医用高等数学课件：5 不定积分 练习题
(完整版)高等数学不定积分综合测试题
第四章测试题A 卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、函数2x 为 的一个原函数.2、已知一阶导数 (())f x dx '=⎰，则(1)f '= 3、若()arctan xf x dx x C =+⎰，则1()dx f x ⎰= 4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''⎰=5、不定积分cos cos ()x xd e ⎰= 二、选择题（每小题4分，共20分）1、已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ](A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x +2、已知 ()sin x x e f x dx e x C =+⎰，则()f x dx ⎰= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C +(C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++3、若函数ln x x为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰= [ ] (A) 1ln x C x -+ (B) 1ln x C x++ (C) 12ln x C x -+ (D) 12ln x C x++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数 ()f x = [ ](A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ](A) 1x (B) 21x- (C) ln x (D) ln x x 三、解答题1、（7分）计算 22(1)dxx x +⎰.2、（7分）计算 1x dxe +⎰.3、（7分）计算 321x dx x +⎰.4、（7分）计算 254dxx x ++⎰.5、（8分）计算.6、（7分）计算 23x x e dx ⎰.7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x xx '=+<< ，求()f x .8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =⎰.第四章测试题B 卷一、填空题（20分）1、不定积分d =⎰ .2、已知()(),f x dx F x C =+⎰则()()F x f x dx =⎰ . 3、若21(ln ),2f x dx x C =+⎰则()f x dx =⎰ .4、1)dx +=⎰ .5、2ln x dx =⎰. 二、选择题（25分）1、若2(),f x dx x C =+⎰则2(1)xf x dx -=⎰ [ ](A) 222(1)x C --+ (B) 222(1)x C -+(C) 221(1)2x C --+ (D) 221(1)2x C -+ 2、设()2,x f x dx x C =++⎰则()f x '= [ ](A) 2ln 22x x C ++ (B) 2ln 21x + (C) 22ln 2x (D) 22ln 21x + 3、11dx x =-⎰ [ ]（A ）ln 1x C -+ （B ） ln(1)x C -+（C ）ln (1)x C -++ （D ）ln 1x C --+4、存在常数A 、B 、C ，使得21(1)(2)dx x x =++⎰ [ ]（A ）2()12A B dx x x +++⎰ （B ） 2()12Ax Bx dx x x +++⎰（C ）2()12A Bx C dx x x ++++⎰ （D ）2()12Ax B dx x x +++⎰ 5、若x e 在(,)-∞+∞上的不定积分是()F x C +,则 [ ](A) ,0(),0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-+<⎩ (B) ,0()2,0x x e C x F x e C x -⎧+≥=⎨-++<⎩ (C) ,0()2,0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-+<⎩ (D) ,0(),0x x e x F x e x -⎧≥=⎨-<⎩ 三、计算题（48分）1、（7分）求积分2arccos x. 2、（7分）求⎰. 3、（7分）2(1)dx x x +⎰. 4、（01，数二，8分）求.5、（8分）求积分1sin cos dx x x++⎰. 6、（06，数二，11分）求arcsin x x e dx e ⎰. 四、（7分）计算2ln sin sin x dx x ⎰第四章测试题A 卷答案一、填空题1、2ln 2x 2 3、241124x x C ++ 4、()()xf x f x C '-+ 5、cos (cos 1)x e x C -+二、选择题1、D2、C3、C4、A5、B三、解答题1、1arctan x C x --+2、ln(1)x x e C -++3、2211ln(1)22x x C -++4、11ln 34x C x +++ 5、C 6、2221()2x x x e e C -+ 7、21()ln(1)2f x x x C =---+ 8、22(sin cos )ax e b bx a bx C a b +++第四章测试题B 卷答案一、填空题1、sin C2、2()2F x C + 3、x e C + 4、335222353x x x x C +--+ 5、2ln 2x x x C -+ 二、选择题1、C2、C3、D4、C5、C三、计算题1、2arccos 1102ln10xC -+ 2、1)C +3、221ln .21x C x ++ 4、C =+ 5、ln 1tan 2x C =++ 6、解: arcsin x x e dx e⎰arcsin arcsin xx x x x x e de e e e ---=-=-+⎰⎰arcsin xx x e e --=-+arcsin xx x e e --=-- sec x t e -=令sec tan arcsin tan x x t tdt e e t -=--⎰arcsin sec x x e e tdt -=--⎰ arcsin ln sec tan x x e e t t C -=--++arcsin ln x x x e e e C --=--+ 四、2ln sin sin x dx x ⎰cot lnsin cot x x x x C =-⋅--+.。
第五章不定积分习题课
(15) cot xdx lnsin x C
(22)
(16) sec xdx ln(sec x tan x) C
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
x x
a a
C
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17)
csc xdx ln(csc x cot x) C (23)
第五章 不定积分
第15页
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
sin
x
1
2u u2
x 2arctan u
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du
R(sin
第五章 不定积分
第1页
第五章 不定积分 习题课
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第五章 不定积分
第2页
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
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第五章 不定积分
第3页
1、原函数
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第五章 不定积分
《不定积分习题》课件
详细描述
不定积分具有一系列重要的性质，包括线性性质、可加性、可乘性等。线性性质是指∫[af(x) + bf'(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫f'(x)dx；可加性是指∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx；可乘性是指∫f(x) * g(x)dx = ∫f(x)dx * ∫g(x)dx。这些性质在解决不定积分问题时非常有用。
PART THREE
不定积分的基本公式与法则
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
积分公式表
包括基本积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等，这些公式是解决不定积分问题的基础。
常用积分公式
如贝塞尔函数、勒让德函数等，这些特殊函数在解决某些不定积分问题时非常有用。
特殊函数积分公式
不定积分的计算方法
总结词：不定积分的计算方法包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等。 详细描述：不定积分的计算方法有多种，其中最常用的是直接积分法、换元积分法和分部积分法。直接积分法是将不定积分转化为求导的逆运算，即利用微分公式和基本初等函数的导数公式来计算不定积分。换元积分法是通过引入新的变量来简化不定积分，即通过换元将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。分部积分法是将不定积分转化为乘积的形式，即通过分部相乘来计算不定积分。这些方法在解决实际问题中非常有用，可以帮助我们更好地理解和应用不定积分的概念和性质。
通过递推关系式，可以方便地求出一些复杂函数的积分。
递推积分公式
包括乘的积分问题化简为简单的积分问题。
线性积分法则
幂函数的积分可以通过分部积分法进行求解，幂函数的不定积分可以通过幂函数的原函数进行求解。
高等数学(第三版)课件：不定积分的积分方法
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中,关 键是换元,若在被积函数中作变量代换 j(x) = u,还需要在
被积表达式中再凑出 j '(x)dx 即 dj(x),也就是 du ,这样才能
以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
f j(x)dj(x) f (u) du Fj(x) C
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第 一换元积分法也称为“凑微分”法.
