磁场中的临界和极值问题
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(2)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)
θ A vvv213θθθ（（（
v2＞v1
一束完全相同的粒子，以方向相同、大小 不同的初速
度从边界某点进入匀强磁场时，所有粒子运动轨迹的圆心 都在与 入射速度垂直的同一条 直线上。速度增大，轨迹 半径增大。所有粒子的轨迹均通过 入射 点，且组成一组 动态的 内切 圆。（填写圆的位置关系）
我们将这一组圆叫做 “放缩圆”。
例1.若磁感应强度为B的匀强磁场仅存在于第一象限，一
带负电的粒子（质量为m,带电荷量为q）从距原点O为d的
A点与Y轴正方向夹角为θ射入。若粒子射入的方向不变，
要使粒子不能从x轴射出，则粒子的速度不能超过多少？
（重力y不计）
y
( (
θv
A
θv
A
θ
r rO1
O
xO
x
由 r r sin d
粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开 磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度的大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
解：（1）设粒子的发射速度为，粒子做圆周运动的轨道半径为R，
由牛顿第二定律和洛仑兹力公式，得 qvB m v2
①
R
由①式得
R mv
On
x2 + (y－r)2=r2。
即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然，
磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何
关系得
Smin
2(1 r2
4
1 2
r2)
(
2
1)( mv0 eB
)2
解2: 磁场上边界如图线1所示。
y
设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴
②
qB
当 a / 2 R a 时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，
圆弧与磁场的上边界相切，如图所示。设该粒子在磁场运动的时间为t，
依题意 t T / 4 ，得 OCA
③
2
设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为，由几何关系可得
R sin R a
④
2
Rsin a R cos a
y
v0
O
x
解1: 电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速
y
圆周运动
ev0
B
m
v02 r
r= mv0 eB
所有电子的轨迹圆半径相等，且均过 v0
O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆 O 心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分 之一圆周上，如图所示。
O1
x
O2
O3
由图可知，a、b、c、d 等点就是各电
O5O4
子离开磁场的出射点，均应满足方程
⑤
sin2 a cos2 a 1
⑥
由④⑤⑥式得 由②⑦式得
R (2 6 )a 2
v (2 6 ) aqB 2m
（2） 由④⑦式得
sin a 6 6 10
⑦ ⑧
⑨
在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从 坐标原点O不断以相同速率V0沿不同方向射入第一 象限，如图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁 感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁 场都能平行于x轴且沿x轴正向运动，试问符合该条 件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相 互作用）
2、转动圆 速度 大小不变，速度方向 发生变化，圆的大小 不 变，绕 射入点转动。
如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于 纸面向里，PQ
为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。
现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不
同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带
电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。
4
1 2
r2)
(
2
1)( mv0 eB
)2
磁聚焦概括： 迁移与逆向、对称的物理思想！
一点发散成平行
R r
R r
平行会聚于一点
区域半径 R 与运动半径 r 相等 出射方向和入射点的位置有关
课堂总结
动态圆的两种模型: 1、放缩圆 速度方向 不变，速度大小 发生变化，轨迹半径不同，圆 心始终在与速度方向垂直的同一直线上。所有圆内切。
带电粒子在有界匀强磁场中 运动的临界和极值问题
1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式
r mv qB
2.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式
T 2 m
qBபைடு நூலகம்
3.求带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时间的公式
t T m 2 qB
带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
（2010全国新课标1卷，25）如图所示，在0≤x≤a、 o≤y≤a/2范围内有垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁 感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在 某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子， 它们的速度大小相同，速度方向均在xoy平面内，与y
轴正方向的夹角分布在0～900 范围内。己知粒子在磁
夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = r－rcos ，
1
v0 Oθ
P (x,y)
r
x
得: x2 + (y－r)2 = r2。
r
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的
圆弧应是磁场区域的下边界。
两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
Smin
2(1 r2
分析：从O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周运动的
qvB m v2 r
得 v qBd
m(1 sin )
y
o
x
y
x o
一束带电的粒子以初速度v进入匀强磁场，若初速度 大小 相 同，方向 不同，则所有粒子运动的轨道半径 相同 ，但不同粒子的圆
心位置不同。其共同规律是：
所有粒子的圆心都在 以射入点为圆心、半径等于入射 粒子轨迹半径 的圆上。 我们将这样的一组圆称为“转动圆”。
场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子
到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中
做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子 从粒子源射出时的(1)速度的大小；(2)速度方向与y轴 正方向夹角的正弦值。
