概率论与数理统计第八章汇总
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第二节 正态总体均值的假设检验
(Hypothesis Testing of a Mean of a Normal Population )
一、单个总体参数的检验
二、两个总体参数的检验 三、小结
一、单个正态总体均值的检验
1. 2为已知, 关于的检验(UZ 检验 )
在上节中讨论过正态总体 N (, 2 )
/
0
n
~
t(n 1),
当H0为真时，
X 0 ~ t(n 1),
S/ n
由t分布分位数的定义知
P
X 0
S/ n
t / 2 (n 1)
拒绝域为
W1 { t
x 0
s/ n
t / 2 (n 1)}
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.
在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题.
0时 :T
X S
0
n
~
t(n 1)
由p{Tt(n 1)} =,
得水平为的拒绝域为
Tt(n1),
EX 某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620 (kg/mm2)
今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度 (kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉 强度要高?
检验假设H0 : 0, H1 : 0 .
设 X1, X2 ,, Xn 为来自总体 X 的样本,
因为 2 未知, 不能利用 X 0 来确定拒绝域. / n
因 S2 是 2 的 无偏估计，故用 S 取代 ,
即采用 T X 0 来作为检验统计量.
S/ n
根据抽样分布知
当H0为真时，
X S
解:H0：=112.6；H1：112.6
H
真时
0
:
T
X S
0
n
~
t(n 1)
由p{|T|t0.025(n 1)} =0.05,
得水平为=0.05的拒绝域为 |T|t0.025(6)=2.4469
这里
| t || 112 .8 112 .6 | 0.466 1.135
2.4469
7
接受H0
·右边HT问题 H0： =0 ；H1： >0, 或 H0： 0 ；H1： >0,
来检验的方法称为Z检验法。
当 2为已知时, 关于 0的检验问题:
假设检验： H0: 0 , H1: 0
选择统计量
Z
X
/
0
n
，当H0成立时，Z
~
N (0, 1)
对于给定的检验水平 0 1,
由标准正态分布分位数定义知，PZ z ,
因此，检验的拒绝域为 W {Z z }. 类似地,可得左边假设检验问题：
P0 {
0
k
0 }
n
n
X
P0 {
k
0 }
n
n
于是: k 0
z
得k 0
n z
n
即 得 检 验 的 拒 绝 域 为x 0
n z
即 ：z
x 0
z
故
n
W {Z Z } 是H0：0；H1：>0,
的水平为的拒绝域。
2. 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
设总体 X ~ N(, 2 ), 其中, 2 未知, 显著性水平为 .
接受H0
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:
合金线的抗拉强度是否不合格? (=0.1)
解:H0：10620；H1：<10620
10620时:T X 10620 ~ t(9)
S 10
由p{T - t0.1(9)} =0.1, 得拒绝域为 T - t0.1(9) =-1.383
这里
t
10600 80
10620
0.79 1.8331
10
解:H0：=10620；H1：>10620
H
真时
0
:
T
X S
0
n
~
t(n 1)
由p{Tt0.05(9)} =0.05, 得拒绝域为 Tt0.05(9)=1.8331
这里 t 10631 .4 10620 0.45 1.8331 81 10
接受H0
·左边HT问题 H0： =0 ；H1： <0, 或 H0： 0 ；H1： <0,
H0: 0 , H1: 0
的拒绝域为W {Z z }.
说明：(1) H0：=0；H1：0称为双边HT问题；而 H0：=0；H1： >0(或< 0), 则称为单边问题；
(2) H0：0；H1：>0 或H0：0；H1： <0 也称为单边HT问题, 不过这是一个完备的HT问题。 (3)可证:完备的HT问题与不完备的HT问题有相同的拒 绝 域, 从而检验法一致。
0时 :T
X S
0
n源自文库
~
t(n 1)
由p{T - t(n 1)} =,
得水平为的拒绝域为
T - t(n 1)
EX 设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620
(kg/mm2)的正态分布, 今从某厂生产的镍合金线中抽取10根,测 得平均抗拉强度10600 (kg/mm2) ,样本标准差为80.,问该厂的镍
EX 用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度,重 复测量7次，测得温度(℃): 112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6 而用某种精确办法测得温度为 112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有 无系统偏差(设温度测量值X服从正态分布,取 =0.05 )?
·先考虑不完备的右边HT问题的解
H0：=0；H1：>0,
H
下
0
Z X μ0 ~N( 0,1) σn
可得拒绝域：W {Z Z }
现考虑完备的右边HT问题 H0：0；H1：>0,
H
下
0
X μ ~N( 0,1) σn
若取拒绝域为 W { X k}
0
则犯第一类错误的概率为
P{ X
k
|
0}
X
当 2为已知时, 关于 0的检验问题:
假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 ;
选择统计量UZ X 0 ， / n
当H
成
0
立
时
，UZ
~
N (0,1)
对于给定的检验水平 0 1
由标准正态分布分位数定义知，
P Z z / 2
因此，检验的拒绝域为 W1 { z z }， 2 或者记为 W1 { x1, x2 , , xn : z z } 2 其中 z为统计量Z的观测值。这种利用Z统计量
(Hypothesis Testing of a Mean of a Normal Population )
一、单个总体参数的检验
二、两个总体参数的检验 三、小结
一、单个正态总体均值的检验
1. 2为已知, 关于的检验(UZ 检验 )
在上节中讨论过正态总体 N (, 2 )
/
0
n
~
t(n 1),
当H0为真时，
X 0 ~ t(n 1),
S/ n
由t分布分位数的定义知
P
X 0
S/ n
t / 2 (n 1)
拒绝域为
W1 { t
x 0
s/ n
t / 2 (n 1)}
上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法.
