清华大学物理实验A1三线摆和扭摆实验报告

清华大学物理实验A1三线摆和扭摆实验报告
清华大学
三线摆和扭摆试验物理实验完整报告班级姓名学号
结稿日期：
三线摆和扭摆实验
一、实验目的
1. 加深对转动惯量概念和平行轴定理等的理解；
2. 了解用三线摆和扭摆测量转动惯量的原理和方法；
3. 学习电子天平、游标高度尺和多功能数字测量仪等仪器的使用，掌握测量质量和周期等量的测量方法。

二、实验装置和原理
1.三线摆：
如图一，上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。

横梁由立柱和底座支承着，三根对称分布的等长悬线将两个圆盘相连。

上圆盘可以固定不动。

拧动旋钮就可以使得下圆盘绕中心轴OO ’作扭摆运动。

当下圆盘的摆角很小且忽略空气阻力和悬线扭力影响时，可推出下圆盘绕中心轴
OO ’的转动惯量为：
2
00024m gRr J T H
π=
其中，0
m 是下圆盘质量，g 取2
9.80m s -g ，r 为上圆
盘半径，R 为下圆盘半径，H 为平衡时上下圆盘的垂直距离，0
T 为下圆盘摆动周期。

图1 三线摆示意图
将质量为m 的待测刚体放在下圆盘上，并使它的质心位于中心轴OO ’上，测出此时的摆动周期T 和上下圆盘之间的垂直距离1
H ，
则待测刚体和下圆盘对于中心轴OO ’的总转动惯量1
J 为：
()021
21
4m m gRr J T H π+= 且待测刚体对于中心轴OO ’的转动惯量1
J J
J =-。

利用三线摆可以验证平行轴定理。

平行轴定理指出：如果一个刚体对于通过质心的某一转轴的转动惯量为c
J ，则这个刚体对平行于该轴且相
距为d 的另一转轴的转动惯量为：
2
x
c
J J md =+
式中，m 为刚体的质量。

图2 三个孔均匀分布
在本实验中，将三个等大的钢球对称分布在下圆盘的三个均匀分布的孔（如图2）上，测出三个球对于中心轴OO ’的转动惯量x
J 。

如果测得的
x
J 的值与由2
x
c J
J md =+右式计算得到的结果比较相
对误差在测量允许的范围内()00
5≤，则平行轴定理得到验证。

本实验中，用于测量基本物理量的仪器还有：
电子天平，游标高度尺，配有光电接收装置的多功能数字测量仪。

2.扭摆：
实验中使用的扭摆结构如右图（图3），根据刚体转动定理有：
''
0M J θ=
其中，M 是悬线因扭转产生的弹性恢复力矩，
J 为刚体对于悬线轴的转动惯量，''
θ为角加速度。

弹性恢复力矩M 与转角θ的关系为：
M K θ=-
图3 三爪盘扭摆
其中，K 为扭转模量，它与悬线长度L ，悬线直径d 及悬线材料的切变模量G 有如下关系：
4
32Gd K L
π=
扭摆运动的微分方程为：
''0
K J θθ=-
可见，圆盘作简谐运动，其周期为：
002J T K
π
= 本实验中K 未知，所以用一个对质心轴转动惯量为1
J 的附加物体加到盘上，并使其质心位于
扭摆悬线上，组成复合体。

此复合体对于悬线轴的转动惯量为1
J
J +，复合体的摆动周期T 为：
2T =
因此得到：
2
001
220T J J T T =- 2
1
220
4K J T T π=-
测出0
T T 和后就可以计算盘的转动惯量0
J 和悬线的切变模量G 。

本实验中利用两个直径不同的金属环，将其嵌套在三爪盘的台阶上。

圆环对与悬线的转动惯量
1
J 由下式计算：
()22
11128
m J D D =
+
式中1
m 是圆环质量，1
2
D D 和分别为圆环的内外直径。

三、数据记录
1、测量仪器基本参数 （1）三线摆基本参数：
（2）钢球参数：①直径：
②质量：
2. 三线摆实验 （1）估算周期数0
n
取n=6，粗略测量0
T 。

