公开课课件：复数的乘除法运算
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复数的乘、除运算(上课课件)
2
2Leabharlann 即：共轭复数乘积的结果是一个实数（3）三者相等 即 z z z z
2
2
x
z2
例题讲解
例2 计算(1＋2i)÷(3－4i).
解:原式 =
+
−
=
+ +
− +
=
−+
=
−
+
.
例 3 在复数范围内解下列方程：
（1） x 2 2 0 ；
3．已知 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根(b，c 为实数)．
(1)求 b，c 的值；
(2)试判断 1－i 是否是方程的根．
D．(－1，＋∞)
解(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴得∴b＝－2，c＝2.
(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
小结
复
数
的
乘
除
1.复数的乘法运算法则
2.复数的除法运算法则
3.复数乘法的运算律
z1z2＋z1z3
z1(z2＋z3)＝________
例题讲解
例1
计算下列各题．
(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 .
解：(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝－20＋15i.
(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.
2Leabharlann 即：共轭复数乘积的结果是一个实数（3）三者相等 即 z z z z
2
2
x
z2
例题讲解
例2 计算(1＋2i)÷(3－4i).
解:原式 =
+
−
=
+ +
− +
=
−+
=
−
+
.
例 3 在复数范围内解下列方程：
（1） x 2 2 0 ；
3．已知 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根(b，c 为实数)．
(1)求 b，c 的值；
(2)试判断 1－i 是否是方程的根．
D．(－1，＋∞)
解(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴得∴b＝－2，c＝2.
(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，
把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
小结
复
数
的
乘
除
1.复数的乘法运算法则
2.复数的除法运算法则
3.复数乘法的运算律
z1z2＋z1z3
z1(z2＋z3)＝________
例题讲解
例1
计算下列各题．
(1)(1－2i)(3＋4i) (－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2 .
解：(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝－20＋15i.
(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.
《4.2.2 复数的乘法与除法》课件-优质公开课-北师大选修1-2精品
z 来表示. (2)记作：复数z的共轭复数用__
a-bi 例如，若z=a+bi(a,b∈R)，则 z =_____. (3)性质：若z=a+bi，则 zz a 2 b2 z 2 .
2.复数的乘法与除法 (1)运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则 (ac-bd)+(ad+bc)i ①z1·z2=(a+bi)·(c+di)= _________________;
4．复数模的主要性质
1 ,即 zz 1 ; z (2)｜z1z2｜=｜z1｜｜z2｜;
(1)若｜z｜=1，则 z
(3)｜ 1｜
z z2
｜z｜ 1 (z2≠0)； ｜z｜ 2
(4)｜z｜=｜ z｜; (5)｜zn｜=｜z｜n； (6)｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜+｜z2｜.
2.理解复数的乘法、除法法则
(1)当复数的虚部为零时,与实数的乘除法法则一致.
(2)实数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复数
集中仍成立. (3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数. (4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.
3.复数的除法与实数的除法
复数的除法与实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分 化简,得出结论,但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约 分化简.复数的除法的一般做法是,由于两个共轭复数的积是一 个实数,因此,两个复数相除,可以先把它们的商写成分式的形 式,然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分母的共轭 复数),并把结果化简即可.
i
6
2 3i 3 2i 6 13i 6 1 1 i. 13 3 2i 3 2i 2i
a-bi 例如，若z=a+bi(a,b∈R)，则 z =_____. (3)性质：若z=a+bi，则 zz a 2 b2 z 2 .
2.复数的乘法与除法 (1)运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，则 (ac-bd)+(ad+bc)i ①z1·z2=(a+bi)·(c+di)= _________________;
4．复数模的主要性质
1 ,即 zz 1 ; z (2)｜z1z2｜=｜z1｜｜z2｜;
(1)若｜z｜=1，则 z
(3)｜ 1｜
z z2
｜z｜ 1 (z2≠0)； ｜z｜ 2
(4)｜z｜=｜ z｜; (5)｜zn｜=｜z｜n； (6)｜｜z1｜-｜z2｜｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜+｜z2｜.
2.理解复数的乘法、除法法则
(1)当复数的虚部为零时,与实数的乘除法法则一致.
(2)实数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复数
集中仍成立. (3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数. (4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.
3.复数的除法与实数的除法
复数的除法与实数的除法有所不同,实数的除法可以直接约分 化简,得出结论,但复数的除法因为分母为复数一般不能直接约 分化简.复数的除法的一般做法是,由于两个共轭复数的积是一 个实数,因此,两个复数相除,可以先把它们的商写成分式的形 式,然后把分子分母都乘以分母的共轭复数(注意是分母的共轭 复数),并把结果化简即可.
i
6
2 3i 3 2i 6 13i 6 1 1 i. 13 3 2i 3 2i 2i
7.2.2复数的乘、除运算高一数学课件
2.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数 叫做互为共轭复数. 复数z=a+bi的共轭复数记作
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
另外不难证明:
例 3．在复平面内，复数 z1 ， z2 对应的点分别为1,2，2,1 .
