绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)

原不等式的解集为{x | x 1, 或 1 x 3, 或x 5}.
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a (a 0) f x a或f x a
(2) f x a(a 0) a f x a
绝对值三角不等 式
a b ab a b
a b a b a b
定理1的推广 如果a,b，c是实数，则
(1). a b c a b c (2). a c a b b c
定理2
1、求证：（1） a b a b 2 a
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解．
解:原不等式化为 | x 1| | x 2 | 5 0,
构造函数 y | x 1| | x 2 |, 化简得
(1 x) ( x 2)，x 2 y (1 x) ( x 2)， 2 x 1 ( x 1) ( x 2)，x 1
1 －1 o 1
y=1
x
一般结论: 形如|x|<a和|x|>a (a>0)的不等式的解集: ①不等式|x|<a的解集为{x|-a<x<a}
-a
0
a
②不等式|x|>a的解集为{x|x<-a或x>a }
-a
0
a
想一想:如果 a ≤ 0 ,以上不等式的解集是什么？
例1.解不等式 | 3 2 x | 7.
探索：不等式|x|<1的解集.
方法三：两边同时平方去掉绝对值符号. 对原不等式两边平方得x2<1, 即(x+1)(x-1)<0
∴
－1<x<1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}. 方法四：利用函数图象观察 从函数观点看,不等式|x|<1的解集,是函 数y=|x|的图象位于函数y=1的图象下方的部 y 分对应的x的取值范围. ∴不等式|x|<1的解集为 {x|-1<x<1}
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}. 这种方法体现了函数与方程的思想．
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
思考一：由以上解法可知，|x-1|+|x+2|有最 小 x 2， 1 值 3 此时，x的取值范围是 思考二：若变为|x-1|+|x+2|≥k恒成立，则k的 取值范围是 k 3
2
2
绝对值不等式的解法（二）
2017年12月18日星期一
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法一:利用绝对值的几何意义． 解:如图,数轴上-2,1对应的点分别为A,B，
-3,2对应的点分别为A1,B1， A1 A B B1
-3 -2 -1 0 1 2
这种方法体现了 数形结合的思想
∵|A1A|+|A1B|=5, |B1A|+|B1B|=5, ∴数轴上,点A1和B1之间的任何一点,到点A,B 的距离之和都小于5, 而A1的左边或B1的右边的任何一点,到点A,B 的距离之和都大于5, ∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
绝对值不等式
1、绝对值三角不等式
2、绝对值不等式的解法
1、绝对值三角不等式
在数轴上，
a 的几何意义
表示点A到原点的距离
a b 的几何意义 表示数轴上A,B两点之间的距离 a b 的几何意义 表示数轴上A,-B两点之间的距离
a
0 A a x
a b
-B -b
A
a
a b
O b
B
x
探 究
设a, b为实数， 你能比较 a b 与 a b 之 间的大小关系吗？
思考三：若变为存在x，使|x-1|+|x+2|<k成立， 则k的取值范围是 k 3
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f ( x) │ x +1 │ –│ x–2 │ 的图像， 并思考f ( x)的最大和最小值
(3) f x g( x ) f x g( x )或f x g( x )
(4) f x g( x ) g ( x ) f x g ( x )
(5) f x g x f x g x
│ x +1 │ –│ x–2 │ k恒成立，k的取值范围是 │ x +1 │ –│ x–2 │ k恒成立，k的取值范围是
例2.已知函数
.
（I）画出 （II）求不等式
x 4 ，x ≤ 1 3 f x 3x 2 ， 1 x 2 3 4 x ， x ≥ 2
(5) f x g x f x g x
2
2
例3.解不等式 | x 3x 4 | x 1.
