则f′(x)的图象可能为()答案：C解析：根据题意，f(x)为偶函数，则其导数f′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B，D.又由于函数f(x)在(0,1)上存在极大值，则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C 选项符合题意，故选C.7．[2019·辽宁鞍山一中模拟]已知函数f(x)＝x3－3x－1，在区间[－3,2]上的最大值为M，最小值为N，则M－N＝()A．20B．18 C．3D．0 答案：A解析：对函数求导得f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，所以f(x)在x＝－1 两侧先增后减，f(x)在x＝1 两侧先减后增，分别计算得f(－3)Earlybird＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以M＝1，N＝－19，则M －N＝1－(－19)＝20.故选A.8．设f(x)＝|ln x|，若函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0,4)上有三个零点，则实数a的取值范围是()1 ln2A.(B.e)(，e)0，2ln2 ln2 1C.(D.2 )(e)0，，2答案：D解析：令y1＝f(x)＝|ln x|，y2＝ax，若函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0,4)上有三个零点，则y1＝f(x)＝|ln x|与y2＝ax的图象在区间(0,4)上有三个交点．由图象易知，当a≤0 时，不符合题意；当a>0 时，易知y1 ＝|ln x|与y2＝ax的图象在区间(0,1)上有一个交点，所以只需要y1＝|ln x| 与y2＝ax的图象在区间(1,4)上有两个交点即可，此时|ln x|＝ln x，由ln x ln x ln x1－ln x＝ax，得a＝.令h(x)＝，x∈(1,4)，则h′(x)＝，故函数h(x) x x x2lne 1在(1，e)上单调递增，在(e,4)上单调递减，h(e)＝＝，h(1)＝0，h(4)e eln4 ln2 ln2 1＝＝，所以<a< ，故选D.4 2 2 e二、非选择题9．[2019·山西怀仁一中模拟]已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，且对任意的x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4 的解集为________．答案：(－1，＋∞)解析：令g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)在R上为增函数，且g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0.原不等式可转化为g(x)>g(－1)，解得x>－1，故原不等式的解集为(－1，＋∞)．t 310．[2019·陕西西安东方月考]已知函数f(x)＝x3－x2＋2x＋t在3 2区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t的取值范围是________．9答案：(0，解析：f′(x)＝tx2－3x＋2，由题意可得f′(x)＝0 在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx2－3x＋2＝0 在(0，＋∞)上有两个不等实根，9所以Error!解得0<t< .8Earlybird111．[2018·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．3(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．1解析：(1)当a＝3 时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.3令f′(x)＝0，解得x＝3－2 3或x＝3＋2 3.当x∈(－∞，3－2 3)∪(3＋2 3，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－2 3，3＋2 3)时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，3－2 3)，(3＋2 3，＋∞)单调递增，在(3－2 3，3＋2 3)单调递减．(2)证明：因为x2＋x＋1>0，x3所以f(x)＝0 等价于－3a＝0.x2＋x＋1x3 x2x2＋2x＋3设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0，x2＋x＋1 x2＋x＋1 2仅当x＝0 时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．1 1 1 1又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6 2－<0，f(3a＋1)＝>0，a－3 (6)6 3故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．。

