北京航空航天大学研究生矩阵理论期末试题(2011-2012)
北航矩阵论学习笔记
Q −1 AQ = Q −1 A(α 1 , α 2 ," , α n )
= Q −1 ( Aα 1 , Aα 2 ,", Aα n ) = Q −1 (λα 1 ,",∗,∗,∗) = λ1Q −1α 1 , (∗), ", (∗) ∴ ⎛ ⎛ λ1 ⎞⎛#⎞ ⎛#⎞ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ " ⎜ ⎟ ⎟ # # # ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 0 ⎟⎜#⎟ ⎜#⎟ ⎟ ⎝ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ 记 ⎛ λ1 =⎜ ⎜0 为⎝ ⎟ A1 ⎟ ⎠
(*) ⎞ ⎟
⎛ f ( A1 ) ⎜ ⎜ （2） f ( A) = ⎜ ⎜ ⎜ O ⎝
(*)
相似关系：A∽B， （P-1AP = B）
则：
存在可逆矩阵P
（1）(P-1AP)k = P-1AkP， （k=0,1,2,…） （2）f(P-1AP) = P-1f(A)P，f(x)为多项式
许尔公式（schur） ：每个复方阵，A = (aij)n×n 都相似于上三角形。
注： （1）若 A ∽ B（相似） ，则 A、B 有相同特征值 λ1,…,λn
可引入记号：谱集 σ ( A) = {λ1 , λ 2 ," , λn } （全体特征值，含重复） ∴A ∽ B ⇒ σ ( A) = σ (B ) （2）A ∽ B ⇒ λI − A = λI − B = (λ − λ1 )(λ − λ2 )" (λ − λn ) ，特征多项式 ∵ P −1 AP = B ⇒ λI − A = P −1 (λI − A)P = λI − B
(∗)⎞
⇒ P −1 f ( A)P = f P −1 AP = f (B ) = 0 （引理）
09+10年北航研究生矩阵论 矩阵理论B期末试卷
二、设 A∈ 8×8，且 λ I − A 等价于准对角阵
diag
⎧⎪⎨⎪⎩⎡⎢⎣λ
2 −1 0
1 ⎤ ⎡λ +1 λ + 2⎥⎦ , ⎢⎣λ −1
0⎤ λ −1⎥⎦
,(λ
+
2)2
,
λ
+
2,
1,
1⎫⎪⎬⎪⎭
(1)试求 λ I − A 的初等因子，不变因子；Smith 标准形(3)写出 A 的最小多项式及 Jordan 形.
四、证明：1）、 因为 A+ = A，故 A3 = A 所以 秩A=秩A3 ≤ 秩A2 ≤ 秩A，所以 秩A2 = 秩A
2）、由 A3 − A = 0，故 λ3 − λ 将 A 零化，且 λ3 − λ = 0无重根， A 可对角化。
3）、 A 的特征根为 1、-1 和 0，而 秩A=r 。故非零特根个数为（对角线非零元素的个数为 r）
附加题证明：令 B = A( AT A)−1 AT ，则 BT = B 为实对称矩阵，且 B2 = B
从而 BT B 与 B 由相同的特征值，且 B 的正奇异值就是 B 的正特征值。λ2 −1 = λ(λ −1) 是
B 的 零 化 式 。 故 B 的 最 大 特 征 值 为 1 （ 否 则 B 为 零 矩 阵 ， 从 而 A = 0 ， 矛 盾 ）， 所 以 B = B的最大奇异值= 1 = 1
3⎤ 2⎥⎦
.（1）计算
e
At
;
（2）试求
f
∞
A=
n=0
n +1 n!
A2
+
A
n
.