在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检验问题.
0时 :T
X S
0
n
~
t(n 1)
由p{Tt(n 1)} =,
得水平为的拒绝域为
Tt(n1),
EX 某厂生产镍合金线，其抗拉强度的均值为10620 (kg/mm2)
今改进工艺后生产一批镍合金线，抽取10根,测得抗拉强度 (kg/mm2)为: 10512, 10623, 10668, 10554, 10776, 10707, 10557, 10581, 10666, 10670. 认为抗拉强度服从正态分布,取=0.05 ,问 新生产的镍合金线的抗拉强度是否比过去生产的合金线抗拉 强度要高?
检验假设H0 : 0, H1 : 0 .
设 X1, X2 ,, Xn 为来自总体 X 的样本,
因为 2 未知, 不能利用 X 0 来确定拒绝域. / n
因 S2 是 2 的 无偏估计，故用 S 取代 ,
即采用 T X 0 来作为检验统计量.
S/ n
根据抽样分布知
当H0为真时，
X S
解:H0：=112.6；H1：112.6
H
真时
0
:
T
X S
0
n
~
t(n 1)
由p{|T|t0.025(n 1)} =0.05,
得水平为=0.05的拒绝域为 |T|t0.025(6)=2.4469
这里
| t || 112 .8 112 .6 | 0.466 1.135
2.4469
7
接受H0
·右边HT问题 H0： =0 ；H1： >0, 或 H0： 0 ；H1： >0,
来检验的方法称为Z检验法。
当 2为已知时, 关于 0的检验问题:
假设检验： H0: 0 , H1: 0
选择统计量
Z
X
/
0
n
，当H0成立时，Z
~
N (0, 1)
对于给定的检验水平 0 1,
由标准正态分布分位数定义知，PZ z ,
因此，检验的拒绝域为 W {Z z }. 类似地,可得左边假设检验问题：
P0 {
0
k
0 }
n
n
X
P0 {
k
0 }
n
n
于是: k 0
z
得k 0
n z
n
即 得 检 验 的 拒 绝 域 为x 0
n z
即 ：z
x 0
z
故
n
W {Z Z } 是H0：0；H1：>0,
的水平为的拒绝域。
2. 2为未知, 关于 的检验( t 检验)
设总体 X ~ N(, 2 ), 其中, 2 未知, 显著性水平为 .
接受H0
例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下:
合金线的抗拉强度是否不合格? (=0.1)
解:H0：10620；H1：<10620
10620时:T X 10620 ~ t(9)
S 10
由p{T - t0.1(9)} =0.1, 得拒绝域为 T - t0.1(9) =-1.383
这里
t
10600 80
10620
0.79 1.8331
10
解:H0：=10620；H1：>10620
H
真时
0
:
T
X S
0
n
~
t(n 1)
由p{Tt0.05(9)} =0.05, 得拒绝域为 Tt0.05(9)=1.8331
这里 t 10631 .4 10620 0.45 1.8331 81 10
接受H0
·左边HT问题 H0： =0 ；H1： <0, 或 H0： 0 ；H1： <0,
H0: 0 , H1: 0
的拒绝域为W {Z z }.
说明：(1) H0：=0；H1：0称为双边HT问题；而 H0：=0；H1： >0(或< 0), 则称为单边问题；
(2) H0：0；H1：>0 或H0：0；H1： <0 也称为单边HT问题, 不过这是一个完备的HT问题。 (3)可证:完备的HT问题与不完备的HT问题有相同的拒 绝 域, 从而检验法一致。
0时 :T
X S
0
n源自文库
~
t(n 1)
由p{T - t(n 1)} =,
得水平为的拒绝域为
T - t(n 1)
EX 设正品镍合金线的抗拉强度服从均值不低于10620
(kg/mm2)的正态分布, 今从某厂生产的镍合金线中抽取10根,测 得平均抗拉强度10600 (kg/mm2) ,样本标准差为80.,问该厂的镍
EX 用热敏电阻测温仪间接温量地热勘探井底温度,重 复测量7次，测得温度(℃): 112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6 而用某种精确办法测得温度为 112.6(可看作真值),试问用热敏电阻测温仪间接测温有 无系统偏差(设温度测量值X服从正态分布,取 =0.05 )?
·先考虑不完备的右边HT问题的解
H0：=0；H1：>0,
H
下
0
Z X μ0 ~N( 0,1) σn
可得拒绝域：W {Z Z }
现考虑完备的右边HT问题 H0：0；H1：>0,
H
下
0
X μ ~N( 0,1) σn
若取拒绝域为 W { X k}
0
则犯第一类错误的概率为
P{ X
k
|
0}
X
当 2为已知时, 关于 0的检验问题:
假设检验 H0 : 0 , H1 : 0 ;
选择统计量UZ X 0 ， / n
当H
成
0
立
时
，UZ
~
N (0,1)
对于给定的检验水平 0 1
由标准正态分布分位数定义知，
P Z z / 2
因此，检验的拒绝域为 W1 { z z }， 2 或者记为 W1 { x1, x2 , , xn : z z } 2 其中 z为统计量Z的观测值。这种利用Z统计量