2021届高三数学(理)“大题精练”10

2021届高三数学（理）“大题精练”1017．在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值． 18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC、的中点．（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值．19．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 20．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值；21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型①：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型①的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．①刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．①参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑． 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =，求k 的值. 23．已知函数()121f x ax x =++- （1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值． 2020届高三数学（理）“大题精练”10（答案解析）17．在ABC △中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC △为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值．【解】（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=，由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc+-⋅+=；化简得：222b c bc +=,所以()20b c -=即b c =，故ABC 为等腰三角形．（2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠， 1AD CD ∴==，又cos cos ADB ADC ∠=-∠，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅，即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯，得2229b c +=，由（1）可知b c =，得b =解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥，由已知得31,1,22EC DC ED ===，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，2AE ∴===，b AC ∴==== 解法三：由已知可得113CD a ==，由（1）知，,AB AC B C =∴∠=∠，又2DAC ADB C C C C ∠=∠-∠=∠-∠=∠，CAB CDA ∴∽，即CB CA CA CD =，即31bb =，b ∴=18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，且222,AD AB BC ===90,BAD PAD ∠=︒为等边三角形，平面ABCD ⊥平面PAD ；点E M 、分别为PD PC、的中点．（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值．【解】（1）设PA 的中点为N ，连接,EN BN ，E 为PD 的中点，所以EN 为PAD △的中位线，则可得//EN AD ，且12EN AD =；在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =， //,BC EN BC EN ∴=，所以四边形ENBC 是平行四边形，//CE BN ∴，又BN ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， //CE ∴平面PAB ．法二：设O 为AD 的中点，连接,CO OE ，E 为PD 的中点，所以OE 是ADP △的中位线，所以//OE AP ，又OE ⊄平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，//OE ∴平面PAB ，又在梯形ABCD 中，//BC AD ，且12BC AD =，所以四边形BAOC 是平行四边形，//BC BA ∴，又OC ⊄平面PAB ，AB平面PAB ，//OC ∴平面PAB ，又OE OC O ⋂=，所以平面//OEC 平面PAB ，又CE ⊂平面PAB ，//CE ∴平面PAB ．（2）设AD 的中点为O ，又,PA PD PO AD =∴⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为AD ，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，又由//CO BA ，90BAD ∠=︒，CO AD ∴⊥．即有,,OA OC OP 两两垂直，如图，以点O 为原点，OA 为x 轴，OP 为y 轴，OC 为z 轴建立坐标系．已知点()()()()111,0,0,1,0,1,,1,0,0,0,0,1,22A B M D AB AM ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面ABM 的法向量为：(),,m x y z =．则有0102m AB z m AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，可得平面ABM 的一个法向量为()3,2,0m =，122DM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，可得：(1120cos ,m DM m DM m DM++⨯⋅===⋅，所以直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值为． 19．已知椭圆2222:1x y Ca b +=（0a b >>）的离心率为2，且经过点1,2⎛- ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【解】(1)ca =，22131a4b +=，又222a b c -=，解得2a 4=，2b 1=.所以，椭圆C 的方程为22x y 14+=(2)存在定点Q ⎫⎪⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB恰关于x 轴对称.设直线l 的方程为x my 0+=，与椭圆C 联立，整理得，()224m y10+--=.设()22B x ,y ，11x xy y 12+=，定点()Q t,0.(依题意12t x ,t x )≠≠则由韦达定理可得，12y y+=1221y y 4m -=+. 直线QA 与直线QB恰关于x 轴对称，等价于AQ,BQ 的斜率互为相反数. 所以，1212y y0x t x t+=--，即得()()1221y x t y x t 0-+-=. 又11x my 0+=，22x my 0+=，所以，))1221y my t y my t 0-+-=，整理得，)()1212t y y 2my y 0+-=.从而可得，)21t 2m 04m--⋅=+，即()2m 40=，所以，当t =，即Q ,03⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立. 特别地，当直线l 为x 轴时，Q 3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭也符合题意. 综上所述，存在x 轴上的定点Q 3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称. 20．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值；（3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．【解】（1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为()01f '=，又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-．（2）令1()1f x x'=-，得1x =，当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e ef =--=>，所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->，所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3．（3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m R ∈；当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +>-，令ln ()1x x x g x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--，由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ，此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =- 所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减．所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >．当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +<-，由（2）可知，函数()f x 在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <．综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{}1,2,3．21．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+；模型①：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型①的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．①刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．①参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑．【解】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii i i x x u u b x x==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈ 5.46235c a e e =≈≈∴模型①的回归方程为0.11235x y e =（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()i i i i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <模型①的相关指数21R 小于模型①的22R ，说明回归模型①的拟合效果更好.2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人） 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），已知点(4,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 为PQ 的中点，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（2）已知直线l ：y kx =与曲线2C 交于,A B 两点，若3OA AB =，求k 的值.【解】（1）设()2cos ,2sin P θθ，(),M x y .且点()4,0Q ，由点M 为PQ 的中点，所以2cos 42,22sin ,2x cos y sin θθθθ+⎧==+⎪⎪⎨⎪==⎪⎩整理得()2221x y -+=.即22430x y x +-+=，化为极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=.（2）设直线l ：y kx =的极坐标方程为θα=.设()1,A ρα，()2,B ρα，因为3OA AB =，所以43OA OB =，即1243ρρ=.联立2430,,cos ρρθθα⎧-+=⎨=⎩整理得24cos 30ραρ-⋅+=.则1212124,3,43,cos ρραρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩解得7cos 8α=.所以222115tan 1cos 49k αα==-=，则k =± 23．已知函数()121f x ax x =++-（1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）若02a <<，且对任意x ∈R ，3()2f x a≥恒成立，求a 的最小值．【解】（1）当1a =时，()121f x x x =++-，即()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩，解法一：作函数()121f x x x =++-的图象，它与直线3y =的交点为()()1,3,1,3A B -，所以，()3f x >的解集的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．解法2：原不等式()3f x >等价于133x x <-⎧⎨->⎩ 或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩ 或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，解得：1x <-或无解或1x >，所以，()3f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞．（2）1102,,20,202a a a a <<∴-+-<．则()()()()12,,1112122,,212,2a x x a f x ax x a x x a a x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩所以函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减，在11,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．所以当12x =时，()f x 取得最小值，()min 1122a f x f ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．因为对x R ∀∈，()32f x a ≥恒成立，所以()min 3122a f x a =+≥．又因为0a >，所以2230a a +-≥，解得1a ≥ （3a ≤-不合题意）．所以a 的最小值为1．。

