第二章稳态热传导

3)热流密度
d q n dA
d q dA
导热热流密度的大小和方向可以用热流密度矢量q 表示，
负号表示q的方向与n的方向相反， 也就是和温度梯度的方向相反 在直角坐标系中, 热流密度矢量可以表示为：
q qxi qy j qz k
式中的qx、qy、qz分别是 热流密度矢量q在三个坐标 方向的分量的大小
2.2.2导热微分方程的定解条件
• 导热微分方程在推导过程中没有涉及导热过程的具 体特点, 所以它适用于无穷多个的导热过程, 也就是 说它有无穷多个解 。 •为了完整的描写某个具体的导热过程，除了给出导 热微分方程式之外, 还必须说明导热过程的具体特点, 即给出导热微分方程的单值性条件或定解条件，使导 热微分方程式具有唯一解。 单值性条件一般包括: 几何条件、物理条件、初始条件、边界条件
dxdydz
导热微分方程式
可得 ：
t t t t c x x y y z z
导热微分方程建立了导热过程中物体的温度随时间和 空间变化的函数关系。
t t t t C p dxdydz [ dydz dzdx dxdy] t x y z
[

t t t (t dx)dydz (t dy)dzdx (t dz)dxdy] x x y y z z
2.导热基本定律---Fourier导热定律
傅里叶在对导热过程进行大量实验研究的基础上, 发现了 导热热流密度矢量与温度梯度之间的关系, 于1882年提出了著 名的导热基本定律—傅里叶定律。
傅里叶定律的数学表达式为： t t t q gradt ( i j k) x y z
T形铸件浇注后10.7min 时断面等温线
3)温度梯度
温度场中任意一点的温度沿等温面（线）法线n 方向的增加率称为该点的温度梯度,记为gradt。
t t gradt n lim n n n
温度梯度是矢量， 指向温度增加的方向 在直角坐标系中的温度梯度为：
t t t gradt i j k x y z
本章具体内容安排：
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 导热基本定律----傅里叶定律 导热问题的数学描述 典型导热问题的分析解 通过肋片的导热 具有内热源的导热
要解决工程技术中的传热问题（传热强化、 传热削弱及温度控制），必须解决以下问题：
1. 准确计算研究过程传递的热量； 2. 准确预测物体中的温度分布；
0.93 0.0007 (
1500 400 )W /( m C ) 1.60W /( m C ) 2


每平方米炉墙的热损失为：
(T1 T2 ) 1.60 (1773 673) q W / m 2 7040 W / m2 0.25
教材P50：例2-1
2t 2t 2t t 2 或热扩散系数, 也称导温 系数, 单位为m2/s。 热扩散率a是对非稳态导热过程有重要 影响的热物性参数，其大小反映物体被 瞬态加热或冷却时物体内温度变化的快 慢。
导热微分方程式简化：
2）当为常数，无内热源时, 导热微分方程式可简化为：
给出物体边界上的热流密度分布及其随时间的变化规律
3.第三类边界条件
给出了与物体表面进行对流换热的流体的温度tf及表面 传热系数h
t ht w t f n w
2.3

