不等式的基本性质和基本不等式

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号 学员编号： 年 级：高一 课时数：3

学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：王丽丽

课 题

不等式的基本性质和基本不等式

授课日期及时段 教学目的 1. 掌握不等式的常用性质.

2. 利用基本不等式证明一些不等式，并能运用基本不等式求最值.

教学内容

【上节内容回顾】

【知识点梳理】

1. 不等式的基本性质：

（1）a b b a >⇔<（对称性）.

（2）,a b b c a c >>⇒>（传递性）.

（3）a b a c b c >⇒+>+；,a b c d a c b d >>⇒+>+.

（4）,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；0,0a b c d ac bd >>>>⇒>.

（5）11,0a b ab a b >>⇒

<；0,0a b a b c d c d >><<⇒<. （6）0(1)n n a b a b n Z n >>⇒>∈>且.

（7）0(1)n n a b a b n Z n >>⇒

>∈>且.

2.基本不等式： （1）若,a b R ∈，则2

2222

()2,2a b a b ab a b ++≥+≥，当且仅当a b =时取“等号”. （2）若,a b R +∈，则2

a b ab +≥（基本不等式），当且仅当a b =时取“等号”.

（3）若,a b R +∈，则22

2

min(,)max(,)1122a b a b a b ab a b a b ++≤≤≤≤≤+. （4）若,,a b c R ∈，则2222222,3()()a b c ab bc ca a b c a b c ++≥++++≥++.

（5）若0a b c ++≥，则3333a b c abc ++≥.

（6）若,,a b c R +∈，则33

a b c abc ++≥，当且仅当a b c ==时取“等号”. （7）若,,a b c R +

∈，则223

3311133a b c a b c abc a b c ++++≤≤≤++（三元均值不等式）. 【例题精讲】

例1.已知x y 、都是实数，比较22

x y +的425x y --大小.

例2.比较a b a b 与b a a b 的大小(0,0)a b >>.

例3.设()log 32x f x =+，()2log 21x g x =+（其中01x x >≠且），试比较()()f x g x 与的大小.

例4.已知函数2()=f x ax c -满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤-，求(3)f 的取值范围.

例5.已知54x <

，求函数14245y x x =-+-的最大值.

例6.设k 为常数，求函数221()x k f x x k ++=

+的最小值.

例7.如图所示，K 是变长为1的正方形ABCD 对对角线BD 上的一点，连结CK ,并延长交BA 于点M .求CKD ∆和BKM ∆面积和的最小值及此时DK 的长.

K

A B D C

M

【知识点强化练习】

1.函数1()(,0)f x x x R x x

=+∈≠的值域是（ ） A 、[)2,+∞ B 、(2,)+∞ C 、R D 、(,2][2,)-∞-+∞

2.函数11

122+++=x x y 的值域为 ． 3.已知00x y >>、，且

191x y

+=，求x y +的最小值．

4.已知a b 、都是正实数，切*n N ∈，求证：11n n n n a

b a b ab +++≥+．

5.当0>x 时，求

4

32+x x 的最大值.

6.已知+

∈R y x 、，082=-+xy y x ，求y x +的最小值.

7.若x y ∈+R ，，且14=+y x ，求xy 的最大值.

8.若,x y 是正数，求22)21()21(x

y y x +++的最小值.

【课堂小结】

【回家作业】

Ⅰ.整理错题

Ⅱ.课后习题

1.1>x 是11

的（ ） A 、充要条件 B 、充分非必要条件 C 、充分非必要条件 D 、非充分非必要条件

2.已知c b a >>，则下列不等式中正确的是（ ）

A 、bc ac >

B 、2

2bc ac > C 、()()b a c b a b ->- D 、bc ac >

3.若0<

A 、

b a 11> B 、a b a 11>- C 、b a > D 、22b a >

4.若0>ab 且b

d a c -<-，则下列各式中，恒成立的是（ ） A 、ad bc < B 、ad bc > C 、d b c a > D 、d

b c a <

5.已知y x >，n m >，则下列等式中，正确的是（ ）

A 、n y m x ->-

B 、

n

y m x > C 、n y m x +>+ D 、ym xm >

6.下列命题中，正确的是（ ）

A 、若22b a >，则b a >

B 、若b a >，则22b a >

C 、若b a >，则22b a >

D 、若b a >，则22b a >

7.已知“1>a ”且“1>b ”，则与此判断等价的是（ ）

A 、2>+b a 且1>ab

B 、2>a 且0>b

C 、0>a 且0>b

D 、01>-a 且01>-b