专题 二次函数的三种表示方式
初高中衔接二次函数专题
3 二次函数 基础知识1．二次函数的三种表示方式： （1）一般式：y=ax 2 +bx+c ；（2）顶点式：y=a(x-m)2 +n （常用，便于求最值、画图）； （3）交点式： y=a(x-x 1 )(x-x 2 ) (△≥0时) ．2．若函数y=f(x)的对称轴是x=h,则对f(x)定义域内的任意x,都有f(h+x)=f(h-x);反之也成立。
3．二次方程根的分布问题，限制条件较多时可用相应抛物线位置，限制条件较少时可用韦达定理解决。
4．二次函数的最值问题（1）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况：当0a >时，函数在2bx a=-处取得最小值244ac b a -，没有最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，没有最小值．求二次函数最大值或最小值的步骤：第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值； 第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． （2）求二次函数在某一范围内的最值．二次函数在某区间上的最值须用配方法，含字母的函数最值可借助图象分析。
如：求2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值的步骤： 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：（请同学们画出图像理解）（1）若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论： ①0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧； ②0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部； ③0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
（2） 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①02m nx +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧；②02m nx +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧。
二次函数的三个表达式
二次函数的三个表达式
二次函数的三个表达式
二次函数是一个非常重要的函数，它有三种标准形式的表达式，分别
是一般型、完全型、标准型的表达式，它们可以应用于多学科，对于
任意二次函数都可以使用其中一种表达式来表示它。
一、一般型的表达式
一般型的表达式是指的是y=ax^2 + bx + c的形式，其中a，b，c为
实数，其中a不能等于0，这是一般型表达式的特点，这也是二次函数最基本的表达方式。
二、完全型的表达式
完全型表达式是一般型的扩展，它的表达式形式为y=ax^2 + bx + c + dx + e，其中a、d不能同时为0，其他的参数都可以为0，但是参数a不能为0.完全型的表达式是二次函数的一种重要形式，它可以很好
地表示一个函数的形状，起到了很重要的作用。
三、标准型的表达式
标准型的表达式是二次函数最常用的表达式形式，它有一个标准的表
达式形式，即 y = a(x - h)^2 + k，参数a不能等于0，其中h为x
轴上的横坐标，k为y轴上的纵坐标。
标准型表达式最大的优点就是能够很容易地根据函数的图像来确定各参数的值，这个特点使得它在实
际应用中非常有用。
总结
以上就是二次函数的三个表达式的介绍，它们各有优缺点，在具体应
用中应根据具体情况来选择适合的表达式。
正确的使用三种表达式就可以很好地表达二次函数的特性。
二次函数的表达式常见的三种形式
二次函数的表达式常见的三种形式：
1、一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 为常数，且，
当已知抛物线上任意三点坐标时，通常设其函数表达式为一般式，然后列出关于c b a ,,的三元一次方程组求解；
2、顶点式：)0,,(2≠++=a k h a k h x a y 为常数，且）（，当已知抛物线的顶点坐标和抛
物线上另一点的坐标时，通常先设函数的表达式为顶点式，然后将另一点的坐标带入，解关于a 的一元一次方程；
3、交点式（拓展）：)0,,)()((2121≠--=a x x a x x x x a y 为常数，且，其中21,x x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.当已知抛物线与x 轴的交点及抛物线上另一点坐标时，通常先设其函数表达式为))((21x x x x a y --=，然后将另一点的坐标带入求出待定系数a .。
二次函数的三种表示方式(解析版)
二次函数的三种表示方式高中必备知识点1：一般式形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；典型考题【典型例题】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）． （1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由．【答案】（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根． 【解析】（1）抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3） 9a ﹣3b +c ＝0930312a b c c b a⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3 ∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上， ∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴+2m n＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0∴此方程有两个不相等的实数根．【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。
(结果化成一般式)【答案】【解析】由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4把点（3，0）代入解析式，得：4a+4，即a=-1所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4故答案是y=-x2+2x+3．【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线. （1）求抛物线的解析式（化为一般式）；（2）直接写出抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.【答案】(1) ;(2)4.【解析】 （1）抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移2个单位后得到的点的坐标为，抛物线的解析式为；（2）顶点坐标为，且抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积，抛物线的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.高中必备知识点2：顶点式形如下面的二次函数的形式称为顶点式：y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )．典型考题【典型例题】已知二次函数21322y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式； ⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．【答案】（1）()21122y x =--+；（2）（1，2），直线1x = 【解析】 （1）21322y x x =-++()21232y x x =--- ()2121132y x x =--+--()212142y x x ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()21142y x ⎡⎤=---⎣⎦()21122y x =--+（2）∵()21122y x =--+∴顶点坐标为（1，2），对称轴方程为直线1x =.【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式． 【答案】二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2． 【解析】∵二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），∴设抛物线顶点式解析式y=a （x+1）2+2，将（1，﹣6）代入得，a （1+1）2+2=﹣6， 解得a=﹣2，所以，这个二次函数的解析式为y=﹣2（x+1）2+2．【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．【答案】（1）322--=x x y ；（2）（1，-4）；（3）5【解析】（1）设c bx ax y ++=2，把点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=03343b a c b a c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a∴322--=x x y ；（2）∵4)1(3222--=--=x x x y∴函数的顶点坐标为（1，-4）； （3）∵|1-0|+|-4-0|=5∴二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．高中必备知识点3：交点式形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．典型考题【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点． （1）求 k 的取值范围；（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．【答案】（1）k ＜；（2）（﹣2，0）和（0,0）.【解析】（1）∵图象与x轴有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，∴解得（2）∵k 为正整数，∴k=1．∴令y=0，得解得∴交点为（﹣2，0）和（0，0）.【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x＝－2，此时抛物线与x轴的两交点间距离为6.(1)求抛物线与x轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．【答案】(1)(－5，0)，(1，0)；（2）y＝－x2－2x＋.【解析】(1) ∵因为抛物线对称轴为直线x=-2，且图象与x轴的两个交点的距离为6，∴点A、B到直线x=-2的距离为3，∴A为（-5，0），B为（1，0）；(2)设y＝a(x＋5)(x－1)．