八、 A∈ n×n. 证明 lim Am = 0 ⇔ ρ ( A) < 1. m→∞
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
北航学科数学考研真题试卷
北航学科数学考研真题试卷北航，即北京航空航天大学，是中国著名的高等学府之一，其数学学科在国内外享有很高的声誉。
考研真题试卷是考研学生复习备考的重要资料，下面提供一份模拟的北航数学考研真题试卷内容，供参考：一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数\( f(x) = x^2 + 3x + 2 \)，求\( f(-2) \)的值。
A. -1B. 0C. 1D. 22. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = 2a_n \)，求\( a_5 \)的值。
A. 16B. 32C. 64D. 1283. 以下哪个选项不是线性代数中的矩阵运算？A. 加法B. 乘法C. 转置D. 除法4. 求极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 不存在5. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)，求该定积分的值。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/46. 以下哪个命题是真命题？A. 所有实数都是有理数。
B. 存在无理数。
C. 所有实数的平方都是正数。
D. 所有正数的平方根都是正数。
二、填空题（每题4分，共20分）1. 若\( \lim_{n \to \infty} a_n = L \)，则\( \lim_{n \to\infty} a_{2n} = \) ________。
2. 设\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，求\( A^2 \)的值。
3. 若\( f(x) = \ln(x) \)，求\( f'(1) \)的值。
4. 设\( a \)，\( b \)，\( c \)为实数，若\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，则\( a + b + c \)的最大值是________。
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二
习题二1．化下列矩阵为Smith 标准型：（1）222211λλλλλλλλλ⎡⎤-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦; （2）22220000000(1)00000λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦; （3）2222232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤+--+-⎢⎥+--+-⎢⎥⎢⎥+---⎣⎦;(4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦. 解：（1）对矩阵作初等变换133122222222111001100(1)c c r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦23221311(1)1010000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→-−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦，则该矩阵为Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=,从而不变因子为222341234123()()()()1,()(1),()(1),()(1)()()()D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ===-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为2210000(1)0000(1)0000(1)λλλλλλ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦；（3）对矩阵作初等变换1332212132132222222222242322(2)2(2)323212332212435323443322421221762450110221c c c c r r r r c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-------⎡⎤⎡⎤+--+----⎢⎥⎢⎥+--+-−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-----⎣⎦⎣⎦⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−→--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3122131211342322(2)3232(1)32(5)(1)27624501100011245001000110010001001000100(1)(c c c r r r r r c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ---+↔+--⨯-↔⎡⎤-+--++-⎢⎥−−−−−→--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+---++-⎢⎥−−−−→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤--+⎢⎥−−−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1)⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦故该矩阵的Smith 标准型为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--)1()1(112λλλ; (4)对矩阵作初等变换152323230100014360220002206200020101001010033122003312200c c c c λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦12213231322000100010002200000020002010100100000100001000c c r r c c c c λλλλλλλλλλλλλλ+-+-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦2143145425222000101000000000000000000001000000010010000001r r c c c c c c c c λλλλλλλλλλ--↔-↔⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦在最后的形式中，可求得行列式因子3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===,于是不变因子为2541234534()()()()()1,()(1),()(1)()()D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ=====-==-故该矩阵的Smith 标准形为2100000100000100000(1)00000(1)λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 2.求下列λ-矩阵的不变因子：（1）210021002λλλ--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）10010000λαββλαλαββλα+⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦； （3）100100015432λλλλ-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦； （4）0012012012002000λλλλ+⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦. 