测得60
T =8.2980s ，所以
T =1.3830s 。

又由公式
000
00221,,,3t T m r R H max
T nT r R m H ∆∆∆⎧⎫
∆∆∆=≤⎨⎬⎩⎭仪
得，
0002,,,3t m r R H max
n T r R m H ∆≥
∆⎧⎫
∆∆∆⎨⎬
⎩⎭仪。

又由比较得，
00,,,m r R H r
max r R m H r
∆⎧⎫∆∆∆∆=⎨⎬⎩⎭，且10t ms
∆
=仪
，所以代入数据可以求得，31.71366595n ≥，故取0
32
n =。

（2）三线摆周期测量： ①空摆
032
n =，
0523.3286.80436.52H H mm mm mm
==-=，
75.10m g =
s
②加大球
032
n =，
1523.3285.78437.54H mm mm mm
=-=，
1110.69
M g
=
③对称加三个小球
032
n=，
2523.3285.90437.42
H mm mm mm
=-=，231.85
M g
=
每个小球到中心轴OO’距离为
121.91
R mm
=
3.扭摆实验
（1）钢丝参数测量：
①直径
mm
钢丝直径为
()00.508833333--0.0053333330.514166666d d d mm mm mm
=-==
②钢丝长度
钢丝上端高度：1
519.02L mm =；钢丝下端高度：
2195.50L mm
=；钢丝长度为：
12519.02195.50323.52L L L mm mm mm
=-=-=
（2）大环和小环参数测量： ①质量：
大环质量1
99.50m g =，小环质量2
60.32m
g
=。

②内外径：
（3）扭摆周期测量：
d mm
=钢丝长度n=钢丝直径0.514166666
20
=
L mm
323.52
①空摆
②加大环
③加小环
四、数据处理
1.用三线摆测定下圆盘对于中心轴OO ’的转动惯量：
由
000
00221,,,3t T m r R H max
T nT r R m H ∆∆∆⎧⎫∆∆∆=
≤⎨⎬⎩⎭仪
， 可知
0341010 3.1251032
t T s
s
n --∆⨯∆===⨯仪
下圆盘对于中心轴OO ’的转动惯量
()
()2
000
2-3-3-322-3
52475.10109.8034.191014.6210 1.4571093754436.52104.53244880910m gRr J T H
kg m ππ-=
⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯g
相对不确定度：
031.68671926410 1.710J J -∆===⨯≈⨯3
-()()
00-35828200
1.68671926410 4.532448809107.64496872110810J J J kg m kg m J ---∆∆=
=⨯⨯⨯=⨯≈⨯g g ()82
04532810J kg m -∴=±⨯g
大钢球和下圆盘对于质心轴的转动惯量：
()()()
()
0121
1
21
-3-3-32
2-3
52475.10110.69109.8034.191014.6210 1.0268177084437.54105.55525608910m M gRr J T
H kg m ππ-+=+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯g
相对不确定度：
1
11.6311J J ∆===3
5663910-⨯()()
1135827211
1.63115663910 5.555256089109.06149285110110J J J kg m kg m J ----∆∆=
=⨯⨯⨯=⨯≈⨯g g ()72
1556110J kg m -∴=±⨯g
2.大钢球对其自身中心轴的转动惯量
J 大
为：
()555210 5.55525608910 4.53244880910 1.022*******J J J kg m ---=-=⨯-
⨯=⨯g 大
()
7
7
2
=1.185******** 1.210J kg m --∆=
=
⨯≈⨯g 大()72102.3 1.210J kg m -∴=±⨯g 大
大钢球对其自身中心轴的转动惯量的理论值
()2
2
3362112229.87666667110.6910109.88035777410525
2t
D J M kg m ---⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g 大
则测得的大钢球对其自身中心轴的转动惯量与计算得的理论值的相对误差为：
56
0000
16
1.022********.88035777410 3.519255415 3.6%59.88035777410
t
t
J J J η----⨯-⨯=
==⨯大大大=＜
3.用三线摆验证平行轴定理：
三个小钢球和下圆盘对于中心轴OO ’的转动惯量为：
()()()
()
022
22
22
-3-3-32
2-3523475.10331.85109.8034.191014.6210 1.3877343754437.42109.32251650810m M gRr J T H kg m ππ-+=
+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯g
相对不确定度：
2
21.58J J ∆===3
317571910-⨯()
223577222
1.583175719109.32251650810 1.47591817810 1.510J J J kg m J ----∆∆=
=⨯⨯⨯=⨯≈⨯g ()72
2932.2 1.510J kg m -∴=±⨯g
三个小钢球对于中心轴OO ’的转动惯量为：
()5552209.32251650810 4.53244880910 4.79006769910J J J kg m ---=-=⨯-⨯
=⨯g 小
()
7
7
2
=1.66216423210 1.710
J kg m --∆=
=
⨯≈⨯g 小()72
479.0 1.710J kg m -∴=±⨯g 小
则其中一个小球对于中心轴OO ’的转动惯量为：
()5
524.79006769910 1.5966892331033
J J kg m --⨯===⨯g 小小0
()
0772=1.66216423210 1.710J J kg m --∆=∆⨯≈⨯g 小小
72
0159.7 1.710J kg m -∴=±⨯g 小（）
而小球相对于过自身的轴的转动惯量为：
2
2
336
222219.7366666731.851010 1.24067219610525
2c D J M ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
而()()
2
2
-3
-3522
1
31.851021.9110
1.52895319910M R
kg m -=⨯⨯⨯=⨯g ，
所以，假设平行轴定理成立，一个小球对于中心轴OO ’的转动惯量的理论值为：
()
2655221 1.24067219610 1.52895319910 1.65302041810c J M R kg m ---+=⨯+⨯=⨯g
则一个小球对于中心轴OO ’的转动惯量的测量相对误差为：
255210000
225
21 1.65302041810 1.59668923310 3.40777309151.65302041810
c c J M R J J M R η---+-⨯-⨯===+⨯小0＜在测量误差允许范围内。

