向量方法和解三角形
向量的知识点总结和解三角形
平面向量复习基本知识点结论总结一、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；例题 已知向量，则与其共线的单位向量为__________.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－。
例题下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
（5）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______ 二、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法。
三，平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
例题（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =（ ）a +（ ）b ；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）A. 12(0,0),(1,2)e e ==-B. 12(1,2),(5,7)e e =-=C. 12(3,5),(6,10)e e ==D. 1213(2,3),(,)24e e =-=- （3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___四、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
三角形向量公式
三角形向量公式
（原创实用版）
目录
1.三角形向量公式的定义
2.三角形向量公式的性质
3.三角形向量公式的应用
正文
三角形向量公式是描述三角形中向量关系的一种数学公式。
在平面向量中，三角形的三个顶点可以用三个向量来表示，分别是三角形的三条边。
三角形向量公式就是通过这三个向量来计算三角形的面积和周长的公式。
首先，我们来看三角形向量公式的定义。
假设在平面直角坐标系中，三角形 ABC 的三个顶点分别为 A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，那么三角形 ABC 的三条边可以表示为三个向量：AB = (x2 - x1, y2 - y1)，AC = (x3 - x1, y3 - y1)，BC = (x3 - x2, y3 - y2)。
通过这三个向量，我们可以计算出三角形的面积和周长。
其次，我们来看三角形向量公式的性质。
根据向量的加法和数量积的定义，可以得到以下性质：
1.三角形向量之和等于零向量，即 AB + AC = BC。
2.三角形向量的数量积等于三角形面积的两倍，即|AB × AC| = 2 * S，其中 S 表示三角形的面积。
3.三角形向量的模长之和等于三角形的周长，即|AB| + |AC| + |BC| = p，其中 p 表示三角形的周长。
最后，我们来看三角形向量公式的应用。
在实际问题中，三角形向量公式可以帮助我们计算三角形的面积和周长，从而解决一些实际问题。
比如，在给定一个三角形的三个顶点坐标时，我们可以通过三角形向量公式
来计算三角形的面积和周长，而不需要使用其他复杂的方法。
独特求解三角形面积的方法
独特求解三角形面积的方法独特求解三角形面积的方法引言:三角形是几何学中最基本的形状之一，求解其面积是我们在学习数学和几何学时经常会遇到的问题之一。
通常，我们使用传统的公式：底乘高的一半来计算三角形的面积。
然而，今天我将与您分享一些独特的方法，通过这些方法，您将能够以不同的角度来求解三角形的面积，并且更全面地理解这一几何形状。
一、海伦公式:海伦公式是一种经典的方法，用于求解任意三角形的面积。
该公式由希腊数学家海伦提出，其原理基于三角形的三边长。
根据海伦公式，我们可以将任意三角形的面积表示为下述形式：面积= √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s代表三角形的半周长，而a、b、c则分别代表三角形的三边长。
使用海伦公式的一个重要好处是，您无需知道三角形的高度，而只需要知道三边长的数值。
这一方法适用于各种不规则三角形，让面积计算变得更加简便和高效。
二、向量法:除了传统的基于底乘高的方法，我们还可以使用向量法来求解三角形的面积。
这种方法基于向量的数量积和几何的性质，通过计算两个向量的数量积来得到面积的结果。
具体来说，我们可将三角形的两条向量记作u和v，然后使用向量的数量积公式求解面积，如下所示：面积= 1/2 * |u × v|其中，|u × v| 表示向量的模，即两个向量之间的数量积。
向量法的一个显著优点是可以用于解决平面内任意形状的三角形问题，而不仅仅局限于直角三角形。
它也可以用于解决平行四边形和多边形的面积计算问题。
三、三角函数法:另一种独特的方法是使用三角函数，例如正弦、余弦和正切等，来求解三角形的面积。
这种方法基于三角形的一条边和与其相关联的角度。
具体来说，在已知三角形的一条边和夹角的情况下，我们可以使用正弦函数或余弦函数来求解三角形的面积，如下所示：面积 = (1/2) * a^2 * sin(B)其中，a代表三角形的一条边长，而B则代表与该边相关联的角度。
这种方法需要一定的几何和三角知识作为基础，但一旦掌握，您将能够通过角度和边长来快速求解三角形的面积。
第六章平行向量与解三角形
3
3
2
1
2k 5k 3
解得
4 5
例题剖析
[例4]已知|a|=4,|b|=3,且a与b不共线，实数k为何值时，向量ka+b与
ka-b垂直？
[解析] ∵(ka+b)⊥(ka-b)
∴(ka+b)·(ka-b)=0
∴k2a2-b2=0 ∴a2=42=16,b2=32=9
其他一些实际问题.
2.解三角形
（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度 量问题. （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题.
