湖南雅礼中学2020届高三月考试卷(六)文科数学试题答案解析与点睛(18页)

湖南雅礼中学2020届高三月考试卷（六）文科数学试题数学（文科）试题注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅰ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.集合{}13A x x =<<，集合{}2,B y y x x A ==-∈，则集合A B =I （ ） A. {}13x x << B. {}13x x -<<C. {}11x x -<<D. ∅【答案】D 【解析】 【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B I .【详解】因为{}13A x x =<<，{}{}2,11B y y x x A y y ==-∈=-<<，所以A B =∅I ， 故选：D.【点睛】本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2.复数12z i =-的虚部为( ) A. 2i B. 2i -C. 2D. -2【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的概念可知复数12z i =-的虚部.【详解】形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部,所以复数12z i =-的虚部为-2. 故选：D.【点睛】考查复数的概念，知识点较为基础.3.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(],0-∞上是减函数,设()20.3a f =,()2log 5b f =,()0.32c f =,则,,a b c 的大小关系是() A. b c a << B. a b c <<C. c b a <<D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的对称性可知()f x 在[)0,+∞上为增函数；通过临界值比较出自变量的大小关系，根据单调性可得结果.【详解】()f x Q 是R 上的偶函数，且在(],0-∞上为减函数 ()f x ∴在[)0,+∞上为增函数0.30222log 5log 422210.30>=>>=>>Q()()()0.322log 520.3f f f ∴>>，即a c b <<本题正确选项：D【点睛】本题考查根据函数单调性比较函数值大小的问题，关键是能够利用奇偶性的性质得到函数在自变量所在区间内的单调性，通过自变量大小关系的比较得到函数值的大小关系. 4.若实数x ，y 满足x +y ＞0，则“x ＞0”是“x 2＞y 2”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，实数x ，y 满足x +y ＞0，若x ＞0，则未必有x 2＞y 2， 例如x ＝1，y ＝2时，有x 2＜y 2；反之，若x 2＞y 2，则x 2﹣y 2＞0，即（x +y ）（x ﹣y ）＞0； 由于x +y ＞0，故x ﹣y ＞0，∴x ＞y 且x ＞﹣y ，∴x ＞0成立；所以当x +y ＞0时，“x ＞0”推不出“x 2＞y 2”，“x 2＞y 2”⇒“x ＞0”； ∴“x ＞0”是“x 2＞y 2”的必要不充分条件． 答案：B ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记充分条件、必要条件的判定方法，结合不等式的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 5.在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，则AE BF ⋅=u u u v u u u v（ ） A. 1-B. 32-C. 2-D. 52-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到12=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AE AB BE AB AD ，12BF BC CF AD AB =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再由向量数量积的运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】因为在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 为BC 的中点，点F 为CD 的中点，所以12=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AE AB BE AB AD ，12BF BC CF AD AB =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1122⎛⎫∴⋅=+⋅⎛⎫ ⎪⎝-+ ⎪⎝⎭⎭u u u u u u r u u u r u u u r u r u u u r u u r AE BF A D A B A AB D 2211313222422AB AD AB AD =-++⋅=-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：B【点睛】本题主要考查向量的数量积运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.6.一只小虫在边长为2的正方形内部爬行，到各顶点的距离不小于1时为安全区域，则小虫在安全区域内爬行的概率是（ ） A. 14π-B.4πC. 16π-D.6π 【答案】A 【解析】 【分析】作出正方形，并作出安全区域，将安全区域的面积与正方形的面积相除可得出所求事件的概率. 【详解】如下图所示，由于小虫到每个顶点的距离不小于1为安全区域，则安全区域为以正方形每个顶点为圆心半径为1的扇形弧以及扇形以外的部分，为图中阴影部分，其面积22214S ππ=⨯-⨯=-，故概率4144P ππ-==-. 故选：A.【点睛】本题为平面区域型几何概率问题，确定事件所围成的区域是解题的关键，考查数形结合思想与计算能力，属于中等题.7.已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，若将()f x 的图象向左平移3π个单位后得到函数()g x 的图象关于y 轴对称，则函数()f x 的图象（ ） A. 关于直线2x π=对称B. 关于直线3x π=对称C. 关于点(,0)2π对称 D. 关于点(,0)3π对称【答案】B 【解析】 【详解】由条件知22,w wππ=⇒= 2()2sin(2)()2sin(2())2sin(2)33f x xg x x x ππϕϕϕ=+⇒=++=++ 关于y 轴对称，可得(0)2g =±，可得2,6k k z πϕπ=-+∈ ，0ϕπ<<，所以56πϕ=，故得5()2sin(2)6f x x π=+，当,() 2.3x f x π==-对称中心为：5,0212k k z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭C，D ，均不正确. 故选B.点睛：此题考查的是函数图像的平移和对称，周期性，先根据周期的公式得到2w =， 再根据平移公式得到()g x ，根据轴对称性得到56πϕ=，故得5()2sin(2)6f x x π=+，可以根据选项代入表达式，比如B 选项，可以带入函数判断函数值是否为最值；8.