∵点(3，－8)在抛物线上，∴－8＝a(3＋5)(3－1)，a＝－，∴y＝－x2－2x＋.【能力提升】已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y＜0时，x的取值范围．【答案】（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．【解析】（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；（2）函数图象如图：由图象可知，当y＜0时，1＜x＜3．专题验收测试题1．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（）A．y＝﹣2（x﹣1）2+1 B．y＝﹣2（x+3）2﹣5C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣5 D．y＝﹣2（x+3）2+1【答案】B【解析】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为：y＝﹣2（x+3）2﹣5．故选：B．2．二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【答案】A【解析】解：二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．故选：A．3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【答案】D【解析】∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，∴△＝b2﹣4ac＝0，即8﹣4k（k+1）＝0，解得：k1＝1，k2＝﹣2，当k＝1时，k+1＞0，此时图象有最低点，不合题意舍去，则k的值为：﹣2．故选：D．4．已知二次函数为常数，且），（）A．若，则的增大而增大；B．若，则的增大而减小；C．若，则的增大而增大；D．若，则的增大而减小；【答案】C【解析】解：∵y=ax2+（a+2）x-1对称轴直线为，x=-=-．由a＜0得，-＞0．∴-＞-1．又∵a＜0∴抛物线开口向下．故当x＜-时，y随x增大而增大．又∵x＜-1时，则一定有x＜-．∴若a＜0，则x＜-1，y随x的增大而增大．故选：C．5．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）【答案】B【解析】解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．6．将抛物线y＝x2﹣x+1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y＝x2+3x+6 B．y＝x2+3x C．y＝x2﹣5x+10 D．y＝x2﹣5x+4【答案】A【解析】，当向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得.故选A．7．把抛物线y＝ax2+bx+c图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y＝x2+5x+6，则a﹣b+c的值为（）A．2 B．3 C．5 D．12【答案】B【解析】y＝x2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣）．故原抛物线的解析式是：y＝（x+）2+＝x2+x+3．所以a＝b＝1，c＝3．所以a﹣b+c＝1﹣1+3＝3．故选B．8．已知二次函数y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m，其中k，m为常数．下列说法正确的是（）A．若k≠1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0B．若k＜1，m＞0，则二次函数y的最大值大于0C．若k＝1，m≠0，则二次函数y的最大值小于0D．若k＞1，m＜0，则二次函数y的最大值大于0【答案】B【解析】∵y＝﹣（x﹣k+2）（x+k）+m＝﹣（x+1）2+（k﹣1）2+m，∴当x＝﹣1时，函数最大值为y＝（k﹣1）2+m，则当k＜1，m＞0时，则二次函数y的最大值大于0．故选：B．9．关于抛物线，下列说法错误．．的是（）．A．开口向上B．与轴只有一个交点C．对称轴是直线D．当时，的增大而增大【答案】B【解析】解：A、，抛物线开口向上，所以A选项的说法正确；B、当时，即，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；C、抛物线的对称轴为直线，所以C选项的说法正确；D、抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，则当时，y随x的增大而增大，所以D选项的说法正确．故选：B．10．将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝﹣3（x﹣2）2+4 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣2C．y＝﹣3（x+2）2+4 D．y＝﹣3（x+2）2﹣2【答案】D【解析】将抛物线y＝﹣3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y＝﹣3（x+2）2+1；再向下平移3个单位为：y＝﹣3（x+2）2+1﹣3，即y＝﹣3（x+2）2﹣2．故选D．11．已知抛物线经过点，则该抛物线的解析式为__________．【答案】【解析】解：将A、O两点坐标代入解析式得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：y=.12．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，则a的值为______．【答案】-1【解析】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1 的图象经过原点，∴a2-1=0，∴a=±1，∵a-1≠0，∴a≠1，∴a的值为-1．故答案为：-1．13．将二次函数y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位，得到新的二次函数的顶点式为______．【答案】y=（x-2）2+1【解析】解：将抛物线y=x2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位后，得到的抛物线的表达式为y=（x-2）2+1，故答案为：y=（x-2）2+1．14．将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．【答案】y＝2（x+3）2+1【解析】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）2+1．故答案为：y＝2（x+3）2+115．在平面直角坐标系xOy 中，函数y = x2的图象经过点M (x1 , y1 ) ，N (x2 , y2 ) 两点，若- 4< x1<-2，0< x2<2 ，则y1 ____ y2 . （用“ <”，“=”或“>”号连接）【答案】>【解析】解：抛物线y=x2的对称轴为y轴，而M（x1，y1）到y轴的距离比N（x2，y2）点到y轴的距离要远，所以y1＞y2．故答案为：＞．16．小颖从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下列信息：；；；；．你认为其中正确信息的个数有______．【答案】【解析】解：抛物线的对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即，抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，故错误；如图所示，当时，，所以，故正确；对称轴，，则如图所示，当时，，，，故正确；如图所示，当时，，故错误；综上所述，正确的结论是：．故答案是：．17．已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴的交点坐标为（m﹣2，0）和（2m+1，0）．（1）若x＜0时，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若y ＝1时，自变量x 有唯一的值，求二次函数的解析式． 【答案】（1）31=m （2）y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 【解析】解：（1）由题意可知，二次函数图象的对称轴为x ＝2213122m m m -++-=，∵a ＝﹣1＜0，∴二次函数的图象开口向下， ∵x ＜0时，y 随x 的增大而增大，∴312m -≥0， 解得m ≥13，（2）由题意可知，二次函数的解析式为y ＝﹣（x ﹣312m -）2+1， ∵二次函数的图象经过点（m ﹣2，0）， ∴0＝﹣（m ﹣2﹣312m -）2+1， 解得m ＝﹣1和m ＝﹣5，∴二次函数的解析式为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3和y ＝﹣x 2﹣16x ﹣63． 18．设二次函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5（a ，b 为常数，a ≠0），且2a +b ＝3． （1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；（2）y 1的图象始终经过一个定点，若一次函数y 2＝kx +b （k 为常数，k ≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k ，a 满足的关系式；（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）都在函数y 1的图象上，若x 0＜1，且m ＞n ，求x 0的取值范围（用含a 的代数式表示）．【答案】（1）y ＝3x 2﹣3x ﹣2；（2）k ＝2a ﹣5；（3）x 0<．【解析】解：（1）∵函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5的图象经过点（﹣1，4），且2a +b ＝3 ∴，∴，∴函数y 1的表达式为y ＝3x 2﹣3x ﹣2； （2）∵2a +b ＝3∴二次函数y1＝ax2+bx+a﹣5＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5，整理得，y1＝[ax2+（3﹣2a）x+a﹣3]﹣2＝（ax﹣a+3）（x﹣1）﹣2∴当x＝1时，y1＝﹣2，∴y1恒过点（1，﹣2）∴代入y2＝kx+b得∴﹣2＝k+3﹣2a得k＝2a﹣5∴实数k，a满足的关系式：k＝2a﹣5（3）∵y1＝ax2+（3﹣2a）x+a﹣5∴对称轴为x＝﹣，∵x0＜1，且m＞n∴当a＞0时，对称轴x＝﹣，解得，当a＜0时，对称轴x＝﹣，解得（不符合题意，故x0不存在）故x0的取值范围为：19．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A和点B（1）求该二次函数的解析式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．【答案】(1) y＝x2﹣4x﹣6；（2）对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．【解析】（1）根据题意，得，解得，∴所求的二次函数的解析式为y＝x2﹣4x﹣6．