解：（1）该λ-矩阵的右上角的2阶子式为1，故12()()1,D D λλ==而33()(2)D λλ=-，所以该λ-矩阵的不变因子为2123()()1,()(2)d d d λλλλ===-;（2）当0β=时，由于4243()(),()()D D λλαλλα=+=+，21()()1D D λλ==，故不变因子为12()()1d d λλ==，2234()(),()()d d λλαλλα=+=+当0β≠时，由于224()[()]D λλαβ=++，且该λ-矩阵中右上角的3阶子式为2(),βλα-+且4(2(),())1D βλαλ-+=，则3()1D λ=，故21()()1D D λλ==，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===224()[()]d λλαβ=++;（3）该λ-矩阵的右上角的3阶子式为1-，故123()()()1,D D D λλλ===而4324()2345D λλλλλ=++++，所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ=== 4324()2345d λλλλλ=++++;（4）该λ-矩阵的行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(2)D λλ=+,所以该λ-矩阵的不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(2)d λλ=+.3．求下列λ-矩阵的初等因子：（1）333232212322λλλλλλλλ⎡⎤++⎢⎥--+--+⎣⎦； （2）3223222212122122λλλλλλλλλλ⎡⎤-+--+⎢⎥-+--⎣⎦. 解：(1)该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλ==+-，故初等因子为21,(1)λλ+-；(2) 该λ-矩阵的行列式因子为212()1,()(1)(1)D D λλλλλ=-=+-，故不变因子为12()1,()(1)(1),d d λλλλλ=-=+-因此，初等因子为1,1,1λλλ+--.4．求下列矩阵的Jordan 标准形：（1）131616576687⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦；（2）452221111-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（3）3732524103-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； （4）111333222-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（5）03318621410⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（6）1234012300120001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解：（1）设该矩阵为A ，则210001000(1)(3)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦，故A 的初等因子为2(1)(3)λλ-+，则A 的Jordan 标准形为300011001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （2）设该矩阵为A ，则310001000(1)E A λλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故A 的初等因子为3(1)λ-，从而A 的Jordan 标准形为110011001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（3）设该矩阵为A ，则210001000(1)(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦,故A 的初等因子为1,,,i i λλλ-+-从而A 的Jordan 标准形为1000000i i ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （4）设该矩阵为A ，则21000000E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎣⎦,故A 的初等因子为2,λλ，从而A 的Jordan 标准形为000001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦; （5）设该矩阵为A ，则210001000(1)E A λλλ⎡⎤⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥+⎣⎦,故A 的初等因子为2,(1)λλ+，从而A 的Jordan 标准形为000011001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦; （6）设该矩阵为A ，则1234012300120001E A λλλλλ----⎡⎤⎢⎥---⎢⎥-=⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦， 该λ-矩阵的各阶行列式因子为123()()()1,D D D λλλ===44()(1)D λλ=-，则不变因子为123()()()1,d d d λλλ===44()(1)d λλ=-，故初等因子为4(1)λ-，则A 的Jordan 标准形为1100011000110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 5．设矩阵142034043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求5A .解：矩阵A 的特征多项式为2()(1)(5)A f I A λλλλ=-=--，故A 的特征值为11λ=,235λλ==.属于特征值11λ=的特征向量为1(1,0,0)Tη=,属于235λλ==的特征向量为23(2,1,2),(1,2,1)T Tηη==-.设123121[,,]012021P ηηη⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100050005⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则1A P P -=Λ.,故4455144441453510354504535A P P -⎡⎤⨯⨯-⎢⎥=Λ=-⨯⨯⎢⎥⎢⎥⨯⨯⎣⎦. 6.设矩阵211212112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求A 的Jordan 标准形J ，并求相似变换矩阵P ，使得1P AP J -=.解:(1) 求A 的Jordan 标准形J .221110021201011200(1)I A λλλλλλ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-+→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦,故其初等因子为21,(1)λλ--，故A 的Jordan 标准形100011001J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.(2)求相似变换矩阵P .考虑方程组()0,I A X -=即1231112220,111x x x -⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥-= ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭解之,得12100,111X X ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.其通解为1122k X k X +=1212k k k k ⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭,其中21,k k 为任意常数.考虑方程组1122312111222,111x k x k x k k -⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥-= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭⎝⎭11212121211111122200021110002k k k k k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故当1220k k -=时,方程组有解.取121,2k k ==,解此方程组,得3001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.则相似变换矩阵123100[,,]010111P X X X ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.7.设矩阵102011010A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试计算8542234A A A A I -++-. 解: 矩阵A 的特征多项式为3()21A f I A λλλλ=-=-+,由于8542320234(21)()(243710)f λλλλλλλλλ-++-=-++-+,其中532()245914f λλλλλ=+-+-. 