（1）求 z1 z2 的值；
（2）若 z1 是关于 x 的方程 x2 px q 0 的一个根，求实数 p，
复数z=a+bi的共轭复数记作
思考：设z=a+bi (a,b∈R ),那么
另外不难证明:
（2）(a bi)2 a2 2abi b2i2
a2 2abi b2
a2 b2 2abi
（3）(1 2i)(3 4i)(2 i)
练习:
13 1.计算 (2 3i)(2 3i) =
3-i 2.已知 (3 i)z 10 ,则 z
解：因为 2x＋(5－y)i 和 3x－1－(y＋1)i 是共轭复数， 所以25x－＝y＝3xy－＋11，， 解得xy＝＝21.， 所以 z＝1＋2i， z ＝1－2i.
3、复数的除法法则
a bi i (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
ac bd (bc ad)i
因为 ，故 D 正确，故选:AD.
z 12023 3
i2023
i
6．已知复数 z 满足 z z 8, z2 的虚部为 8． (1)求复数 z； (2)设 z2, z, z2 z 在复平面上对应的点分别为 A，B，C， 求 AC 的长度．
【详解】（1）设 z a bia,bR ，则 z a bi ，
证明：
（（21））
13(12
2
1 3 2
(上课)复数的乘除运算完整版课件
得 a1,b 3
z1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
1 9
作业
作业本3.2.2
1 0
证明：设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2
= (a2+b2)(c2+d2)
= a2+b2 ∙ c2+d2
= | z1 | ∙ | z2 |
z
abi
abi4a(a2bb2)i aa24 ab2(ba24 bb2)i
1
7
z 4R
z
b(1a2 4b2)0
b0或 a2b24 ①
|z 2 | 2 得 |a b 2 i| 2
(a2)2b2 2 ②
1 8
将 b=0代入②得 a=4 或 a=0 ∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将 a2b2 4代入② (a2)24a24,得 a 1
2
例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i) =（11-2i)(-2+i) =-20+15i . 对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
即 z ∙z=|z|2=|z|2 .
3 例 2 计算
(1) (43i) (4 3i)(2)(1i)2
解 (1)( 3 4 i )( 3 4 i ) 32 (4i)2 9 ( 16 ) 25
z1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
1 9
作业
作业本3.2.2
1 0
证明：设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2
= (a2+b2)(c2+d2)
= a2+b2 ∙ c2+d2
= | z1 | ∙ | z2 |
z
abi
abi4a(a2bb2)i aa24 ab2(ba24 bb2)i
1
7
z 4R
z
b(1a2 4b2)0
b0或 a2b24 ①
|z 2 | 2 得 |a b 2 i| 2
(a2)2b2 2 ②
1 8
将 b=0代入②得 a=4 或 a=0 ∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将 a2b2 4代入② (a2)24a24,得 a 1
2
例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i) =（11-2i)(-2+i) =-20+15i . 对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
即 z ∙z=|z|2=|z|2 .
3 例 2 计算
(1) (43i) (4 3i)(2)(1i)2
解 (1)( 3 4 i )( 3 4 i ) 32 (4i)2 9 ( 16 ) 25
复数的乘法与除法优质课件
2．复数的除法运算法则的记忆
复数除法一般先写成分数形式，再把分母实数化，即
分子、分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚
数，则只需同乘以i.
3.记住以下结果，可提高运算速度．
(1)(1＋i) ＝2i，(1－i) ＝－2i.
1－ i 1＋ i (2) ＝－i， ＝i. 1＋ i 1－ i
1 (3) ＝－i. i
2
2
3 i 1. （2012 · 新课标全国卷）复数z 的共轭复数是（ D ） 2i
A.2+i
B.2-i
C.-1+i
D.-1-i
2.（2012·山东高考）若复数z满足z(2-i)=11+7i (i为虚数单位)，则z为（ A ） A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i
1.复数的乘法法则类似于两个多项式相乘，展开后要把 i2换成－1，并将实部与虚部分别合并.若求几个复数的连 乘积，则可利用交换律和结合律每次两两相乘. 2.复数的除法法则类似于两个根式的除法运算，一般先 将除法运算式写成分数形式，再将分子、分母同乘以分母 的共轭复数，把分母化为实数，分子按乘法法则运算. 3.对复数的乘法、除法运算要求掌握它们的算法，不 要求记忆运算公式.
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=a+bi (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
记作
a bi . c di
a bi (a bi)(c di) c di (c di)(c di)
(ac bd) (bc ad)i c2 d 2
2 2
公开课复数的乘除法运算[人教版选修22]精品PPT课件
![公开课复数的乘除法运算[人教版选修22]精品PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/6dcaa16576a20029bc642d07.png)
解（ 1）2 （1 3） 2
22
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 2）（ ） 2（1 3） 2
22
解
1 3i( 3i)2 42 2
1 3i 22
（ 3 ） 32
解 （ 1 3） （ 2 1 3）
22
22
（ 13）1 （ 3） 1
22
22
小结： 2 （ ，） 2
31 ， ） （ 31
(a+bi)(c-di) =
(c+di)(c-di)
(ac+bd)+(bc-ad)i =
c2+d2
=
ac+bd c2+d2
+
bc-ad c2+d2
i
(c+di ≠0)
因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0，
所以商
a+bi c+di
是唯一确定的复数.
