向量方法和解三角形
向量方法和解三角形
一、向量方法
1．已知ABC ?，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥
，则ABC ?一定为
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．斜三角形
2．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3
π，若向量c 满足|2|2c a b -+=
，则||c 的最大值为（ ）
A.2
2
2
2
3．M 是ABC ?所在平面上的一点，且D ,23
23=++是AC 中点，
的值为（ ）
A.
13 B.1
2
C.1
D.2 4．如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC = xOA yOB + ，则 （ ）
A.01x y <+<
B.1x y +>
C.1x y +<-
D.10x y -<+<
5．在圆O 中，若弦6AB =，弦10AC =，则AO ·BC
的值是 A.－16 B ．－2 C ．32 D ．16
6．在四边形ABCD 中，13
DC AB =
，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =?+? ，
则32x y -= .
7．如图，ABC ?
是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上
的任意一点，则AP BP =
8．在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任
意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC .
9．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB
，则△PAB 与
△PBC 的面积的比值为__________．
10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,1,3AD CD AB ===，动点P 在BCD
内运动（含边界），设AP AD AB αβ=+ ，则αβ+的最大值是 ．
E
D
C
B
A
P
B
A
C
11．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC AO BC ?=
________．
12．点P 为椭圆
2211615
x y +=上的任意一点，EF 为圆22
(1)4x y -+=的任一条直径，则PE PF ? 的取值范围为 .
13．如图，半径为2的扇形的圆心角为120,,M N ?分别为半径,OP OQ 的中点，A 为弧PQ 上任意一点，
则AM AN ?
的取值范围是 ．
14．如右图放置的正方形ABCD ，AB ＝1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OB OC ?
的
最大值是________．
二、解三角形
1．在△ABC 中，已知a=x ，b=2，B=45°，如果三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．0＜x ＜2
2．已知三角形ABC 中，BC 边上的高与BC 边长相等，则AC
AB BC AC AB AB AC ?++2
的最大值是______.
3．在△ABC 中，cos cos cos cos 2b C c B a C c A +=+=，且c o s a C C b c
=+，则△ABC
的面积为 ．
4．如图，在ABC ?中，D 为边BC 上一点，1
2
BD DC =， 若1AB =，2AC =，则AD BD ?的最大值为________．
5．正三角形ABC 的边长为2，F E D ,,分别在三边CA BC AB ,,上，D 为AB 的中点，DF DE ⊥，且DE DF 2
3
=
，则=∠BDE ．
6．在ABC ?中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =，135ADB ο
∠=，AB AC 3=，则
BD = ．
7．如图ABC ?中，已知点D 在BC 边上，,3
22sin ,=∠⊥BAC AC AD ,23=AB 3=AD ，则BD 的
长为 ．
8．在ABC ?中，,3,3
==
AB C π
AB 边上的高为
3
4
，则=+BC AC ________
9．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD BC ⊥，AC =5CD =,2BD AD =，则AD 的 长为 ．
平面向量与解三角形
第八单元平面向量与解三角形 (120分钟150分) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2c sin B=b,则角C的大小为 A.B.C.D. 解析:由正弦定理得2sin B==,∴sin C=,∴C=. 答案:A 2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是 A.u⊥v B.v∥w C.w=u-3v D.对任一向量,存在实数a,b,使=a u+b v 解析:因为u·v=0,所以u⊥v,显然w∥v,因为u与v不共线,所以对任意向量,存在实数a,b,使=a u+b v. 答案:C 3.在△ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是 A.B.C.D. 解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-3ac,化简得b=. 答案:D 4.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·等于 A.—4 B.0 C.4 D.8 解析:由·=·,得·(-)=·=0,即⊥,所以||=2,∠BAD=60°,所以 ·=4×2×=4. 答案:C 5.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为 A.B.C.D.-
解析:cos C==≥=,当且仅当a=b时等号成立. 答案:C 6.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则 a与b满足的关系式为 A.5a-4b=3 B.4a-3b=5 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 解析:由与在方向上的投影相同,可得·=·?(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3),即4a+3=8+3b,4a-3b=5. 答案:B 7.在△ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin B+a sin A=c sin C,c2+b2-a2=bc,则B等于 A.B.C.D. 解析:因为c2+b2-a2=bc,所以cos A==,所以cos A=,A=, 因为b sin B+a sin A=c sin C,所以b2+a2=c2,所以C=,B=. 答案:A 8.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y>0,若a∥b,则log2(x-1)+log2y等于 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵a∥b,则=,∴(x-1)y=8,∴log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3. 答案:C 9.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin A cos B,则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C==,所以C=,因为sin C=2sin A cos B,所 以c=2a·,得a=b,所以△ABC是等边三角形. 答案:B 10.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是