典型一维稳态导热问题的分析解
单层平壁的导热 多层平壁的导热 圆筒壁的导热
2.3.1通过平壁的导热
2.多层平壁的导热
运用热阻的概念分析
假设：三层平壁材料的热导率分别为1、2、3 , 且为常
数, 厚度分别为1、2、3，各层之间的接触非常紧密, 因 此相互接触的表面具有相同的温度, 分别为tw2、tw3 , 平壁 两侧外表面分别保持均匀恒定的温度tw1、tw4 。
根据单层平壁稳态导热的计算公式有:
傅里叶定律表明： 导热热流密度的大小与温度梯度的绝对 值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。 标量形式的傅里叶定律的数学表达式为：
t q x x
t q y y
t q z z
Fourier导热定律的应用
由傅里叶定律可知：要计算通过物体的导热热流量, 除了 需要知道物体材料的热导率之外, 还必须知道物体的温度场。 所以,求解温度场是导热分析的主要任务。
2.2.2导热微分方程的定解条件
1.几何条件
说明参与导热过程的物体的几何形状及尺寸的大小
2.物理条件
说明导热物体的物理性质, 例如给出热物性参数(、、c等) 的数值及其特点。
3.初始条件
说明导热过程进行的时间上的特点, 例如是稳态导热还是 非稳态导热。对于非稳态导热过程, 还应该给出过程开始 时物体内部的温度分布规律。
4.边界条件
说明导热物体边界上的热状态以及与周围环境之间的相互作用。
导热问题的三类边界条件
1.第一类边界条件
t w f x, y, z,
t q w n w
给出物体边界上的温度分布及其随时间的变化规律
2.第二类边界条件 qw f x, y, z,
t 2t 2t 2t 或写成 2 2 2 c x y z
t a 2 t
3）常物性、稳态导热时, 导热微分方程式可简化为：
2t 2t 2t 2 2 0 2 x y z
4）常物性、无内热源，稳态导热时, 导热微分方程式可简化为：
傅里叶定律的适用条件：
1.傅里叶定律只适用于各向同性物体； 2.在各向异性物体中, 热流密度矢量的方向不仅与温度 梯度有关,还与热导率的方向性有关, 因此热流密度矢量 与温度梯度不一定在同一条直线上。对各向异性物体中 导热的一般性分析比较复杂，本书不作探讨。
3 导热系数（又称“热导率 ”）
导热系数是物质的重要热物性参数, 表示该物质导热能力 的大小。根据傅里叶定律的数学表达式 有：
在对传热过程的物理机理认识的基础上，通过一定的数序处理
2.1 导热基本概念及基本定律
1.导热的基本概念：
1）温度场 在τ时刻，物体内所有各点的温度的分布称为该物体在该 时刻的温度场。 一般温度场是空间坐标和时间坐标的函数，在直角坐标系 中，温度场可表示为：t=f（x，y，z，t） 稳态温度场：温度不随时间变化的温度场，其中的导热为稳态导热
非稳态温度场： 温度随时间变化的温度场，其中的导热为非稳态导热
2)等温面与等温线
在同一时刻，温度场中由温度相同的点连 成面（线）称为等温面（或等温线）。 温度场可用一组等温面或等温线表示. 等温面（或等温线 )的特征：
1）等温面（或等温线）不能相交； 2）等温面（或等温线）或封闭，或终 止于物体的边界，不可能在物体中中断；
导热微分方程式简化：
1）当导热系数为常数时, 导热微分方程式可简化为：
t 2t 2t 2t 2 2 2 c x y z c
t 2 a t 或写成 c
式中, 2是拉普拉斯算子, 在直角坐标系中有：
2.2 导热问题的数学描述



热传导研究的重要任务就是确定导热物体内部的温度 分布，即确定t=f(x,y,z,t)的具体函数关系。 直接利用Fourier定律可以计算简单形状物体的导热 问题，如： 稳定的平板导热、圆筒壁导热、球壁导热中的热 流和温度分布 对复杂几何形状和不稳定情况下的导热问题，仅用 Fourier定律往往无法解决，必须以能量守恒定律和 Fourier定律为基础，建立导热微分方程式，然后结 合具体条件求得导热体内部的温度分布。
2.2.1导热微分方程
引入假设条件：
1. 导热体（固体或静止流体）由各向同性的均匀材料组成； 2. 材料的热导率λ、密度ρ和比热Cp都是常数； 3. 导热体内部存在热源（如电热元件、凝固潜热等）
导热微分方程式的导出分下面几个步骤:
(1)根据物体的形状, 选择合适的坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； (2)分析导热过程中进、出微元体边界的能量及微元体内 部的能量变化； (3)根据能量守恒定律, 建立微元体的热平衡方程式； (4)根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式进行归 纳、整理，最后得出导热微分方程式
1.单层平壁的导热 假设平壁的表面面积为A、厚度为、热导率为 常数、无内热源，平壁两侧表面分别保持均匀恒 定的温度tw1、tw2，且tw1 > tw2 。 选取坐标轴x与 壁面垂直 d 2t 0 导热微分方程式为： 2 dx 边界条件为： x = 0 , t = tw1 x= , t = tw2 积分求解得平壁内的温度分布为： t
平壁的稳态导热
t w1
t w1 t w 2

x
单层平壁的导热 当热导率为常数时, 平壁内的温度呈线性分 布, 温度分布曲线的斜率为： dt t w 2 t w1 dx 通过平壁的热流密度可由傅立叶定律得出：
t w1 t w 2 dt q dx
通过整个平壁的热流量为 ：
导热微分方程推导
根据能量守恒定律：
[微元体热量的积累]= [导入微元体的热量]-
[导出微元体的热量]+
[微元体内热源产生的热量]
导热微分方程推导
微元体热量的积累为： C p
导入微元体的热量为：
t dxdydz t
t t t dydz dzdx dxdy x y z

q gradt
热导率在数值上等于温度梯度的绝对值 为1 K/m 时的热流密度值
绝大多数材料的热导率值都可通过实验测得的。 导热系数的影响因素较多, 主要取决于物质的种类、 物 质结构与物理状态, 温度、密度、湿度等因素对热导率也 有较大的影响。