Chapter 8 期权的交易机制

(31)
(32)
0 0 (CS CS ) (S 0 S ) S 0 (CS CS )S


(29)
(29)表示一个轮回变动中, 由delta对冲调整产生的收益近似为
2 C ( St , t ) 0 2 (CS CS )S ( S ) St2
(33)

这个价格称作交割价或执行价, 这个特定的日子称为到期日。


欧式看跌期权: 期权持有者同样是购买了某种行为的权利， 只是这时候变为按照执行价在到期日卖出标的资产。 美式期权可以在到期日前的任何时间执行, 因此可能更贵。
3.1 期权的符号

用符号K来表示交割价, T表示到期日。 当百度文库的资产是现货时, 用St表示它的价格；

下图：平值期权 在t0处时间价值最大; 切线斜率接近0.5, Css达到最大.
4. 作为波动性工具的期权

考察当St上下波动时,

凸度是如何转化为现金收益并创造时间价值的。 我们先考虑购买了一个期权的做市商采取的初始步骤. 然后, 说明这个做市商如何动态地对冲这个头寸, 从而由St的波动产生 现金收益.
因此，每个时间单位的收益将是上面的一半:
1 2C ( St , t ) 2 ( S ) 2 St2 (34)
• 当价格上涨时做市商卖空标的资产,当价格下降时则购回一 部分头寸。
这将产生现金收益。
4.3 其他现金流


以上说明了如果做市商用delta对冲期权多头寸时，St的波动 将产生正的现金流。 这是否隐含着一个套利机会呢？ 答案是否定的。 这个策略需要成本, 且delta对冲期权头寸也不是没有风险的. 做市商通过贷款为其头寸筹资, 会产生利息成本rC; 期权具有时间价值,在其他条件不变时期权价值会按照下面的 比率减少: Ct C(St , t ) t . 在每个时期, 从空头头寸收到的现金将产生利息rStC.
图8-7 St的变动引起对冲比率的变化，因此做市场商低买高卖

当St移动时,为保持投资组合是delta对冲的, 做市商需要调整卖 空标的资产St的数量。

做市商则会自动卖出高价资产和买进低价资产。

当St从S+移动到S0时,或从从S0移动到S-时, 做市商需要减少St空 头头寸数量:

做市商需要购回原来以高价S0或S+卖出的标的资产.
0

当St从S0移动到S+时, 新斜率 CS 比CS 更加陡峭, 做市商需要在新价格下做空更多资产St。

当St又回到S0时, 这些空头 头寸将会以比S+更低的价格S0被平仓.


当St在S0附近变动,保持投资组合需要进行调整, 做市商则会自 动卖出高价资产和买进低价资产。 在每一个往返变动里, 如{S0,S+,S0}(经历了两个周期),对冲调整 产生的现金收益等于
第八章 期权的交易机制
8.1 引言

从投资者来看，期权的方向性:

标的资产的价格上涨(实质期权), 持有看涨期权是有利的; 标的资产的价格下跌(实质期权), 持有看跌期权是有利的.

本书从期权做市商的角度讨论期权.
期权不是有用于赌博或对冲的工具, 期权被当做应对波动性的工具. 一个持有净多头头寸的做市商就是希望波动率增大的 在一个期权做市商的眼里, 买一个看涨期权和买一个看跌期权是没有区别 的,这两种交易最后将导致相同的支付。 交易者并不关注卖出什么类型的期权, 他关注的是应该买入还是卖出他们。

当它是远期或期货时则用Ft表示。 在t时看涨期权的公平价格用C(t)表示，看跌期权价格用P(t)表示。

用St作为隐含变量，然后将相应的看涨期权的定价函数写为 C(t) = C(St, t |r, K, , T )

是St的波动率,r是即期利率, 假定为常数。

假定这个函数有一阶偏导数:

假设选择了第二种, 而且做市商以利率rt=r从货币市场机构借 入C(t)美元。


图8-4的底部显示了将期权和借入资金放在一起的净头寸.

现在考虑头寸面临的风险。
若St减少, 头寸的价值将减少, 做 市商必须通过持有能够弥补这种 可能损失的另一种头寸来对冲这 个风险. 当St减少时St的空头寸将会获利; 当St改变了St后, 空头寸将改变 -St, 因此我们可以考虑运用这个 空头寸来进行对冲。

期权价格曲线和到期支付的竖直距离成为期权的时间价值. 对于固定的t,当期期权是平价(St=K)时时间价值达到最大.
3.3 图形的性质
上图：深度虚值期权 在t0处时间价值接近0; 曲线接近“线性的”,CS0 Css0。 中图：深度实值期权 St0>>K, 时间价值接近0; 曲线接近收益线, CS1 Css0.



2. 期权

从市场操作者的角度来看，期权是波动率工具。 一个持有某个资产St看涨期权的零售投资者认为

这种资产价格的持续上涨对他是有利的。

一个持有同样看涨期权的做市商更愿意标的资产的价格St能 够发生尽可能大且尽可能频繁的波动.