已知实数x ，y 满足521802030x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+-≥⎩，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k 的最大值是（ ） A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】B 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 详解】直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，，由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得()2,4B ． 当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413202k -==-， 则k 的最大值为：32故选：B ．【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题． 9.两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b +=+（ ） A.49B.378C.7914 D.14924【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以2201111715111122a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,【故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以111114924a b = 故选D.【点睛】本题主要考查等差数列的等和性质：若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*21(21),()n n S n a n N -=-∈10.已知三个实数2、b 、8成等比数列，则双曲线22219y x b-=的渐近线方程为（ ）A. 340±=x yB. 430x y ±=20y ±=D. 9160x y ±=【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项的定义求得2b 的值，可得出双曲线的标准方程，进而可求得双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意，三个实数2、b 、8成等比数列，可得216b =，即双曲线221916y x -=的渐近线方程为340±=x y ，故选：A.【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求解，解答的关键就是求出双曲线的标准方程，考查计算能力，属于基础题.11.定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,∞+单调递增，且()f 21-=，则()f x 21-≤的x 的取值范围是（ ） A. []0,4 B. (][),22,∞∞--⋃+ C. (][),04,∞∞-⋃+ D. []2,2-【答案】A 【解析】 【分析】先得()21f =，再根据偶函数化简()21f x -≤，即为()()22f x f -≤，由单调性可得22x -≤，运用绝对值不等式的解法可得x 的取值范围.【详解】定义在R 上偶函数()f x 在[)0,+∞单调递增，且()21f -=，可得()()221f f =-=，()21f x -≤，即为()()22f x f -≤，可得22x -≤， 即222x -≤-≤， 解得04x ≤≤，即x 的取值范围是[]0,4，故选A.【点睛】首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.12.已知函数(),()ln 1xf x e eg x x =-=+，若对于1x ∀∈R ，()20x ∃∈+，∞，使得()()12f x g x ＝，则12x x -的最大值为（ ） A. e B. 1-eC. 1D. 11e-【答案】D 【解析】 【分析】不妨设f(1x )=g(2x )＝a ，从而可得12x x -的表达式，求导确定函数的单调性，再求最小值即可． 【详解】不妨设f(1x )=g(2x )＝a ， ∴1x e e -＝21lnx +=a ， ∴1x ＝ln(a+e)，2x ＝1a e -， 故12x x -＝ln(a+e)-1a e -，（a ＞-e ） 令h （a ）＝ln(a+e)-1a e -，h ′（a ）11a e a e-=-+， 易知h ′（a ）在（-e ，+∞）上是减函数， 且h ′（0）＝0，故h （a ）在a 0=处有最大值， 即12x x -的最大值为11e-；故选D ．【点睛】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，考查了指对互化的运算，属于中档题．第Ⅰ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若1sin()43πα-=，则cos()4πα+=__________．【答案】13;【解析】由题意得，1()cos()sin()424443πππππαααα+=--⇒+=-=.14.已知向量a r ，b r的夹角为34π，()3,4,10a a b =-⋅=-v v v ，则b r 的模长是______．【答案】 【解析】 【分析】由平面向量模的运算及数量积的运算得：由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos =-10，即||==2，得解．【详解】由向量，的夹角为，=（-3，4），=-10，得=||||cos=-10，即||==2，故答案为2．【点睛】本题考查了平面向量模的运算及数量积的运算，属中档题．15.直角ABC V 的三个顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，若球O 的表面积为12π，则球心O 到平面ABC 的距离等于__________．【答案】1 【解析】直角ABC V 的斜边CB 为ABC V 所在截面小圆的直径，则该截面小圆的半径为r =12π可得球的半径R =，球心O 到平面ABC 的距离1d ==.16.设(),()f x g x 是定义在R 上两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】 【分析】分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可. 【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为11=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎢⎣⎭，.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点的而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足274cos cos 2()22A B C -+= （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若3b c +=，求a 的最小值． 【答案】（Ⅰ）60o A ∴= （Ⅱ）32【解析】（Ⅰ）A B C π++=Q ，2274cos cos 2()2(1cos )cos 22cos 2cos 322A B C A A A A ∴-+=+-=-++=， 212cos 2cos 02A A ∴-+=．1cos 2A ∴=，0A π<<Q ，60o A ∴=．