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知识要点 例题剖析
知识要点
1.既有大小又有方向的量叫向量，向量的大小叫做向量的长度 （或称模）. 2.长度为0的向量叫零向量，其方向是任意的. 3.模为1的向量叫做单位向量. 4.方向相同或相反的非零向量叫平行向量（或共线向量）. 5.规定0与任一向量平行. 6.长度相等，方向相同的向量叫相等向量. 7.长度相等，方向相反的向量叫相反向量. 8.向量加法的法则有平行四边形和三角形法则. 9.向量的加法满足结合律和交换律，即（a+b）+c=a+(b+c)及 a+b=b+a.
[解析] ∵a+b=3e1+3e2=3(e1+e2)
| α b | 3 (e1 e2 )2 3 e12 e22 2e1·e2
3 11 211cos ① 60时，| a b | 3 2 1 3 3 ② | a b | 3 2 2cos ,1 cos 1
[答案] 4
[解析] ∵OA=（-1,2),OB=(3,m)
专题复习解三角形与平面向量
1．三角形的有关公式：(1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝ ，sinA ＋B2＝ (2)正弦定理：(3)余弦定理： _____________________________________________________________________ (4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝12r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)．2．平面向量的数量积a ·b ＝ ．特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件．3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ． 4．平面向量坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a≠0，b≠0，则：(1)a·b ＝ ；(2)|a |＝ ，a 2＝|a |2＝ ； (3)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔ ＝0；(4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔ ＝0.(5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ ． 5．△ABC 中向量常用结论(1)PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的 ； (2)PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →⇔P 为△ABC 的 ；(3)向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的 ；(4)|PA →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的 ． 考点一 解三角形例 1－1设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．1＋33 ＋1 C ．1－33－1 例 1－2△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，角A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 例 1－3若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形变式训练【1－1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则【1－2】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【1－3】在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，S △ABC ＝33，则BC ＝( ) A ．5 或37例 1－4已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝ sin 2C . (1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．变式训练 【1－4】 (2015·兰州诊断)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a3cos A＝csin C .(1)求A 的大小； (2)若a ＝6，求b ＋c 的取值范围．【1－5】 (2014·黄冈模拟)△ABC 的外接圆的直径为1，三个内角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，m ＝(a ，cos B )，n ＝(cos A ，－b )，a ≠b ，已知m ⊥n .(1)求sin A ＋sin B 的取值范围；(2)若abx ＝a ＋b ，试确定实数x 的取值范围．例 1－5如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．变式训练【1－6】如图，游客从某旅游景区的景点A C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内考点二 平面向量例 2－1已知正三角形ABC 的顶点A (3，1)，B (33，1)，顶点C 在第一象限，若点M (x ，y )在△ABC 的内部或边界，则z ＝OA →·OM →取最大值时，3x 2＋y 2有( )A ．定值52B ．定值82C ．最小值52D ．最小值50例 2－2如图所示，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．例 2－3如图在等腰直角△ABC 中，点O 是斜边BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则mn 的最大值为( )B ．1C ．2D ．3变式训练【2－1】设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ·b ＝(a 1，a 2)·(b 1，b 2)＝(a 1b 1，a 2b 2)．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sinx 的图象上运动，点Q 在y ＝f (x )的图象上运动，且满足OQ →＝m ·OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则y ＝f (x )的最大值为________．【2－2】在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为______．易错题在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值和△ABC 的面积．练习题1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 2．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定 3．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) C ．2 24．锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则a b的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(2，3) 5．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )6．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B 、C 的俯角分别为75°、30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1) mB ．180(2－1) mC ．120(3－1) mD ．30(3＋1) m7．记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥y ，y ，x <y ，min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x ≥y ，x ，x <y ，设a ，b 为平面向量，则( ) A ．min{|a ＋b |，|a －b |}≤min{|a |，|b |} B ．min{|a ＋b |，|a －b |}≥min{|a |，|b |} C ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≤|a |2＋|b |2D ．max{|a ＋b |2，|a －b |2}≥|a |2＋|b |28．如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象，B ，C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC →＝|AB →|2，则ω＝( )9．