式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将 t j1(x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理2 设 x j(t) 是单调可导的函数，且
j(t) 0. 如果 f j(t)j(t) dt F(t) C,
则有
f (x) d x f j(t)j(t) d t F(t) C
3
1
2x
dx
1 u
1 2
du
=
1 2
1 du u
12 u C 2
3 2x C.
例4 求 x x2 4 dx.
解 令u x2 4，则du 2xdx，则
x
x2
4dx
1 2
udu
12 3
= 2 3u2 C
1 3
(
x2
3
4)2
C.
例5
求
(lnx)2
dx x
解 1 dx d(ln x)， x
= sect dt
= ln | sect tant | C.
x
x2 a2
t
a
根据sec t x ,利用图所示三角形，易得 a
对边 tan t 邻边
x2 a2 ， a
高等数学第四章不定积分测试题(附答案)
高等数学第四章不定积分测试题（附答案）一. 选择题（每小题3分，共30分）1. 2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中（ ）是()f x 的原函数。
A 21x -B 21x +C 22x x -D 22x x +2. 如果ln xx 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '⎰=（ ） A 1ln xC x -+ B 1ln x C x ++ C 12ln x C x -+D 12ln xC x ++3. 已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数()f x =（）A 1B -1C 0D x4. 若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '=（ ）A 1x B 21x - C ln x D ln x x5. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（ ）A 1+x sin ；B x sin 1-；C 1+x cos ；D x cos 1-．6. 设F )(x 是)(x f 的一个原函数，则下列各式正确的是（其中常数0>a ）（ ）A ．⎰+=c ax F a dx ax f x )(ln 1)(ln 1B ．⎰+=c ax aF dx ax f x )(ln )(ln 1C ．⎰+=c ax F x dx ax f x )(ln 1)(ln 1D ．⎰+=c ax F dx ax f x )(ln )(ln 17.()xf x dx ''=⎰ ( )A.()()xf x f x dx '-⎰B. ()()xf x f x C ''-+C.()()xf x f x C '-+D. ()()f x xf x C '-+8.下列式子中正确的是（ ）A ．()()x F x dF =⎰B ．()()C x F x dF d +=⎰C ．()()dx x f dx x f dx d=⎰ D ．()()dx x f dx x f d =⎰9.若()()x G x F '='，k 为任意常数，则（ ）A ．()()k x F x G =+B ．()()k x F x G =-C ．()()0=-x F x GD ．()()()()'='⎰⎰dx x G dx x F10.若()x f '为连续函数，则()⎰='dx x f 2( )A ．()C x f +2B ．()C x f + C ．()C x f +221 D ．()C x f +22 二. 填空题（每小题4分，共20分）11．ln ()x df x dx x=，则()_______f x =． 12．2[()]2()cos d f x f x xdx =，且(0)1f =，则()______f x =____． 13. 2()____________1()f x dx f x '=+⎰． 14. =⎰dx x x x ___________________． 15. d dx x =⎪⎭⎫⎝⎛+211___________________．三. 计算题16．（5分） 22(1)dxx x +⎰．17．（5分） 1x dx e +⎰．18．（5分） 321x dx x +⎰．19．（5分）dx x x ⎰arctan ．20．（5分）．21．（5分） 23x x e dx ⎰．22．（10分） cos ax I e bxdx =⎰． 23．（10分）若ln(1)(ln )x f x x+=，求()f x dx ⎰．高等数学第四章不定积分测试题答案一. 选择题 1—5 DCABB 6—10 DCDBC二. 填空题11． 2ln 1()ln 2x f x dx x C x ==+⎰. 12． ()sin 1f x x =+ 13. 22()()arctan ()1()1()f x df x dx f x C f x f x '==+++⎰⎰. 14. C x +815158. 15. C x x +-1. 二. 计算题16．（5分）计算 22(1)dx x x +⎰.【解析】原式=22111()arctan 1dx x C x x x-=--++⎰. 17．（5分）计算 1x dx e +⎰. 【解析】原式=(1)ln(1)1xx x e dx x e C e-=-+++⎰. 18．（5分）计算 321x dx x +⎰. 【解析】原式=22211()ln(1)122x x dx x x C x -=-+++⎰. 19．（5分）计算dx x x ⎰arctan .【解析】原式=dx x x x dx x x x x dx x ⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22222211121arctan 211arctan 21arctan 21 ()C x x x x +-+=arctan arctan 212. 20．（5分）计算.【解析】设t =原式=5253261166(arctan )1t t dt dt t t C C t t t +-==-+=++⎰⎰. 21．（5分）计算23x x e dx ⎰. 【解析】原式=22222222111()()222x x x x x e dx x d e x e e C ==-+⎰⎰. 22．（10分）计算 cos ax I e bxdx =⎰. 【解析】 222221cos sin 1(sin sin )1sin cos 1sin (cos cos )1sin cos ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax I e bxdx e d bx b e bx a e bxdx ba e bx e d bxb b a e bx e bx a e bxdx b ba a e bx e bx Ib b b===-=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(sin cos )axe I b bx a bx C a b=+++ 23．（10分）设ln(1)(ln )x f x x+=，求()f x dx ⎰. 【解析】由ln(1)(ln )x f x x +=得ln(1)()x x e f x e+=， 所以ln(1)()ln(1)x x x x e f x dx dx e de e-+==-+⎰⎰⎰ ln(1)1x x x e dx e e +=-++⎰ln(1)1x x x x e e dx e e --+=-++⎰ ln(1)(1)1x x x x e d e e e --++=--+⎰ ln(1)ln(1)x x x e e C e-+=--++ ln(1)ln(1)x x x e e x C e+=--+++．。
《高等数学》第五章不定积分练习题