且32A A I O -+=,故8542234A A A A I -++-=2348262437100956106134A A I --⎡⎤⎢⎥-+=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.8.证明：任意可逆矩阵A 的逆矩阵1A -可以表示为A 的多项式. 证明:设矩阵A 的特征多项式为12121()n n n A n n f I A a a a a λλλλλλ---=-=+++++,则12121n n n n n A a A a A a A a I O ---+++++=,即123121()n n n n n A A a A a A a I a I ----++++=-,因为A 可逆,故(1)0nn a A =-≠,则11231211()n n n n nA A a A a A a I a -----=-++++9.设矩阵2113A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试计算4321(5668)A A A A I --++-.解: 矩阵A 的特征多项式为2()57A f I A λλλλ=-=-+,则227A A I O -+=,而432225668(57)(1)1λλλλλλλλ-++-=-+-+-,故14321111211(5668)()12113A A A A I A I ----⎡⎤⎡⎤-++-=-==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 10.已知3阶矩阵A 的三个特征值为1，－1，2，试将2nA 表示为A 的二次式. 解: 矩阵A 的特征多项式为()(1)(1)(2)A f I A λλλλλ=-=-+-,则设22()()n f g a b c λλλλλ=+++,由(1)0,(1)0,(2)0,f f f =-==得21,1,422.n a b c a b c a b c ++=⎧⎪--=⎨⎪++=⎩解之，得2211(21),0,(24)33n n a b c =-==--,因此2222211(21)(24)33n n n A aA bA cI A I =++=---.11.求下列矩阵的最小多项式：（1）311020111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）422575674-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦； （3）n 阶单位阵n I ；（4）n 阶方阵A ，其元素均为1；（5）0123103223013210a a a a a a a a B a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦. 解:(1) 设311020111A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则 231110002002011100(2)I A λλλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦,故该矩阵的最小多项式为2(2)λ-.(2) 设422575674A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,则 2(2)(511)I A λλλλ-=--+,故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为2(2)(511)λλλ--+(3) n 阶单位阵n I 的最小多项式为()1m λλ=-. (4) 因为1()n I A n λλλ--=-,又2A nA =,即2A nA O -=,故该矩阵的最小多项式为()n λλ-.(5)因为22222200123[2()]I B a a a a a λλλ-=-++++,而2222200123()2()m a a a a a λλλ=-++++是I B λ-的因子,经检验知()m λ是矩阵B 的最小多项式.。
南航07-14矩阵论试卷
南航07-14矩阵论试卷南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题2007 ~ 2008学年《矩阵论》课程考试A 卷一、（20分）设矩阵-----=111322211A ，（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值；（2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236-+；（4）写出A 的Jordan 标准形。
二、（20分）设22?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求22?R的维数，并写出其一组基；（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合，证明：W 是22?R的子空间，并写出W 的维数和一组基；（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；（4）给出22?R 上的线性变换T ：22,)(?∈?+=R A A A A T T写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。
三、（20分）（1）设-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ；（2）设nn ij C a A ?∈=)(，令ijji a n A ,*max ?=，证明：*是n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；（3）证明：*2*1A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵-=100100011111A ，向量=2112b ，（1）求矩阵A 的QR 分解；（2）计算+A ；（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。
五、（20分）（1）设矩阵=????? ??=15.025.011210,2223235t t B t t A ，其中t 为实数，问当t 满足什么条件时, B A >成立？（2）设n 阶Hermite 矩阵022121211>=A A A A A H，其中k k C A ?∈11，证明：0,012111122211>->-A A A A A H。
(整理)北京航空航天大学研究生矩阵理论期末试题-2012.
（三）环境价值的定义
（一）安全预评价依据
2.பைடு நூலகம்期介入原则；
本章中环境影响评价制度，2010年的真题中全部集中在环境影响评价这一节。环境保护的对象，环境影响评价制度，环境影响评价文件的组成、文件的报批等是历年考试的热点。目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：①从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；②从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；③通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。
12年A卷及答案
n 1 m ( X k ) 2 X k 2 ~ 2 (n m 1) ； m k 1 k m 1
5、
1 ； n 1
0, y 1 y 1 3 6、 FY ( y ) ( ) 2 ,1 y 3 ； 2 1, y 3
；
7、 DX
设随机过程 X (t ) a sin(t ) ,其中 a 和 是非零常数, 是在 (0,2 ) 上服从 均匀分布的随机变量。 试求： (1)写出 的概率密度 f ( ) ； (3)求 E[ X (t ) X (t )] ； （2）求 E[ X (t )] ; (4)判断 X (t ) 是否为平稳过程？ )
北京航空航天大学
BEIHANG UNIVERSITY
2011－2012 学年 第一学期期末
考试统一用答题册
考试课程 概率统计 A （A09B204A） 概率统计 B（A09B204B）
A
（试卷共 6 页，五道题）
班 级_____________ 姓 名______________ 考场教室_________
题号 一 二 三
学 号 _____________ 成 绩 _________ 任课教师_________
四[四] 五[五] 总分
分数
阅卷人 校对人
2012 年元月 10 日(10:30-12:30)
一、单项选择题（每小题 4 分，满分 36 分）
1、设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x) ,分布函数为 F ( x) ， 则一定有( )成立。 (B) F ( x) 是连续函数 ； (D) 对任意实数 x ，成立 F ( x) f ( x) 。
X
k 1
15
北航硕士研究生矩阵理论2.2 正规矩阵及Schur分解
类似地，可证第二个结论.
