高中物理必修二第5章第1节曲线运动学案新人教版必修2
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vx
l ＝ t v2x＋ v 2y，位移的
vy 方向可以用 tan θ ＝ v x求得．
四、运动的合成与分解
1．平面内的运动：为了更好地研究平面内的物体运动，常建立
直角 坐标系．
2．合运动和分运动：如果物体同时参与了几个运动，那么物体的实际运动就叫做那几个
运动的 合运动 ，那几个运动叫做这个物体实际运动的 分运动 ．
v水
d
arccos v船，渡河的时间 t ＝ v船sin θ .
情况二： v 水>v 船． 此时，无论船头方向指向什么方向，都不能使船垂直于河岸航行，但也
θ＝
应该有一个最短位移．
如图所示，当船的实际速度即合速度的方向沿图中的
v 的方向时，船的位移最短．以船的
速度为半径所做的圆表示了船可能的速度方向，
很显然， 只有当合速度的方向与圆周相切时， 船
渡河的实际位移最短， 其它的方向不仅要大于该位移， 而且沿该轨迹运动， 船的速度方向对应两
个方向，有两个合速度的大小．此时，速度三角形和位移三角形相似，有
v＝
v
2 水
－
v
2船，船头与河岸上游的夹角
v船 cos θ ＝ .
v水
s v水 d＝ v船 ，合速度的大小
200 s ＝ 40 s ，船经过的位移大小
x＝ vt ＝ v21＋ v 22· t ＝ 40 34 m.
5
(2) 船过河距离最短为河宽， 船的合速度方向垂直河岸，
如图 2，合速度 v＝
2
v2
－
2
v1
＝
4
m/s.
v1 3
d 200
船速与河岸的夹角 cos θ ＝ ＝ ， θ ＝ 53°，渡河时间 t ＝ ＝ s ＝ 50 s.
物理建模——小船过河问题分析
一、模型特点
1．条件：河岸为平行直线，水流速度
v 水 恒定，船相对静水的速度 v 船 大小一定，河宽设为 d.
2．常见问题：小船渡河问题可以分为四类，即能否垂直于河岸过河、过河时间最短、过河位移
最短和躲避障碍，考查最多的是过河时间最短和过河位移最短的问题．
二、处理方法
1．以渡河时间为限制条件——渡河时间最短问题．
三、典例剖析
河宽 d＝ 200 m，水流速度 v 1＝ 3 m/s ，船在静水中的速度 v2＝ 5 m/s. 求：
(1) 欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
(2) 欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多少？
d 解析： (1) 欲使船渡河时间最短， 船头的方向应垂直河岸， 如图 1，渡河最短时间 t min＝ v2＝
第一节 曲 线 运 动
一、曲线运动的位移和速度
1．曲线运动的定义．
所有物体的运动可根据其轨迹的不同分为两大类，
即直线 运动和 曲线 运动． 运动轨迹为曲
线的运动叫做曲线运动．
2．曲线运动的位移．
曲线运动的位移是指运动的物体从出发点到所研究位置的
有向线段 ．曲线运动的位移是 矢
量 ，其大小为有向线段的长度，方向是从出发点指向所研究的位置．
( 这是边文，请据需要手工删加 )
3．运动的合成与分解．
由已知 分运动 求跟它们等效的 合运动 叫做运动的合成； 反之， 由已知的 合运动 求跟它等效
的分运动 叫做运动的分解，即：
4．运动合成和分解所遵循的法则． 描述运动的物理量 ( 位移、速度、加速度等 ) 都是 矢量 ，对它们进行合成和分解时可运用 平 行四边形 定则和三角形定则．
线运动．
2．从动力学的角度看：当物体所受合外力不为零，且合外力方向与
速度 方向不在同一条
直线上时，物体做曲线运动．
三、运动的实验探究
一端封闭、长约 1 m 的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体
R. 将玻璃管口
塞紧．
1．将这个玻璃管倒置，如图 (1) 所示．可以看到蜡块上升的速度大致不变．即蜡块做
因为水流的速度始终是沿河岸方向， 不可能提供垂直于河岸的分速度， 因此只要是船头垂
直于河岸航行，此时的渡河时间一定是最短时间，
d 如图所示．即 t ＝ min v船，d 为河宽，此时的渡河位移
d x＝ sin α， α为位移或合速度与水流