三角函数和向量知识点
三角函数知识点 1. 三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦。 2. 弧度制: ○ 1r l =||α； ○2弧长公式:r l ||α=,其中||α为圆心角的弧度数．．．； ○3扇形的面积公式:2||2 121R R l S α=?= 扇形； ○ 41弧度=815730.57'?=?，π弧度 180=。 3. 三角函数的公式: )2 (cos sin tan 1 cos sin 22Z k k ∈+≠==+，公式一 ππαααααα 公式组二：x x k x x k x x k x x k cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+ππππ 公式组三：x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=--=- 公式组四：x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+=+-=+-=+ππππ 公式组五： x x x x x x x x cot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(-=--=-=--=-ππππ 公式组六： x x x x x x x x cot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=--=-=-ππππ 其中诱导公式记忆方法：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．。 其中奇． 是指2π的系数为奇数，偶．是指2 π 的系数为偶数，变．是指：正弦与余弦互变，正切与余切互变。看符号时是指对原三角函数进行判断，并且要将．．α视为锐角．．．．。 如：ααπ cos )2 ( sin =+，ααπ sin )2 ( cos -=+。 4. 三角恒变换的主要公式： βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- β αβ αβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (-+= + β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-= - αααco s s i n 22s i n ?= ααααα2 2 2 2 s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-= 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= αα α2tan 1tan 22tan -= 化一公式：sin cos a b αα+=22sin()a b α?++(角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?= )，常
三角形面积的向量方法
三角形面积的向量方法 向量是一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应 用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景． 公式 ABC ?中，若向量CB a = ，CA b = ，则ABC S ?= 证明 1sin ,2ABC S a b a b ?=<> == １．利用公式求三角形的面积． 例1．已知ABC ?，点(1,1)A ，(4,2)B ，(3,5)C ，求ABC ?的面积． 解：∵(3,1)AB = ，(2,4)AC = ，∴210AB = ，220AC = ，10AB AC ?= ， ∴ABC S ?=5==． 例2．已知ABC ?中，向量00 (cos23,cos67)BA = ，00(2cos68,2cos22)BC = ，求ABC ?的 面积． 解：由已知，得00(cos23,sin 23)BA = ，00 (2sin 22,2cos22)BC = ，∴1BA = ，2BC = ， ∴00002(sin 22cos23cos22sin 23)BC BA ?=+ 0 2sin 45== ∴ABC S ?==． ２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值． 例3．平面直角坐标系内有点(sin ,cos )P x x ，(cos ,sin )Q x x ，[,]2412 x ππ ∈-，O 为坐标原点，求OPQ ?面积的最值． 解：OPQ S ?===1 cos 22 x =．
∵[, ]2412x ππ ∈-， ∴当12 x π = 时，OPQ ? 面积的最小值为 4 ；当0x =时，OPQ ?面积的最大值为 12 ． ３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值． 例4.已知OAB ?中,OA a = ，OB b = ，且3,2a b a b +=-= ，求OAB ?面积的最大值． 解：∵3,2a b a b +=-= ，∴2229a a b b +?+= ，22 24a a b b -?+= ，解得54 a b ?= ， 22132a b += ，∴OAB S ?= = ≤3 2=， 当且仅当a b == 时，取“=”号． 例 5.已知向量(cos ,sin )OA a αα== ，(cos ,sin )OB b ββ== ，a 与b 之间有关系 式 ka b kb +=- ，（0k > ，且2k ≠，O 为坐标原点，求AOB ?面积的最大值，并求 此时a 与b 的夹角θ． 解：将ka b kb +=- 两边平方，得222222 23(2)k a ka b b a ka b k b +?+=-?+ ∵1a b == ，∴2 2213(12)k ka b ka b k +?+=-?+ ，又∵0k >，∴111()42a b k k ?=+≥ ， 当且仅当1k =时取“= ”号．∴AOB S ?= = ≤ 4= ∴AOB ? 此时12a b ?= ，∴1c o s 2 a b a b θ?== ，∵000180θ<<，∴0 60θ=．
向量、三角函数和解三角形、复数、函数测试试卷