证毕
二、正规矩阵 推论1 设A是一个正规矩阵, 则与 A酉相似的矩阵一定 是正规矩阵. 推论2 设 A是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则A必为 对角矩阵.
推论3 实对称矩阵正交相似对角矩阵.
推论4 设 T 是欧式空间 Vn的对称变换，则 在 Vn中存在标准正交基 y1 , y2 ,, yn ，使 T 在该 基下的矩阵为对角矩阵.
二、正规矩阵 现在将 X 1 单位化, 得到一个单位向量
i 2 2 1 , , 3 3 3
对于特征值
T
(9iI A) X 0
求得其一个基础解系
2 9i 解线性方程组
T
X 2 i, 1/ 2,1
将其单位化得到一个单位向量
二、正规矩阵
对于特征值 3
(U R) A(UR) B
因此
1
U AU RBR
H
1
一、Schur引理
n n 推论： A R 且A的特征值均为实数，则存在正交矩阵Q，使得
1 2 T Q AQ 0
n
即任一实方阵正交相似于一个上三角阵，其主对角元为A的特征值.
Q AQ Q AQ diag{1 ,
T 1
, n }
二、正规矩阵
证明： A为正规矩阵，存在酉矩阵U，使得
U AU diag{1 ,
H
, n }
, n }
共轭转置有
U H AU diag{1 ,
所以 i i (i 1, , n) 由的Schur引理可得，存在正交矩阵Q，使得
i 3 2 Q 1 ,2 ,3 3 2 3 2i 3 1 3 2 3 2i 3 2 3 1 3
Verilog试题2012(A答案)
北京航空航天大学2011 ～2012 学年第二学期 数字EDA 期末考试试卷（ 2012 年 5 月 23 日）班级：__________；学号：______________；姓名：__________________；成绩：___________注意事项：1、填空题与选择题直接在试题上作答2、设计题在答题纸上作答正题：一、填空题（共30分，每道题3分）1． 写出表达式以实现对应电路的逻辑功能。
F2． 根据图中输入输出关系将Verilog模块定义补充完整，其中信号A 为5比特宽度，其余信号为1比特宽度。
A 宽3． IEEE 标准的硬件描述语言是 verilog HDL 和 VHDL 。
4． 你所知道的可编程逻辑器件有（至少两种）： FPGA, CPLD, GAL, PAL （任写其二） 。
5． 假定某4比特位宽的变量a 的值为4’b1011，计算下列运算表达式的结果6． Verilog 语言规定了逻辑电路中信号的4种状态，分别是0，1，X 和Z 。
其中0表示低电平状态，1表示高电平状态，X 表示 不定态（或未知状态） ，Z 表示 高阻态 。
assign F= E ^ ( (A&B) | (!(C&D)))module tblock( A,B,C ) ; output [4:0] A;input B;inout C; …… //省略了功能描述endmodule //模块结束 &a = 1’b0 ~a = 4’b0100 {3{a}} = 12’b101110111011 {a[2:0],a[3]} = 4’b0111 (a<4’d3) || (a>=a) = 1’b1 !a = 1’b07． 下面两段代码中信号in ，q1，q2和q3的初值分别为0，1，2和3，那么经过1个时钟周期后，左侧程序中q3的值变成 0 ，右侧程序中q3的值变成 2 。
8． Verilog 语言规定的两种主要的数据类型分别是 wire(或net) 和 reg 。
研究生矩阵理论课后答案矩阵分析所有习题
其中1,…,n是A的特征值的任意排列. ∵ A2=E=Udiag(1,…,1)U* 和
A2=Udiag(1,…,n)U*Udiag(1,…,n)U* =Udiag(12,…,n2)U*
∴ i2=1,即i=1,i=1,…,n,. 取1,…,n的排列使特征值1(设共有r个)全排在
2 5
5 0 1 5
0 1 0
1
5
0
2 5
习题3-9
#3-9:若S,T分别为实对称,反实对称矩阵,则 A=(E+T+iS)(E-T-iS)-1为酉矩阵.