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help 为方便学习与使用课件内容，课件可以在下载后自由编辑
0i1 i2 i 1
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足
(c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商，
a+bi 记作
c+di
a+bi (a+bi)(c-di)
c+di
复数代数形式的乘除运算 课件
也就是说,“两个复数的平方和为零”是“这两个复数同时为零”的
必要不充分条件.
2.如何理解共轭复数?
剖析:(1)实数a的共轭复数仍是a本身,这是判断一个数是否为实
数的一个法则.
(2)几何特征:两个共轭复数的对应点关于实轴对称;
代数特征:两个共轭复数的虚部互为相反数,实部相等.
(3)一个重要性质.
两个共轭复数z, 的积是一个实数,这个实数等于每一个复数的
复数集中不一定成立.如:
(1)当z∈R时,|z|2=z2;当z∈C时,|z|2∈R而z2∈C,所以|z|2=z2不一定
成立,
但是|z|2=z·.
(2)当z1,z2∈R时, 12 + 22 = 0⇔z1=0,且z2=0;
当z1,z2∈C时, 12 + 22 = 0
1 = 0, 且z2=0,但z1=0,z2=0⇒ 12 + 22 = 0.
+
+
1.如何理解复数代数形式的乘除法运算法则?
剖析:(1)当复数的虚部为零时,复数的乘除法法则与实数的乘除
法法则一致.
(2)实数集中乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复
数集中仍成立.
(3)两个复数的积(商)是唯一确定的复数.
(4)可以推广到多个复数进行乘除法运算.
温馨提示实数集中乘法、乘方的一些重要结论和一些运算法则在
∴B=z1·z1 + z2 · z2 = ( + bi)( − bi) + ( c +
di)·(c-di)=a2+b2+c2+d2,
∴B∈R.
又A = z1 ·z2 + z2 ·z1 = z1 ·z2 + z2 ·z1
7.2.2复数的乘、除运算 课件(共32张PPT)
第七章 §7.2 复数的四则运算
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 复数的乘法及其运算律
12345
5.若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝___1__. 解析 因为(3－4i)z＝4＋3i， 所以 z＝43＋－34ii＝43＋ －34ii33＋ ＋44ii＝2255i＝i. 则|z|＝1.
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律 以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、 分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复 数 问 题 实 数 化 是 解 决 复 数 问 题 的 基 本 思 想 方 法 ， 其 桥 梁 是 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
(1)－4－3i； 解 －24－－i3i＝－24－－i3i－－4＋4＋3i3 i＝－8＋62i5＋4i＋3＝－52＋5 10i＝－15＋25i；
1＋2i2＋31－i
(2)
；
2＋i
解 1＋2i22＋＋i31－i＝－3＋24＋i＋i 3－3i＝2＋i i＝i25－i＝15＋25i.
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算. 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3.理解共轭复数的概念.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 复数的乘法及其运算律
12345
5.若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝___1__. 解析 因为(3－4i)z＝4＋3i， 所以 z＝43＋－34ii＝43＋ －34ii33＋ ＋44ii＝2255i＝i. 则|z|＝1.
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课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律 以及乘法对加法的分配律. (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、 分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化. 2.共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题. 3.复数问题实数化思想. 复 数 问 题 实 数 化 是 解 决 复 数 问 题 的 基 本 思 想 方 法 ， 其 桥 梁 是 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R)，利用复数相等的充要条件转化.
(1)－4－3i； 解 －24－－i3i＝－24－－i3i－－4＋4＋3i3 i＝－8＋62i5＋4i＋3＝－52＋5 10i＝－15＋25i；
1＋2i2＋31－i
(2)
；
2＋i
解 1＋2i22＋＋i31－i＝－3＋24＋i＋i 3－3i＝2＋i i＝i25－i＝15＋25i.
复数代数形式的乘除运算 课件
点评：在复数范围内解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0，a，b，c∈R)，将根设为 m＋ni，再利用复数相等 的充要条件解决问题．
题型4 利用in的周期性求解
例4 i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________(用 a＋bi的形式表示，a，b∈R)．
分析：利用 i 的周期性化简求和． 解析：i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i. 答案：4－4i 点评：熟记 i 的周期性，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．记住以 下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②11－ ＋ii＝－i， 11＋ －ii＝i；③1i ＝－i.
解析：(1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴b2＋＋cb＝＝00，. 得 b＝－2，c＝2. ∴b，c 的值为 b＝－2，c＝2. (2)∵方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程左边，得 (1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立． ∴1－i 是方程的根．
点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如 z z ＝|z|2＝| z |2，z∈R⇔z＝ z 等．
(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数 的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实 数问题求解．
题型3 复数范围内解方程问题 例3 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为
实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根．
基础 梳理
例：i＋2 的共轭复数是( )
A．2＋i
B．2－i
C．－2＋i
D．－2－i
答案：B
题型4 利用in的周期性求解
例4 i是虚数单位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________(用 a＋bi的形式表示，a，b∈R)．
分析：利用 i 的周期性化简求和． 解析：i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝i－2－3i＋4＋5i－6－7i＋8＝4－4i. 答案：4－4i 点评：熟记 i 的周期性，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．记住以 下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②11－ ＋ii＝－i， 11＋ －ii＝i；③1i ＝－i.