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且a cos B －b cos A ＝35c ，则tan Atan B 的值为______．10．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．11．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为 30°，则此山的高度CD ＝________m.12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．13．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行． (1)求A ； (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A 的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．15．已知向量m ＝(cos x ，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ，－32，f (x )＝(m －n )·m . (1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝3，f ⎝⎛⎭⎪⎫A －π8＝－24，a ＝3，求b ＋c 的值．。
第五讲 平面向量与解三角形
第五讲 平面向量与解三角形[知识精讲]一、平面向量的坐标运算：设11(,)a x y = ，22(,)b x y =，则 1、1212(,)a b x x y y +=++ ； 1212(,)a b x x y y -=--； 2、11(,)a x y λλλ=；3、向量坐标的点表示：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--4、向量平行、垂直的充要条件： ①1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-= ； ②121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=.5、||||cos a b a b θ⋅==1212x x y y +6、夹角公式：cos ,||||a ba b a b ⋅==7、向量的模：||a === 8、向量a 在b方向上的投影00||cos ,(0,180)||a b a a b a b b ⋅===≤≤.9、与向量a同方向的单位向量011,)||a a x y a ==.二、正弦定理和余弦定理有关公式：1、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C=== （R 为∆ABC 的外接圆的半径） 2、三角形的面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===3、余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c b a ab C =+-4、余弦定理的推论：222cos 2b c a A bc+-=三、其它解三角形的常用公式： 1、A B C π++=；2、由三角形内角和定理得到的一些基本三角关系式：sin()sin A B C +=， cos()cos A B C +=-， sin cos 22A B C +=， cos sin 22A B C+= 3、三角形边角定理：大角对大边，大边对大角.[基础训练]1、(08四川文)设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -= ( A )A 、()7,3B 、()7,7C 、()1,7D 、()1,32、ABC ∆中，2,60a b A === ，则B 等于（ ）A 、30B 、60C 、 150D 、30 或1503、(08海南、宁夏文)已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+ 与a垂直，则λ是（ A ）A 、－1B 、1C 、－2D 、2 4、（08安徽文）在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ A ）A 、23πB 、56πC 、34πD 、3π5、（08安徽文）若(2,4)AB = ，(1,3)AC =, 则BC = （ B ） A 、（1，1） B 、（－1，－1） C 、（3，7） D 、（-3,-7）6、(08江苏) a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= 7 .【解析】本小题考查向量的线性运算、()2222552510a b a b a a b b -=-=-⋅+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -= 7[典型例题]1、设向量(1,3),(2,4).(1,2)a b c =-=-=-- ，若表示向量4,42,2(),a b c a c -- d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为（ ）A 、(2,6)B 、(2,6)-C 、(2,6)-D 、(2,6)--2、已知向量a 与b 的夹角为120，3,||a a b =+ ||b 等于（ ）A 、5B 、4C 、3D 、13、已知||1,||0OA OB OA OB ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠= ，设(O C m O A n O B m=+ ,)n R ∈，则mn等于（ ）A 、13B 、 3C 、已知1,.0,OA OB OAOB===点C 在AB 上，且AOC ∠30o =. 设A 点坐标为(1，0)，B 点的坐标为(0，3)，C 点的坐标为(x ，y)=(34，(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则∴ m=43，n=41，m n =3，选B.4、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是（ ）A 、1213,PP PPB 、1214,PP PPC 、1215,PP PPD 、1216,PP PP如图，已知正六边形123456PP P P P P ，设边长12||PPa =，则∠213P PP =6π.，13||PP ,1213,PP PP =232a a =，∠214P P P =3π，14||2PP a =，1214,PP PP =2122a a a ⋅⋅=，1215,PP PP =0，1216,PP PP <0，∴ 数量积中最大的是1213,PP PP ，选A.5、已知||2||0a b =≠ ，且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅= 有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是（ ）A 、[0,]6πB 、[,]3ππC 、 2[,]33ππD 、[,]6ππ6、ABC ∆中，2C B =，则sin 3sin BB等于（ ） A 、b a B 、3a b C 、3b a D 、a b7、(08陕西理)ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B === ，则a 等于（ D ）AB 、2 CD8、(08四川文)ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c，若,2a A B ==，cos B =( B )ABC、 D【解】：∵ABC ∆中2a A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴sin sin sin 22sin cos A B A B B B⎧=⎪⎨⎪==⎩∴cos B = 故选B ； 【点评】：此题重点考察解三角形，以及二倍角公式；【突破】：应用正弦定理进行边角互化，利用三角公式进行角的统一，达到化简的目的；在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用.9、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ） A 、14 B 、 34 CD10、ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为,,a b c ，设向量(,)p a c b =+ ，(,)q b a c a =-- ，若//p q，则角C 的大小为（ ） A 、6π B 、3π C 、2π D 、23π11、在 ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN = _____________（用a 、b表示）12、若(2,3),(1,2)a b ==，则a 与b 的夹角余弦等于__________；a 在b 方向上的投影等于__________.13、(08天津理)如图，在平行四边形ABCD 中，()()2,3,2,1-==，则=⋅ 3 .