2
2 2 x 3x 4 0 x 3x 4 0 解 1:原不等式 2 或 2 x 3x 4 x 1 ( x 3x 4) x 1
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例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
方法二:利用|x-1|=0,|x+2|=0的零点,分段讨论去绝对值
解: (1)当x 2时, 这种解法体现了分类讨论的思想 x 2 x 2 x 3. 原不等式 (1 x) ( x 2) 5 x 3
2
解2:原不等式 x2 3x 4 ( x 1)或x2 3x 4 x 1
x 2x 3 0 或 x 4x 5 0
2 2
( x 1)( x 3) 0, 或( x 1)( x 5) 0
1 x 3, 或x 1, 或x 5,
（2） a b a b 2 b
2、求证：（1）
x a x b a b
（ 2） x a x b a b
1.求 x 3 x 9 的最大值
2.求 x 3 x 9 的最小值
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是
(2) f x a(a 0) a f x a
(3) f x g( x ) f x g( x )或f x g( x )
(4) f x g( x ) g ( x ) f x g ( x )
法三:两边同时平方去掉绝对值符号;
法四:利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路 .
探索：不等式|x|<1的解集.
方法一：利用绝对值的几何意义观察 不等式|x|<1的解集表示到原点的距离小于1的点的集合.
-1
0
1
∴不等式|x|<1的解集为{x|-1<x<1}
方法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论 ①当x≥0时，原不等式可化为x＜1, ∴ 0≤x＜1 ②当x＜0时，原不等式可化为－x＜1，即x＞－1 ∴ － 1＜ x＜ 0 综合①②得，原不等式的解集为{x|－1<x<1}
4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知
0, x a , y b ,
2x 3 y 2a 3b 5
求证
绝对值不等式的解法（一）
2017年12月18日星期一
一、复习回顾
a ,a>0 1.绝对值的定义： |a|= 0 ,a=0 －a ,a<0 2.绝对值的几何意义： 实数a绝对值|a|表示 |a| 数轴上坐标为A的点 A 到原点的距离. 0 a |a－b| A a B b
x 4或x 1 1 x 4 或 x 5或x 1 1 x 3
x 1, 或x 5，或 1 x 3,
原不等式的解集为{x | x 1, 或 1 x 3, 或x 5}.
例3.解不等式 | x 3x 4 | x 1.
原不等式的解集为(1, 2) (3,6).
变式练习: 解不等式1 | 3x 4 | 6．
10 5 2 答案: [ , ) (1, ] 3 3 3
解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含 绝对值符号的不等式(组),常见的类型有：
(1) f x a (a 0) f x a或f x a
当ab>0时，a b a b 当ab<0时，a b a b
a b a b
当ab=0时，a b a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b 当且仅当
ab 0 时，等号成立。
把实数a，b换成相量a， b，你能得出什么结果？
你能解释它的几何意义吗？
(2)当 2 x 1时,
(3)当x 1时, x 1 x 1 原不等式 x2 ( x 1) ( x 2) 5 x 2
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
2 x 1 2 x 1 x . 原不等式 (1 x) ( x 2) 5 3 5
2
2 x 5 x 6 2 解:原不等式 6 x 5x 6 2 x 5x 6
2 x x 2或x 3 5x 6 0 2 1 x 6 x 5x 6 0
1 x 2或3 x 6,
实数a,b之差的绝对值 |a-b|,表示它们在数轴上 对应的A,B之间的距离.
3.绝对值的运算性质：
a a,
2
a |a| ab a b ， | | b |b|
提出问题:
你能看出下面两个不等式的解集吗? ⑴ x 1 ⑵ x 1
主要方法有:
法一:利用绝对值的几何意义观察；
法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论;
的图像； 的解集。
1 ， 1 ，3 5 ， 3
课堂练习
1.对任意实数x，若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立，则k的取值范围是 （ B） (A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D)k≤-3 2.若不等式|x-1|+|x-3|＜a的解集为空集,则a的
解:原不等式 2x 3 7
2 x 3 7或2 x 3 7
x 2或x 5
原不等式的解集为 {x | x 2或x 5}.
变式练习: 解不等式 | 3 2 | 1 ．
x
答案: (,0) (1, )
例2.解不等式 | x 5x | 6．
当向量
a, b
不共线时，
y
ab a b
当向量
a, b
ab
O
共线时，
a
b
x
同向： a b a b 反向： a b a b
ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b 定理1的完善
2 x 6, x 2 即 y 2， 2 x 1 2 x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
2 x 6, x 2 y 2， 2 x 1 2 x 4， x 1
y
-2 -3
1 -2 2 x