（2）又∵y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10，∴函数图象的对称轴为x＝2；顶点坐标是（2，﹣10）．20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC=2S△BOC，求点P的坐标．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）【解析】（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，A点的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）．将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：解得：b＝2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵将x＝0代y＝x2+2x﹣3入，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3）．∴OC＝3．∵点B的坐标为（1，0），∴OB＝1．设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则点P到OC的距离为|a|．∵S△POC＝2S△BOC，∴12OC•|a|＝12OC•OB，即12×3×|a|＝2×12×3×1，解得a＝±2．当a＝2时，点P的坐标为（2，5）；当a＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，﹣3）．∴点P的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．21．已知抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a≠0）．（1）直接写出该抛物线的对称轴．（2）试说明无论a为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．【答案】（1）；（2）抛物线一定经过点.【解析】解：（1）该抛物线的对称轴为x=-;（2）可化为，当，即时，，抛物线一定经过点.22．如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax2+bx+c 上.(1)求抛物线解析式；(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.【答案】(1)；(2)点P的坐标为(1，2)或(2，).【解析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将C(0，)代入，得-3a=，解得∴抛物线的解析式为(2)过点P作PD⊥x轴于D.设点，∴S四边形ACOB=S梯形PDOC+S△PBD =(=∴S△PBC=S四边形PCOB- S△BOC=整理得，解得x=1或x=2.∴点P的坐标为(1，2)或(2，)。
二次函数的三种表达形式
•二次函数的三种表达方式：①普通式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值.之杨若古兰创作②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的地位特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像不异，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把普通式化成顶点式.例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式.解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2. 留意：与点在平面直角坐标系中的平移分歧，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不克不及因h前是负号就简单地认为是向左平移.具体可分为上面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行挪动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行挪动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行挪动h个单位，再向上挪动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行挪动h个单位，再向下挪动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行挪动|h|个单位，再向上挪动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行挪动|h|个单位，再向下挪动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象.③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中即可求出a.由普通式变成交点式的步调：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).主要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向.a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下.a的绝对值可以决定开口大小.a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大. 能灵活应用这三种方式求二次函数的解析式；能熟练地应用二次函数在几何领域中的利用；能熟练地应用二次函数解决实际成绩.•二次函数解释式的求法：就普通式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．求二次函数的普通式时，必必要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.1.巧取交点式法：常识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式.点拨：解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过点（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4.②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解.例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），而且图象与x 轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式.点拨：在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，成绩比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x 轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）.此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.2.巧用顶点式：顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只要一个未知数a.在此类成绩中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在利用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等成绩时，普通用顶点式方便．①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式.例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式.点拨：解∵顶点坐标为（-1，-2），故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）.把点（1，10）代入上式，得10=a·(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.②典型例题二：如果a>0，那么当时，y有最小值且y最小=；如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也能够求出顶点式.例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式.点拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶点坐标为（4，-3），对称轴为直线x＝4，抛物线开口向上.因为图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是（1，0）和（7，0）. ∴抛物线的顶点为（4，-3）且过点（1，0）.故可设函数解析式为y＝a(x－4)2－3.将（1，0）代入得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73.③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.例如：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式. （2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式.（4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．④典型例题四：利用函数的顶点式，解图像的平移等成绩非常方便.例：把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______.点拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114. ∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.。
二次函数--三种解析式
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 三: 二次函数 的图象如图所示 -1 对称轴x=_____ 对称轴 顶点坐标:______ 顶点坐标 (-1,-2) -1 时 有最 有最___值是 值是___ 当x=___时,y有最 小 值是 -2 函数值y<0时,x的取值范围 -3<x<1 的取值范围_______ 函数值y<0时,x的取值范围_______ 或 函数值y>0时,x的取值范围x<-3或x>1 的取值范围_______ 函数值 时 的取值范围 函数值y=0时,x的取值范围 -3或1 的取值范围_______ 函数值 时 的取值范围 或 的增大而增大. 当x_______时,y随x的增大而增大 时 随 的增大而增大 >-1
2
(3)某抛物线 y = ax + bx + c 如图3 如图3示，求此 抛物线的解析式. 抛物线的解析式.
