高二数学第九章复习讲义(3)

高二数学第九章复习（3）

空间向量的（坐标）运算（1）

一．知识要点：

1．向量定义： ；相等向量： ； 共线（平行）向量： ；共面向量： ； 2．向量加法与数乘向量的基本性质：

（1）a b b a +=+r r r r （2）()()a b c a b c ++=++r r r r r r （3）()a b a b λλλ+=+r r r r ．

3．空间向量数量积：（1）主要性质：①||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>r r r r r r

（可以用来求角）；

②0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r （可以用来证明线线垂直）； ③2||a a a =⋅r r r （可以用来求线段长）．

（2）运算律：①()()a b a b λλ⋅=⋅r r r r ； ②a b b a ⋅=⋅r r r r ； ③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r

． 4．共线向量定理： ；空间直线的向量参数方程：

OP OA t a =+uu u r uur r 或(1)OP OA t AB t OA tOB =+⋅=-+uu u r uur uu u r uur uu u r

（其中l 过点A ，P 在直线l 上，O 为

空间任意一点，a r 是l 的方向向量AB a =uuu r r

）由此判断,,P A B 三点共线⇔ ．

5．共面向量定理： ； 据此判断,,,P A B C 四点共面⇔ ． 6．空间向量基本定理： ；

特别地，若基底为单位正交基底（常用,,i j k r r r

表示），则可以建立空间直角坐标系。

7．空间直角坐标系（右手直角坐标系）：若123a a i a j a k =++r r r r ，则123(,,)a a a a =r

8．空间向量的坐标运算：123(,,)a a a a =r ，(,,)b b b b =r

，则

a b +=r r ；a b -=r r ；a λ=r

； a b ⋅=r r ；//a b ⇔r r ；a b ⊥⇔r r

；

若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---uu u r

．

9．夹角和距离公式：

（1）夹角公式：123(,,)a a a a =r ，123(,,)b b b b =r

，则||a =r ；||b =r ；a b ⋅=r r ；cos ,a b <>=r r

； （2）两点间距离公式：111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则AB d = ；

（3）向量与平面垂直的意义：若表示a r

的有向线段A B 所在直线垂直于平面α，则称这

个向量垂直于平面α，记为：a α⊥r ，此时a r

叫做平面α的法向量。

二．例题分析：

例1．已知12,e e 不平行，122AB e e =+ ，12332

B C e e =+ ，1224BD e e =+

，试判断：

,,,A B C D 四点共面吗？并证明你的结论。

提示：⑴可以求得23

A B B C =

，⑵,,,A B C D 四点共线，从而共面。

H

G O D

C

B

A 例2．空间四边形O ABC 中，,G H 分别是ABC ∆，O BC ∆的重心，设OA a =uur r ，O

B b =uuu r r ，O

C c =uuu r r

，

⑴试用向量,,a b c r r r

表示向量O G uuu r 和G H uuu r ；⑵证明：//G H 平面O A B ．

答案：⑴()

13O G a b c =++ ，13

G H a =-

；

例3．如图在正方体1AC 中，,,M N F 分别是棱11,,AA BB BC 的中点， ⑴求证：11D N B F ⊥；⑵求直线C M 与1D N 所成角的余弦值； ⑶求直线1B M 与1D N 所成角的正弦值。 答案：⑵1cos 9

θ=

；⑶sin 5

θ=

。

三．课后练习： 班级 学号 姓名

1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为A C 与B D 的交点，若11A B a = ，11A D b =

，1A A c = ，则1B M = ()

12

c b a +-

。 2．设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则A B 的中点M 到C 点的距离||CM = （ C ）

()

A 4

()

B 53

2 ()

C 2()

D 2

3．若(4,1,5),(4,1,5)M AB -=-uu u r

，则 （ D ）

()A M 与A 重合 ()B M 与B 重合 ()C M 在AB uu u r

上 ()D OM AB =uuur uu u r

4．若0a b c ++=r r r r 且||3,||1,||4a b c ===r r r

，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=r r r r r r 13-．

5．已知(1,2,1),(4,2,3),(6,1,4)A B C --，则A B C ∆的形状是锐角三角形，

ABC S ∆

=2

．

6

．已知||p =u r ||3q =r ，,4

p q π

<>=u r r ，求52a p q =+r u r r ，3b p q =-r u r r 为边的平行四边形的

对角线的长。

答案：15,

A

B

C

D

A1

B1

C1

D1

M

N

F