第五章不定积分班级专业：姓名：学号：第一节不定积分的概念第二节不定积分的性质第三节基本积分公式一、判断1.一个已知函数的原函数有无穷多个.（）2.如果()F x ，()G x 都是()f x 的原函数，则()()F x G x C -=.（）3.()()d f x x f x '⎡⎤=⎣⎦⎰（）4.()()d f x dx f x dx =⎰（）5.()()F x dx F x C '=+⎰（）6.()()d F x F x C =+⎰（）二、选择1.若()22x f x dx x e C =+⎰，则()f x =()22xA xe ()24xB xe ()222xC x e ()22(1)x D xe x +2.已知2y x '=，且1x =时2y =，则y =()2A x ()2B xC +()21C x +()22D x +3.sin darc =⎰()arcsin A ()arcsin B C ()C ()D C+4.若2ln cos 23x 是()tan f x k x =的一个原函数，则k =()23A ()23B -()43C ()43D -5.设()f x 的导数为sin x ，则下列选项中是()f x 的原函数的是()1sin A x +()1sin B x -()1cos C x+()1cos D x-6.下列函数中有一个不是()1f x x=的原函数，它是()()ln ||A F x x =()()ln ||B F x Cx =(C 是不为零且不为1的常数)()()ln ||C F x C x =(C 是不为零且不为1的常数)()()ln ||D F x x C=+(C 是不为零的常数)7.设()f x '存在，则()df x '=⎡⎤⎣⎦()()A f x ()()B f x '()()C f x C +()()D f x C'+三、求不定积分1.421x dx x +⎰2.221x dxx +⎰3.211t t e dte --⎰第四节换元积分法（第一换元积分法）1.21x dx x +⎰ 2.2(ln )x dx x⎰3.12xe dx x⎰4.⎰5.⎰6.2⎰7.2213x dx x x --+⎰8.ln dt t t⎰9.1xxe dx e +⎰10.211x dxx -+⎰11.sin3xdx⎰12.2cos 3xdx⎰13.2sin 3xdx⎰14.sin cos xe xdx⎰15.cos x xe e dx ⎰16.3sin xdx⎰17.dx⎰18.2ln x x dxx+⎰19.22(arctan )1x dx x+⎰20.xdx⎰第二换元积分法1.⎰2.⎰3.4.dx⎰5.⎰第五节分部积分法1.x xe dx ⎰ 2.sin x xdx⎰3.arctan xdx⎰ 4.2ln(1)x dx +⎰5.cos x xdx⎰ 6.arctan x xdx⎰第六节综合杂例22156x dxx x --+⎰。
《新编高等数学》课件5高等数学-第五章 不定积分
（12） a xdx a x C
ln a
（13） e xdx e x C
12
第一节 不定积分的概念和性质 三、基本积分表
以上所列基本积分公式是求不定积分的基础，必须熟记。
例5-2 求
1 x2
dx
解
1 x2
dx
x2dx
1 x21 C 2 1
x2
dx
x
3
3 x
1 x2
dx
xdx
3
dx
3dx x
1 x2
dx
1 x2 3x 3ln | x | 1 C
2
x
18ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第一节 不定积分的概念和性质
x2
例5-10 求 1 x2 dx
四、不定积分的性质
解
x2 1 x2
dx
x2 1
1 x2
1
dx
1
1 1 x2
dx
x arctan x C
19
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
例5-11 求
1
dx
sin2 x cos2 x
解
1
dx sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
1 cos2
x
1 sin 2
x
dx
tan x cot x C
20
第二节 第一类换元积分法
解 (3ex sin x 2)dx 3 exdx sin xdx 2 dx
3ex cos x 2x C
15
第一节 不定积分的概念和性质 四、不定积分的性质
（整理）不定积分习题库.
（整理）不定积分习题库.第五章不定积分复习资料练习题学生学习档案要求：仔细，认真！一选择题:1. 若22()x f x dx x e c =+?,则()f x =( ).(a) 22x xe , (b) 222x x e , (c) 2xxe , (d) 22(1)xxe x +.2. 如果()F x 是()f x 的一个原函数,c 为不等于0且不等于1的其他任意常数,那么( )也必是()f x 的原函数。
(a) ()cF x , (b) ()F cx , (c) x F c ??, (d) ()c F x +. 3. 下列哪一个不是sin 2x 的原函数( ).(a) c x +-2cos 21, (b) c x +2sin , (c) c x +-2cos , (d) c x +2sin 21.4.2xxe dx -=?( ).(a) xe c -+, (b)212x e c -+, (c)212x e c --+, (d)2x e c --+. 5．设()2f x x =，则()f x 的一个原函数是（） (a) 3x , (b) 21x -, (c) 212x c +, (d) 2x c +. 6．设()xf x e '=，则()f x 为（） (a) 12xe , (b) 2x e , (c) x e c +, (d) 21x e -. 7.cos xdx =?( )(a) cos x , (b) sin x , (c) sin x c +, (d) cos x c +. 8.2x e dx ?=( )(a) 2xe c +, (b)212x e c +, (c) 2x e , (d) 212x e .9.12dx x =?( )(a) ln |2|x c +, (b) 1ln |2|2x c +, (c) 1ln |2|2x , (d) ln |2|x .10. 设2()x f x dx e c =+?，则 ()f x =（）(a) 22xe , (b) 2xe , (c) 212xe , (d) 2x e c +. 11.3x dx =?( )(a) 3x c +, (b) 44x , (c) 414x c +, (d) 313x . 12.221(2)dx x =+?( )(a) arctan 2x c +, (b) arctan 2x , (c) arcsin 2x , (d) arcsin 2x c +. 13.3x dx =?( )(a) 3ln 3xc +, (b)3ln 3xc +, (c) 3x c +, (d) 3x . 14. 设2()f x dx x c =+?，则()f x =（）(a) 2x , (b) 2x , (c) 2x c +, (d) 2x c +. 15 . 22sec 2xdx =?( )(a)tan 2x c +, (b) tan 2x , (c) tan x , (d) tan x c +.答案: 1.d 2.d. 3.d. 4.c. 5.b. 6.c 7.c. 8.b. 9.b. 10.a. 11.c.12. a. 13.b.14.b. 15.a.二填空题:1. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+?,则()f x = . 2. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .3. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .4. (103sin x x dx +=? .5.222()ax dx +=? .6.3(1x x dx -+-=? .7.2tan xdx =? . 8. (1)n x dx +=?. 9.cos(34)x dx +=? .10.=?.11. x e dx -=? .12.1sin2xdx ?= . 13.(2)x x dx -=? .14.2= .15. 12dx x =-? .答案:32132242352124102211:.2: 1.3:.4:3cos .5:.31ln1033511(1)16:3.7:tan .8:.9:sin(34).10:.2413x n xy x x x x x c a x a x x c x x x x x x c x x c c x c c n +=++-+++++-+-+-+-+++++11:xe c -+. 12:12cos2x c -+. 13: 3213x x c -+. 14: arcsin 2x c +. 15: ln |2|x c -+. 三应用题:1. 