高考数学试题分项解析专题10 圆锥曲线学生理试题

2021年高考试题分项版解析数学〔理科〕专题10 圆锥曲线〔学生版〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题:1.(2021年高考新课标全国卷理科4)设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，那么E 的离心率为〔〕()A 12 ()B 23 ()C 34()D 452.(2021年高考新课标全国卷理科8)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，43AB =；那么C 的实轴长为〔〕()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 83. (2021年高考卷理科8)双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，那么该双曲线的焦点到其渐近线的间隔等于〔〕A ．5B ．24C ．3D ．56.(2021年高考卷理科9)过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，假设3AF =,那么AOB ∆的面积为〔〕()A 22()B 2 ()C 322 ()D 228. (2021年高考卷理科8)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。

假设点M 到该抛物线焦点的间隔为3，那么||OM =〔〕A 、22B 、23C 、4D 、259．(2021年高考全国卷理科3)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，那么该椭圆的方程为〔〕A ．2211612x y +=B ．221168x y +=C ．22184x y +=D ．221124x y +=二、填空题:1. 〔2021年高考卷8〕在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，那么m 的值是．2．(2021年高考卷理科12)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线=4x 的焦点F.且与该撇物线相交于A 、B 两点.其中点A 在x 轴上方。

高三数学小卷专练(三).docx

高三理科数学小卷专练（三）命题人：甘向秀一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 z = a + b\ （a,be R ）的虚部记作 Im （z ） = b,贝ijim （丄1 2 1 A •—B. —C.—3532. 集合M ={x\y = ^\-x 2},N = {y\y = 2x'\xe M},则MC\N=(4. 设a, 〃为正实数，贝ij a a<b ”是“ a--<b--”成立的a bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5. 某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为丄，则该几何体的俯视图可以是（）3£+】（兀）Y ⑴’处N",则go 」兀）= A. sinx + cosxB. sinx-cosx7・三个共面向量abc 两两所成的角相等，H a = \,A. V3B. 6C ・命或 6D. 3 或 68. 如果函数/（x ） = |x| + V^?-V2 （^>0）没有零点，则d 的取值范围为A.（0,1）B.（0,1） U （V2,+oo ）C. （0,l ）U （2,+oo ）D ・（0,©）U （2,+oo ）x+1,-1 < x< 019. 若函数/（x ）= 八龙的图象与兀轴所围成的封闭图形的面积为d,则（兀-一T 的展cosx,0<x< — er2开式屮常数项为（）20一3 D203C4- 9D.A. 0 B • (0,4-oo) D.C. [-,+-)43.已知数列{a n }的通项公式是°”=(-1)"(〃 + 1)，则角+$+03+…+坷0A. -55B. —5C. 5D. 55C. -sinx + cosxD. -sinx-cosxb =2,c =3,贝 1」a + b + c 等于A.B. C. D.6・已知£(兀)=sinx+cosx, f n+i (x)是九⑴的导函数,即£ W(x)，£(兀)=£"(兀)，…,10.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B曼德尔布罗特(Benoit B.Mandelbrot)在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第10行的空心圆点的个数是11.12.13.A.为14.给出以下三个命题：已知P(m,4)是椭圆4-+ TT =1(6/>/?>0)±的一点，片、鬥是左、右两个焦点，若V存场的(A)(B)CT b1内切圆的半径为色，则此椭圆的离心率e = ~；2 5过椭圆4 + 4 = 1(«>^>0)上的任意一动点M,引圆0：扌+),2"2的两条切线MA、MB,cr切点分别为A、B,若ZBMA冷,则椭圆的离心率£的取值范围为已知百(一2,0)、F,(2,0), P是直线x = -l± 一动点，则以片、代为焦点且过点P的双曲线的离心率丘的取值范围是［2,+oo)0其中真命题的代号是________ (写出所有真命题的代号)。