2
y y
y
-1 −2 -2
0
−1
3 图1
3
x
-1 − 1
1 0
1
x
-1
1
−1 0
1 -1
-1
1 −1
2
2
x
图2
图3
6、小结归纳 （1）待定系数法 （2）二次函数解析式的不同形式： 二次函数解析式的不同形式： ①一般式： y = ax2 + bx + c 一般式： ②顶点式： 顶点式： 顶点坐标（－h 顶点坐标（－h，k） （－
解：∵A(1，0)，对称轴为 ， ，对称轴为x=2 轴另一个交点C应为 ∴抛物线与x轴另一个交点 应为（3，0） 抛物线与 轴另一个交点 应为（ ， ） ∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3) 设其解析式为 ∵B（0，-3） （ ， ） ∴-3 = a(0-1)(0-3) ∴a= -1 ∴y= -(x-1)(x-3)
§2.5__用三种方式表示二次函数
§2.5 用三种方式表示二次函数学习目标:经历三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系和各自不同点。
学习重点:能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数进行研究．函数的综合题目，往往是三种方式的综合应用，由三种不同方式，都能把握函数性质，才会正确解题．学习难点:用三种方式表示二次函数的实际问题时，忽略自变量的取值范围是常见的错误．学习过程:一、做一做：已知矩形周长20cm,并设它的一边长为xcm,面积为ycm2，y随x的而变化的规律是什么？你能分别用函数表达式，表格和图象表示出来吗？1、用函数表达式表示：y=3、用图象表示：在上述问题中，自变量的取值范围是什么？当X=____时，Y最大=___。
你是怎么得到的。
二、两个数相差2,设其中较大的一个数为x,那么它们的积y是如何随x的变化而变化的? ？用你能分别用函数表达式,表格和图象表示这种变化吗?1、用函数表达式表示：y=3、用图象表示：4、根据以上3种表示方式回答下列问题。
（1）自变量的取值范围是什么？（2）图象的对称轴是___ 顶点坐标是___（3）如何描述y随x的变化而变化的情况（4）你是分别通过哪种方式回答上面3个问题的？三、二次函数的三种表示方式各有什么特点？它们之间有什么联系？四、例1已知函数y=x 2＋bx ＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的草图，并指出图象的顶点坐标；（3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围．例2 一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？五、随堂练习：1．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．0＜－a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b 2=1图①图②2．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：（1）这个二次函数的表达式是；（2）当x= 时，y=3；（3）根据图象回答：当x 时，y＞0．3．已知抛物线y=－x2＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点位于（0，5）上方，则k 的取值范围是．六、课后练习1．二次函数y=－x2＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（）A．b=2，c=4 B．b=2，c=4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4．2．二次函数y= ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，设其中一边为x，面积为y。
二次函数的三种表达形式
•二次函数的三种表白形式：①普遍式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶面坐标为[,]把三个面代进函数剖析式得出一个三元一次圆程组，便能解出a、b、c的值.之阳早格格创做②顶面式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶面坐标为对于称轴为直线x=h，顶面的位子特性战图像的启心目标与函数y=ax2的图像相共，当x=h时，y最值=k.偶尔题目会指出让您用配要发把普遍式化成顶面式.例：已知二次函数y的顶面(1,2)战另一任性面(3,10)，供y 的剖析式.解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代进上式，解得y=2(x-1)2+2. 注意：与面正在仄里直角坐标系中的仄移分歧，二次函数仄移后的顶面式中，h>0时，h越大，图像的对于称轴离y 轴越近，且正在x轴正目标上，没有克没有及果h前是背号便简朴天认为是背左仄移.简直可分为底下几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位，再进与移动k个单位，便不妨得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动h个单位，再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位，再进与移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将扔物线y=ax2背左仄止移动|h|个单位，再背下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象.③接面式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有接面时的扔物线，即b2-4ac≥0] .已知扔物线与x轴即y=0有接面A（x1，0）战 B（x2，0）,咱们可设y=a(x-x1)(x-x2),而后把第三面代进x、y中即可供出a.由普遍式形成接面式的步调：二次函数∵x1+x2=-b/a， x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).要害观念：a，b，c为常数，a≠0，且a决断函数的启心目标.a>0时，启心目标进与；a<0时，启心目标背下.a的千万于值不妨决断启心大小.a的千万于值越大启心便越小，a的千万于值越小启心便越大.能机动使用那三种办法供二次函数的剖析式；能流利天使用二次函数正在几许范围中的应用；能流利天使用二次函数办理本质问题.•二次函数阐明式的供法：便普遍式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而止，其中含有三个待定的系数a ，b ，c．供二次函数的普遍式时，必须要有三个独力的定量条件，去修坐闭于a ，b ，c 的圆程，联坐供解，再把供出的a ，b ，c 的值反代回本函数剖析式，即可得到所供的二次函数剖析式.1.