证: A*A=((E-T-iS)*)-1(E+T+iS)*(E+T+iS)(E-T-iS)-1
=((E+T+iS)-1(E-(T+iS))(E+(T+iS))(E-T-iS)-1 =(E+T+iS)-1(E+T+iS)(E-T-iS)(E-T-iS)-1 =E
∴ A+B是正定Hermite矩阵.
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*,
其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 其中1,…, ArA=n是=UUdAdi的iaag特g((征1r1,,值…….,,于nn是r))U,U**,=0 蕴∴涵Air==U0d,iia=g1(,0…,…,n,.0后)U者*=又0.蕴涵 1=…=n=0.
北京航空航天大学线性代数第二章25初等矩阵和初等变换
此即到矩阵A的简化阶梯形矩阵. 如果再对 A的简化阶梯形作列的 初等变换,可得矩阵A的标准形
线性代数
1 0 A 0 0
3 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 c2 ( 3) c1 0 0
线性代数
1 0 r1 2 r2 1 1 ( )r , 12 r 0 2 0
3
4
3 0 6 3 0 1 2 1 0 0 1 3 0 0 0 1
3 0 0 0 0 1 0 0 0 15 0 5 1 3 0 1
3 2 2 1 0 1 2 1 0 0 2 6 0 0 1 9
线性代数
1 1 r4 r3 0 2 0 0
3 2 2 1 0 1 2 1 0 0 2 6 0 0 0 12
这就是矩阵 A的阶梯形. 再对其进行初等 行变换 1 3 2 2 1 2 1 0 0 1 A 0 0 0 2 6 0 0 0 0 12
化为阶梯形和简化阶梯形.
线性代数
解
3 2 2 1 1 0 1 2 1 r1 r 2 0 A 2 6 4 5 7 1 3 4 0 5
1 0 r3 ( 2 ) r1 r4+r1 0 0
Ps P2 P 1 AQ 1Q2 Qt B
若记P=Ps …P2P1，Q=Q1Q2…Qt ，则 P为 m阶可逆矩阵， Q为 n阶可逆矩阵，于 是得到以下推论。
线性代数
推论1 mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P 与n阶可逆矩阵 Q ,使得
PAQ B
北航 矩阵论 习题2.1参考答案
则
T1
A
0
4
1 ；对于 b(2) (4,3)T ,构造 T2 使 T2b(2) b(2) e2
0 3 2
4 / 5 3 / 5 4 1 5 2
T2
3
/
5
4
/
5
,
T2
3
2
0
1
0 1 0
0 4/5 3/5
所以， T
I 0
0 T2
T1
4 3
/ /
5 5
0 0
3/5
3 )T 3
由 a3 (2, 0, 2)T ，有
12
a3
(a3, b1) (b1, b1)
b1
(a3, b2 ) (b2 , b2 )
b2
(2, 0, 2)
14 26
(3,1, 4)T
13 24
(10 , 14 , 4 )T 13 13 13
0T
13
故
k31
7 13
，
k32
1 2
3 26
i 2
1 i
6
3
0
2i 1 6 3
R
b1
b2
1
i 2
1
2
2
i 2
0
b3
0
1 0
i 3 1
0 0
3 6
0
1
2
i
6
2
3
2 0 0
1
30
1
3
2
6
3 3
1
对
P
中对应
Q1 的列向量做单位化得
P
2
1
2
3
北京航空航天大学2017年度-2018年度第一学期矩阵B试题
2017－2018 学年第一学期期末试卷学号姓名任课教师成绩考试日期：2018年 1 月23日考试科目：《矩阵理论》（B）注意事项：1、考试8个题目共9页2、考试时间120分钟题目：一、（本题 21 分）二、（本题 10 分）三、（本题 10 分）四、（本题 10 分）五、（本题 15 分）六、（本题 12 分）七、（本题 12 分）八、（本题 10 分）1. （21分）填空（1）A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1111111111111111, A 的满秩分解为( ).（2）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i 20021，则A + = ( ).（3）设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--011021010, 则 A 的Jordan 标准型J = ( ).（4）设q m q p n m C D C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,, 则矩阵方程D AXB =相容的充要条件是( ).（5）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432321210, 则 ||A||1 = ( ), ||A||∞= ( ), ||A||F = ( ).（6）设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛200120012, k 为正整数，则A k =( ).（7）设三阶矩阵A 的特征值为-1,0,1. 则矩阵A e sin 的行列式是（ ）.2．（10分）设 T 是线性空间3R 上的线性变换，它在3R 中基321,,ααα下的矩阵表示是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=512301321A . （1）求T 在基321321211,,αααβααβαβ++=+==下的矩阵表示. （2）求T 在基321,,ααα下的核与值域.3．