解析：令AB a = ，AD b = ，则(1,2)(2,0),(1,2)(3,2)a b a b a b ⎧+=⎪⇒==-⎨-+=-⎪⎩所以()3AD AC b a b ⋅=⋅+=.14、(08江苏) 若，则ABC S ∆的最大值【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想、设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B =2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-== 244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值【答案】15、已知向量(sin ,1),(1,cos )a b θθ== ，22ππθ-<<.（I ）若a b ⊥ ，求θ； （II ）求||a b +的最大值.16、(08辽宁理) 在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=、 （Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积.本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力、满分12分、解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，又因为ABC △1sin 2ab C =4ab =、 ···· 4分联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =. ············ 6分（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =， ···················· 8分当cos 0A =时，2A π=，6B π=，3a =，3b =，当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =b =.所以ABC △的面积1sin 2S ab C ==12分[课后练习]1、设向量(1,3),(2,4),a b =-=-若表示向量4a 、32,b a - c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为（ ）A 、(1,1)-B 、 (1,1)-C 、 (4,6)-D 、(4,6)-2、已知向量(4,2),a = 向量(,3),b x = 且//,a b则x =（ ）A 、9B 、6C 、5D 、33、已知非零向量a 、b 若2a b + 与2a b - 互相垂直，则||||a b =（ ）A 、14B 、4C 、12D 、24、已知向量a 、b 满足||1,||4a b ==，且2a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A 、6π B 、4π C 、3π D 、2π5、设向量,,a b c 满足0,,||1,||2a b c a b a b ++=⊥== ，则2||c = （ ）A 、1B 、 2C 、4D 、5 6、（08北京文）已知ABC ∆中，a =b =060B =,那么角A 等于（ ） A 、135° B 、90° C 、45° D 、30°7、已知向量(1,sin ),(1,cos ),a b θθ== 则||a b -的最大值为____________.8、设向量a 与b 的夹角为,θ且(3,3),2(1,1),a b a =-=-则cos θ=_________. 9、在ABC ∆中，已知4,303a b A === ，则sin B =__________.10、在ABC ∆中，已知12,60,45BC A B === ，则AC =__________.11、在ABC ∆中，已知8,5BC AC ==，三角形面积为12，则cos 2C =__________.12、已知ABC ∆中，3,30b c B === ，则a 边的长等于__________.13、已知a 、b 、c 是ABC ∆中A ∠、B ∠、C ∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4,5,a b S ===则c =__________.14、(08江西理)直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等 分点，则AE ·AF ＝ .15、(08全国Ⅱ卷文) 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =.（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积.16、(08海南、宁夏)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°， BD 交AC 于E ，AB=2.（1）求cos ∠CBE 的值；（2）求AE.[课后练习]1、D2、B3、D 4 、C 5、D 6、C 7、 8、9、 10、 11、72512、3或 6 1314、22 15、解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =， 由3cos 5B =，得4sin 5B =. ····················· 2分 所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=. ·········· 5分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 135sin 313BC B AC A ⨯⨯===. ·········· 8分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=. ····· 10分16、解：（Ⅰ）因为9060150BCD =+= ∠，CB AC CD ==， 所以15CBE = ∠.所以cos cos(4530)CBE =-= ∠（Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+. 故2sin 30cos15AE =12⨯==。
三角形向量公式
三角形向量公式
摘要：
一、三角形向量公式简介
二、三角形向量公式的推导与证明
三、三角形向量公式的应用
四、结论
正文：
一、三角形向量公式简介
在数学中，向量是用来表示物体在空间中运动和位置的一种工具。
三角形向量公式是一种在三角形中计算向量的方法，可以帮助我们更好地理解和计算空间中的向量。
三角形向量公式包括三个向量：a，b，c。
其中a 和b 构成三角形的两条边，c 为它们的延长线相交的点。
二、三角形向量公式的推导与证明
为了更好地理解三角形向量公式，我们先来推导它。
假设三角形ABC 的顶点分别为A，B，C，那么我们可以根据三角形的性质得到以下关系：AB + BC = AC
我们将这个关系式稍微变形，可以得到：
AB = AC - BC
然后，我们可以将这个式子表示为向量的形式，假设向量a 表示AB，向量b 表示BC，向量c 表示AC，那么我们可以得到以下公式：
a = c - b
这就是三角形向量公式的推导过程。
三、三角形向量公式的应用
三角形向量公式在几何学中有着广泛的应用，例如在计算三角形的面积，计算两个三角形是否重合，计算三角形的周长等。
此外，在计算机图形学中，三角形向量公式也有着重要的应用，例如在计算三角形的边缘和顶点，在计算光照和阴影效果等。
四、结论
总的来说，三角形向量公式是一种在三角形中计算向量的方法，它在几何学和计算机图形学中有着广泛的应用。
用向量法研究三角形的性质(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)
探究总结
三角形“重心”的性质
结论1 三角形的三条中线必交于一点，该点即三角形的重心， 重心将每条中线分成2:1两条线段（三角形的重心是中线的三等分点。）.
结论2 O为△ABC的重心 OA + OB OC 0
PA PB PC 3PO
用向量探究证明平面几何问题的一般方法
形到向量
向量运算
向量到形
基 底 向
坐 标 法
量
法
学以致用
1. P 是 △ABC 所 在 平 面 内 与 A 不 重 合 的 一 点 ， 满 足
A B A C 3 A，PP 是△ABC 的( A )
A.重心
B.内心
C.垂心
D.外心
学以致用
2.已知 A,B,C 是不在同一条直线上的三点，O 是平面 ABC 内一
课后作业
1.思考探究一得到结论1，如果点D是△ABC 中BC 边上的三等分点， AD与AB和AC之间的关系式是什么？如果点D是BC边上的n 等分点呢？
2.用向量法探究三角形的其它性质，每位学生给出三角形内心、 垂心、外心的向量表示.
3.分组探究，形成报告，选题： 从以下几个课题中选择一个进行探究：（1） 探究三角形“角平分线”的性质（2）探究三角形“高线”的性质（3）探究三角 形“中垂线”的性质（4）探究三角形“四心”的向量表示的关系建议如下步骤 完成：（1）六人为一组，确定一人为组长；（2）小组集体讨论探究方案，确定 研究思路；（3）小组各自开展探究，并以专题作业形式撰写研究报告（报告形 式可以参考课本）；（4）小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小 组研究报告，全班进行成果交流，评价.