巧与接面式法：知识归纳：二次函数接面式：y＝a(x－x1)(x－x2) （a≠0）x1，x2分别是扔物线与x轴二个接面的横坐标.已知扔物线与x轴二个接面的横坐标供二次函数剖析式时，用接面式比较烦琐.①典型例题一：报告扔物线与x轴的二个接面的横坐标，战第三个面，可供出函数的接面式.例：已知扔物线与x轴接面的横坐标为-2战1 ，且通过面（2，8），供二次函数的剖析式.面拨：解设函数的剖析式为y＝a(x+2)(x-1)，∵过面（2，8），∴8＝a(2+2)(2-1).解得a=2，∴扔物线的剖析式为：y＝2(x+2)(x-1)，即y＝2x2+2x-4.②典型例题二：报告扔物线与x轴的二个接面之间的距离战对于称轴，可利用扔物线的对于称性供解.例：已知二次函数的顶面坐标为（3，-2），而且图象与x 轴二接面间的距离为4，供二次函数的剖析式.面拨：正在已知扔物线与x轴二接面的距离战顶面坐目标情况下，问题比较简单办理．由顶面坐标为（3，-2）的条件，易知其对于称轴为x＝3，再利用扔物线的对于称性，可知图象与x轴二接面的坐标分别为（1，0）战（5，0）.此时，可使用二次函数的接面式，得出函数剖析式.2.巧用顶面式：顶面式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是扔物线的顶面.当已知扔物线顶面坐标或者对于称轴，或者不妨先供出扔物线顶面时，设顶面式解题格外简净，果为其中惟有一个已知数a.正在此类问题中，常战对于称轴，最大值或者最小值分离起去命题.正在应用题中，波及到桥拱、隧讲、弹讲直线、投篮等问题时，普遍用顶面式便当．①典型例题一：报告顶面坐标战另一个面的坐标，间接不妨解出函数顶面式.例：已知扔物线的顶面坐标为（-1，-2），且通过面（1，10），供此二次函数的剖析式.面拨：解∵顶面坐标为（-1，-2），故设二次函数剖析式为y=a(x+1)2-2 （a≠0）.把面（1，10）代进上式，得10=a·(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的剖析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.②典型例题二：如果a>0，那么当时，y有最小值且y最小=；如果a<0，那么，当时，y有最大值，且y最大=. 报告最大值或者最小值，本质上也是报告了顶面坐标，共样也不妨供出顶面式.例：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x 轴二接面间的距离为6，供那个二次函数的剖析式.面拨：析解∵二次函数当x＝4时有最小值－3，∴顶面坐标为（4，-3），对于称轴为直线x＝4，扔物线启心进与.由于图象与x轴二接面间的距离为6，根据图象的对于称性便不妨得到图象与x轴二接面的坐标是（1，0）战（7，0）. ∴扔物线的顶面为（4，-3）且过面（1，0）.故可设函数剖析式为y＝a(x－4)2－3.将（1，0）代进得0＝a(1－4)2－3, 解得a＝13．∴y＝13(x－4)2-3，即y＝13x2－83x＋73.③典型例题三：报告对于称轴，相称于报告了顶面的横坐标，概括其余条件，也可解出.比圆：（1）已知二次函数的图象通过面A（3，-2）战B（1，0），且对于称轴是直线x＝3．供那个二次函数的剖析式. （2）已知闭于x的二次函数图象的对于称轴是直线x=1，图象接y轴于面（0，2），且过面（-1，0），供那个二次函数的剖析式.（3）已知扔物线的对于称轴为直线x=2，且通过面（1，4）战面（5，0），供此扔物线的剖析式.（4）二次函数的图象的对于称轴x=-4，且过本面，它的顶面到x轴的距离为4，供此函数的剖析式．④典型例题四：利用函数的顶面式，解图像的仄移等问题非常便当.例：把扔物线y=ax2+bx+c的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位, 所得图像的剖析式是y=x2-3x+5, 则函数的剖析式为_______.面拨：解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114. ∵它是由扔物线的图像背左仄移3 个单位, 再背下仄移2 个单位得到的，∴本扔物线的剖析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.。
用三种方式表示二次函数
二次函数是数学中一种常见的函数形 式，其一般形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常数， 且$a neq 0$。
二次函数的标准形式
总结词
二次函数的标准形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的标准形式是将其写成一般形式，即$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$和$c$是常数，且$a neq 0$。这种形式便于计算和识别函数的性质 。
二次函数的非标准形式
总结词
二次函数的非标准形式包括顶点式、交点式和一般式。
详细描述
除了标准形式，二次函数还可以表示为其他形式。其中顶点式表示为$f(x) = a(x-h)^2 + k$，其中$(h, k)$是函 数的顶点；交点式表示为$f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$，其中$x_1$和$x_2$是函数与x轴的交点；一般式即标准形式 。这些非标准形式各有特点，适用于不同的问题和计算。
01
02
03
描点法
通过选取函数定义域内的 若干个点，用平滑的曲线 将它们连接起来，形成二 次函数的图象。
切线法
利用切线性质，通过切线 与x轴的交点来绘制二次 函数的图象。
参数方程法
通过设定参数方程来表示 二次函数，从而绘制出其 图象。
二次函数图象的形状和特点
开口方向
二次函数的开口方向由系数a决定 ，a>0时开口向上，a<0时开口向
成本和收益分析
在经济学中，二次函数益曲线。
供需关系
通过建立二次函数模型，可以描 述市场的供需关系，预测价格波
二次函数知识点3
知识点3：二次函数解析式求法一、基础知识回顾：1．二次函数的三种表示方法：⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系； ⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势； ⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系． 2．二次函数表达式的求法：⑴若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得c bx ax y ++=2；⑵若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2()y a x h k =-+其中顶点为(h ，k)对称轴为直线x=h ；⑶若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式：12()()y a x x x x =--,其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0） 二、典型例题讲解： 例题1、抛物线c bx ax y ++=2如图1－2－12 所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是___________.练习1、已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为例题2：求图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=23的二次函数的解析式练习：已知抛物线的顶点为（－3，4），且过点（－1，2），求此抛物线的解析式。
