抗震设计第三章d1PPT课件
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【精品课件】建筑结构抗震设计
规则对高层建筑尤为重要。 地震区的高层建筑，平面以方形、 矩形、圆形为好；正六边形、正八边形、 椭圆形、扇形也可以。
简单的建筑平面
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【精品课件】建筑结构抗震设计
４.２ 建筑的平立面布置
事实上，由于城市规划、建筑艺术和使用功能等多方面的要求， 建筑不可能都设计成方形或者圆形。《高层规程》对地震区高层建 筑的平面形状作了明确规定，如下图，并提出对这些平面的凹角处， 应采取加强措施。
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【精品课件】建筑结构抗震设计
４.３ 结构选型与结构布置
规范规定： • ①结构体系应具有明确的计算简图和合理的地震作用传递 途径。 • 受力明确、传力合理、传力路线不间断、抗震分析与实 际表现相符合。
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【精品课件】建筑结构抗震设计
４.３ 结构选型与结构布置
②宜有多道抗震防线，应避免因部分结构或构件破坏而导致整 个结构丧失抗震能力或对重力荷载的承载能力。
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【精品课件】建筑结构抗震设计
４.１ 场地选择
场地选择的原则：
选择工程场址时，应该进行详细勘察，搞清地形、地质情况， 挑选对建筑抗震有利的地段，尽可能避开对建筑抗震不利的地段； 任何情况下均不得在抗震危险地段上，建造可能引起人员伤亡或较 大经济损失的建筑物。
１. 避开地震危险地段
建筑抗震危险的地段，一般是指地震时可能发生崩塌、滑坡、 地陷、地裂、泥石流等地段，以及震中烈度为8度以上的发震段裂 带在地震时可能发生地表错位的地段。
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【精品课件】建筑结构抗震设计
４.２ 建筑的平立面布置
•平面不规则的类型
不规则类型 扭转不规则
凹凸不规则 楼板局部不连续
简单的建筑平面
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４.２ 建筑的平立面布置
事实上，由于城市规划、建筑艺术和使用功能等多方面的要求， 建筑不可能都设计成方形或者圆形。《高层规程》对地震区高层建 筑的平面形状作了明确规定，如下图，并提出对这些平面的凹角处， 应采取加强措施。
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【精品课件】建筑结构抗震设计
４.３ 结构选型与结构布置
规范规定： • ①结构体系应具有明确的计算简图和合理的地震作用传递 途径。 • 受力明确、传力合理、传力路线不间断、抗震分析与实 际表现相符合。
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【精品课件】建筑结构抗震设计
４.３ 结构选型与结构布置
②宜有多道抗震防线，应避免因部分结构或构件破坏而导致整 个结构丧失抗震能力或对重力荷载的承载能力。
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【精品课件】建筑结构抗震设计
４.１ 场地选择
场地选择的原则：
选择工程场址时，应该进行详细勘察，搞清地形、地质情况， 挑选对建筑抗震有利的地段，尽可能避开对建筑抗震不利的地段； 任何情况下均不得在抗震危险地段上，建造可能引起人员伤亡或较 大经济损失的建筑物。
１. 避开地震危险地段
建筑抗震危险的地段，一般是指地震时可能发生崩塌、滑坡、 地陷、地裂、泥石流等地段，以及震中烈度为8度以上的发震段裂 带在地震时可能发生地表错位的地段。
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【精品课件】建筑结构抗震设计