阶段性考试试卷 姓名： 分数： 一、选择题（每题5分，共13题，65分） 1．若命题1)1(log ),,0(:2≥+ +∞∈?x x x p ，命题01,:0200≤+-∈?x x R x q ，则下列命题为真命题的是( ) A.p q ∨ B.p q ∧ C.()p q ?∨ D.()()p q ?∧? 2．已知函数 ，则不等式f （x ）≤5的解集为（ ） A ．[﹣1，1] B ．（﹣∞，﹣2]∪（0，4） C ．[﹣2，4] D ．（﹣∞，﹣2]∪[0，4] 3．设复数z 满足 11z i z +=-,则的z 虚部为（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．1- 4．函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且在区间]0,(-∞上是减函数，则不等式)1()(ln f x f -<的解集为( ) A.()+∞,e B.??? ??+∞,1 e C.??? ??e e ,1 D.?? ? ??e 1,0 5．已知函数2 ()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（ ） 6． 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．a b a b -≤- C ．() 2 2a b a b +=+ D ．()() 22a b a b a b +-=- 7．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ?∈+∞≠，有()() 2121 0f x f x x x -<-，则（ ） A ．()()()213f f f -<< B ．()()()123f f f <-< C ．()()()312f f f << D ．()()()321f f f <-< 8．已知函数()sin()(0,||)2 f x x π ω?ω?=+>< 的最小正周期为π，且其图像向左平移 3 π 个单位后得到函数 ()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12 x π =对称 B ．关于直线512 x π = 对称 C ．关于点( ,0)12 π 对称 D ．关于点5( ,0)12 π 对称
平面向量与三角形三心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 OC OB OA ++ 2=+= ∴2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=? AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b AC c AB +)，令c b a bc ++=λ B C D B C D
三角函数 空间向量
（1）求函数24 74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+-的最大值与最小值。 解：2 4 74sin cos 4cos 4cos y x x x x =-+- ()2272sin 24cos 1cos x x x =-+- 2272sin 24cos sin x x x =-+ 272sin 2sin 2x x =-+ ()2 1sin 26x =-+ 由于函数()2 16z u =-+在[]11-，中的最大值为 ()2 max 11610z =--+= 最小值为 ()2 min 1166z =-+= 故当sin 21x =-时y 取得最大值10，当sin 21x =时y 取得最小值6 （2）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω??=++ ?? ?（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ） 求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03 ?????? ，上的取值范围． 解：（Ⅰ）1cos 2()22x f x x ωω-= +112cos 222 x x ωω=-+ π1sin 262x ω? ?=-+ ?? ?． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以 2π π2ω =，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262 f x x ??=- + ?? ?． 因为2π03 x ≤≤ ， 所以ππ7π2666 x --≤≤，
所以1πsin 2126x ??- - ?? ?≤≤， 因此π130sin 2622x ? ?- + ?? ?≤≤，即()f x 的取值范围为302?? ???? ，． （3））已知函数2 2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期 是 2 π ． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． （3）已知函数2 2s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是 2 π ． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合． 解： ()2 42sin 22 4sin 2cos 4cos 2sin 22 2cos 2sin 12sin 2 2cos 12+??? ? ? +=+??? ? +=++=+++? =πωπωπωωωωωx x x x x x x x f 由题设，函数()x f 的最小正周期是2 π ，可得222πωπ=，所以2=ω． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()244sin 2+??? ? ? += πx x f ． 当ππ π k x 22 4 4+= + ，即()Z k k x ∈+ = 216 π π 时，??? ? ?+44sin πx 取得最大值1，所以函数 ()x f 的最大值是22+，此时x 的集合为? ?? ???∈+=Z k k x x ,216|ππ （1）如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且13BM BD =，1 3 AN AE =．求证：//MN 平面CDE ． 解析：要证明//MN 平面CDE ，只要证明向量NM 可以用平面CDE 内的两个不共线的向量DE 和DC 线性表示．
讲义平面向量与三角形四心的交汇
讲义---平面向量与三角形四心的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ?=++???=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ????++=++=?33 321 321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为ABC ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O c b a ?=++为ABC ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为 AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b c +平分BAC ∠, ( λ=∴b c +)，令c b a bc ++= λ B C D