解析：(1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴b2＋＋cb＝＝00，. 得 b＝－2，c＝2. ∴b，c 的值为 b＝－2，c＝2. (2)∵方程为 x2－2x＋2＝0，把 1－i 代入方程左边，得 (1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立． ∴1－i 是方程的根．
点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如 z z ＝|z|2＝| z |2，z∈R⇔z＝ z 等．
(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数 的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实 数问题求解．
题型3 复数范围内解方程问题 例3 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为
实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根．
基础 梳理
例：i＋2 的共轭复数是( )
A．2＋i
B．2－i
C．－2＋i
D．－2－i
答案：B
复数代数形式的乘除运算 课件
3＋ (3)2－
23ii＋32－ ＋23ii.
解：(1)(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i) ＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3) ＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. (2)(1＋2i)÷(3－i)＝13＋－2ii＝13＋－2ii33＋＋ii
＝3＋i＋6i－2＝1＋7i＝ 1 ＋ 7 i.
＝i－1i4－× 5i0 3＋ 2＝i1－－i2i＝i1＋－1i
＝i11－－ii＝ i.
法二：∵ in＋ in＋ 1＋in＋ 2＋ in＋ 3＝ in(1＋ i＋ i2＋ i3 )＝ 0，
∴原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2 009＋i2 010＋i2 011＋i2 012)＋i2 013＝i2 013＝i4×503＋1＝i.
设 z1＝a ＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋ di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，又 z1·z2＝0，所以(ac－bd)＋(ad
＋bc)i＝0，即aacd－＋bbdc＝＝00，， 即aacd＝＝b－d，bc，
① ②
①×d－②×c 得：b＝0 或 c2＋d2＝0，即 b＝0 或 c＝0 且
D．若 z1·z2＝0，则 z1＝0 或 z2＝0
【常见错误】 忽视 z∈C 复数误选 A 或 B，对 C，若改
z＝a＋bi 则 z－ z ＝2bi，易忽略 b＝0 情况而误选．
【解析】 选项 A 不正确，如 z＝i.选项 B 不正确，如 a ＝1，b＝i.选项 C 不正确，如 z＝0 则 z ＝0.选项 D 正确，
复数代数形式的乘除运算
1．复数乘法的运算法则和运算律
(1)复数的乘法法则
复数的乘法与除法优秀课件
(6-6)+(4+9)i
4+9
9
关于共轭复数的运算性质
z1 ， z2 ∈ C , z1∙z2= z1∙z2 , z1 z1 （ ） = z2 z2 ，(z2 ≠0) . 则
10
在乘除法运算中关于复数模的性质
已知 z1 ， z2 ∈C , 求证：
| z1 ∙ z2 |=| z1 | ∙ | z2 | ， z1 | z1 | = z2 | z2 | ，(z2 ≠0) .
6
(a+bi)(c-di) a+bi = c+di (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2
= ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2 因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di
7
例3 计算: （1） （1+2i)(3-4i)
1+2i 解：（1+2i)(3-4i)= 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
= -5+10i 25
1 2 =- + i . 5 5
8
(2)
解:
(3+2i) (2-3i)
3+2i (3+2i)(2+3i) = 2-3i (2-3i)(2+3i) = =i
3 2
1 3 1 3 ( i)( i) 2 2 2 2 1
小结：
,( ) ,
2 2
4+9
9
关于共轭复数的运算性质
z1 ， z2 ∈ C , z1∙z2= z1∙z2 , z1 z1 （ ） = z2 z2 ，(z2 ≠0) . 则
10
在乘除法运算中关于复数模的性质
已知 z1 ， z2 ∈C , 求证：
| z1 ∙ z2 |=| z1 | ∙ | z2 | ， z1 | z1 | = z2 | z2 | ，(z2 ≠0) .
6
(a+bi)(c-di) a+bi = c+di (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2
= ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2 因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di
7
例3 计算: （1） （1+2i)(3-4i)
1+2i 解：（1+2i)(3-4i)= 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
= -5+10i 25
1 2 =- + i . 5 5
8
(2)
解:
(3+2i) (2-3i)
3+2i (3+2i)(2+3i) = 2-3i (2-3i)(2+3i) = =i
3 2
1 3 1 3 ( i)( i) 2 2 2 2 1
小结：
,( ) ,
2 2
复数代数形式的乘除运算公开课ppt课件
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
解二：原式=32 -4i2
=9+16 =25
=25
3(1 2i)(3 4i)(1+2i)
解：原式 =
12
2i 2
(3
4i)
=5(3 4i)
课前预习 (预习具体内容) 一、自主学习
复习1：计算
1(1 4i)+(7 2i) 2(5 2i)+(1 4i) (2 3i)
解：原式=8 2i
复习2：
解：原式= 4+2i (2 3i)
=2+5i
计算：(a b)2 _a_2___2_a_b___b2
(3a 2b)(3a 2b) _9_a_2___4_b_2___
__a_c____b_d______a_d____c__bi
提出问题2：怎么理解复数的乘法法则？ 活动成果： 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式__相__乘__。
只有在所得的结果中把 i2 换成__-_1__,并且把实部与虚部
分别__合__并___即可。
课堂探究
练习1：计算
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
=25
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算， 也满足其在实数集上的运算律.