４.２ 建筑的平立面布置
•平面不规则的类型
不规则类型 扭转不规则
凹凸不规则 楼板局部不连续
工程结构抗震设计PPT课件
2. 罕遇地震作用下，不同层数都取0.05。
三、变形验算
1. 多遇地震下，层间变形应不超过层高的1/300；
2. 罕遇地震下，层间变形不应超过层高的1/50。
工程结构的隔震与减震 第一节 结构控制的基本概念
一、抗震理论的发展阶段
1．静力理论，即抗侧力系数法 刚性结构体系，无法真正实现 2．弹性地震反应谱分析方法 设计思想：“小震不坏，大震不倒” 延性结构体系，应用日益受到限制
楼梯间墙体空间刚度差
6．楼盖与屋盖的破坏
墙体倒塌，支撑长度过小
7．附属构件的破坏 与主体建筑连接差
第二节
建筑布置与结构选型
1．建筑布置和结构体系
（1）建筑物平面布置 宜规整、对称 （2）建筑物体型和立面
体型宜规则、对称，各部分重量和刚度均匀
立面宜避免高低错落、局部突出等
（3）建筑物的结构体系
1）优先采用横墙承重方案，其次采用纵横墙混合承 重方案，纵墙承重方案不利抗震
2. 对于大于9度的地区，应进行专门研究；
3. 基本烈度为6度的地区，除国家特别规定外，可 采用简易设防，或不进行抗震验算。
(三)抗震设防目标 按规范要求进行抗震设计的公路工程在发生与之相当的基本 烈度地震影响时 1. 位于一般地段的高速公路、一级公路工程，经一般整修即 可正常使用； 2. 位于一般地段的二级公路及位于软弱粘性土层或液化土层 上的高速公路、二级公路工程，经短期抢修即可恢复使用；
b. 试确定上题改为框-剪、剪力墙结构时的抗震等级。
3．结构布置 （1）柱网布置 柱网布置：要简单规整，刚度分布均匀，满足生 产工艺、使用情况下力求经济合理
（2）结构平面布置
宜简单、规则、对称 （3）结构竖向布置 体型力求规则均匀，抗侧力构件宜上下连续贯通。 4．抗震缝布置
建筑结构抗震设计课件第3章(下)
1）引起结构产生扭转的原因主要有哪些？ 2）规则结构如何考虑扭转效应的影响？ 3）需要进行扭转计算的结构： j振型时第i层质心处的水平地震作用标准值计算公式Fxji(Fyji、Ftji)； 考虑单向水平地震作用时，结构的地震作用效应（扭转效应）Sx(Sy)的计算方 法；
考虑双向水平地震作用效应时，结构地震作用效应的计算方法，0.85的物理意 义。
竖向地震作用的影响是显著的：
根据地震计算分析，对于高层建筑、高耸及大跨结构,竖向 地震影响显著。结构竖向地震内力NE/与重力荷载产生的内力NG 的比值沿高度自下向上逐渐增大，烈度为8度时为50%至90%，9 度时可达到或超过1；335m高的电视塔上部，8度时为138%；高 层建筑上部，8度时为50%至110%。
2、考虑扭转影响的水平地震作用
M D&& CD& K D M D&&g (t)
1
M
cos
D
1n1
1
D&&g (t)
d&&g (t)
M
sin
D
1n1Leabharlann 0M0n1
d&&g (t) ---地面运动加速度 D ---地面运动方向与x轴夹角
3n
设 D(t) X i qi (t) Aq(t) i 1 D&(t) Aq&(t)
Ftji j tj ri2 jiGi
Fx ji
Ftji x
分别为j振型i层的x方向、y方向和
Fy ji
转角方向的地震作用标准值
j振型i层质心处地震作用
思考题
1、底部剪力法的计算步骤是怎样的？ 1）底部总剪力计算 2）高阶振型影响如何考虑？ 3）屋顶突出屋面附属建筑鞭梢效应的考虑及计算
考虑双向水平地震作用效应时，结构地震作用效应的计算方法，0.85的物理意 义。
竖向地震作用的影响是显著的：
根据地震计算分析，对于高层建筑、高耸及大跨结构,竖向 地震影响显著。结构竖向地震内力NE/与重力荷载产生的内力NG 的比值沿高度自下向上逐渐增大，烈度为8度时为50%至90%，9 度时可达到或超过1；335m高的电视塔上部，8度时为138%；高 层建筑上部，8度时为50%至110%。
2、考虑扭转影响的水平地震作用
M D&& CD& K D M D&&g (t)
1
M
cos
D
1n1
1
D&&g (t)
d&&g (t)
M
sin
D
1n1Leabharlann 0M0n1