例讲三角形中与向量有关的问题
例讲三角形中与向量有关的问题 教学目标：1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质 3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合 教学重点：灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题 教学难点：针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程： 1、课前练习 1.1已知O 是△ABC 内的一点，若222OC OB OA ==，则O 是△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 1.2在△ABC 中，有命题①=-；②=++；③若()()0=-?+AC AB AC AB ，则△ABC 为等腰三角形；④若0>?，则△ABC 为锐角三角形，上述命题中正确的是〔 〕 A 、①② B 、①④ C 、②③ D 、②③④ 2、知识回顾 2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质 2.3 上述两者间的关联 3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题 例1、已知△ABC 中，有0=???+BC 21=,试判断△ABC 的形状。 练习1、已知△ABC 中，=，=，B 是△ABC 中的最大角，若0
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题 例3、已知P 是△ABC 所在平面内的一动点，且点P 满 足 ()+∞∈?? ?++=,0,λλOA OP ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 练习2、已知O 为平面内一点，A 、B 、C 平面上不共线的三点，动点P 满足 ()+∞∈?? ? ??++=,0,21λλ，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 例4、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满 足 ()+∞∈?? ?++=,0,λλ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 练习3、已知O 是△ABC 所在平面内的一点，动点P 满 足 ()+∞∈?? ?+++=,0,2λλOP ，则动点P 一定过△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 例5、已知点G 是的重心，过G 作直线与AB 、AC 分别相交于M 、N 两点，且 y x ?=?=,，求证：311=+y x 6、小结 处理与三角形有关的向量问题时，要允分注意数形结合的运用，关注向量等式中的实数互化，合理地将向量等式和图形进行转化是处理这类问题的关键。 7、作业 1、已知O 是△ABC 内的一点，若=++，则O 是△ABC 的〔 〕 A 、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、内心 2、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，且=++，则?等于
(完整版)平面向量与三角形四心问题
平面向量基本定理与三角形四心 已知0是 ABC 内的一点， BOC, AOC, AOB 的面积分别为 S A , S B , S C ,求证: S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 0D 罟0B 誥0C 0D S B0D S C0D S B0D S C0D S A 0A S B0A E OA S B0A S C0A S B S C 0D S B S C S A ?0A S B ?0B S C ?0C 0 推论o 是ABC 内的一点，且 x ?0A y ?0B z ?0c 0，则 S B0C : S C0A : S A0B X ： y ： z 如图2延长0A 与BC 边相交于点D 则 BD DC S A BD S B0D S ABD S B0D S ACD S C0D S ACD S C0D S C S 鱼 0B 生 0C S B S C S B S C 0A oA S B S B S C S B S C 0B 二0C
有此定理可得三角形四心向量式 O是ABC的重心 S BOC : S COA : S AOB 1：1：1 O A OB O C 0 是 S ABC的内心 BOC : S COA :S AOB ■ a:b:c a ?OA b?oB c?oC 0 0是ABC的外心 S BOC : S COA :S AOB sin 2A:sin 2B :sin 2C sin 2A?OA sin2B ?O B sin2C ?OC 0 O是ABC的垂心 S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B: tanC tan A?OA tan B?OB tan C ?OC 0 tanA 竺,tanB AD CD DB tan A: tanB DB: AD S BOC : S COA DB: AD S BOC : S COA tan A:tan B 同理得S COA : S AOB tan B :tanC, S BOC：S AOB tan A:tanC S BOC : S COA : S AOB tan A: tan B : tanC 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统 证明：如图0为三角形的垂心,
平面向量与三角函数教案
平面向量与三角函数教案
1 第十讲 平面向量及其应用 例1:△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB.若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝ （ ） 例题 2.如图，在直角梯形ABCD 中， ,1,3 AB AD AD DC AB ⊥===，动点P 在BCD ?内 运动，（含边界）， 设 () ,AP AB AD R αβαβ=+∈u u u r u u u r u u u r ，则αβ+的取值范围 是 . 例3.设P 是ABC ?内一点，满足()()() 21,AP x y AB y AC x y R =-+-∈u u u r u u u r u u u r . 则x 的取值范围是 . .已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1 S ，△ABC 的面积为2 S ， AP pPB =u u u r u u u r ， AQ qQC =u u u r u u u r ， 则（ⅰ）pq p q =+ ， （ⅱ）12 S S 的取值范围是 .