课堂练习：1．抛物线c bx ax y ++=2中，已知a ：b ：c=l ：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为____________ 2．已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式：_______________.3．若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，则它的解析式为___________．（任写一个） 4.二次函数322--=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是_________________。
5.若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ． 6.平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++例题3：已知二次函数212y x bx c =++的图象经过点A （c,－2）， 求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3.题目中的矩形框部分是一段被墨水染污了无法辩认的文字.（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数的图象；若不能，请说明理由.（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整.例题4：目前国内最大跨径的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图1－2－18），在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为8.5米。
二次函数的三种解析式
∴ A（-1，0）， （3，0） ），B（ ， ） （ ， ）， ）（x- ） ∴抛物线的解析式为y=a（x+ 1）（ 3） 抛物线的解析式为 （ ）（ 又∵抛物线的顶点为P （1，-4） ∵抛物线的顶点为 ， ） ）（1- ） ∴-4=a（1+1）（ 3） （ ）（ ∴a=1 ）（x- ） ∴y = （x+ 1）（ 3） ）（
(2)交x轴于 （x1，0）， （x2，0），顶点为 交 轴于 轴于A（ ），B（ ），顶点为 ）， ）， P（1，-4），且x12+x22=10 ），且 （ ， ），
解： ∵ ∴
x1 + x 2 2
=1
y
x1 + x 2
=2
∵ x12+x22=10 ∴x1= -1 ; x2=3 A -1 o -4 1 B 3
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （1）解：设抛物线的解析式为 ） ）、C（ ， ） ∵图象过A(0，1) 、B（1，2）、 （2，-1）三点 图象过 ， （ ， ）、
a × 0 2 + b × 0 + c = 1 2 ∴ a × 1 + b × 1 + c = 2 a × 2 2 + b × 2 + c = −1 a = −2 ∴ b = 3 c = 1
-1 O
m
y
n
1
x
课堂小结： 课堂小结：
1. 抛物线的三种解析式？ 抛物线的三种解析式？ 2. 如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？ 如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？ 3. 各种解析式对称轴、顶点坐标求法？ 各种解析式对称轴、顶点坐标求法？ 4. 二次函数的最值的求法？ 二次函数的最值的求法？ 5. 抛物线的平移规律？ 抛物线的平移规律？ 6. 抛物线与 轴两交点距离的求法？ 抛物线与x轴两交点距离的求法？ 轴两交点距离的求法
用三种方式表示二次函数
用三种方式表示二次函数【知识要点】1．二次函数列表表示法二次函数列表法对于表中已有的自变量的每一个值，可以直接找到对应的函数值，使用起来很方便，不足之处在于很难把自变量与函数的全部对应值都列出来，且从表中也不容易发现自变量与函数值之间的对应规律．2．二次函数图象表示法3．二次函数解析式表示法二次函数解析式有三种形式：（1）一般式：()0,,,2≠++=a c b a c bx ax y 为常数；（2）顶点式：()()0,,,2≠+-=a k h a k h x a y 为常数； （3）两根式：()()()0,,,2121≠--=a x x a x x x x y 是常数．【经典例题】例1．根据下列条件，求抛物线的解析式．（1）经过点（0，-1），（1，12-），（-2，-5）； （2）经过点（-3，2），顶点是（-2，3）；（3）与x 轴两交点坐标分别为()1-、()1+，并且与y 轴交于点（0，-2）．例2． 已知抛物线q px x y ++=2与x 轴只有一个公共点，坐标为()0,2-，求此抛物线的解析式．例3．已知二次函数2y ax bx c =++的最大值是2，图像顶点在直线1y x =+上，并且图像经过点（3,-6），求,,a b c 的值．例4．抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于()0,2-A ，对称轴是直线2=x ，顶点C 到x 轴的距离是12，求此抛物线的解析式．例5．设二次函数2y ax bx c =++，当x =4时取得最大值16，且它的图象在x 轴上截得的线段长4，求其解析式。
例6．如果抛物线22(1)1y x m x m =-+-++与x 轴交于A 、B 两点，且A 点在x 轴的正半轴，B 点在x 轴的负半轴，OA 的长是a ，OB 的长是b 。
（1）求m 的取值范围。
（2）若a ：b=3：1，求m 的值，并写出抛物线的解析式。
例7．已知抛物线2y ax bx c =++与直线4y kx =+相交于点A （1，m ）、B （4，8），与x 轴交于坐标原点O 和点C ．（1）求直线和抛物线解析式．（2）在x 轴上方的抛物线是否存在D 点，使得OCD OCB S S ∆∆=．如果存在，求出所有符合条件的点；如果不存在，说明理由．。
二次函数的三种表示方式
