中考数学圆与相似综合经典题及答案解析

算易得比例式：
,根据有两对边对应相等，且它们的夹角也相等的两个三角形相似
可得△ ABD∽ △ AME,则∠ AME=∠ ABD=45°，于是可得点 E 在射线 MC 上，根据轴对称的性
质可得△ ABE′就是所求周长最小的△ ABE，在 Rt△ ABN 中，用勾股定理即可求得 AN 的值，
则△ ABE 周长最小值=AB+AN 即可求解。
EF∥ BC， 于，
∴ QM∥ BE， ∴
∴
∴
（舍）或
秒
（3）解：当点 Q 在 DF 上时，如图 2，
∴
∴
.
当点 Q 在 BF 上时，
，如图 3，
∴ ∴
时，如图 4，
∴ ∴
时，如图 5，
∴ ∴ 综上所述，t=1 或 3 或 或 秒时，△ PQF 是等腰三角形 【解析】【分析】（1）根据题中的已知条件可得△ BEF 和△ DCB 中的两角对应相等，从而 可证△ BEF∽ △ DCB；（2）过点 Q 作 QM⊥EF 于 M ，先根据相似三角形的预备定理可证 △ QMF ∽ △ BEF；再由△ QM F ∽ △ BEF 可用含 t 的代数式表示出 QM 的长；最后代入三角 形的面积公式即可求出 t 的值。（3）由题意应分两种情况：（1）当点 Q 在 DF 上时，因 为 ∠ PFQ 为钝角，所以只有 PF = QF 。（2）当点 Q 在 BF 上时，因为没有指明腰和底，所 以有 PF=QF；PQ = FQ；PQ = PF 三种情况，因此所求的 t 值有四种结果。 4．如图 1，在△ ABC 中，∠ BAC=90°，AB=AC=4，D 是 BC 上一个动点，连接 AD，以 AD 为 边向右侧作等腰直角△ ADE，其中∠ ADE=90°．
∴ ∠ MAN= （180°﹣∠ AMN）， ∵ ∠ ABC=∠ AMN， ∴ ∠ BAC=∠ MAN， ∴ ∠ BAM=∠ CAN， ∴ △ ABM～△ ACN， ∴ ∠ ABC=∠ ACN （3）解：如图 3，连接 AB，AN，
∵ 四边形 ADBC，AMEF 为正方形， ∴ ∠ ABC=∠ BAC=45°，∠ MAN=45°， ∴ ∠ BAC﹣∠ MAC=∠ MAN﹣∠ MAC 即∠ BAM=∠ CAN，
AM＝ AB，AE＝ AD．
∴
．
∴ △ ABD∽ △ AME．
∴ ∠ AME=∠ ABD=45°
∴ 点 E 在射线 Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 上，
作点 B 关于直线 MC 的对称点 N，连接 AN 交 MC 于点 E′，
∵ BE+AE=NE+AE≥AN=NE′+AE′=BE′+AE′，
∴ △ ABE′就是所求周长最小的△ ABE．
∵ AE=BE，EH⊥AB， ∴ AH=BH， ∴ AM=BM， ∵ ∠ ABC=45°， ∴ AM⊥BC，△ BMH 是等腰直角三角形， ∵ AD=DE，∠ ADE=90°， 易得△ ADM≌ △ DEG， ∴ DM=EG， ∵ ∠ EMG=∠ BMH=45°， ∴ △ EMG 是等腰直角三角形，
中，
，
，则
；
∵
，
∴
；
而
；
∴
，
∴当
时，s 有最小值，且最小值为 1
（3）解：在
中，
，
，则
在
中，
，
，则
；
∴
；
以 P、B、D 为顶点的三角形与
相似，已知
； ，则有两种情况：
，解得
；
，解得
；
综上，当
或 时，以 P、B、D 为顶点的三角形与
相似
【解析】【分析】（1）由直线与坐标轴相交易求得点 A、C 的坐标，用待定系数法即可求
∴ ME= MG，
由（1）得：△ AHD∽ △ AME，且
，
∴ ∠ AHD=∠ AME=135°，ME= ∴ ∠ BHD=45°，MG=DH， ∴ △ BDH 是等腰直角三角形，
DH，
∴ BD=DH=EG=DM= ；
综上所述，当 BD=0 或 或 2 时，△ ABE 是等腰三角形；
（3）解：当点 D 与点 B 重合时，点 E 的位置记为点 M，连接 CM，如图 6，
运动时间为 t 秒；设
，当 t 为何值时，s 有最小值，并求出最小值．
（3）在 的条件下，是否存在 t 的值，使以 P、B、D 为顶点的三角形与
若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由直线：
知：
、
；
∵
，
∴
，即
．
设抛物线的解析式为：
，代入
，得：
相似；
，解得
∴ 抛物线的解析式：
（2）解：在
∴ ∠ BAM=∠ CAN，
在△ ABM 与△ ACN 中，
， ∴ △ ABM≌ △ ACN（SAS）， ∴ ∠ B=∠ ACN=60°， ∵ ∠ ANC+∠ ACN+∠ CAN=∠ ANC+60°+∠ CAN=180°， ∴ ∠ ANC+∠ MAN+∠ BAM=∠ ANC+60°+∠ CAN=∠ BAN+∠ ANC=180°， ∴ CN∥ AB； 【 分 析 】 （ 1 ） 由 题 意 用 边 角 边 易 得 △ ABM≌ △ ACN ， 则 可 得 ∠ B=∠ ACN=60°， 所 以 ∠ BCN+∠ B=∠ BCA+∠ ACN+∠ B=180°，根据平行线的判定即可求解；
