全等三角形判定经典(最新整理)

∴△ABF≌△DCE（ASA） ∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）
（3）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角
2
A D B E 角边”或“AAS”。表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中， BC EF ，∴△ABC≌ △DEF（AAS）。
例 3. 如图所示R，t△ABC 中∠，ACB＝90°A，C＝BCA，D⊥CD 于 DB，F⊥CD 于 F，AB 交 CD 于 E，求证：AD＝BF－DF。
A
D E F
C
B
分析：要证 AD＝BF－DF，观察图形可得 CF＝CD－DF，只需证明 CF＝AD，CD ＝BF 即可，也就是要证明△CFB≌△ADC。由已知 BC＝AC，∠CFB＝∠ADC＝90 °，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由 BF⊥CD，∠ACB＝90°，易证得 ∠CBF＝∠ACD，问题便得到证明。
解：由题意可知，∠C＝∠PAQ＝90°，又 AB＝PQ， 要使△ABC≌△PQA，则只需 AP＝CB 或 AP＝CA 即可， 从而当点 P 运动至 AP＝5cm，即 AC 中点时，△ABC≌△QPA； 或点 P 与点 C 重合时，即 AP＝CA＝10cm 时，△ABC≌△PQA。
评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。 解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件， 从而使问题得以解决。本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题 要全面，把各种情况都考虑到。
且∠ABE＝90°，
∴∠ECF＋∠CEF＝∠EAB＋∠AEB
∴∠ECF＋∠CEF＝180°－（∠EAB＋∠AEB）
C
即∠AFC＝∠ABE＝90°
∴AE⊥CD。 评 析：利 用 已 知 ， 结 合 图 形 探 索 三 角 形 全 等 的 条
EF
件，逐步分析解决问题，把握解题思路。
A
BD
6
拓展提高
1.(07 北京中考)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：
A
D E
B M
FC
N
（第 23 题图 1）
A
D
E
B
N
MF C
（第 23 题图 2）
A
D
EE
B
F CM
（第 23 题图 3）
2．解：（1）判断： EN=MF，点 F 在直线 NE 上．
证明：如答图 1,连结 DE、DF、EF．
∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D、E、F 是三边的中点，
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或
1
B E BC EF “ASA”。表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中， C F ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）。
例 2. 如图所示，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF，求证：AB＝CD。
A
B
EF
C
D
分析：要证明 AB＝CD，由于 AB、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝 试证明△ABF≌△DCE，由已知易证：∠B＝∠C，∠AFB＝∠DEC，下面只需 证明有一边对应相等即可。事实上，由 BE＝CF 可证得 BF＝CE，由 ASA 即可 证明两三角形全等。
上．…………………………………………4 分
（2）成立。
证明：如答图 2，连结 DE、DF、EF．
∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC． 又∵D，E，F 是三边的中点， ∴DE，DF，EF 为△ABC 的中位线．
N A
∴DE=DF=EF，∠FDE=60°． 又∠MDF+∠FDN=60°，
D
E
∠NDE+∠FDN=60°，
证明：∵∠ACB＝90°，BF⊥CD
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠CBF＋∠BCD＝90°
∴∠CBF＝∠ACD（同角的余角相等）
又∵AD⊥CD，∴∠CFB＝∠ADC＝90°
CBF ACD
CFB ADC
在△CFB 和△ADC 中， BC AC
（已知）
∴△CFB≌△ADC（AAS）
∴CF＝AD，BF＝CD（全等三角形的对应边相等）
N
C
在△DMB 和△DNF 中，DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，
∴△DMB≌△DNF． ∴∠DBM=∠DFN．
∵∠ABC =60°，
∴∠DBM =120°，
∴∠NFD =120°.
（第 23 题答
图 2）
∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°.
∴N、 F、 E 三 点 共 线 ， ∴F 与 P 重 合 ， F 在 直 线 NE
至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
A
（2）如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，
设 CD，BE 相交于点 O ，若 A 60° ， DCB EBC 1 A ．
D
E
2
O
请你写出图中一个与 A 相等的角，并猜想图中哪个四边形
是△ABE 和△CBD 全等的条件。 对于 AE 与 CD 垂直关系的证明需要推证出∠CFA＝
90°。
证明：（1）∵△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，
∴AB＝CB，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°
∴△ABEBaidu Nhomakorabea△CBD（SSA）
（2）AE⊥CD，
∵在△ABE 和△CEF 中，∠EAB＝∠ECF，∠AEB＝∠CEF，
证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等） 又∵AF∥DE，∴∠AFC＝∠DEB（同上） ∴∠AFB＝∠CED（等角的补角相等） 又∵BE＝CF，∴BE－EF＝CF－EF，即 BF＝CE 在△ABF 和△DCE 中，
B C (已证) BF CE (已证) AFB CED (已证)
B
C
是等对边四边形；
（3）在 △ABC 中，如果 A 是不等于 60° 的锐角，点 D，E 分别在 AB，AC 上，且 DCB EBC 1 A ．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明
2
你的结论．
1. 解： （1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可. （2）与∠A 相等的角是∠BOD（或∠COE） 四边形 DBCE 是等对边四边形. （3）此时存在等对边四边形 DBCE. 证明 1：如图，作 CG⊥BE 于 G 点，作 BF⊥CD 交 CD 的延长线于 F 点.