二次函数的三种表示方式1．二次函数的一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．二次函数的顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x 1＋x2＝，x1x2＝，即＝－(x1＋x2)，＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( )= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．二次函数的交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．。
初中数学表示二次函数的三种方式专题辅导
初中数学表示二次函数的三种方式二次函数的常见表示法有三种。
1. 表格表示法：能显现出自变量与对应的函数值，所列的数据足够多时，能够大致看出函数的变化规律。
2. 图象表示法：形象直观，能够清晰地反映出函数的一些性质，对于每一个自变量的值也可以通过函数的图象近似地找到对应的函数值。
3. 表达式表示法：书写简明扼要、规范准确，便于分析推导函数的性质，还可以准确地求出每一个自变量所对应的函数值。
二次函数的三种表示法各具特色，通常是把这三种方法结合在一起使用，现例析如下，供同学们参考。
例. 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h ），对（1）以车速为x 轴，刹车距离为y 轴，建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；（3）该型号汽车在国道上发生了一起交通事故，现测得刹车距离为26.4m ，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由。
分析：这是一道集表格、图象、表达式于一体的综合应用题，首先在直角坐标系中描出点（0，0），（10，1.1），（20，2.4），（30，3.9），（40，5.6），（50，7.5），（60，9.6），（70，11.9），观察可得它们均在抛物线上，故根据图象确定为二次函数，设函数表达式为c bx ax y 2++=（0a ≠），再将点的坐标代入，求得系数即可确定表达式，进而解决实际问题。
解：（1）图象如下图所示：（2）该函数的图象是抛物线的一部分，故估计该函数为二次函数，设函数的表达式为c bx ax y 2++=（0a ≠），将点（0，0）、（10，1.1）、（20，2.4）代入上式，得⎪⎩⎪⎨⎧++=++==c b 20a 4004.2,c b 10a 1001.1,0c解得001.0a =，1.0b =，0c =。
二次函数解析式的三种形式
二次函数解析式的三种形式
二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y 轴的抛物线。
本文整理了相关知识点，一起来看看吧！
二次函数解析式形式
1.一般式：y＝ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)，则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b2)/4a)
2.顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k(a,h,k为常数，a≠0)
3.交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)（又叫两点式，两根式等）二次函数一般式的画法
描点法，步骤如下：
①把y=ax+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)+k的形式；
②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
③在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图。
平移法，步骤如下：
①把y=ax+bx+c(a≠0)化成y=a(x-h)+k的形式，确定其顶点（h,k)；
②作出函数y=ax的图像；
③将函数y=ax的图像平移，使其顶点平移到（h,k)。
二次函数的最值问题
二次函数的一般式是y＝ax2+bx+c，当a大于0时开口向上,函数有最小值；当a小于0时开口向下,则函数有最大值。
顶点坐标就是（b/-2a,(4ac-b2）/4a)这个就是把a、b、c分别代入进去，求得顶点的坐标。
(4ac-b2）/4a就是最值。
二次函数表达式的三种形式
二次函数表达式的三种形式
二次函数的三种形式：1、一般式：y=ax²+bx+c(a≠0，a 、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
2、顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0，a、h、k为常数)。
3、交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0，x1、x2为常数)。
扩展资料：一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
1、当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；2、当a与b异号时（即ab抛物线与x轴交点个数：1、Δ= b²-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
2、Δ= b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
3、Δ= b²-4ac用待定系数法求二次函数的解析式：1、当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax²+bx+c(a≠0)。
2、当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)。
3、当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
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专题05二次函数的三种表示方式 1：一般式
形如下面的二次函数的形式称为一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；
典型考题
【典型例题】已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点（m ，k ）和点（n ，k ）在此抛物线上，其中m ≠n ，请判断关于t 的方程t 2+mt +n ＝0是否有实数根，并说明理由．
【变式训练】抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式。
(结果化成一般式)
【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，抛物线212
1x y =
先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线2y .