例1. 在 ABC V 中， 60,3, B A C ∠=o 则 2AB BC +的最大值为 _________． 例2. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是_________． 例3. 在△ABC 中，设AD 为BC 边上的高，且AD = BC ， b ， c 分别表示角B ，C 所对的边长，则b c c b +的取值范围是____________． 例4. 在等边ABC V 中，点P 在线段AB 上，满足,AP AB λ=uu u r uu u r 若, CP AB PA PB ?=?uu r uu u r uu r uu r 则实数λ的值是_________． 例5. 在ABC V 中有如下结论：“若点M 为ABC V 的重心， 则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r ”，设a ，b ，c 分别为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为ABC V 的重心.如果30aMA bMB ++=uuu r uuu r uuu r r ， 则内角A 的大小为_________；若a ＝3，则ABC V 的面积为_________． 例6. 点O 为△ABC 的外心，已知AB =3，AC = 2，若 AO xAB y AC =+uuu r uu u r uuu r ，x + 2y = 1，则cos B = _________． 例7. 如图，平面内有三个向量,,，其中OA u u u r 与OB u u u r 的 夹角为120°，OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为150°，且 1 OA OB ==u u u r u u u r ， 23 OC =u u u r 若()OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r ，，则 λμ +的值为_________． A O B x y 1 23 5.0- 3 -
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平面向量基本定理与三角形四心 已知 O 是ABC 内的一点，BOC ,AOC , AOB 的面积分别为S A， S B， S C，求证：S A? OA S B? OB S C? OC 0 A 如图 2延长 OA 与 BC 边相交于点 D 则 O B C 图 1 BD S A BD S BOD S ABD S BOD S C DC S ACD S COD S ACD S COD S B OD DC OB BD OC BC BC A O S B OB S C OC S B S C S B S C B D C OD S BOD S COD S BOD S COD S A OA S BOA S COA S BOA S COA S B S C 图2 OD S A OA S B S C S A OA S B OB S C OC S C S B S B S C S B S C S A? OA S B? OB S C? OC 0 推论 O 是 ABC 内的一点，且 x?OA y?OB z?OC0 ，则S BOC: S COA: S AOB x : y : z
有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC 的重心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的内心 S BOC: S COA: S O 是ABC 的外心 S BOC: S COA: S AOB AOB AOB 1:1:1OA OB OC0 a : b : c a ?OA b ?OB c ?OC0 sin 2A :sin 2B : sin 2C sin 2A ? OA sin 2B ? OB sin 2C ?OC0 O 是ABC 的垂心 S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C tan A ?OA tan B ? OB tan C ?OC0 C O A D B 证明：如图 O 为三角形的垂心， tan A CD , tan B CD tan A: tan B DB : AD AD DB S BOC: S COA DB : AD S BOC: S COA tan A : tan B 同理得 S COA: S AOB tan B : tan C ， S BOC: S AOB tan A : tan C S BOC: S COA: S AOB tan A: tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一
三角形、平行四边形面积的向量公式
1 三角形、平行四边形面积的向量公式 提到三角形的面积，C ab ah S sin 2 121==应该算最为简捷的两个，尤其是后者，在已知三角形的两边 及其夹角（正弦值）的条件下求三角形面积，常常与正、余弦定理互动也是情理之中的事．下面我们通过 一道高考题，伺机请出三角形面积公式的向量代言人． 引例 （2010年高考辽宁卷8）平面上B A O ,,三点不共线，设=OA a ，=OB b ，则OAB ?的面积等 于（ ） A ．222)(||||b a b a ?- B ．222)(||||b a b a ?+ C ．222)(||||21b a b a ?- D ．222)(||||2 1b a b a ?+ 解：)cos 1(21sin 21222C OB OA C OB OA S OABC -=?=?=-=C b a b a 22222cos ||||||||2 1 222)(||||2 1b a b a ?-．选C ． 因为2222||,||b b a a ==，所以上述公式还可以化为222)(2 1b a b a ?-，意识到没有，之所以写成选项中的形式，可能是怕有同学误认为222)(ab b a =，随手接着一化，得OAB ?的面积等于0！然后开始怀疑人生． 其实这道高考题是有渊源的，现在让它卸了妆，它就变成这样子：已知ABC ?中，=a ，=b ，试用b a ,的向量运算式子表示ABC ?的面积，即=?ABC S ____________________．它是谁？它是2004年全国高中数学联赛湖南预赛第12题．好尴尬呀，说出去的话泼出去的水，悔不该揭它老底儿！ 上述公式便是三角形面积的向量代言人之一，当题目含有公式需要的向量条件时，可考虑让它出手． 例1 （2012年全国高中数学联赛5）在ABC ?中，若7=? 6=-，则ABC ?面积的最大值为 ． 分析：因为7=?，所以只需求出||||?的最大值即可. 解：6=-两边平方，得362||||22=?-+，所以50||||22=+，所以(2 1||||≤?25)||||22=+，当且仅当5||||==时，等号成立． 所以ABC ?面积的最大值为127252 122=-． 评注：本例还可以用几何法求解：记BC 的中点为M ，则() +=21,