11.2 三角形全等的判定
A
D
B
CE
F
（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。表示
AB DE
AC
DF
方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中， BC EF ，
∴△ABC≌△DEF（SSS）。
例 1. 如图所示，AB＝CD，AC＝DB。求证：△ABC≌△DCB。
A
D
B
C
分析：由已知可得 AB＝CD，AC＝DB，又因为 BC 是两个三角形的公共边， 所以根据 SSS 可得出△ABC≌△DCB。
证明：在△ABC 和△DCB 中，
{ ) AB＝CD
∵ AC＝DB ， BC＝CB
∴△ABC≌△DCB（SSS） 评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条 件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照 “SSS”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。
例 6. 如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，A、B、D 三点在同一直线上， 连结 CD、AE，并延长 AE 交 CD 于 F。
（1）求证：△ABE≌△CBD。 （2）直线 AE 与 CD 互相垂直吗？请证明你的结论。
分析：根据已知条件易得 AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠CBD＝90°正好
例 5. 如图所示，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线
5
段 PQ＝AB，P、Q 两点分别在 AC 上和过 A 点且垂直于 AC 的射线 AM 上运动。 问点 P 运动到 AC 上什么位置时，△ABC 才能和△PQA 全等？
M Q
B
C
A
P
分析：要使△ABC 与△PQA 全等，由于∠C＝∠PAQ＝90°，PQ＝AB，则 只需 AP＝CB 或 AP＝CA，由 HL 即可知道它们全等，从而容易确定 P 点的位置。
∴∠MDF=∠NDE． 在△DMF 和△DNE 中，DF=DE，
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2.(09 宣武一模)已知等边三角形 ABC 中，点 D、E、F 分别为边 AB、AC、BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， △DMN 也随之整 体移动）． （1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你连结 EN，并判断 EN 与 MF 有怎样的数 量关系？点 F 是否在直线 NE 上？请写出结论，并说明理由； （2）如图 2，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的数量 关系是否仍然成立? 若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由； （3）如图 3，若点 M 在点 C 右侧时，请你判断（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关 系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
（第 23 题答图 1）
∴△DMF≌△DNE． ∴MF=NE．
设 EN 与 BC 交点为 P，连结 NF．
由△ABC 是等边三角形且 D、F 分别是 AB、BC 的中点可得△DBF 是等边三角形，
∴∠MDN=∠BDF＝60°,
A
∴∠MDN－∠BDN =∠BDF－∠BDN，即∠MDB=∠NDF.
8
D
E
A
∴DE、DF、EF 为△ABC 的中位线．
∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE＝60°． ∵△DMN 是等边三角形，
D
E
∴∠MDN＝60°，DM=DN． ∴∠FDE＋∠NDF=∠MDN+∠NDF， ∴∠MDF=∠NDE．
B M
F PC
N
在△DMF 和△DNE 中，DF=DE，∠MDF=∠NDE， DM=DN，
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，即 BC＝EF。
AB DE
ABC DEF
在△ABC 和△DEF 中， BC EF
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）。
∴∠ACB＝∠F。
∴AC∥DF。
评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它
问题。这里大括号中的条件按照“SAS”顺序排列
又∵CF＝CD－DF
∴AD＝BF－DF
评析：由条件 AC＝BC 和垂直关系可得，AC、BC 为两个直角三角形的斜边， 还需要一对角相等即可用 AAS 证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证 明角相等。
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（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
AB DE B E 表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中， BC EF ，∴△ABC≌△DEF
（SAS）。
A
例 4. 已知：如图所示，AB＝DE，∠B＝∠DEF，
BE＝CF。求证：AC∥DF。
B
AD
C
D
BE
F C
分析：欲证 AC∥DF，可通过证明∠ACB＝∠F，由平行线的判定定理即可得证。
而∠ACB 与∠F 分别是△ABC 和△DEF 的内角，所以应先证明△ABC≌△DEF。
由 BE＝CF 易得 BC＝EF，再结合已知条件 AB＝DE，∠B＝∠DEF 即可达到目的。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、
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直角边”或“HL”。表示方法：如图所示，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中， ∵AB＝DE， BC＝EF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
A
D
B
CE
F
注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。② 两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC 和△ ABD 中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。③三个角对应相 等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。
1
∵∠DCB=∠EBC= ∠A，BC 为公共边
2
∴△BGC≌△CFB ∴BF=CG ∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A
∠GEC=∠ABE+∠A ∴△BDF≌△CEG ∴BD=CE 故四边形 DBCE 是等对边四边形。
证明 2：如图，在 BE 上取一点 F，使得 BF=CD，连接 CF. 易证△BCD≌△CBF，故 BD=CF，∠FCB=∠DBC. ∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A ∠CEF=∠ABE+∠A ∴CF=CE ∴BF=CE 故四边形 DBCE 是等对边四边形.