（2010全国新课标1卷，25）如图所示，在0≤x≤a、o≤y≤a/2范围内有垂直于xoy平面向外的匀 强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电 荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xoy平面内，与y轴正方向的夹角 分布在0～900 范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到
θ A vvv213θθθ（（（
v2＞v1
一束完全相同的粒子，以方向相同、大小 不同的初速
度从边界某点进入匀强磁场时，所有粒子运动轨迹的圆心 都在与 入射速度垂直的同一条 直线上。速度增大，轨迹 半径增大。所有粒子的轨迹均通过 入射 点，且组成一组 动态的 内切 圆。（填写圆的位置关系）
我们将这一组圆叫做 “放缩圆”。
例1.若磁感应强度为B的匀强磁场仅存在于第一象限，一
带负电的粒子（质量为m,带电荷量为q）从距原点O为d的
A点与Y轴正方向夹角为θ射入。若粒子射入的方向不变，
要使粒子不能从x轴射出，则粒子的速度不能超过多少？
（重力y不计）
y
( (
θv
A
θv
A
θ
r rO1
O
xO
x
由 r r sin d
粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开 磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度的大小；(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。
解：（1）设粒子的发射速度为，粒子做圆周运动的轨道半径为R，
由牛顿第二定律和洛仑兹力公式，得 qvB m v2
①
R
由①式得
R mv
On
x2 + (y－r)2=r2。
即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆弧abO上，显然，
磁场分布的最小面积应是实线1和圆弧abO所围的面积，由几何
关系得
Smin
2(1 r2
4
1 2
r2)
(
2
1)( mv0 eB
)2
解2: 磁场上边界如图线1所示。
y
设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴
②
qB
当 a / 2 R a 时，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，
圆弧与磁场的上边界相切，如图所示。设该粒子在磁场运动的时间为t，
依题意 t T / 4 ，得 OCA
③
2
设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为，由几何关系可得
R sin R a
④
2
Rsin a R cos a
y
v0
O
x
解1: 电子由O点射入第Ⅰ象限做匀速
y
圆周运动
ev0
B
m
v02 r
r= mv0 eB
所有电子的轨迹圆半径相等，且均过 v0
O点。这些轨迹圆的圆心都在以O为圆 O 心，半径为r的且位于第Ⅳ象限的四分 之一圆周上，如图所示。
O1
x
O2
O3
由图可知，a、b、c、d 等点就是各电
O5O4
子离开磁场的出射点，均应满足方程
⑤
sin2 a cos2 a 1
⑥
由④⑤⑥式得 由②⑦式得
R (2 6 )a 2
v (2 6 ) aqB 2m
（2） 由④⑦式得
sin a 6 6 10
⑦ ⑧
⑨
在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从 坐标原点O不断以相同速率V0沿不同方向射入第一 象限，如图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁 感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁 场都能平行于x轴且沿x轴正向运动，试问符合该条 件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相 互作用）
2、转动圆 速度 大小不变，速度方向 发生变化，圆的大小 不 变，绕 射入点转动。
如图，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于 纸面向里，PQ
为该磁场的右边界线，磁场中有一点O到PQ的距离为r。
现从点O以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不
同的方向射出，它们均做半径为r的匀速圆周运动，求带
电粒子打在边界PQ上的范围（粒子的重力不计）。
4
1 2
r2)
(
2
1)( mv0 eB
)2
磁聚焦概括： 迁移与逆向、对称的物理思想！
一点发散成平行
R r
R r
平行会聚于一点
区域半径 R 与运动半径 r 相等 出射方向和入射点的位置有关
课堂总结
动态圆的两种模型: 1、放缩圆 速度方向 不变，速度大小 发生变化，轨迹半径不同，圆 心始终在与速度方向垂直的同一直线上。所有圆内切。
带电粒子在有界匀强磁场中 运动的临界和极值问题
1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径公式
r mv qB
2.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式
T 2 m
qBபைடு நூலகம்
3.求带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时间的公式
t T m 2 qB
带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
（2010全国新课标1卷，25）如图所示，在0≤x≤a、 o≤y≤a/2范围内有垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁 感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在 某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子， 它们的速度大小相同，速度方向均在xoy平面内，与y
轴正方向的夹角分布在0～900 范围内。己知粒子在磁
夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = r－rcos ，
1
v0 Oθ
P (x,y)
r
x
得: x2 + (y－r)2 = r2。
r
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的
圆弧应是磁场区域的下边界。
两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
Smin
2(1 r2
分析：从O点向各个方向发射的粒子在磁场中做匀速圆周运动的
qvB m v2 r
得 v qBd
m(1 sin )
y
o
x
y
x o
一束带电的粒子以初速度v进入匀强磁场，若初速度 大小 相 同，方向 不同，则所有粒子运动的轨道半径 相同 ，但不同粒子的圆
心位置不同。其共同规律是：
所有粒子的圆心都在 以射入点为圆心、半径等于入射 粒子轨迹半径 的圆上。 我们将这样的一组圆称为“转动圆”。
场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子
到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中
做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子 从粒子源射出时的(1)速度的大小；(2)速度方向与y轴 正方向夹角的正弦值。
（2010全国新课标1卷，25）如图所示，在0≤x≤a、o≤y≤a/2范围内有垂直于xoy平面向外的匀 强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电 荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xoy平面内，与y轴正方向的夹角 分布在0～900 范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到