的夹角，一般情况下，如果用时间
d t 渡河， t>t min ，这个时间可以用 t ＝ vsin β 来求，从而可以
C．当两个分速度夹角为 120°时，合速度大小与每个分速度大小相等
v2 5
v4
答案： 见解析
1． ( 多选 ) 关于做曲线运动的物体的速度和加速度，下列说法中正确的是
( BD)
A．速度方向不断改变，加速度方向不断改变
B．速度方向不断改变，加速度一定不为零
C．加速度越大，速度的大小改变得越快
D．加速度越大，速度改变得越快
2．关于物体做曲线运动的条件，下列说法中正确的是
求出 β ， β 为船头与河岸的夹角．注意，这种情况往往有两个解．
2．以渡河位移为限制条件．
先分析渡河位移最短的特例，分两种情况讨论．
情况一： v 水<v 船． 此时，使船头向上游倾斜，使船在沿河方向的分速度等于水流的速度，
这样船的实际位移即垂直于河岸，最短的位移即为河宽
d. 这种情况下，船头与上游的夹角
3．曲线运动的速度．
(1) 物体做曲线运动时，速度的 方向 时刻都在改变．
(2) 物体在某一点 ( 或某一时刻 ) 的速度方向为沿曲线在这一点的 切线方向 ．
(3) 做曲线运动的物体，不管速度大小是否变化，速度的方向时刻都在变化，所以曲线运
动是一种 变速 运动．
二、物体做曲线运动的条件
Байду номын сангаас
1．从运动学的角度看：质点 加速度 的方向与速度的方向不在一条直线上时，质点就做曲
( B)
A．物体所受的合力是变力
B．物体所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上
C．物体所受合力的方向与加速度的方向不在同一条直线上
D．物体所受合力的方向一定是变化的
3． ( 多选 ) 如果两个分运动的速度大小相等，且为定值，则下列论述中正确的是
( AC)
A．当两个分速度夹角为 0°时，合速度最大
B．当两个分速度夹角为 90°时，合速度最大
匀速
运动．
2．再次将玻璃管上下颠倒．在蜡块上升的同时将玻璃管
向右匀速 移动，观察研究蜡块的
运动．
3．以开始时蜡块的位置为原点，建立平面直角坐标系，如图
(2) 所示．设蜡块匀速上升的
速度为 vy、玻璃管水平向右移动的速度为 v x. 从蜡块开始运动的时刻计时，则 t 时刻蜡块的位置
vy 坐标为 x＝ vxt ，y＝ vyt ；蜡块的运动轨迹 y＝ x 是直线．蜡块位移的大小
l ＝ t v2x＋ v 2y，位移的
vy 方向可以用 tan θ ＝ v x求得．
四、运动的合成与分解
1．平面内的运动：为了更好地研究平面内的物体运动，常建立
直角 坐标系．
2．合运动和分运动：如果物体同时参与了几个运动，那么物体的实际运动就叫做那几个
运动的 合运动 ，那几个运动叫做这个物体实际运动的 分运动 ．
v水
d
arccos v船，渡河的时间 t ＝ v船sin θ .
情况二： v 水>v 船． 此时，无论船头方向指向什么方向，都不能使船垂直于河岸航行，但也
θ＝
应该有一个最短位移．
如图所示，当船的实际速度即合速度的方向沿图中的
v 的方向时，船的位移最短．以船的
速度为半径所做的圆表示了船可能的速度方向，
很显然， 只有当合速度的方向与圆周相切时， 船
渡河的实际位移最短， 其它的方向不仅要大于该位移， 而且沿该轨迹运动， 船的速度方向对应两
个方向，有两个合速度的大小．此时，速度三角形和位移三角形相似，有
v＝
v
2 水
－
v
2船，船头与河岸上游的夹角
v船 cos θ ＝ .
v水
s v水 d＝ v船 ，合速度的大小
200 s ＝ 40 s ，船经过的位移大小
x＝ vt ＝ v21＋ v 22· t ＝ 40 34 m.
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(2) 船过河距离最短为河宽， 船的合速度方向垂直河岸，
如图 2，合速度 v＝
2
v2
－
2
v1
＝
4
m/s.
v1 3
d 200
船速与河岸的夹角 cos θ ＝ ＝ ， θ ＝ 53°，渡河时间 t ＝ ＝ s ＝ 50 s.
物理建模——小船过河问题分析
一、模型特点
1．条件：河岸为平行直线，水流速度
v 水 恒定，船相对静水的速度 v 船 大小一定，河宽设为 d.