A
向量方法在三角形问题中的应用
ａ＋ ＝ 一 （ ，ａ＋６ ＝ｃ ， ）
整理 ， ａ ＋ｂ ＋ ・ ， 得 ｂ＝
同理 ｂ ＋ｃ ２ ｃ＝ ＋ ｂ・ ａ ，
因而 ＋ Ａ Ｂ
的方 向为
ｃ的平分线
的 Байду номын сангаас
两式 相减 ， ａ・ 又 ｂ＝ｂ・ ， ａ ＝ｃ ， ｃ 得
‘
．
．
＝
方向， ） ０ ＋。） 所以 Ａ Ｉ＋ 又．Ｅ［ ， 。 ， Ｌ Ｉ Ｂ ｆＡ
广泛地运用． 本文总结 了向量方 法在解三角形 问题
中的应 用．
分析 ： ０ Ｉ Ｏ ＝ｌ Ｃ 知 。 由ｌＡ ＝ｌＢＩ Ｏ Ｉ Ｄ为 Ａ Ｂ Ａ Ｃ的 外心 ； Ｎ Ｎ Ｎ ０ ， 由 Ａ＋ Ｂ＋ Ｃ＝ 知 Ｄ为△佃 Ｃ的重心 ，
’ ．
Ｐ ・ Ｂ＝ Ｂ Ｃ，． Ｐ Ａ Ｐ Ｐ Ｐ ． （ Ａ—Ｐ Ｃ）・ Ｂ＝ ， Ｐ ０
２ 判 断三 角形 的形 状
例 ４ 在 △ ｃ中， 船 若 ＝ ， ： ， ： ， ４ ｂ ｃ 且
ａ・ ｂ・ ｂ＝ ｃ＝ｃ・ ， ＡＡ Ｃ的形状 是 ａ则 Ｂ （ ）
（ ＋ ）∈ ， ） 尸 轨 一 通 ， ［＋ ， 的 迹 定 Ａ ０ ∞则
辽 △Ａ ＢＣ 阴 【
（） Ａ 等腰三角形 （） Ｃ 等边三角形
又 ‘ ＤＣ＝ＤＣ一 ． 。
’ ． ．
Ｄ ＝Ｏ ＋Ａ ＝Ｏ ＋ＤＢ ＋０Ｃ． 。 ＝１ Ａ Ｈ Ａ ．ｍ ．
ＩＣ ＝ ，ｃ ＝ ３ 则 Ａ ・ Ｃ＋Ｂ Ｃ Ｃ Ｂ ｌ ｌ ＩＡ √ ， Ｂ Ｂ Ｉ Ｃ・ Ａ＋ Ａ・ ４ 雪的值等于 ．
（） Ｂ 等腰三角形 （） ｃ 等腰直角三角形 （） Ｄ 等边三角形 分 析 ：‘ ‘Ｇ是 重心 ’． Ａ＋Ｇ。 ｅ＝０ ． ．Ｇ。 Ｂ＋Ｇ ． ，
向量的三角形法则
向量的三角形法则向量是线性代数中的重要概念，它可以用来表示方向和大小，并在许多领域中都有广泛的应用。
在向量运算中，三角形法则是一个关键概念，它可以帮助我们理解向量的加法和减法运算。
本文将详细介绍向量的三角形法则，包括其定义、图示、应用和相关的数学原理。
1. 三角形法则的定义。
在向量运算中，三角形法则是指两个向量的和可以用一个三角形的第三条边来表示。
具体来说，如果有两个向量a和b，它们的和可以表示为c，即a + b = c。
在图形上，可以用一个三角形来表示这个关系，其中a和b分别为三角形的两条边，c为第三条边。
2. 三角形法则的图示。
为了更直观地理解三角形法则，我们可以通过图示来展示这个概念。
假设有两个向量a和b，它们的起点都在原点O处，终点分别为A和B。
根据三角形法则，我们可以将向量a和b的终点连接起来，得到一个三角形，而向量 a + b则是这个三角形的第三条边。
3. 三角形法则的应用。
三角形法则在向量的加法和减法运算中起着重要作用。
通过三角形法则，我们可以直观地理解向量的加法和减法运算，并且可以通过图形的方式来求解向量的和或差。
这对于解决实际问题和理解向量运算的性质都非常有帮助。
4. 三角形法则的数学原理。
三角形法则的数学原理可以通过向量的坐标表示和几何向量的性质来进行推导。
在向量的坐标表示中，向量a可以表示为(a1,a2)，向量b可以表示为(b1, b2)，而向量a + b可以表示为(a1 +b1, a2 + b2)。
这与三角形法则的图示是一致的。
另外，通过向量的几何性质，可以证明三角形法则在向量运算中是成立的。
总结。
通过本文的介绍，我们了解了向量的三角形法则的定义、图示、应用和数学原理。
三角形法则是向量运算中的重要概念，它可以帮助我们直观地理解向量的加法和减法运算，并且在实际问题中具有广泛的应用。
因此，掌握三角形法则对于理解和运用向量运算是非常重要的。
向量、解三角形知识点小结
必修四 第二章 平面向量知识点归纳一. 向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a＝0 ⇔｜a｜＝ 由于0 的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ba=大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =A C（1）a a a=+=+00； （2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC C D PQ Q R AR+++++= ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a-,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i ）)(a--=a； (ii)a+(a -)=(a -)+a=0 ；(iii)若a、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0②向量减法：向量a加上b 的相反向量叫做a与b 的差，记作：)(b a b a-+=-求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a、b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）aa⋅=λλ；（Ⅱ）当0>λ时，λa的方向与a的方向相同；当0<λ时，λa的方向与a的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =aλ6平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a xi yj=+，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±±(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--(3) 