三角函数和向量
1．已知锐角α,且5α的终边上有一点P(sin(－50°），cos 130°)，则α的值为() A．8°B．44° C．26°D．40° 答案B 解析∵sin (－50°）＜0，cos 130°＝－cos 50°＜0, ∴点P(sin（－50°)，cos 130°)在第三象限． 又∵0°＜α＜90°，∴0°＜5α＜450°。 又∵点P的坐标可化为（cos 220°，sin 220°）， ∴5α＝220°,∴α＝44°，故选B. 2．已知向量错误!＝(2，0）,向量错误!＝（2，2），向量错误!＝(错误!cos α，错误!sin α)，则向量错误!与向量错误!的夹角的取值范围是（） A.错误! B.错误! C。错误!D。错误! 答案D 解析由题意，得：错误!＝错误!＋错误!＝(2＋错误!cos α，2＋错误!sin α)，所以点A的轨迹是圆(x－2）2＋（y－2)2＝2，如图，当A位于使向量 错误!与圆相切时，向量错误!与向量错误!的夹角分别达到最大、最小值, 故选D。 3．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足｜c－a－b｜＝1，则｜ c|的最大值为( ） A。2－1 B.2 C.错误!＋1 D。错误!＋2 答案C 解析建立平面直角坐标系，令向量a,b的坐标a＝（1，0），b＝（0,1),令向量c＝（x，y），则有错误!＝1，|c｜的最大值为圆（x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的距离的最大值，
即圆心(1，1)到原点的距离加圆的半径，即错误!＋1。 4．已知函数f (x ）＝sin 错误!－错误!在［0,π]上有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ) A ．[－错误!，2］ B ．［错误!，2) C ．（错误!，2］ D ．[错误!，2］ 答案 B 解析 如图，画出y ＝sin （???x ＋π3在[0，π]上的图像，当直线y ＝错误!与其有两个交点时，错误!∈错误!，所以m ∈［错误!，2)． 5．已知函数y ＝2sin （ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π）为偶函数，其图像与直线y ＝2某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2,若|x 2－x 1|的最小值为π,则该函数的一个递增区间可以是( ） A.错误! B 。错误! C 。错误! D 。错误! 答案 A 解析 由函数为偶函数知φ＝错误!＋k π(k ∈Z ）．又因为0＜φ＜π，所以φ＝错误!，所以y ＝2cos ωx 。由题意知函数的最小正周期为π,故ω＝2，所以y ＝2cos 2x ,经验证知选项A 满足条件．故选A 。 题型一 三角函数的图像与性质 例1 已知函数f (x )＝cos x ·sin 错误!－错误!cos 2 x ＋错误!,x ∈R 。 (1)求f （x )的最小正周期； (2）求f (x )在闭区间错误!上的最大值和最小值． 解 (1）由已知，得 f (x )＝cos x 错误!－错误!cos 2x ＋错误! ＝错误!sin x cos x －错误!cos 2 x ＋错误! ＝错误!sin 2x －错误!（1＋cos 2x )＋错误! ＝错误!sin 2x －错误!cos 2x ＝错误!sin 错误!。 所以f (x ）的最小正周期T ＝错误!＝π. (2）因为f （x ）在区间错误!上是减函数,在区间错误!上是增函数,
平面向量中的三角形四心问题教师版
平面向量中的三角形四心问题 向量是高中数学中引入的重要概念，是解决几何问题的重要 工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在给出结论及证明结论的过程中，可以体现数学的对称性与推论的相互关系。 一、重心（barycenter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。重心到顶点的距离与 重心到对边中点的距离之比为2：1。 结论1： 是三角形的重心 所在平面内一点，则为若G GC GB GA ABC G ?=++?0 的重心 为故上 在中线同理可得上 在中线这表明，，则中点为证明：设ABC G CF BE G AD G GD GA GC GB GA GC GB GA GC GB GD D BC ?=-∴+=-?=+++=,, 202 结论2： 的重心 是证明：的重心 是所在平面内一点，则为若ABC G GC GB GA PC PG PB PG PA PG PC PB PA PG ABC G PC PB PA PG ABC ??=++?=-+-+-?++=??++=?0 0)()()()(3 1)(3 1P
二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。 结论3： 的垂心是所在平面内一点，则为若ABC H HA HC HC HB HB HA ABC ???=?=??H 为三角形垂心 故同理，有证明：H AB HC CB HA AC HB AC HB HC HA HB HC HB HB HA ⊥⊥⊥?=??=-???=?,00 )( 结论4： 可知命题成立由结论同理可证得，得，证明：由的垂心 是所在平面内一点，则为若3)()(H 222222222 22222HA HC HC HB HB HA HA HC HC HB HA HC HB HC HB HA CA HB BC HA ABC H AB HC AC HB BC HA ABC ?=?=??=??-+=-++=+??+=+=+?三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线（中垂线）的相交点。用这个点做圆心可以画三角形的外接圆。 结论5： 命题成立 证明：由外心定义可知的外心是所在平面内一点，则 是若ABC O OC OB OA ABC O ??==?