价格波动得越频繁越剧烈, 在账簿上的多(空)头头寸将会获利(损失) 越多,而不管他拥有的是看涨还是看跌期权。
0 (CS CS )S
(30)
0 其中 CS CS 代表资产价格从St0移动到St0+S表示的
新价格时C(St,t)的一阶导数的变化.
0 C C 0 2 S S 0 将 CS CS 转变为变化率: (CS CS )S S (S ) 0 CS CS 2C ( S t , t ) 当S0时,有 S St2

考虑一个平价期权, 即K=St.
4.1 初始头寸和对冲
假设这个做市商向一个客户买入一个看涨期权. 图8-4顶部表示了做市商的初始头寸。

首先，做市商需要为这个头寸筹集资金； 其次，他应该对冲伴随而来的风险。


筹资至少有两种方式：
一种是卖空适当的资产来获得所需要的资金， 另一种是直接从货币市场借入资金。


对每个长度为△的时间段，一个看涨期权的持有者将支付利 息成本 rC. 另一进项是由卖空Cs个单位St资产所获现金带来的利息收益 rCsSt△

上述收益成本相加，得到在△时间内对冲看涨期权多头寸 的净现金收益(损失)
1 Css 2 St2 S rC s St rC. 2

C (St , t ) 2C ( St , t ) C (St , t ) Cs , C , Ct . ss St St2 t
假定偏导数具有如下性质: Ct<0, 0<Css.
关于偏导数的这些信息被看作是已知的, 即使并不知道C(St,t)本身确 切的表达式。


Delta 对冲-ht对冲率

根据方程(14), 卖空一单位的St过分对冲了风险。 做市商不应卖空以一单位的St资产, 而应该卖空ht单位的St :
ht C ( St , t ) Cs . St


我们考虑下面新的资产组合Vt Vt={借入C(t)美元,买入1单位C(t), 卖空Cs单位St} 其他条件不变时,如果St改变了St,资产组合价值的改变大约是
0
假设St在初始点 St = S 0附近按照一个标准差为的年百分比变动: 例如：假设St的一种往返变化: S0(S0+S)S0, 且D S = s S 0 D ,
0
变动的百分率将与
D
成比例.
由波动性导致的收益
假设St只在三种可能的价值间移动, 用S-,S0,S+来表示St可能的价 值，其中 S+=S0+S, S- = S0-S. 下面分析由上述波动性引致的收益. 0 + 随着St的波动, C(St,t)的斜率Cs也会改变, 其变化将是 CS , CS , CS 的某一个. 0 + 由于：对于任意 ti, C < C < C . 即当S 变化时h 也会改变. S S S t t 做市商需要根据St的变化调整做空的标的资产St的数量.

(22)
由于C(t)的二阶偏导数总是 正的, 所以受St变化影响的资 产组合的价值总是正的。
图8-6的底部余项中的最大一项 是说明了这一点。 这样的一个资产组合称作delta中 性的。

用头寸关于St变化的一阶敏 感性表示的delta敞口是0.


这种为期权建立对冲的方式称为delta对冲,而ht称为对冲率。 应该注意，
C ( St , t ) St R Cs St St
Cs St R Cs St R.
Vt R.

资产组合对于St变化的敏感性将是余项R.

余项中的最大一项是
1 2C (St , t ) 2 ( S ) t 2 St2


隐含的问题:
看涨期权的多头头寸是用曲线来 表示的, 而St的空头头寸用一条直 线来表示。 这意味着C(t)和St对于St变化的反 应是不相同的.

如果对冲风险的资产组合为： Vt={买入C(t), 卖出St}. 对于St微小变化, 资产组合头寸 的净变化可用一阶近似给出: VtCsSt-St =(Cs-1)St<0 (14) 图8-5显示了这个头寸。 由于0<Cs<1, 资产组合仍是一个 有风险的头寸,而且此时,风险被 倒转了. 该头寸等价于用货币市场贷款 筹资的一个看跌期权多头头寸.
传统的Black-Scholes普通期权定价情形只用到了Cs, Css, Ct。 随着Black-Scholes假设的逐步放松,可引入更多的偏导数。 图8-2显示了普通看跌和看涨期权在到期日的支付。

在同一图中也表示出了看涨期权和看跌期权在时间t, t<T时的价值。
3.2 期权的用途


图8-2中上图是普通欧式看涨期权的典型价格图。 t[t0,T]时的期权价格显示为一条光滑的凸曲线, 并且随着接 近到期日T,这条曲线收敛于分段线性的期权支付曲线。 支付曲线和水平轴的竖直距离成为内在价值。
3. 期权的定义和符号

期权买方买的并不是标的资产, 他买的是一种权利。

如果这种权利只能在到期日行使,这个期权就是欧式期权; 如果这种权利在一个特定时间段里的任何时间均能行使,这种期权就 称为美式期权。

在一个普通欧式看涨期权情形下,期权持有者购买了可以按一 定价格在特定日子购买标的资产的权利,
Vt [C(St St , t ) C(St , t )] Cs St , (17)
二阶余项

运用C(St+St,t)在St点的一阶泰勒级数来近似
C ( St , t ) C ( St St , t ) C ( St , t ) St R, St Vt [C(St St , t ) C(St , t )] Cs St

随着时间的演化以及St的改变, 需要持续更新对冲率ht , 此处基本思想是用线性工具作为非线性工具的一阶泰勒级数近似。
4.2 对冲的适时调整

现在考虑St波动时delta对冲头寸将发生的变化. 考虑St在初始点 St = S 0 附近的一系列简单波动： 设 t0 < t1 < L < tn , ti - ti- 1 = D 为系列间隔为个单位的时间段.
C ( St , t ) 随着时间流逝, 对于每个时期, 期权价值下跌: t


8.4.4 表示期权损益的偏微分方程

对冲调整中获得的每单位时间期权收益是
1 2C ( S t , t ) 2 ( S ) . 2 2 St 1 2 2 C S t . ss 如果St 是几何过程，期权收益可写成 2 借来购买看涨期权的资金需支付利息。
0 0 (CS CS ) (S 0 S ) S 0 (CS CS )S


(29)
其中 CS CS0 代表价格从S0到S+进需要卖空的St的数量;
当价格又回到S0, 同样数量的资产将以一个较低的价格被购回。
4.2.1 极限形式
考虑当S0时, 对冲交易收益的一个逼近是：