（1）求抛物线2y 的解析式（化为一般式）； （2）直接写出抛物线2y 的对称轴与两段抛物线弧围成的阴影部分的面积.
y ＝a (x -h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(h ，k )．
【典型例题】已知二次函数21322
y x x =-++． ⑴用配方法将此二次函数化为顶点式；⑵求出它的顶点坐标和对称轴方程．
【变式训练】已知二次函数的图象的顶点是（﹣1，2），且经过（1，﹣6），求这个二次函数的解析式．
【能力提升】二次函数的图象经过点(03)A -，
，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式；
（2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
3：交点式
形如下面的二次函数的形式称为交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．
典型考题
【典型例题】已知在平面直角坐标系中，二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的图象与 x 轴有两个交点．
（1）求 k 的取值范围；
（2）当 k 取正整数时，请你写出二次函数 y =x 2+2x +2k ﹣2 的表达式，并求出此二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标．
【变式训练】已知二次函数的图象经过点(3，－8)，对称轴是直线x ＝－2，此时抛物线与x 轴的两交点间距离为6.
(1) 求抛物线与x 轴两交点坐标；(2)求抛物线的解析式．
【能力提升】已知二次函数y ＝x 2﹣4x +3．
（1）求该二次函数与x 轴的交点坐标和顶点；
（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象，并写出当y ＜0时，x 的取值范围．
专题验收测试题
1．将抛物线y ＝﹣2（x +1）2
﹣2向左平移2个单位，向下平移3个单位后的新抛物线解析式为（ ） A ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1 B ．y ＝﹣2（x +3）2﹣5
C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣5
D ．y ＝﹣2（x +3）2+1
2．二次函数y ＝﹣2（x ﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A ．（1，3）
B ．（﹣1，3）
C ．（1，﹣3）
D ．（﹣1，﹣3）
*3．若二次函数y ＝（k+1）x 2﹣2x+k 的最高点在x 轴上，则k 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．﹣1
D ．﹣2 *4．已知二次函数为常数，且），（ ）
A ．若，则的增大而增大；
B ．若，则的增大而减小；
C ．若，则的增大而增大；
D ．若，则的增大而减小；
5．二次函数y ＝3（x ﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A ．图象的开口向下
B ．图象的顶点坐标是（1，2）
C ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小
D ．图象与y 轴的交点坐标为（0，2）
6．将抛物线y ＝x 2﹣x +1先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝x 2+3x +6 B ．y ＝x 2+3x C ．y ＝x 2﹣5x +10 D ．y ＝x 2﹣5x +4
7．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（ ）A ．2 B ．3 C ．5 D ．12
*8．已知二次函数y ＝﹣（x ﹣k +2）（x +k ）+m ，其中k ，m 为常数．下列说法正确的是（ ）
A ．若k ≠1，m ≠0，则二次函数y 的最大值小于0
B ．若k ＜1，m ＞0，则二次函数y 的最大值大于0
C ．若k ＝1，m ≠0，则二次函数y 的最大值小于0
D ．若k ＞1，m ＜0，则二次函数y 的最大值大于0
9．关于抛物线，下列说法错误．．
的是（ ）． A ．开口向上 B ．与轴只有一个交点
C ．对称轴是直线
D ．当时，的增大而增大
10．将抛物线y ＝﹣3x 2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A ．y ＝﹣3（x ﹣2）2+4 B ．y ＝﹣3（x ﹣2）2﹣2 C ．y ＝﹣3（x +2）2+4 D ．y ＝﹣3（x +2）2﹣2
11．已知抛物线c bx x y ++=283经过点，则该抛物线的解析式为__________．
12．二次函数y =（a -1）x 2-x +a 2-1 的图象经过原点，则a 的值为______．
13．将二次函数y =x 2的图象先向上平移1个单位，然后向右平移2个单位，得到新的二次函数的顶点式为______． 14．将抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移动到点P （﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____． ▲15．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = x 2 的图象经过点M (x 1 , y 1 ) ，N (x 2 , y 2 ) 两点，若- 4< x 1< -2， 0< x 2 <2 ，则 y 1 ____ y 2 . （用“ < ”，“=”或“>”号连接）
▲16．小颖从如图所示的二次函数
的图象中，观察得出了下列信息：； ； ； ．你认为其中正确信息的个数有______．
17．已知二次函数y ＝﹣x 2+bx ﹣c 的图象与x 轴的交点坐标为（m ﹣2，0）和（2m +1，0）．
（1）若x ＜0时，y 随x 的增大而增大，求m 的取值范围；
（2）若y ＝1时，自变量x 有唯一的值，求二次函数的解析式．
18．设二次函数y 1＝ax 2+bx +a ﹣5（a ，b 为常数，a ≠0），且2a +b ＝3．
（1）若该二次函数的图象过点（﹣1，4），求该二次函数的表达式；
（2）y 1的图象始终经过一个定点，若一次函数y 2＝kx +b （k 为常数，k ≠0）的图象也经过这个定点，探究实数k ，a 满足的关系式；
（3）已知点P （x 0，m ）和Q （1，n ）都在函数y 1的图象上，若x 0＜1，且m ＞n ，求x 0的取值范围（用含a 的代数式表示）．
19．已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A 和点B
（1）求该二次函数的解析式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．
20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴相交于A 、B 两点，
其中A 点的坐标为（-3，0），C 为抛物线与y 轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 在抛物线上，且S △POC =2S △BOC ，求点P 的坐标．
21．已知抛物线y ＝ax 2﹣3ax ﹣4a （a ≠0）．
（1）直接写出该抛物线的对称轴．
（2）试说明无论a 为何值，该抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
22．如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，23)在抛物线y=ax 2+bx+c 上. (1)求抛物线解析式；
(2)在第一象限的抛物线上求一点P ，使△PBC 的面积为
23.。