AN ， 由 正 方 形 的 性 质 和 相 似 三 角 形 的 判 定 易 得 △ ABM ～ △ ACN ， 可 得 比 例 式
，可求得 BM 的值，而 CM=BC﹣BM，解直角三角形 AMC 即可求 得 AM 的值，即为 EF 的值。
3．如图 1，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，E、F 分别是 AB、BD 的中点，连接 EF， 点 P 从点 E 出发，沿 EF 方向匀速运动，速度为 1cm/s，同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DB 方 向匀速运动，速度为 2cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动．连接 PQ，设运动时间 为 t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
中考数学圆与相似综合经典题及答案解析
一、相似
1．已知：如图一，抛物线
C，直线
经过 A、C 两点，且
与 x 轴正半轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 ．
（1）求抛物线的解析式； （2）若直线 DE 平行于 x 轴并从 C 点开始以每秒 1 个单位的速度沿 y 轴正方向平移，且分 别交 y 轴、线段 BC 于点 E，D，同时动点 P 从点 B 出发，沿 BO 方向以每秒 2 个单位速度 运动， 如图 ；当点 P 运动到原点 O 时，直线 DE 与点 P 都停止运动，连 DP，若点 P
5．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋5 与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B(5，0)，顶点为 M．点 C 在 x 轴 的负半轴上，且 AC＝AB，点 D 的坐标为(0，3)，直线 l 经过点 C、D．
（1）求抛物线的表达式； （2）点 P 是直线 l 在第三象限上的点，联结 AP，且线段 CP 是线段 CA、CB 的比例中项， 求 tan∠ CPA 的值； （3）在（2）的条件下，联结 AM、BM，在直线 PM 上是否存在点 E，使得∠ AEM=∠ AMB. 若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
∵
，
∴
，
∴ △ ABM～△ ACN
∴
，
∴
=cos45°= ，
∴
，
∴ BM=2， ∴ CM=BC﹣BM=8， 在 Rt△ AMC，
AM=
，
∴ EF=AM=2 ．
【解析】【解答】解：（1）NC∥ AB，理由如下：
∵ △ ABC 与△ MN 是等边三角形，
∴ AB=AC，AM=AN，∠ BAC=∠ MAN=60°，
（1）求证：△ BEF∽ △ DCB；
（2）当点 Q 在线段 DF 上运动时，若△ PQF 的面积为 0.6cm2 ， 求 t 的值；
（3）当 t 为何值时，△ PQF 为等腰三角形？试说明理由．
【答案】（1）解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴
AD∥ BC，
在
中，
∵
别是
的中点，
∴ EF∥ AD， ∴ ∴ ∴ （2）解：如图 1，过点 Q 作
在 Rt△ ABN 中，
∵ AB=4，BN=2BM=2AB=8，
∴ AN＝
．
∴ △ ABE 周长最小值为 AB+AN＝4+4 ．
【 解 析 】 【 分 析 】 （ 1 ） 由 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 可 得 ∠ B=∠ DAE=∠ BAH=45°， 所 以
∠ GAD=∠ HAE，计算可得比例式：
（ 1 ） 如 图 2 ， G ， H 分 别 是 边 AB ， BC 的 中 点 ， 连 接 DG ， AH ， EH ． 求 证 ： △ AGD∽ △ AHE； （2）如图 3，连接 BE，直接写出当 BD 为何值时，△ ABE 是等腰三角形；
（3）在点 D 从点 B 向点 C 运动过程中，求△ ABE 周长的最小值． 【答案】（1）证明：如图 2，由题意知△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形， ∴ ∠ B=∠ DAE=45°． ∵ H 为 BC 中点， ∴ AH⊥BC． ∴ ∠ BAH=45°=∠ DAE． ∴ ∠ GAD=∠ HAE． 在等腰直角△ BAH 和等腰直角△ DAE 中，
得抛物线的解析式；
（2）由题意可将 ED、OP 用含 t 的代数式表示出来，并代入题目中的 s 与 OP、DE 的关系
式整理可得 s=
（0<t<2），因为分子是定值 1，所以分母越大，则分式的