课堂探究
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
解二：原式=32 -4i2
=9+16 =25
=25
3(1 2i)(3 4i)(1+2i)
解：原式 =
12
2i 2
(3
4i)
=5(3 4i)
课前预习 (预习具体内容) 一、自主学习
复习1：计算
1(1 4i)+(7 2i) 2(5 2i)+(1 4i) (2 3i)
解：原式=8 2i
复习2：
解：原式= 4+2i (2 3i)
=2+5i
计算：(a b)2 _a_2___2_a_b___b2
(3a 2b)(3a 2b) _9_a_2___4_b_2___
__a_c____b_d______a_d____c__bi
提出问题2：怎么理解复数的乘法法则？ 活动成果： 可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式__相__乘__。
只有在所得的结果中把 i2 换成__-_1__,并且把实部与虚部
分别__合__并___即可。
课堂探究
练习1：计算
1(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9-12i+12i-16i2
2(3 4i)(3 4i)
解一：原式=9+12i-12i-16i2
=9+16
=9+16
=25
=25
反思：复数的四则运算类似于多项式的四则运算， 也满足其在实数集上的运算律.
课堂探究
3.2.2复数的乘除法PPT优秀课件
| 43i ||1 7i | | 2i |
22.05.2019
5 8 10 6 .
3
3
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
i的乘方规律
i1 i,i2 1 ,i3 i2i i,i4 1 从而对任意 nN ，
i4 n 1 i,i4 n 2 1 ,i4 n 3 i,i4 n 1 .
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
(2) z1 z2是一个怎样的数?
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi ,
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
在乘除法运算中关于复数模的性质
已知 z1 ， z2 ∈C , 求证：
| z1 ∙ z2 |=| z1 | ∙ | z2 | ，
z1 z2
= | z1 | | z2 |
，(z2 ≠0) .
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
证明：设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2
22.05.2019
5 8 10 6 .
3
3
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
i的乘方规律
i1 i,i2 1 ,i3 i2i i,i4 1 从而对任意 nN ，
i4 n 1 i,i4 n 2 1 ,i4 n 3 i,i4 n 1 .
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
(2) z1 z2是一个怎样的数?
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi ,
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
在乘除法运算中关于复数模的性质
已知 z1 ， z2 ∈C , 求证：
| z1 ∙ z2 |=| z1 | ∙ | z2 | ，
z1 z2
= | z1 | | z2 |
，(z2 ≠0) .
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
证明：设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2
复数乘除法运算ppt
掌握复数乘除法的计算技巧
乘法技巧
掌握分配律、结合律等乘法运算的技巧，简化计算过程。
除法技巧
掌握共轭复数、有理化分母等除法运算的技巧，确保结果的准确性。
THANKS
感谢观看
01
02
03
实例1
将3 + 4i除以2，得到结果 为1.5 + 2i。
实例2
将-5 - 6i除以-3，得到结 果为5/3 - 2i。
实例3
将4 - 3i除以3 + 2i，得到 结果为(4 - 3i)(3 - 2i)/13 = 1 - i。
03
复数乘除法的应用
在物理学中的应用
量子力学
复数在量子力学中扮演着重要的角色，它们用于描述波函数和概率幅。通过复 数乘除法运算，可以计算波函数的演化、叠加和测量结果。
使用草稿纸
在草稿纸上进行每一步的 计算，避免在同一张纸上 涂改，导致混乱。
多次检查
完成运算后，要反复检查， 确保结果的准确性。
理解复数乘除法的数学意义
复数乘法意义
理解复数乘法的几何意义，即两个复数相乘相当于在复平面上进行旋转和伸缩变换。
复数除法意义
理解复数除法的几何意义，即一个复数除以另一个复数相当于将除数的共轭复数与被除数相乘后再进行相应的逆 变换。
几何表示
伸缩
复数乘法可以理解为在复平面上的向 量旋转和伸缩。
当两个复数的实部相等时，虚部相乘 等于原来两个虚部相乘的结果加上实 部平方，实部相乘等于原来两个实部 相乘的结果减去虚部平方。
旋转
当两个复数的虚部相等时，实部相乘 等于原来两个实部相乘的结果减去虚 部平方，虚部相乘等于原来两个虚部 相乘的结果加上实部平方。
7.2.2 复数的乘除运算PPT课件(人教版)
A.1＋2iB.12iC.2＋i D.2－i
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
－
4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
－
解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.
－
(2)若z (1＋i)＝1－i，则 z＝( D )
A.1－i
B.1＋i
C.－i D.i
解析 (1)31＋ ＋ii＝（ （31＋ ＋ii） ）（ （11－ －ii） ）＝4－2 2i＝2－i.
－
(2)由z (1＋i)＝1－i，
得－z＝11－ ＋ii＝（1＋（i1）－（i）1－2 i）＝－i，故 z＝i.
D.1＋2i
解析 31＋ －ii＝（ （31＋ －ii） ）（ （11＋ ＋ii） ）＝2＋2 4i＝1＋2i.