（Ⅱ）由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得222bc b c a =+-．2229()39393()24b c a b c bc bc +∴=+-=-≥-=， 32a ∴≥．所以a 的最小值为32， 当且仅当32b c ==时取等号．18.2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x和中位数a（a的值精确到0.01）；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7.5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会．（i）你认9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++（n a b c d=+++）.临界值表：【答案】（1）平均数9，中位数8.99；（2）（i）按照1:2进行名额分配；理由见详解；（ii ）有. 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数的定义进行求解即可（2）完成列联表，计算2K 的观测值，结合独立性检验的性质进行判断即可. 【详解】（1）该组数据的平均数60.0370.180.290.35100.19x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.09120.049+⨯+⨯=，因为0.030.10.20.350.680.5+++=>，所以中位数[8.5,9.5)a ∈， 由0.030.10.2(8.5)0.350.5a +++-⨯=，解得0.50.338.58.990.35a -=+≈；（2）（i ）每周阅读时间为[6.5,7.5)的学生中抽取3名，每周阅读时间为[7.5,8.5)的学生中抽取6名． 理由：每周阅读时间为[6.5,7.5)与每周阅读时间为[7.5,8.5)是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为0.1，0.2，所以按照1:2进行名额分配．（ii ）由频率分布直方图可知，阅读时间不足8.5小时的学生共有200(0.030.10.2)66⨯++=人，超过8.5小时的共有20066134-=人． 于是列联表为：2K 的观测值2200(40742660)4.432 3.84166134100100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有95%的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关．【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，根据数据计算出K 2的观测值是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19.如图1，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB AE BE CD ====，4BC ED ==，O 为BE 中点，F 为BC 中点.将ABE △沿BE 折起到A BE 'V 的位置，如图2.（1）证明：CD ⊥平面AOF '；（2）若平面A BE '⊥平面BCDE ，求点F 到平面A EC '的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】 【分析】（1）先证CD EC ⊥，接着证CD OF ⊥，根据已知条件得AO CD '⊥，即可得结论；（2）点F 到平面A EC '的距离转化为点B 到平面A EC '的距离的一半，取A E '的中点记为H ，证明BH ⊥平面A EC '，求出BH ，即可得结论.【详解】（1）EC =222BE EC BC +=，即BE EC ⊥， ∵CD BE P ，∴CD EC ⊥O 为BE 中点，F 为BC 中点.∴OF EC ∥，∴CD OF ⊥∵A B A E ''=，O 为BE 中点，∴AO BE '⊥，∴AO CD '⊥ 而AO OF O '⋂=，∴CD ⊥平面AOF'.（2）OF EC ∥∴点F 到平面AEC 的距离即为点O 到平面A EC '的距离， 即点B 到平面A EC '的距离的一半.取A E '的中点记为H ，连结BH ，则BH A E '⊥∵平面A BE '⊥平面BCDE ，且交线为BE ， 由（1）知EC BE ⊥，∴EC ⊥平面A BE '，∴EC BH ⊥， 又EC A E E '⋂=∴BH ⊥平面A EC '，BH = ∴B 到平面A EC '∴点F 到平面A EC '【点睛】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图像，考查线面垂直以及点的面的距离，解题的关键是对空间直线与平面的位置关系定理要熟练，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,1，且离心率2e =. (1)求椭圆C 的方程； (2)已知斜率为12的直线l 与椭圆C 交于两个不同点,A B ，点P 的坐标为()2,1，设直线PA 与PB 的傾斜角分别为,αβ，证明:αβπ+=.【答案】（1）22:182x y C +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得，解可得a 、b 的值，将a 、b的值代入椭圆的方程即可得答案；22411a b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩（2）证明αβπ+=即证明直线PA 与PB 的斜率120k k +=，根据题意，设直线1:2l y x m =+，联立直线与椭圆的方程，将韦达定理代入1211221122y x k k y x +--+=--变形即可证明．【详解】()1由题意得224112a b e ⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩解得228,2a b ==，所以椭圆的方程为：22:182x y C += ()2设直线1:2l y x m =+，由2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得，222240x mx m ++-=，2248160m m =-+>V解得22m -<<，当0m =时，12y x =（舍） 设()()1122,,,A x y B x y ，则212122,24x x m x x m +=-=-g 由题意，易知PA 与PB 的斜率存在，所以,2παβ≠，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k则1tan k α=，2tan k β=，要证αβπ+=，即证()tan tan tan απββ=-=-，只需证120k k +=12121211,,22y y k k x x --==--Q 故()()()()()()1221121122121212112222y x y x y y x x x x k k --+----+=-=---+又111,2y x m =+2212y x m =+所以()()()()12211212y x y x --+--=()()122111121222x m x x m x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()1212241x x m x x m =+-+--g ()()()2122422410x x m m m m =-+----=g120,k k ∴+=αβπ+=【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系。