已知某产品产量的变化率是时间t 的函数()f t at b =-(,a b 是常数),设此产品t 时的产量函数为()P t ,已知(0)0P =,求()P t2. 已知动点在时刻t 的速度为21v t =-,且0t =时4s =,求此动点的运动方程.3. 已知质点在某时刻t 的加速度为22t +,且当0t =时,速度1v =、距离0s =,求此质点的运动方程.4. 设某产品的需求量Q 是价格P 的函数,该商品的最大需求量为1000(即0P =时1000Q =),已知需求量的变化率(边际需求)为1()1000ln 44PQ P ??'=-? ???,求需求量Q 与价格P 的函数关系.5. 设生产某产品x 单位的总成本C 是x 的函数()C x ,固定成本(即(0)C )为20元,边际成本函数为()210C x x '=+(元/单位),求总成本函数.6. 设某工厂生产某产品的总成本y 的变化率是产量x 的函数9y '=+,已知固定成本为100元,求总成本与产量的函数关系.7. 设某工厂生产某产品的边际成本()C x '与产量x 的函数关系为()7C x'=已知固定成本为1000,求成本与产量的函数.8. 已知生产某商品x 单位时,边际收益函数为()10020xR x '=-(元/单位),求生产x 单位时总收益()R x 以及平均单位收益()R x ,并求生产这种产品1000单位时的总收益和平均单位收益.9. 已知生产某商品x 单位时,边际收益函数为()300100xR x '=-,求生产这种产品3000单位时的总收益和平均单位收益.10. 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．答案:1:由题意得:21()()2p t at b dt at bt c =-=-+?.又(0)0p =,代入得0.c = 故21()2p t at bt =-. 2: 由题意得:2(21)S t dt t t c =-=-+?, 又 0t =时4s =,代入得4c =,故24s t t =-+.3: 由题意得:231(2)23v t dt t t c =+=++?,又当0t =时,速度1v =,代入得1c =,故31213v t t =++,从而有34211(21)312s vdt t t dt t t t c ==++=+++??,又0t =时0s =,故0c =.得42112s t t t =++.4: 由题意得:Q =11()1000ln 4100044P PQ P dp dp c'=-?=?+ ? ?????.又0P =时1000Q =,故11000()4p Q =.5: 由题意得:2()(210)10C x x dx x x c =+=++?.又固定成本(即(0)C )为20元,代入得20c =.故2()1020.C x x x =++6:23(9930y dx x x c =+=++?,又已知固定成本为100元,即(0)100y =,代入得100c =,故2 3930100y x x =++.7:()(77C x dx x c==+?,又已知固定成本为1000元,即(0)1000C =,代入得1000c =,故()71000C x x =+.8:2()(100)1002040x x R x dx x c =-=-+?,又(0)0R =,故0c =,得2 ()10040x R x x =-,()()10040R x x R x x ==-. 21000(1000)10010002500040R =?-=(元).(1000)1000(1000)10075100040R R ==-=(元).9:2()(300)300100200x x R x dx x c =-=-+?,又(0)0R =,故0c =,得2()300200x R x x =-,23000(3000)3003000200R =?-.()300200 R x xx =-.10: 设所求的曲线方程为y =f (x )，按题设，曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为 d d yx＝２x ，即f (x )是2x 的一个原函数．因为 2x ?d x =2x ＋C ，故必有某个常数C 使f (x )= 2x ＋C ，即曲线方程为y =2x ＋C ．因所求曲线通过点(1，2)，故 2=1+C , C =1．于是所求曲线方程为 y =2x ＋１．四计算题：1 313()x x x+?d x 2 421x x +?d x3、2tan x ? d x 4 2sin2xd x525)x -d x 6 2x 7 3e x x ?d x 8 2cos2x ?d x 9 2cos 2x ?d x 10 1 d 25x x +?11 x ?x 12 3sin ?x d x13d x 14 5e d t t ?15 3(32)x -?d x 16d 12x x -?17t 19 102tan sec x xdx ? 20 2 x xedx -?21de e x xx-+? 22 x 23 343d 1x x x -? 24 3sin d cos x x x ?25 ln d x x ? 26 cos d x x x ?27 arctan d x x x ? 28 e d xx x ?29 sin d x x x ? 30 e d xx x -?解答：1、原式=x ?d x +1xd x -12x ?d x +33x -?d x=22x ＋ln x -2332x -232x -+C ． 2、原式=42111x x -++? d x =221(1)1x x -++? d x =313x －x +arctan x +C ． 3、原式=2(sec 1)x -?d x =2sec x ?d x -dx ?=tan x -x +C ．4、原式=12?（１-cos x )d x =12∫(1-cos x )d x =12(x -sin x )+C ． 5、原式=57122232210(5)73x x dx x x C -=-+?。
不定积分100题
不定积分100题（附答案）容易题1—60，中等题61—105，难题106—122. 1．设⎰-=1tan cos 2x x dxI ， 则=I ( ). (C).;)1(tan 221C x +-2．设⎰-=12x xdx I ，则=I （ ）。
(D).C x+-1arcsin. 3．设⎰=x dxI sin ,则=I ( ). (B).C x c x +-tan csc ln4．设⎰=axdx I 2 ,则=I （ ）。
(A).C ax+2; 5．设⎰++=dx e e I xx 113,则=I ( ). (B).C x e e x x ++-2216．设⎰=xdx I tan ,则( ). (D).C x +-sin ln . 7．设⎰=xdx I ln 则（ ）。
(D).C x x x I +-=ln 8．设⎰=xdx I arctan , 则=I ( ). (B).C x x x ++-1ln arctan 29．设 ⎰=xdx x I cos sin ，则( ). (A).C x I +-=2cos 4110．设⎰+=21x dx I ， 则=I ( ). (B)C x x +++21ln11．设211)(xx f -=，则的一个原函数=)(x F （ ）。
(A).x x -+11ln 21 12．设)(x f 为可导函数，则（ ）。
(C).⎰=')())((x f dx x f13．设⎰=xdx I arcsin ，则( ). (C).C x x x +-+21arcsin14．=+⎰x x dx sin 2)2sin(( ) （B ）c x x ++|2tan |ln 412tan 812 15．=-⎰)4(x x dx ( ) （C ）c x+2arcsin2 16．=-⎰dx x x 21ln ( ) （B ）c xx+-ln17．设x xsin 为)(x f 的一个原函数，且0≠a ，则⎰dx a ax f )(=( ) （A ）xa ax 3sin19．欲使⎰⎰=dx x f dx x f )()(λλ，对常数λ有何限制？( ) 0≠λ。
第五章不定积分习题课
x2
1
a
2dx
1 2a
ln
x x
a a
C
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
1
x
(17)
csc xdx ln(csc x cot x) C (23)
dx arcsin C
a2 x2
a
(24)
1 dx
x2 a2
ln( x x 2 a 2 ) C
嘉兴学院
2020年6月5日星期五
x1
3
1
t3
C
3 3
x 1 C.