高三数学解三角形,平面向量与三角形的综合练习
解三角形，平面向量与三角形的综合练习 一、填空题 1．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为______________． 2．已知向量a 与b 的夹角为120o ，且4==a b ，那么g a b 的值为________． 3．已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则b a +=_____________________. 4． )6cos()(π ω-=x x f 最小正周期为5π ，其中0>ω，则=ω 5．b a ρ?,的夹角为ο 120，1,3a b ==r r ，则5a b -=r r 6．若BC AC AB 2,2= =，则ABC S ?的最大值 7．设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 8．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 9．若向量a r ，b r 满足1 2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3 π，则a b +=r r ． 10．若3 sin()25 πθ+=，则cos2θ=_________。 11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos 。 12已知a r 是平面内的单位向量，若向量b r 满足()0b a b -=r r r g ，则||b r 的取值范围是 。 13．.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===? 则A ＝ . 14． 关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： ①若g g a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60o ． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） 三、解答题 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程
向量方法和解三角形
向量方法和解三角形 一、向量方法 1．已知ABC ?，若对任意R t ∈，BA tBC AC -≥ ，则ABC ?一定为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．斜三角形 2．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3 π，若向量c 满足|2|2c a b -+= ，则||c 的最大值为（ ） A.2 2 2 2 3．M 是ABC ?所在平面上的一点，且D ,23 23=++是AC 中点， 的值为（ ） A. 13 B.1 2 C.1 D.2 4．如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC = xOA yOB + ，则 （ ） A.01x y <+< B.1x y +> C.1x y +<- D.10x y -<+< 5．在圆O 中，若弦6AB =，弦10AC =，则AO ·BC 的值是 A.－16 B ．－2 C ．32 D ．16 6．在四边形ABCD 中，13 DC AB = ，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =?+? ， 则32x y -= . 7．如图，ABC ? 是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上 的任意一点，则AP BP = 8．在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任 意一点，设向量的最小值为则μλμλ++=,AP DE AC . 9．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA ＋3PB ＋4PC ＝3AB ，则△PAB 与 △PBC 的面积的比值为__________． 10．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ,1,3AD CD AB ===，动点P 在BCD 内运动（含边界），设AP AD AB αβ=+ ，则αβ+的最大值是 ． E D C B A P B A C
向量和三角函数综合试题(卷)
向量与三角函数综合试题 1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为 （ D ） A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2 λλ或2-<λ B ．2>λ或2-<λ C ．22< <-λ D ．22<<-λ 3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2 +y 2 =1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3 4， －3 2)，则·的值是 （ A ） A ．18 25 B ．9 25 C ．2 D ．9 16 4．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0，则||的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =u u u r u u u r ，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是（ C ） A ．1 B 3 C ．3 D ．236．已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量22)CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值围是（ D ） A ．[0, ]4π B ．5[,]412ππ C ．5[,]122ππ D ．5[,]1212 ππ 7．已知向量(1,1),(1,1),(22)a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ） A 21 B ．1 C 2 D ．322- 8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =u u u r u u u r ， 若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE u u u r u u u r g 的值是（ B ） B ．）