－
4.设复数 z1＝2－i，z2＝1－3i，则复数zi1＋z52的虚部等于____1____.
－
解析 ∵zi1＋z52＝2－i i＋1＋5 3i＝i（25＋i）＋15＋35i
＝－15＋25i＋15＋35i＝i，
题型三 复数范围内解方程
【例3】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否为方程的根. 解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴b2＋ ＋cb＝＝00，，得bc＝＝2－. 2，∴b＝－2，c＝2. (2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，得 x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根.
思维升华
1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其 结果，这样可简化运算过程.例如，1i ＝－i，(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，11＋ －ii＝ i，11－ ＋ii＝－i，a＋bi＝i(b－ai)，ba－＋abii＝i 等.
复数的乘、除运算(优秀经典公开课课件)
第七章 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算
学业标准
素养目标
1．结合多项式的乘法了解复数的乘法法 1．通过学习复数的乘法和除法，培养学
则．(难点) 生数学运算素养．
2．理解共轭复数的概念．(重点) 2．通过学习复数乘法运算所满足的运算
3．能进行复数的除法以及分母实数 律，培养学生数学抽象素养.
答案
3 2
4．设 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且zz12为纯虚数，则实数 a＝________. 解析 设zz12＝bi(b∈R 且 b≠0)，所以 z1＝bi·z2， 即 a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，
所以a2＝ ＝43bb， ， 所以 a＝83.
答案
8 3
02
课堂案 题型探究
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
z1z2＝___z2_z_1___ (z1z2)z3＝___z_1(_z_2z_3_) ___ z1(z2＋z3)＝____z_1z_2_＋__z_1z_3_____
导学 2 复数的除法 如何规定两复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)
值可以是( )
A．1
B．－2
C．－3
D．－4
解析 因为 z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)， 又此点在第二象限， 所以a1＋－1a＜＞00，， 解得 a＜－1，所以选 B，C，D.
答案 BCD
题型二 复数的除法运算
[例 2] (1)31＋ ＋ii＝(
答案 －2＋i
题型三 复数乘法和除法的综合应用 [例 3] 已知 z1 是虚数，z2＝z1＋z11是实数，且－1≤z2≤1. (1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围； (2)若 ω＝11＋－zz11，求证：ω 为纯虚数．
学业标准
素养目标
1．结合多项式的乘法了解复数的乘法法 1．通过学习复数的乘法和除法，培养学
则．(难点) 生数学运算素养．
2．理解共轭复数的概念．(重点) 2．通过学习复数乘法运算所满足的运算
3．能进行复数的除法以及分母实数 律，培养学生数学抽象素养.
答案
3 2
4．设 z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且zz12为纯虚数，则实数 a＝________. 解析 设zz12＝bi(b∈R 且 b≠0)，所以 z1＝bi·z2， 即 a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi，
所以a2＝ ＝43bb， ， 所以 a＝83.
答案
8 3
02
课堂案 题型探究
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
z1z2＝___z2_z_1___ (z1z2)z3＝___z_1(_z_2z_3_) ___ z1(z2＋z3)＝____z_1z_2_＋__z_1z_3_____
导学 2 复数的除法 如何规定两复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)
值可以是( )
A．1
B．－2
C．－3
D．－4
解析 因为 z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)， 又此点在第二象限， 所以a1＋－1a＜＞00，， 解得 a＜－1，所以选 B，C，D.
答案 BCD
题型二 复数的除法运算
[例 2] (1)31＋ ＋ii＝(
答案 －2＋i
题型三 复数乘法和除法的综合应用 [例 3] 已知 z1 是虚数，z2＝z1＋z11是实数，且－1≤z2≤1. (1)求|z1|的值以及 z1 的实部的取值范围； (2)若 ω＝11＋－zz11，求证：ω 为纯虚数．
公开课复数的乘除法运算课件市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
公开课复数乘除法运算课件
第 151/157页
五、【课堂小结】
复数乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac －bd)+(bc+ad)i. 复数代数式相乘，
可按多项式类似方法进行，无须去记
公式.
复数除法法则是：
i(c+di≠0).