若a =(x,y)，则λa=(λx, λy)(4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ⇔-=(5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅若a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x3 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为θ，则a ·b=︱a︱·︱b︱cos θ叫做a与b的数量积（或内积） 规定00a ⋅=2向量的投影：︱b︱cos θ=||a b a ⋅ ∈R ，称为向量b 在a方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a ·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a ⋅==5乘法公式成立：()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=- ；()2222a ba ab b ±=±⋅+ 222a a b b =±⋅+6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a bR λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅ ()c a b=⋅± 特别注意：（1）结合律不成立：()()a b c a b c⋅⋅≠⋅⋅；（2）消去律不成立a b a c ⋅=⋅ 不能b c =⋅（3）a b ⋅=0不能a =0 或b =07两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y ==，则a ·b =1212x x y y + 8向量的夹角：已知两个非零向量a与b ，作O A =a, OB =b ,则∠AOB=θ（01800≤≤θ）叫做向量a与b的夹角cos θ=cos ,a ba b a b∙<>=∙当且仅当两个非零向量a与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b ⇔a·b ＝O ⇔02121=+y y x x必修五 第一章 解三角形知识点归纳1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
专题二-平面向量及解三角形
4
5
AD＝3DB，cosA＝5，cos∠ACB＝13，BC＝13.
(1)求 cosB 的值； (2)求 CD 的长.
【变式训练】 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边.若 π
acosB＝3，bcosA＝1，且 A－B＝6. (1)求边 c 的长； (2)求角 B 的大小.
5
题型 4 平面向量与解三形的综合 A→BA→C B→AB→C
【例 4】 在△ABC 中，已知 · ＝3 · . (1)求证：tanB＝3tanA；
5 (2)若 cosC＝ 5 ，求 A 的值.
【变式训练】 已知△ABC 的内角为 A、B、C，其对边分别为 a、b、c，B B
为锐角，向量 m＝(2sinB， 3)，n＝(2cos22－1，cos2B)，且 m⊥n. (1)求角 B 的大小； 5π (2)如果 b＝2，A＝12，求边长 c.
第 1 课时 三角函数的图象与性质 考点展示
( ) 1.(2017·江苏)若 tan
α－π4
1 ＝6，则 tanα
＝
.
2.(2016·江苏)定义在区间[0，3π]上的函数 y＝sin2x 的图象与 y＝cosx 的图
象的交点个数是
.
π 3.(17 苏北三市三调)若函数 f(x)＝2sin(2x＋φ)(0<φ< 2 )的图象过点(0， 3)，
[ ]π
0， (2)当 x∈ 6 时，f (x)的最大值为 4，求 m 的值.
题型 4 三角函数的实际应用 【例 4】 如图，有一直径为 8 米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种 水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍，但 种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的 C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长
三角形面积公式的向量形式及其应用举例
三角形面积公式的向量形式及其应用举例三角形是数学中最基本的几何图形之一，其面积公式是研究三角形性质和计算三角形面积的基础。
传统的三角形面积公式是用三角形的底边长度和高来表示，但我们也可以通过向量来推导三角形的面积公式，并将其应用于一些实际问题中。
一、向量形式的三角形面积公式推导设三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
以向量AB为基底，取向量AC和向量AB的两个向量分量，记为AC=(x4,y4)和AB=(x5,y5)。
则向量AC和向量AB的面积可以表示为S=(1/2)*(x4*y5-x5*y4)其中，x4=x3-x1，y4=y3-y1，x5=x2-x1，y5=y2-y1通过向量的叉积运算，我们可以得到三角形ABC的面积公式。