(10分) 设A = ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2.06.06.02.0, 求证矩阵幂级数∑∞=12k kA k 收敛并求和.4．（10分） 设 A = ⎪⎪⎭⎝-110, 求A 的奇异值分解.5．（15分）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎝--5334y x的二重特征值2=λ有两个线性无关的特征向量. （1）求y x ,.（2）求可逆矩阵P ，使AP P 1-为对角矩阵.（3）求A 的谱分解表达式.6．（12分）已知A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----354113211101，b =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-333.（1）用满秩分解求+A . （2）判断方程组Ax = b 是否有解. （3）求Ax = b 的极小范数解或极小最小二乘解.7．(12分) (1) 设n n R A ⨯∈. 证明A 为实对称矩阵当且仅当A 的特征值n λλ,,1Λ为实数，且存在正交矩阵n n R Q ⨯∈，使得},,{1n T diag AQ Q λλΛ=.(2) 设k n n m C B C A ⨯⨯∈∈,, R(A)与R(AB) 分别表示A 与AB 的值域. 证明: R(A)=R(AB)的充分必要条件是存在矩阵,n k C D ⨯∈使得ABD=A.8．（10分）设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----222132021，求e At ..。
(整理)北航研究生数理统计历年试题.
2007-2008年第一学期期末试卷一、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，令)x x T -=，试证明T 服从t -分布t （2）二、（6分，B 班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明111(,)F F n m αααα-的（0<<1）的分位点x 是。
三、（8分）设总体X 的密度函数为(1),01(;) 0 , x x p x ααα⎧+<<=⎨⎩其他其中1α>-，是位置参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本，试求参数α的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体X 的密度函数为1x exp x (;) 0 , p x μμσσσ⎧⎧-⎫-≥⎨⎬⎪=⎭⎨⎩⎪⎩，其它，其中,0,μμσσ-∞<<+∞>已知，是未知参数。
x 1，x 2，…，x n 是来自总体X 的简单样本。
（1）试求参数σ的一致最小方差无偏估计σ∧； （2）σ∧是否为σ的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体211(,)N μσ的简单样本，y 1，y 2，…，y n 是来自正态总体222(,)N μσ的简单样本，且两样本相互独立，其中221122,,,μσμσ是未知参数，2212σσ≠。
为检验假设012112:, :,H H μμμμ=≠可令12, 1,2,..., , ,i i i z x y i n μμμ=-==-则上述假设检验问题等价于0111:0, :0,H H μμ=≠这样双样本检验问题就变为单检验问题。
基于变换后样本z 1，z 2，…，z n ，在显著性水平α下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，B 班不做）设x 1，x 2，…，x n 是来自正态总体20(,)N μσ的简单样本，0μ已知，2σ未知，试求假设检验问题22220010:, :H H σσσσ≥<的水平为α的UMPT 。
北京航空航天大学线性代数期中期末考试自考试卷及答案两套
北京航空航天大学线性代数期中期末考试自考试卷及答案两套线性代数期末考试模拟题一一、单项选择题1．设A为3阶方阵, 数λ =-2, |A| =3, 则|λA| =（）A．24; B．-24; C．6; D．-6.2．设A为n阶方阵, n1+n2+n3=n, 且|A|≠0, 即123AA AA⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭,则A-1=( )A．111213AA AA---⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭; B．111213AA AA---⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭;C．131211AA AA---⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭; D．131211AA AA---⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.3．设A为n阶方阵, A的秩R(A)=r<n, 那么在A的n个列向量中（）A．必有r个列向量线性无关;B．任意r个列向量线性无关;C．任意r个列向量都构成最大线性无关组;D．任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出.4．若方程组AX=0有非零解, 则AX=β(≠0)（）A．必有无穷多组解;B．必有唯一解;C．必定没有解;D．A、B、C都不对.5. 设A、B均为3阶方阵, 且A与B相似, A的特征值为1, 2, 3, 则(2B)-1特征值为( )A．2, 1, 32; B.12,14,16; C．