2
2 x1
嘉兴学院
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第五章 不定积分
第26页
例9
求
x 1
sin cos
x x
dx.
xx
x 2 sin cos
解 原式
2 2dx 2 cos2 x
2
x 2 cos2
xdx
tan
xdx 2
2
x
tan
x 2
tan
xdx 2
tan
xdx 2
例5 求
dx
x
x
x.
1 e2 e3 e6
x
解 令 e6 t,
x 6 ln t, dx 6 dt,
t
原式
1
t3
1
t2
t
6 dt t
6
t
(1
t
)(1
t
2
dt )
设
6
A B Ct D
t(1 t)(1 t 2 ) t t 1 1 t 2
高等数学—不定积分练习题
第三章复习X.1 积分换元的几种形式1． 利用三角函数代换，变根式积分为三角有理式积分求⎰-dx x x 229解 令t x sec 3=，则tdt t dx tan sec 3⋅= 于是⎰-dx x x 229⎰⎰=⋅=dt tttdt t t t sec tan tan sec 3sec 9tan 322.9|9|ln 9|393|ln sin |tan sec |ln )cos (sec 221221C xx x x C xx x xC t t t dt t t +---++---+=+-+=-=⎰练习 求⎰-+221)1(xxxdx2． 倒代换（即令tx1=） 设n m ,分别为被积函数的分子、分母关于x 的最高次数，当1>-m n 时，可以考虑使用倒代换。
求⎰>+)0(222a xa xdx解 令tx 1=，则dt t dx 21-=，于是原式⎰⎰⎰++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12)1(1111122222222222t a t a d a t a tdt dt t t a tC xa a x C a t a ++-=++-=2222221 练习⎰-+dx x xx 11223． 指数代换（适用于被积函数)(x f 由x a 所构成的代数式）令t ax=，.ln 1tdt a dx ⋅=求⎰++xx x dx 4212解 令t x=2，t dt dx ⋅=2ln 1 原式⎰⎰++=⋅⋅++=43)21(2ln 12ln 1122t dtt dt t t t CC t C t t t d x ++=++=++⋅=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+⎰312arctan 2ln 32312arctan 2ln 322321arctan 322ln 123)21()21(2ln 1122练习 求⎰+++6321x x xee e dxX.2 有理函数的积分一、有理函数的积分形为mm m m nn n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++++++++=----11101110)()( ， （1）其中m 和n 都是非负整数；n a a a a ,,,,210 及m b b b b ,,,,210 都是实数，并且0,000≠≠b a 。
高等数学 不定积分(习题)
第五章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质习题5-11、求下列不定积分(1)C xC x dx x x dx +-=++-==+--⎰⎰213332113.(2) C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰312525272125. (3)C xx C xdx x xxdx+-=++-==+--⎰⎰32125125252.(4)C x C x dx x dx x x x +=++==+⎰⎰81518787158187.(5)C h C hdh h hdh +=++-==+--⎰⎰21212121212121.(6)C xn m mC mn x dx x dx x mn m mn mn mn++=++==++⎰⎰11.(7) C x C x dx x dx x +=++⋅==+⎰⎰5144414555.(8) C x x x dx x x +++=++⎰2233)23(232.(9) C x x x dx x x dx x ++-=+-=-⎰⎰352422325)12()1(.(10) C x x x dx x x dx x +++=++=+⎰⎰423)44()2(2322.(11) C x x dx x x dx x x +-=-=-⎰⎰23252123252)3()3(.(12) C x x x x dx x x x dx x x ++++=+++=++⎰⎰2523323212352323)1()1)(1(.(13) C tt t dt t t dt t t +-+=++=+⎰⎰-1||ln 2)21()1(222. (14)C x x dx x xdx xx ++=+=+⎰⎰-232121322)()1(.(15)C x x dx xdx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰arctan )111(11)1(122222.(16)C x x dx xx dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan 2)123(1233322224. (17)C x x dx xx ++=-++⎰arcsin 5arctan 3)1513(22.C x x x dx x x x dx x x x +++=++=++⎰⎰-32613383167353322913683)3(3.(19)C x e dx xe x x +-=-⎰||ln 32)32(.(20)C x e dx x e dx xe e x xx x++=+=+⎰⎰--2)()1(21.(21)C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰5ln 15)5ln()5()5(5.(22)C x dx dx xx x x x +⋅-+=⋅+=⋅+⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 52])32(52[32532.(23)C x xdx x x dx x x x x x x dx +--=+-=+-+=+⎰⎰⎰-arctan 1)11()1()1()1(22222222.(24)C x e dx e dx e e x x x x ++=+=--⎰⎰)1(112.(25)C x x dx x x x dx x x x ++=+=+⎰⎰sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(26)C x x dx x dx x ++=+=⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 2.(27)C x x dx x x dx xx xx dx x x x ++=-=+-=+⎰⎰⎰cos sin )sin (cos cos sin sin cos cos sin 2cos 22.(28)C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=-=⎰⎰⎰tan cot )sec (csc cos sin sin cos cos sin 2cos 22222222.C x dx x dx x dx x +==+=+⎰⎰⎰tan 21cos 12122cos 11212cos 112.(30)C x x dx x xdx +--=-=⎰⎰cot )1(csc cot 22.2、一曲线通过点)3,(2e ,且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求曲线的方程.解：设所求曲线为)(x f y =,依题意有xy 1=',于是 C x xdxx f y +===⎰ln )( 因曲线通过点)3,(2e ,有 C C e +=+=2ln 32,得1=C , 从而所求曲线为1ln +=x y .3、已知某产品产量的变化率是时间t 的函数b at t f +=)((b a ,为常数),设此产品的产量为函数)(t P ,且0)0(=P ,求)(t P . 解：已知b at t f dtdP+==)(,有 C bt t adt b at dt t f t P ++=+==⎰⎰22)()()(,因0)0(=P ,有0=C ,于是bt t at P +=22)(.习题5-21、求下列不定积分 (1)C e x d e dx e xx x +==⎰⎰55551)5(51.(2)C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(.C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|23|ln 2123)23(2123.(4)C x x d x xdx+--=---=-⎰⎰-32313)32(21)32()32(3132.(5)C t t d t dt tt +-==⎰⎰cos 2sin 2sin .