2．常见问题：小船渡河问题可以分为四类，即能否垂直于河岸过河、过河时间最短、过河位移
最短和躲避障碍，考查最多的是过河时间最短和过河位移最短的问题．
二、处理方法
1．以渡河时间为限制条件——渡河时间最短问题．
三、典例剖析
河宽 d＝ 200 m，水流速度 v 1＝ 3 m/s ，船在静水中的速度 v2＝ 5 m/s. 求：
(1) 欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移多大？
(2) 欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多少？
d 解析： (1) 欲使船渡河时间最短， 船头的方向应垂直河岸， 如图 1，渡河最短时间 t min＝ v2＝
第一节 曲 线 运 动
一、曲线运动的位移和速度
1．曲线运动的定义．
所有物体的运动可根据其轨迹的不同分为两大类，
即直线 运动和 曲线 运动． 运动轨迹为曲
线的运动叫做曲线运动．
2．曲线运动的位移．
曲线运动的位移是指运动的物体从出发点到所研究位置的
有向线段 ．曲线运动的位移是 矢
量 ，其大小为有向线段的长度，方向是从出发点指向所研究的位置．
( 这是边文，请据需要手工删加 )
3．运动的合成与分解．
由已知 分运动 求跟它们等效的 合运动 叫做运动的合成； 反之， 由已知的 合运动 求跟它等效
的分运动 叫做运动的分解，即：
4．运动合成和分解所遵循的法则． 描述运动的物理量 ( 位移、速度、加速度等 ) 都是 矢量 ，对它们进行合成和分解时可运用 平 行四边形 定则和三角形定则．
线运动．
2．从动力学的角度看：当物体所受合外力不为零，且合外力方向与
速度 方向不在同一条
直线上时，物体做曲线运动．
三、运动的实验探究
一端封闭、长约 1 m 的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体
R. 将玻璃管口
塞紧．
1．将这个玻璃管倒置，如图 (1) 所示．可以看到蜡块上升的速度大致不变．即蜡块做
因为水流的速度始终是沿河岸方向， 不可能提供垂直于河岸的分速度， 因此只要是船头垂
直于河岸航行，此时的渡河时间一定是最短时间，
d 如图所示．即 t ＝ min v船，d 为河宽，此时的渡河位移
d x＝ sin α， α为位移或合速度与水流
的夹角，一般情况下，如果用时间
d t 渡河， t>t min ，这个时间可以用 t ＝ vsin β 来求，从而可以
C．当两个分速度夹角为 120°时，合速度大小与每个分速度大小相等
v2 5
v4
答案： 见解析
1． ( 多选 ) 关于做曲线运动的物体的速度和加速度，下列说法中正确的是
( BD)
A．速度方向不断改变，加速度方向不断改变
B．速度方向不断改变，加速度一定不为零
C．加速度越大，速度的大小改变得越快
D．加速度越大，速度改变得越快
2．关于物体做曲线运动的条件，下列说法中正确的是
求出 β ， β 为船头与河岸的夹角．注意，这种情况往往有两个解．
2．以渡河位移为限制条件．
先分析渡河位移最短的特例，分两种情况讨论．
情况一： v 水<v 船． 此时，使船头向上游倾斜，使船在沿河方向的分速度等于水流的速度，
这样船的实际位移即垂直于河岸，最短的位移即为河宽
d. 这种情况下，船头与上游的夹角
3．曲线运动的速度．
(1) 物体做曲线运动时，速度的 方向 时刻都在改变．
(2) 物体在某一点 ( 或某一时刻 ) 的速度方向为沿曲线在这一点的 切线方向 ．
(3) 做曲线运动的物体，不管速度大小是否变化，速度的方向时刻都在变化，所以曲线运
动是一种 变速 运动．
二、物体做曲线运动的条件
Байду номын сангаас
1．从运动学的角度看：质点 加速度 的方向与速度的方向不在一条直线上时，质点就做曲
( B)
A．物体所受的合力是变力
B．物体所受合力的方向与速度方向不在同一条直线上
C．物体所受合力的方向与加速度的方向不在同一条直线上
D．物体所受合力的方向一定是变化的
3． ( 多选 ) 如果两个分运动的速度大小相等，且为定值，则下列论述中正确的是
( AC)
A．当两个分速度夹角为 0°时，合速度最大
B．当两个分速度夹角为 90°时，合速度最大
匀速
运动．
2．再次将玻璃管上下颠倒．在蜡块上升的同时将玻璃管
向右匀速 移动，观察研究蜡块的
运动．
3．以开始时蜡块的位置为原点，建立平面直角坐标系，如图
(2) 所示．设蜡块匀速上升的
速度为 vy、玻璃管水平向右移动的速度为 v x. 从蜡块开始运动的时刻计时，则 t 时刻蜡块的位置
vy 坐标为 x＝ vxt ，y＝ vyt ；蜡块的运动轨迹 y＝ x 是直线．蜡块位移的大小