1, 2, 3; D．2, 1,23.6. 设A ，B 为n 阶矩阵，且R （A ）=R （B ）， 则（ ）A ．AB =BA ;B ．存在可逆矩阵P , 使P -1AP =B ;C ．存在可逆矩阵C , 使C T AC =B ;D ．存在可逆矩阵P 、Q ，使P AQ =B .7．实二次型()2123222132122,,x x x x x x x x f -++=是（ ） A ．正定二次型; B ．半正定二次型; C ．半负定二次型; D ．不定二次型.8．设A , B 为满足AB =0的任意两个非零矩阵,则必有（ ）A ．A 的列向量线性相关,B 的行向量线性相关； B ．A 的列向量线性相关,B 的列向量线性相关；C ．A 的行向量线性相关,B 的行向量线性相关；D ．A 的行向量线性相关,B 的列向量线性相关.二、填空题⒈若行列式的每一行（或每一列）元素之和全为零，则行列式的值等于_______________;2.设n 阶矩阵A 满足A 2-2A +3E =O ，则A -1=_______________;3.设1230,3,1,2,1,1,2,4,3,0,7,13TT Tααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则321,,ααα的一个最大线性无关组为___________________________;4. 设0γ是非齐次方程组AX =b 的一个解向量，r n -ααα,,,21Λ是对应的齐次方程组A X =0的一个基础解系，则 0γ,,1α,,2Λαr n -α线性__________;5. 设λ1 , λ2 为n 阶方阵A 的两个互不相等的特征值，与之对应的特征向量分别为X 1，X 2，则X 1+X 2_________________________矩阵A 的特征向量。
矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)
![矩阵论试卷(2012A)答案(1[1].5)](https://img.taocdn.com/s3/m/a30b5e8571fe910ef12df86e.png)
2
17 分
⇒ 由（1）的证明知，“=”成立时，有 A 酉相似于一对角阵，根据定理 4.5.2，A 为
正规阵 20 分
2× 2
三．（1） 对任意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都有 X1 + X 2 ∈ W , kX1 ∈ W , 所以， W 是 R ⎛ x11 线 性 子 空 间 ， 设 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 ⎛ x11 X =⎜ ⎜x ⎝ 21 0 ⎞ ⎟, x11 + x21 ⎟ ⎠
的
x12 ⎞ ⎟ ∈ W , 因 为 AX = XA, 所 以 ， x22 ⎟ ⎠
⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ 5分 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎟ , X = ⎜ 2 ⎜0 1⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 维数是 2. ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ （ 2 ） 对 任 意 X1 , X 2 ∈ W , k ∈ R, 都 有 T ( X 1 + X 2 ) = T ( X1 ) + T ( X 2 ) ， 9分 T ( kX1 ) = kT ( X1 ) ，所以， T 为线性变换 ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （3）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, 有： ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 0⎞ ⎛ − 1 0⎞ T ( X 1) = ⎜ ⎜ 0 0⎟ ⎟ = 0X1 + 0 X2 ， T ( X 2 ) = ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ = −1 X1 + 2 X 2 ， ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 0 − 1⎞ ⎛ 0 −1⎞ T ( X 1 , X 2 ) = ( X 1 , X 2 )⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ ， T 在（1）中所取基下的矩阵是 A = ⎜ ⎜0 2 ⎟ ⎟ 14 分 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎛0 0⎞ （4）对于 W 的一组基为 X1 = ⎜ ⎜0 1⎟ ⎟, X 2 = ⎜ ⎜1 1 ⎟ ⎟, ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − b 0⎞ ⎛ 0 0⎞ 若 T ( aX 1 + bX 2 ) = ⎜ ⎟ ⎜ 2b b ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎟ ，则有： b = 0 ， ⎝ ⎠ ⎝ 0 0⎠ 所以， Ker (T ) = {kI2 : k ∈ R )} ，维数为 1, 17 分 ⎛ −1 0⎞ R (T ) = {T ( X ) : X ∈ W } = span{T ( X 1 ), T ( X 2 )} = {k ⎜ ⎜ 2 1⎟ ⎟ : k ∈ R} ， ⎝ ⎠