(6)C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 51sin 21sin .(7)C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰22221)(212. (8)C x x d x x xdx+--=---=-⎰⎰-2221223231)32()32(6132.(9)C x x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)1ln(431)1(431344443.(10)C x x xd xdx x +==⎰⎰9828tan 91tan tan sec tan . (11)C x x x d x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan )(tan cos sin cos cos sin 2.(12)C t t d t dt t t ++-=++=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (13)C xx xd x xdx +=-=⎰⎰-455cos 41)(cos cos cos sin .C x x x d x xdx +-=-=⎰⎰323sin 31sin sin )sin 1(cos . (15)C t t dt t dt t ++-=+-=+⎰⎰)(2sin 412)](2cos 1[21)(sin 2ϕωωϕωϕω.(16)C t t t d t tdt t +-=-=⎰⎰sec sec 31sec )1(sec sec tan 323.(17)C x x dx x x xdx x +-=-=⎰⎰5cos 101cos 21)sin 5(sin 213cos 2sin .(18)C x x dx x x dx xx ++=+=⎰⎰2sin 23sin 31)2cos 23(cos 212cos cos .(19)C x x dx x x xdx x +-=-=⎰⎰12sin 2414sin 81)12cos 4(cos 218sin 4sin . (20)C x x x x d x x dx xx xx ++-=++-=+-⎰⎰-32313)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin cos sin cos sin . (21)⎰⎰⎰--⋅--⋅=-+222249)49(2141)32(1)32(3123491x x d x x d dx x x C x x +--=2494132arcsin 21.(22)C x x x x d xdx dx x x x x dx x x ++-=++-=+-+=+⎰⎰⎰⎰)]1ln([211)1(211122222323.C x x x x d x dx ++-=-=-⎰⎰1313ln 3211)3()3(311322.(24)C x x x dx x dx x x dx +++=+-+=++⎰⎰⎰21ln 21)2)(1(.(25)222221)1(1tan 2111tan xx d x dx x xx +++=++⎰⎰C x x d x ++-=++=⎰|1cos |ln 11tan 222.(26)x d x x d x xdx x x x arctan arctan 2)(1arctan 2)1(arctan 2⎰⎰⎰=+=+ C x +=2)(arctan .(27)C x d dx xxxx +-=-=-⎰⎰10ln 10arccos 10110arccos arccos 2arccos .(28)C xx d x x dx x +-==-⎰⎰-arcsin 1arcsin )(arcsin 1)(arcsin 1222. (29)⎰⎰⎰=⋅=xx xd dx x x x x dx x x x tan )(tan tan ln cos sin cos tan ln cos sin tan ln 2 C x x xd +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(30)C x x x x x x d dx x x x +-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln ()ln (ln 122.(31)dt t dt tt t x dx x tx ⎰⎰⎰-=-⋅====-=)2cos 1(24sin 12cos 2sin 4422sin 222t t t C t t +-=+-=cos sin 222sin 2C x xx +--=2422arcsin 2.(32)C x C t dt dt t t tt x x dx tx +=+==-====-⎰⎰⎰=1arccos 1sec sec tan sec 12sec 2.(33)C t tdt dt t tx dxtx +======+⎰⎰⎰=sin cos sec sec )1(32tan 32 C x x C t tt++=++=11tan 1cos sin 22.(34)⎰⎰⎰⎰-======-=dt t tdt tdt t tt dx x x t x )1(sec 2tan 2sec tan 2sec 2tan 2422sec 22 C xx C t t C t t +--=+--=+-=2arccos 2421sec 22tan 222.(35)⎰⎰⎰⎰⎰-=+-=+====-+=2cos 21cos 1cos 1cos 112sin 2t dtt t dt dt t tdt x dxtx C t t t C t t t t C t t ++-=+-=+-=cos 1sin 2cos 22cos2sin 22tan 2 C xxx +-+-=211arcsin .(36)dt tt tt t t t t tdt x x dxtx ⎰⎰⎰+-++=+====-+=cos sin sin cos cos sin 21cos sin cos 1sin 2C t t t t t t t d dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121cos sin )cos (sin 2121 C x x x +-++=|1|ln 21arcsin 212.(37)C t t t dtdt dt t t t tdt x dx x t t x ++-=+-=+-+=+====+⎰⎰⎰⎰⎰==)1ln(1111121222C x x ++-=)21ln(2.(38)dt t t t t tdt t x dx x t t x ⎰⎰⎰+++-+=+====+++=-=11)1()(313112211333C t t t t dt dt dt t +++-=++-=⎰⎰⎰|1|ln 3323)1(32C x x x +++++-+=|11|ln 313)1(233332.(39)dt t t t t tdt t t dx x x x t t x ⎰⎰⎰++--+=⋅+-====++-++=-=122222111111211212|1|ln 44)122(2C t t t dt t t +++-=++-=⎰C x x x +++++-=)11ln(414, 其中, 11C C +=.(40)dt t t t t dt tt t x x dx x t t x ⎰⎰⎰++--+=+====+==11144223444C t t t dt t t +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42C x x x +++-=)1ln(44244.(41)dt t t t dt t t t t t dx x x x xxt ttt x ⎰⎰⎰+--=+-⋅⋅⋅-+=======+-+-=-+=+-=)1)(1(4)1()2(21111122222221111211222C t t t dt t t +++-⋅=+--⋅-=⎰arctan 211ln 212)1111(21422 C x xxx x x ++-+-++--+=11arctan 21111ln.42)⎰⎰+--=-+3234211)1()1()1(x x x dx x x dx⎰⎰--+=---+-⋅-=======+-=--=-+=23232323321111211)1()1(6)1(]1)11[()3(23333t t tdtt t t t dt t x x t tt t x C x x C t t dt t tdt +-+-=+-===⎰⎰32311232323226.2、用指定的换元法求下列不定积分 (1)C x C t dt t t tdt t x x dx t x +=+======-⎰⎰⎰=arcsin 222cos sin cos sin 2)1(2sin .(2)⎰⎰⎰⎰=====++=++-=tdt t tdtx dxx x dx t x sec sec sec 1)1(2221tan 22C x x x C t t +++++=++=|122|ln |tan sec |ln 2.(3)⎰⎰⎰⎰======--=-+=tdt ttdtt x dxx x dxtx sec tan 2sec tan 24)2(4sec 2222C t t C t t ++=+++=|tan 2sec 2|ln 2ln |tan sec |ln C x x x +-+-=|42|ln 2.