两个复数相除较简捷方法是把它们商 写成份式形式，然后把分子与分母都 乘以分母共轭复数，再把结果化简
（１）在复平面内，它们所对应点有怎样位 置关系？
（２） z1 、z2是一个怎样数？
公开课复数乘除法运算课件
第 9/197页
两个互为共轭复数乘积等于这个复数（或 其共轭复数）模平方
结论： •
2
2
公开课复数乘除法运算课件
第 101/107页
练习：
求(1 i)2 (1 i)2
(a bi)2 a2 2abi b2i2
(ac
bd ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
(bc d2
ad )i
分母实数化
公开课复数乘除法运算课件
第 131/137页
例4.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
公开课复数乘除法运算课件
第 141/147页
四、【巩固新知】
求
已知 z1 3 2i
z1 z2 , z1 z2
,
,
z2
z1
•
1
z2
4i
, z1 z2
碰到 时i，2 要把 换i成2 ，
并-把1 最终止果写成
a bi(a,b R) 形式。
公开课复数乘除法运算课件
第 3/137页
设 z1 a bi , z2 c di
公开课课件：复数的乘除法运算
仔细核对运算过程
在进行复数乘除法运算时，需要仔细核对运算过程，确保 每一步运算都是正确的。同时，也要注意符号的处理和结 果的正确性。
THANKS
[ 感谢观看 ]
01
复数乘法定义为两个复数相乘， 将它们的实部和虚部分别相乘， 然后合并同类项。
02
例如：$(a+bi) times (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$
复数乘法的计算方法
计算步骤
先计算实部和虚部的乘积，然后合并同类项。
注意事项
在进行乘法运算时，需要注意运算的优先级，先进行括号内的乘法，再进行实部 和虚部的乘法。
复数除法的几何意义
几何意义
复数除法运算可以理解为在复平面内，以原点为起点，作一 个向量与给定向量成比例，这个比例即为所求的复数除法的 结果。
举例
若 $z = 3 + 4i$，则 $frac{z}{2} = 1.5 + 2i$，在复平面内表 示为以原点为起点，作一个向量，该向量与 $z$ 成比例为 $frac{1}{2}$，即为所求的结果。
CHAPTER 03
复数的除法运算
复数除法的定义
定义
复数除法运算是指将一个复数除以一 个非零实数或复数，得到的结果仍为 一个复数。
举例
若 $z = 3 + 4i$，则 $frac{z}{2} = 1.5 + 2i$。
复数除法的计算方法
计算步骤
先对分母进行化简，再对分子和 分母进行乘除运算，最后得到结
复数的表示方法
总结词
复数可以用多种方式表示，包括代数式、三角式和极坐标式。
详细描述
代数式是将复数表示为实部和虚部的和，即$z=a+bi$；三角式是将复数表示为 模长和幅角的乘积形式，即$z=r(costheta+isintheta)$；极坐标式是将复数表 示为模长和角度的形式，即$z=r(costheta+isintheta)$。
在进行复数乘除法运算时，需要仔细核对运算过程，确保 每一步运算都是正确的。同时，也要注意符号的处理和结 果的正确性。
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01
复数乘法定义为两个复数相乘， 将它们的实部和虚部分别相乘， 然后合并同类项。
02
例如：$(a+bi) times (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$
复数乘法的计算方法
计算步骤
先计算实部和虚部的乘积，然后合并同类项。
注意事项
在进行乘法运算时，需要注意运算的优先级，先进行括号内的乘法，再进行实部 和虚部的乘法。
复数除法的几何意义
几何意义
复数除法运算可以理解为在复平面内，以原点为起点，作一 个向量与给定向量成比例，这个比例即为所求的复数除法的 结果。
举例
若 $z = 3 + 4i$，则 $frac{z}{2} = 1.5 + 2i$，在复平面内表 示为以原点为起点，作一个向量，该向量与 $z$ 成比例为 $frac{1}{2}$，即为所求的结果。
CHAPTER 03
复数的除法运算
复数除法的定义
定义
复数除法运算是指将一个复数除以一 个非零实数或复数，得到的结果仍为 一个复数。
举例
若 $z = 3 + 4i$，则 $frac{z}{2} = 1.5 + 2i$。
复数除法的计算方法
计算步骤
先对分母进行化简，再对分子和 分母进行乘除运算，最后得到结
复数的表示方法
总结词
复数可以用多种方式表示，包括代数式、三角式和极坐标式。
详细描述
代数式是将复数表示为实部和虚部的和，即$z=a+bi$；三角式是将复数表示为 模长和幅角的乘积形式，即$z=r(costheta+isintheta)$；极坐标式是将复数表 示为模长和角度的形式，即$z=r(costheta+isintheta)$。
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设复数z1=a+bi,z2=c+di,那么：
z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分
别相加(减).