这个公式的推导过程可以通过向量的几何意义进行分析，但在此不再深入展开。
二、应用举例1.三角形面积计算假设我们已知三角形三个顶点的坐标，我们可以使用向量形式的三角形面积公式来计算三角形的面积。
举个例子，设三角形ABC的顶点坐标分别是A(1,1)，B(3,4)，C(5,2)。
我们可以通过向量表示得到向量AB=(2,3)和向量AC=(4,1)，然后代入面积公式计算出三角形ABC的面积为S=(1/2)*(4*3-2*1)=52.判断点是否在三角形内部利用向量形式的三角形面积公式，我们可以判断一个点D(x,y)是否在已知三角形ABC内部。
首先分别计算三个子三角形ADB、BDC和CDA的面积，并将它们相加。
如果这个和等于三角形ABC的面积，则点D在三角形ABC内部；否则，点D不在三角形ABC内部。
举个例子，假设三角形ABC的顶点坐标分别是A(1,1)，B(3,4)，C(5,2)，我们要判断点D(2,2)是否在三角形ABC内。
首先计算三个子三角形ADB、BDC和CDA的面积，可以得到三个面积分别为3/2、5/2和1/2、将这三个面积相加得到总面积为3+5+1=9，而三角形ABC的面积为5、因此，点D的三个子三角形的面积之和与三角形ABC的面积不等，所以点D不在三角形ABC内部。
计算机求三角形面积最快的方法
计算机求三角形面积最快的方法计算机在数学计算领域的应用越来越广泛，求三角形面积是其中一项基本的数学计算任务。
在实际应用中，当需要处理大量的三角形面积计算时，寻找最快的求解方法可以提高计算效率和节省时间。
本文将详细介绍几种计算机求三角形面积的方法，并分析其优缺点，以期为读者提供参考。
一、基本方法：海伦公式海伦公式是一种常用的计算三角形面积的方法。
根据海伦公式，已知三角形的三边长a、b和c，可以通过以下公式计算三角形的面积S：S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))其中s = (a + b + c) / 2。
这种方法的优点是简单易懂，适用于任意形状的三角形。
然而，对于大规模的三角形面积计算来说，该方法的计算量较大，效率较低。
二、向量方法：叉积运算向量方法是一种较为高效的计算三角形面积的方法。
根据向量的叉积运算，已知三角形的两个边向量a和b，可以通过以下公式计算三角形的面积S：S = 0.5 * |a × b|其中|a × b|表示向量a × b的模。
这种方法的优点是计算量较小，适用于平面上的任意三角形。
此外，该方法还适用于计算空间中三角形的面积。
然而，需要明确给出三角形的边向量，对于一般的三角形输入，还需要额外进行向量的计算，稍显复杂。
三、重心坐标法重心坐标法是一种基于重心坐标的计算三角形面积的方法。
对于给定的三角形ABC，通过选择一个点P，可以将三角形分割成三个小三角形，其中每个小三角形的面积与点P到对应顶点的距离成正比。
根据这一性质，可以通过以下公式计算三角形的面积S：S = |P₁A| * S₁ + |P₂B| * S₂ + |P₃C| * S₃其中|P₁A|、|P₂B|和|P₃C|表示点P到对应顶点的距离，S₁、S₂和S₃表示小三角形的面积。
通常来说，选择三角形的顶点作为点P，可以简化计算。
这种方法的优点是计算量相对较小，适用于任意形状的三角形。
用向量法研究三角形的性质
AO BO CO
向量数乘
运算
0
结论2： OA OB OC 0
探究活动
THE PROBLEM IS RESOLVED
问题3：与向量加法有密切联系的是向量的减法运算，引入平面上任意一
点,结合向量减法运算，你能将 OA OB OC 0 作出怎样的转化？
OA PA PO
1
BC
2
1
2
1
AM AD, 而 AO AD MO AO AM AD
2
3
6
1
1
而OD AD MO OD
3
2
1
1
同理：
NO OE , QO OF
2
2
点O是DEF的重心
E , F 分别是AB, AC的中点 EF
BCபைடு நூலகம்且EF
结题
做题
总结归纳：
SITUATIONAL INTRODUCTION
c a a b b c c
cb
2
2 a b
2
2
b
2
2
b
2
2
b c
2
2
2
ac
2
2
2
2
2
即：AB 2 BC 2 CA2 3 OA2 OB 2 OC 2
感谢聆听,批评指导
探究之道
探究课
探究之法（向量
法）
选
题
开
题
做
题
解
题
表
示
运
算
妙用三角形“四心”的性质解答向量问题
四、妙用三角形垂心的性质
三角形的垂心是三角形三条边上的高的交点.其
性质有：（1）若 O、H 分别为 △ABC 的外心和垂心，则
O∠AB∙AOOB==∠OHB∙AOCC，=∠OACB∙OHA=.∠在O解BC答，向∠量BC问O题= ∠时H，C可A ；以（根2）
据三角形垂心的定义推断出垂心的位置，也可以通过 关 系 式 OA∙OB = OB∙OC = OC∙OA 来 判 定 三 角 形 的 垂
意确定三角形的外心，然后根据题意明确外心与三角
形三个顶点、三个角之间的关系，灵活运用三角形外
心的性质来解题.
共
例 2. 线的
已知 O 是平 三 点. 若 动
面内一点 点P满
，A,B,C 是平 足 OP = OB
面内不
+ 2
O C
+
| | | | æ
λçç è
ABAcBos B +
ACAcCos
C
ö ÷ ÷ ø
三角形边的AB距C离的相外等心，，则都等aO于A 内+ b切OB圆 +的cO半C径= 0；（；（3）4）若∠OBO为C三=
90°+
∠
A 2
，∠BOA
=90°+
∠
C 2
，∠AOC
=90°+
∠
B 2
.在解
答向量问题时，需根据三角形内心的定义确定内心的
位置及其与三条角平分线之间的关系，便可根据三角
形内心的性质来解题.