因此通过实验验证得出结论：平行轴定理成立。

4.用扭摆测定三爪盘的转动惯量和切变模量：
由
()2
001
22022
11128T J J T T m J D D ⎧=⎪⎪-⎨
⎪=+⎪⎩
知，
（1）加大环时，大环对悬线的转动惯量为：
()()()()()2
211113
2233428
99.501072.201083.98108
1.52551912510m J d d kg m ----=
+⨯=⨯⨯+⨯=⨯g 外内
1
13
1.51638621710J J -∆===⨯()
113477211
1.51638621710 1.52551912510
2.31327617510 2.310J J J kg m J ----∆∆=
=⨯⨯⨯=⨯≈⨯g 52
11525.5 2.310J kg m -∴=±⨯g （）
则测出的三爪盘的转动惯量为：
()
22
4
00112222
10521.021475 1.525519125102.116391667 1.0214754.63294973210T J J T T kg m --==⨯⨯--=⨯g (
)
()()()
22
10
22
102210222210221022
10
22102.116391667 1.021475 3.4357025131.T T T T T T T T T T T T T T ----=-=∆=-∆∴∆=-=-=
=Q ()
332468758330610 1.510s --⨯≈⨯
0101
3
1.69013470410J J -∆===⨯
()
010*********
=
=1.69013470410 4.63294973210=7.83030912410J J J kg m J ---∆∴∆⨯⨯⨯⨯g ()82
014632.97.810J kg m -∴=±⨯g
又因为
24
1
220432Gd K J T T L
ππ==-，所以切变模量
()()()
()
11
224103
4
4
2
2
31012128128323.5210 1.525519125102.116391667
1.0214750.51416666610
8.26508664410L
G J T T d
kg m s ππ-----=-⨯⨯=
⨯⨯-⨯⨯=⨯g g
1
111
1
G G G G G ∆∆=10
109
912
18.265086644100.0895788.26508664410810(82.78)10G kg m s --⨯⨯=⨯⨯=⨯∴=±⨯g g
（2）加小环时，小环对悬线的转动惯量为：
()()()()()2
2123
2233528
60.321063.961071.56108
6.94563326110m J d d kg m ----=
+⨯=⨯⨯+⨯=⨯g 2外2内
则测出的三爪盘的转动惯量为：
()22552
0022
2222
20 1.021475 6.94563326110 4.668535228101.611133333 1.021475T J J kg m T T --==⨯⨯=⨯--g 又因为
24
1220432Gd K J T T L
ππ==
-，所以切变模量
()()()
()
22
224203
5
4
2
2
3
1012128128323.5210 6.945633261101.611133333 1.0214750.51416666610
8.32857043310L
G J T T d
kg m s ππ-----=-⨯⨯=
⨯⨯-⨯⨯=⨯g g
在本实验中，约定小环测出的值作为理论值，以此计算大环测出的值的相对误差。