(4)C t dt dt t t x dx x xdxt x +======-=-⎰⎰⎰⎰=2121cos cos 211211sin 4242C x +=2arcsin 21.习题5-31、求下列不定积分C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .(2)C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln .(3)⎰⎰⎰-+=-=dx xx x x x xd x x xdx 21arccos arccos arccos arccos .C x x x +--=21arccos .其中:C x C x x x d dx x x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰22222112211)1(211.(4)C x e C e xe x d e xe xde dx xe x x x x x x x ++-=+--=+-=-=-------⎰⎰⎰)1(.(5)⎰⎰⎰⎰-=-==dx x x x x d x x x xdx xdx x 34444341ln 41ln 41ln 41ln 41ln C x x x +-=44161ln 41. (6)C x x x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰3cos 93sin 33sin 33sin 33sin 33cos .(7)⎰⎰⎰⎰⎰-=-=xdx x xd xdx xdx x xdx x tan sec tan 22C x x x x xdx xdx x x +-+=--=⎰⎰221|cos |ln tan tan tan .(8)⎰⎰⎰+-=-=2222cos cos cos sin xdx x x x d x xdx xC x x x x x +++-=cos 2sin 2cos 2.其中:C x x x xdx x x x xd xdx ++=-==⎰⎰⎰cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 2.(9)⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x arctan 31arctan 31arctan 31arctan 3332.C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223. 其中:C x x dx x x dx xx x d x 3)1ln(2121111211arctan 22222233-+-=+-+=+=⎰⎰⎰. (10)⎰⎰⎰-==x xd xdx x xdx x x 2cos 412sin 21cos sin C x x x dx x x x ++-=+-=⎰2sin 812cos 412cos 412cos 41.(11)C x x x x xdx x xdx dx x x +++=+=⎰⎰⎰cos 21sin 2141cos 21212cos 22. 其中:C x x x xdx x x x xd xdx x 2cos sin sin sin sin cos ++=-==⎰⎰⎰.(12)I x x x d x xdx x 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222++-=+-=+⎰⎰ C x x x x x ++++-=2cos 412sin 212cos )1(212C x x x x +++-=2sin 212cos )21(212.其中:⎰⎰⎰==+=)2(2cos )2(212cos 2)1(2cos 2x xd x xdx x x xd IC x x x 2]2cos 2sin 2[21++=.(13))1ln(21)1ln(21)1ln(21)1ln(222+-+=+=+⎰⎰⎰x d x x x dx x dx x x C x x x x x ++-+-+=)1ln(212141)1ln(2122 C x x x x ++-+-=2141)1ln()1(2122. 其中:x d x x x x x d x x x d x ⎰⎰⎰++--+=+=+1111)1ln(222C x x x x d x x 2)1ln(21)111(2-++-=++-=⎰.(14)x d x x x x xd dx x x 22222ln 1ln 1)1(ln ln ⎰⎰⎰+-=-=C x x x C x x x x x +++-=+---=)2ln 2(ln 12ln 2ln 122.其中:⎰⎰⎰⎰+-=-==x d x x x x xd dx x x x d x ln 12ln 2)1(ln 2ln 2ln 122C xx x dx x x x +--=+-=⎰2ln 212ln 22.(15)⎰⎰⎰-=======tdt t t t t d t dx x xt sin 2sin sin )(arcsin 22arcsin 2C t t t t t C t t t t t +--+=+-+=sin 2sin 12sin sin 2cos 2sin 222)1(C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22.(16)⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅-=======tt t t t t x t tx x tde e t dt te e t de t dt e t dx e 632333322223331C t t e C e te e t dt e te e t t t t t t t t ++-=++-=+-=⎰)22(3663663222C x x e x ++-=)22(33323.(17)⎰⎰⎰-==xdx e x e x d e xdx e xx x x sin sin sin cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e x d e x e x x x x x cos cos sin cos sin ,∴C x x e xdx e x x ++=⎰)cos (sin 21sin .(18)I e xdx e dx e xdx e x x x x 21212cos 2121cos 2+-=+=----⎰⎰⎰ C x e x e e x x x +-+-=---2cos 1012sin 5121.:x xd e x e x d e I xx x ⎰⎰---+==2sin 212sin 212sin 21 x d e x e x x 2cos 412sin 21⎰---= x xd e x e x e x x x ⎰-----=2cos 412cos 412sin 21, ∴C x e x e I x x 22cos 41542sin 2154+⋅-⋅=--.2、利用指定的变量代换求下列不定积分 (1)C t t e t td e dx x tte x t++======⎰⎰=)cos (sin 21cos )cos(ln )17( C x x x ++=)]cos(ln )[sin(ln 21.(2)⎰⎰⎰-=======tdt t t t t d t dx x tx cos 2cos cos )(arccos 22cos 2⎰⎰+-=-=tdt t t t t t td t t sin 2sin 2cos sin 2cos 22C t t t t t C t t t t t +---=+--=cos 2cos 12cos cos 2sin 2cos 222 C x x x x x +---=2arccos 12)(arccos 22.习题5-41、求下列不定积分(1) x d x x x x x x x d x x ⎰⎰+-++--+=+288442222233 C x x x x x d x x x ++-+-=+-+-=⎰|2|ln 8431)2842(232.(2)x d x x x x d x x x ⎰⎰-++=-++)2)(5(13103132C x x x d x x +-++=-++=⎰|2|ln |5|ln 2)2152(. 其中: )2)(5(5225)2)(5(13-+++-=-++=-++x x BBx A Ax x B x A x x x , 有 3=+B A , 152=+-B A ,得1,2==B A .(3) x d xx x x x x x x x d x x x x ⎰⎰--++-+-=--+3242534588 x d x x x x x x d x x x x x x x ⎰⎰--+-++=-+-+++=]13148[])1)(1(8[222C x x x x x +--+-++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123. 其中: )1)(1()()()1(11)1)(1(82222-+++-+-=-+++=-+-+x x x x x C x x B x A x C x B x A x x x x x ,有 1=++C B A ,1=+-C B ,8-=-A ,得3,4,8-=-==C B A .