A
2
二、【新课探究】
1.复数的乘法法则
两个复数的乘法可以按照多
项式的乘法运算来进行，只
是在遇到 i 2 时，要把 i 2 换
两个复数相除较简捷的方法是把它们 的商写成分式的形式，然后把分子与 分母都乘以分母的共轭复数，再把结 果化简
A
16
六、【作业布置】
P61习题3.2 A组
4（4）、 5（4）
A
17
A
4
2.复数运算满足交换律、结合律、分配 律。
••
12
21
（ • ） • • （ • ） 12 3 1 23
• （ ） • • 1 2 3 12 13
A
5
三、【例题讲解】
例1
已知 112i,234i
计算 1•2。
解:
1• 2 （ 1 2 i） (3 4 i)
书少成《天选才功山小修就=有艰1是不-欢2苦百路》分学的第勤迎之劳三习一为动章光，的径+老数灵正，临系感确学来！的，的欢扩百海徒方充分无迎法与之伤+崖复九指少悲数十苦谈导的九空作!引的话入汗舟水！
3.2.2 复数的乘除运算
2020年4月29日星期三
A
1
一、【回顾旧知】
复数加减法的运算法则：
运算法则:
成-1，并把最后的结果写成
ab(a i,b R )的形式。
A
3
设 z1 a b,iz2 c d i
(a ， b ， c ， d R )
则 z 1• z2 （ a b ） (c i d )i
a c a d b ic b2 id
(a c b) d(a d b)ic
显然，两个复数的乘积仍为复数
(ab)2ia22 a bb2i2
a22abb i2
A
11
4【思考探究】 i 的指数变化规律
i1 i,i2 1,i3 i,i4 1
i5 _ i ,_ i6 -_ 1 ,_ i7 _ - i ,_ i8 _ 1 _
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i4n 1 , i4n1 i ,
i4n2 1 , i4n3 i
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
Z的共轭复数记作Ｚ 思考：若z1 、 z2 ，是共轭复数，那么
（１）在复平面内，它们所对应的点有怎样的 位置关系？
（２） z1 、z2是一个怎样的数？
A
9
两个互为共轭的复数的乘积等于这个复数 （或其共轭复数）模的平方
结论 •： 22
A
10
练习：
求(1i)2
(1i)2
34i6i8i2
112i
A
6
例 2 (1 2 i)3 ( 4 i) (2 i)
解：
A
7
例3 计算:
(3+4i)(3-4i) = 9-16i2
=9+16=25
练习：计算 （ 1） (ab)ia (b)i
a 2 a bai b b 2 ii2
a2 b2
A
8
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。
14
四、【巩固新知】
求 z已1 知z2z1 , z1 3 z2 2i,,zz2 1 •1 z2 ,4 izz1 2
A
15
五、【课堂小结】
复数的乘法法则是：
(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
复数的代数式相乘，可按多项式类似
的办法进行，不必去记公式.
复数的除法法则是：
i(c+di≠0).
A
12
(5)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简后
写成代数形式(分母实数化).即
(ab)i(cd)iabi cdi
(ab i)(cd i) (cdi)(cdi)
(acbd )(bcad )i
c2d2
分母实数化
A
13
例4.计算 (12i)(34i)
解:
A
z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分
别相加(减).
A
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二、【新课探究】
1.复数的乘法法则
两个复数的乘法可以按照多
项式的乘法运算来进行，只
是在遇到 i 2 时，要把 i 2 换
两个复数相除较简捷的方法是把它们 的商写成分式的形式，然后把分子与 分母都乘以分母的共轭复数，再把结 果化简
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六、【作业布置】
P61习题3.2 A组
4（4）、 5（4）
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A
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2.复数运算满足交换律、结合律、分配 律。
••
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21
（ • ） • • （ • ） 12 3 1 23
• （ ） • • 1 2 3 12 13
A
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三、【例题讲解】
例1
已知 112i,234i
计算 1•2。
解:
1• 2 （ 1 2 i） (3 4 i)
书少成《天选才功山小修就=有艰1是不-欢2苦百路》分学的第勤迎之劳三习一为动章光，的径+老数灵正，临系感确学来！的，的欢扩百海徒方充分无迎法与之伤+崖复九指少悲数十苦谈导的九空作!引的话入汗舟水！
3.2.2 复数的乘除运算
2020年4月29日星期三
A
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一、【回顾旧知】
复数加减法的运算法则：
运算法则:
成-1，并把最后的结果写成
ab(a i,b R )的形式。
A
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设 z1 a b,iz2 c d i
(a ， b ， c ， d R )
则 z 1• z2 （ a b ） (c i d )i
a c a d b ic b2 id
(a c b) d(a d b)ic
显然，两个复数的乘积仍为复数
(ab)2ia22 a bb2i2
a22abb i2
A
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4【思考探究】 i 的指数变化规律
i1 i,i2 1,i3 i,i4 1
i5 _ i ,_ i6 -_ 1 ,_ i7 _ - i ,_ i8 _ 1 _
你能发现规律吗？有怎样的规律？
i4n 1 , i4n1 i ,
i4n2 1 , i4n3 i
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
Z的共轭复数记作Ｚ 思考：若z1 、 z2 ，是共轭复数，那么
（１）在复平面内，它们所对应的点有怎样的 位置关系？
（２） z1 、z2是一个怎样的数？
A
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两个互为共轭的复数的乘积等于这个复数 （或其共轭复数）模的平方
结论 •： 22
A
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练习：
求(1i)2
(1i)2
34i6i8i2
112i
A
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例 2 (1 2 i)3 ( 4 i) (2 i)
解：
A
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例3 计算:
(3+4i)(3-4i) = 9-16i2
=9+16=25
练习：计算 （ 1） (ab)ia (b)i
a 2 a bai b b 2 ii2
a2 b2
A
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3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。
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四、【巩固新知】
求 z已1 知z2z1 , z1 3 z2 2i,,zz2 1 •1 z2 ,4 izz1 2
A
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五、【课堂小结】
复数的乘法法则是：
(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
复数的代数式相乘，可按多项式类似
的办法进行，不必去记公式.
复数的除法法则是：
i(c+di≠0).
A
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(5)复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子
与分母都乘以分母的共轭复数,化简后
写成代数形式(分母实数化).即
(ab)i(cd)iabi cdi
(ab i)(cd i) (cdi)(cdi)
(acbd )(bcad )i
c2d2
分母实数化
A
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例4.计算 (12i)(34i)
解:
A