，λμ A=P45=.m
AD
，
∴
AD
=
λ m
AB
+
μ m
AC
，
∵
向量加法三角形法则
向量加法三角形法则向量是数学中一个重要的概念，它可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量。
在实际问题中，经常需要对向量进行加法运算，以求得多个向量的合成结果。
在进行向量加法运算时，可以利用三角形法则来求解，这是一种简单而有效的方法。
本文将介绍向量加法三角形法则的概念、原理和应用。
一、向量的概念。
向量是具有大小和方向的物理量。
在直角坐标系中，向量通常用坐标表示，例如一个二维向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为(a, b, c)，其中a、b、c分别表示向量在x、y、z轴上的分量。
向量还可以用一个带箭头的线段来表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
二、向量的加法。
向量的加法是指将两个或多个向量相加得到一个新的向量的运算。
假设有两个向量a和b，它们的加法可以表示为a + b。
根据向量的定义，a + b的结果是一个新的向量，它的大小和方向由a和b的大小和方向决定。
在直角坐标系中，向量的加法可以通过坐标的加法来实现，即将a和b的对应分量相加得到新的向量的分量。
三、三角形法则。
三角形法则是一种用来求解多个向量合成的方法。
假设有两个向量a和b，它们的合成可以表示为a + b。
根据三角形法则，可以将a和b的起点放在一起，然后将它们的终点连接起来，得到一个三角形。
新的向量a + b的方向和大小就由这个三角形的对角线决定，对角线的方向和长度就是a + b的方向和大小。
四、三角形法则的应用。
三角形法则可以应用于各种实际问题中，例如物体的位移、速度、加速度等物理量。
假设有一个物体在空间中以向量a的方向和大小做匀速直线运动，然后在向量b的方向和大小做匀速直线运动。
物体的总位移可以通过向量a和b的合成得到，即a + b。
物体的总速度和加速度也可以通过向量a和b的合成得到。
在航空航天、导航、机器人等领域，三角形法则也有广泛的应用。
五、总结。
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向量方法和解三角形
一、向量方法
1．已知ABC ∆，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥
，则ABC ∆一定为
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．斜三角形
2．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3
π，若向量c 满足|2|2c a b -+=
，则||c 的最大值为（ ）
A.2
2
2
2
3．M 是ABC ∆所在平面上的一点，且D ,23
23=++是AC 中点，
的值为（ ）
A.
13 B.1
2
C.1
D.2 4．如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC = xOA yOB + ，则 （ ）
A.01x y <+<
B.1x y +>
C.1x y +<-
D.10x y -<+<
5．在圆O 中，若弦6AB =，弦10AC =，则AO ·BC
的值是 A.－16 B ．－2 C ．32 D ．16
6．在四边形ABCD 中，13
DC AB =
，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =⋅+⋅ ，
则32x y -= .
7．如图，ABC ∆
是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上
的任意一点，则AP BP =
8．在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任
意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC .
9．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB
，则△PAB 与
△PBC 的面积的比值为__________．
10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,1,3AD CD AB ===，动点P 在BCD
内运动（含边界），设AP AD AB αβ=+ ，则αβ+的最大值是 ．
E
D
C
B
A
P
B
A
C
11．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC AO BC ⋅=
________．
12．点P 为椭圆
2211615
x y +=上的任意一点，EF 为圆22
(1)4x y -+=的任一条直径，则PE PF ⋅ 的取值范围为 .
13．如图，半径为2的扇形的圆心角为120,,M N ︒分别为半径,OP OQ 的中点，A 为弧PQ 上任意一点，
则AM AN ⋅
的取值范围是 ．
14．如右图放置的正方形ABCD ，AB ＝1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OB OC ⋅
的
最大值是________．
二、解三角形
1．在△ABC 中，已知a=x ，b=2，B=45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．0＜x ＜2
2．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC
AB BC AC AB AB AC ⋅++2
的最大值是______.
3．在△ABC 中，cos cos cos cos 2b C c B a C c A +=+=，且c o s a C C b c
=+，则△ABC
的面积为 ．
4．如图，在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，1
2
BD DC =， 若1AB =，2AC =，则AD BD ⋅的最大值为________．
5．正三角形ABC 的边长为2，F E D ,,分别在三边CA BC AB ,,上，D 为AB 的中点，DF DE ⊥，且DE DF 2
3
=
，则=∠BDE ．
6．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =，135ADB ο
∠=，AB AC 3=，则
BD = ．
7．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，,3
22sin ,=∠⊥BAC AC AD ,23=AB 3=AD ，则BD 的
长为 ．
8．在ABC ∆中，,3,3
==
AB C π
AB 边上的高为
3
4
，则=+BC AC ________
9．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =，则AD 的 长为 ．。