(4)x d x x x x x d x x x x d x ⎰⎰⎰+++-+-=+-+=+)12142()1)(1(616223 ⎰⎰⎰⎰⎰+++--++-+--=+++-+--=12)23()21()21(343)21(]43)21[(1243)21(3)21(222222x dx x x d x x d x dx x d x xC x x x +++-⋅++--=|1|ln 22321arctan 2313]43)21ln[(2C x x x x +++-++--=|1|ln 2312arctan 32)1ln(2.其中: )1)(1()1()(11)1)(1(62222-++-++++=+++-+=+-+x x x x x C B x B A Ax x C x x B Ax x x x , 有 0=+C A ,0=-+C B A ,6=+C B ,得2,4,2==-=C B A .5)x d x x x x d x x x ⎰⎰+++-=++-)111()1)(1(122C x x x dx x x d ++++-=++++-=⎰⎰|1|ln )1ln(2111)1(21222.其中: )1)(1()1()(11)1)(1(12222-++++++=++++=++-x x x x C B x B A Ax x C x B Ax x x x , 有 0=+C A ,1-=+B A ,1=+C B ,得1,0,1==-=C B A .(6)x d x x x x d x x x ⎰⎰-⋅++⋅++-=-++]11211121)1(1[)1()1(1222 C x x C x x x +-++=+-++++=|1|ln 2111|1|ln 21|1|ln 21112 其中: 11)1()1()1(1222-++++=-++x Cx B x A x x x)1()1()12()1()1(222-++++-+-=x x x x C x B x A ,有 1=+C B ,02=+C A ,1=+--C B A ,得21,21,1==-=C B A . (7)x d x x x x x x dx ⎰⎰+++-+=+++)312211()3)(2)(1(2C x x x ++++-+=|3|ln |2|ln 2|1|ln .其中: 321)3)(2)(1(2+++++=+++x Cx B x A x x x)3)(2)(1()23()34()65(222+++++++++++=x x x x x C x x B x x A ,有 0=++C B A ,0345=++C B A ,2236=++C B A , 得1,2,1=-==C B A .(8)⎰⎰+---+++=+dx x x x x x x x dx )122122(421224⎰+----++++=dx x x x x x x )122)22(122)22((8222 ⎰⎰+-+--++++=12)12(8212)12(822222x x x x d x x x x d dx x x ]21)21(121)21(1[4122+-++++⎰ )12ln(82)12ln(8222+--++=x x x x C x x +-⋅++⋅+2121arctan 211412121arctan21141C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(421212ln 8222. 其中: 121211224+-+++++=+x x DCx x x B Ax x )12)(12(222222223223+-+++++++++-++-=x x x x DDx Dx Cx Cx Cx B Bx Bx Ax Ax Ax ,有 0=+C A , 022=+++-D C B A ,022=++-D C B A ,1=+D B , 得21,42,21,42=-===D C B A .。
《医学高等数学》课件 第三章 一元函数积分学
2
1 1
d t
(1
t)
2t
2 ln(1 t)
C
因为t 1 x ，于是
1
dx 1
x
2
1 x 2 ln(1
1 x)C
例10 求 a2 x2 dx。
解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式sin2t+cos2t=1来消去根式。
设x=asint，
2
t
2
，则
t
arcsin
x a
例10 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线 的方程。
解 设所求的曲线方程为y=f(x)，由题设，曲线上任一点（x，y）处的切线斜率为 dy 2x，
dx
即dy 2xdx。
因为 2xdx x2 C，所以必有某个常数C使f(x)=x2+C。即曲线方程为
第二节 不定积分的计算
案例导入：
判断下列积分是否成立:
cos3xdx sin 3x C;
1 3x
5
dx
ln
3x
5
C;
exdx ex C; (2x 5)3 dx (2x 5)4 C.
4
验证了案例之后,我们提出这样的问题,如果遇到这样的积分,我们怎么去求出它 的原函数呢? 这就是我们这一节要着重介绍的换元积分法和分部积分法。
解
dx 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
d(x) a
arcsin x C
1 ( x)2
a
a
a
例5 求 e5xdx 。
解
e5xdx 1 e5xd (5x) 1 e5x C
5
5
不定积分课件
THANKS
03 不定积分的实际应用
物理问题中的应用
速度和加速度
通过不定积分计算物体的速度和 加速度，解决与运动学相关的物 理问题。
功和能量
不定积分可以用来计算力对物体 所做的功以及物体的能量变化， 解决与力学相关的物理问题。
电流和电压
不定积分可以用来计算电流和电 压的积分形式，解决与电磁学相 关的物理问题。
不定积分的几何意义
不定积分表示函数在某个区间上的面积，即函数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
线性性质
对于任意常数C和D，有∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
积分区间可加性
对于任意区间[a,b]和[b,c]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]ab+[∫f(x)dx]bc。
工程问题中的应用
流体动力学
不定积分可以用来计算流体动力学中的流速、压力和 阻力等参数。
热力学
不定积分可以用来计算热力学中的温度、热量和熵等 参数。
控制工程
不定积分可以用来分析和设计控制系统，例如PID控 制器的设计和分析。
经济问题中的应用
01
02
03
成本和收益
不定积分可以用来计算成 本和收益的积分形式，解 决与经济学相关的经济问 题。
不定积分课件
目录
Contents
• 不定积分的基本概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的实际应用 • 不定积分的注意事项与难点解析 • 不定积分的典型例题解析 • 不定积分的练习题与答案解析
01 不定积分的基本概念
不定积分的定义
原函数与不定积分
不定积分是微分的逆运算，给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得 F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是常数 。
第五章不定积分习题课参考答案
① f ( x, n ax b ) dx ，令 t n ax b ；② f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a sin t ； ③ f ( x, a 2 x 2 )dx ，令 x a tan t ；④ f ( x, x 2 a 2 )dx ，令 x a sect ；
例6 求下列不定积分：
108896097.doc
-2-
①
xdx ； 1 x2
②
1 1 sin dx ； 2 x x
③
dx x 1 ln 2 x
；
凑微分求不定积分，必须牢记基本积分公式类型，这样就不会被复杂的式子所迷 惑，同时为提高凑微分技巧，应熟悉常见的微分公式． 常用的凑微分积分类型： 1 f (ax n b)d (ax n b) ； ① f (ax n b) x n 1 dx an ② f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x ； ③ f (tan x) sec 2 xdx f (tan x)d tan x ；
0 1
解: 由已知 x 2 x 为 f ( x) 的导函数，即 x2 x f ( x) 所以， xf ( x)dx x( x 2 x)dx ( x 3 x 2 )dx
0 0 0 1 1 1
1 4 1 3 x x C 4 3
例3 求下列不定积分： ①
x 2 x sin 2 x sin 2 x x 2 x sin 2 x cos 2 x dx C 4 4 4 4 4 8
例14 求下列不定积分：
xdx ① 3 ； x 3x 2 2x 3 dx ； ② 2 x x5
x4 1 dx ． ③ 6 x 1