三爪盘的转动惯量的相对误差为：
55
02010000
35
02- 4.66853522810 4.632949732100.762241136954.66853522810
J J J η---⨯-⨯===⨯＜
悬线的切变模量的相对误差为：
1010
210000
410
28.328570433108.265086644100.76250352558.32857043310
G G G η-⨯-⨯===⨯＜
因此，本实验方法及测量值是合理的。

四、思考题
1.三线摆在摆动过程中受空气阻尼，振幅会越来越小，周期是否会随时间变化？
答：振幅反映出谐振的强度，周期反映的是谐振的频率，这是两个意义不同的物理量。

阻尼振
动的周期T =
，阻尼系数β是常数，所以周
期不随时间而变化。

2.在三线摆下圆盘上加上待测物体后的摆动周期是否一定比不加时的周期大？
答：不一定。

由
2
00024m gRr J T H
π=
和
()02
02
4m m gRr J J T H
π++=
可知，
()(
)000
00
m J J T T m m J +=+。

而由于0
00
11J J m J m m ++＞，＜，故无法得出0
T
T
大于1还是小于 1.所以在三线摆下圆盘上加上待测物体后的摆动周期不一定比不加时的周期大。

3.证明三线摆的机械能为
220011'22m gRr J H
θθ+，并求出运
动的微分方程，从而推导转动惯量公式
2
000
24m gRr J T H
π=。

证明：如下图图4，,设某时刻下圆盘在摆动过程中转动一角度θ,绳'AB 转到''A B 的位置，''A B 与铅直线'B B 的夹角为ϕ,它在水平面内的投影为'A B , B 在'B 的正下方,且在下悬点'A 平衡位置A 与O 的连线上。

图4 证明示意图
设上下圆盘三悬点外接圆半径分别为r 、R , 绳长为l,上下盘面间隔高度设为 H ,有
''O B OB r ==,'OA OA R ==,'''AB A B l
==，'BB H =，再令'A B e =，
角'OA B α=,设 A 转动到 A ’点时绳子''A B 的张力为T ,受力分析得：
223cos cos 3sin sin sin sin sin sin T mg H l M TR e
l r e mgl e r d R I I H l
e dt ϕϕϕαϕθ
αθθ
β=⎧
⎪⎪=
⎪
⎪=-⎪⎪=⎨
⎪
⎪=⎪
⎪
⎪-
==⎪⎩g g
如果sin θθθ≈很小，则有，则圆盘绕轴做小角度摆动的运动方程为：
220d mgRr dt HI
θθ+=
说明下圆盘做简谐运动，周期为：2T π
=此可得下圆盘绕轴转动的转动惯量为：2
2
4mgRr
I T H π=。

下面推导三线摆的机械能公式2
2
11'22mgRr
I H
θθ+。

（由于电脑打公式操作繁杂，我扫描了我在纸上做的推导过程，还请老师原谅！）
五、实验心得
（1）. 通过本实验，我加深对转动惯量概念和平行轴定理等的理解；
（2）. 我了解用三线摆和牛摆测量转动惯量的原理和方法；
（3）. 我掌握了电子天平、游标高度尺和多功能数字测量仪等仪器的使用，掌握测量质量和周期等量的测量方法；
（4）. 应当通过适当的估计选择合理的摆动次数，减小误差同时节约试验时间；
（5）. 在本次试验中应当使得摆角尽可能小，以满足小角度近似，否则测出的周期偏大；（6）. 在摆动过程中应避免三线摆和扭摆晃动，避免遮光条与光电门摩擦等等影响实验结果的
问题。

附：原始数据表格：。