d&&g (t) ---地面运动加速度 D ---地面运动方向与x轴夹角
3n
设 D(t) X i qi (t) Aq(t) i 1 D&(t) Aq&(t)
Ftji j tj ri2 jiGi
Fx ji
Ftji x
分别为j振型i层的x方向、y方向和
Fy ji
转角方向的地震作用标准值
j振型i层质心处地震作用
思考题
1、底部剪力法的计算步骤是怎样的？ 1）底部总剪力计算 2）高阶振型影响如何考虑？ 3）屋顶突出屋面附属建筑鞭梢效应的考虑及计算
抗震课件3
一、钢结构房屋的震害在地震作用下极少整体倒塌，但常发生局部破坏；如梁、柱的局部失稳与整体失稳，交叉支撑的破坏，结点的破坏等。
图3-4-1 圆钢支撑的破坏图3-4-2 支撑杆失稳图3-4-3 角钢支撑连接破坏二、高层钢结构房屋抗震设计1、高层钢结构体系：(1)纯框架体系:平面布置及窗户开设等有较大的灵活性，其抗侧力能力依靠梁柱构件及其节点承载力与延性，故节点必须做成刚接，⇒节点制作的复杂化。
(2)框架一支撑体系：为提高结构的侧向刚度，经济的办法是在框架的一部分开间中设置支撑，它与梁、柱组成一竖向的支撑桁架体系，它们通过楼板体系可以与无支撑框架共同抵抗侧力，以减小侧向位移。
支撑布置的位置：端框架中、电梯井周围等处；支撑的形式：图3-4-8及图3-4-9常采用。
图3-4-8 支撑架腹杆形式图3-4-9常用支撑布置形式支撑桁架腹杆的形式：交叉式和K式(图3-4-8)华伦式(图3-4-9b)偏心支撑(图3-4-10):e段是梁上的薄弱部位，可以避免支撑的屈曲，具有较大的延性图3-4-10 偏心支撑(3) 框架一剪力墙板体系在钢框架中嵌入剪力墙板（可用钢板或钢砼板）。
墙板对提高框架结构的承载能力和刚度，以及在吸能方面均有重要作用。
普通整块钢砼墙板初期刚度过高，地震时它们将发生脆性破坏因此提出延性剪力墙⇒板，如带竖缝的剪力墙板（图3-4-12）。
图3-4-12 带竖缝的钢筋混凝土剪力墙(4) 筒体体系超高层建筑是一种经济有效的结构形式，它既能满足结构刚度的要求又能形成较大的使用空间。
图3-4-13 筒体体系2、高层钢结构抗震设计：两阶段设计：①多遇地震作用下的弹性分析，验算构件的承载力和稳定性以及结构的层间位移；②罕遇地震作用下的弹塑性分析，验算结构的层间侧移和层间侧移延性比。
在初步设计时，基本周期可按下列经验公式n T 1.01=(3-74)式中：n 为建筑物层数（不包括地下部分及屋顶塔屋）2）设计反应谱：高层钢结构在弹性阶段的为0.02，小于一般结构的为0.05，其地震比时提高约34％，故抗震设计时应为规范表中的1.34倍。
抗震PPT幻灯片课件
地下采空区属于危险地段。
不利于抗震的地段：软弱土，液化土，条状突出的山嘴，高耸孤立的山丘，陡 坡，陡坎，河岸和边坡的边缘，平面分布上成因、岩性、状态明显不均匀的土 层（含故河道、疏松的断层破碎带、暗埋的塘浜沟谷和半填半挖地基），高含 水量的可塑黄土，地表存在结构性裂缝等。
15
1.2 选择有利于抗震的场地 有利地段：一般是指位于开阔平坦地带的坚硬场地土或密实均匀中硬 场地土。 在选择高层建筑的场地时，应尽量建在基岩或薄土层上，或应建在具 有较大“平均剪切波速”的坚硬场地土上，以减少输入建筑物的地震 能量，从根本上减轻地震对建筑物的破坏作用。
楼层的最大弹性水平位移（或层间位移），大于该楼层两端弹性水平位 移（或层间位移）平均值的1.2倍
结构平面凹进的一侧尺寸，大于相应投影方向总尺寸的30%
楼板局部不连续 楼板的尺寸和平面刚度急剧变化，例如，有效楼板宽度小于该层楼板典
型宽度的50%,或开洞面积大于该层楼面面积的30%，或较大的楼层错层
b 0.5B
大大不足,率先破坏；3.水平地震作用下,柔而长的楼板产生可观的竖向运动等。
19
20
地震区的高层建筑，平面以方形、矩形、圆形为好；正六边 形、正八边形、椭圆形、扇形也可以。
不宜采用有较长翼缘的L形、T形、U形、H形、Y形等平面形状。 高层规程的规定：
设防烈度 L / B
６、７度 ≤6.0
l / Bmax
Ki3
Ki2 Ki1 Ki
Ki 0.7Ki1
Ki
0.8( Ki1
Ki2 3
Ki3 )
沿竖向的侧向刚度不规则（有柔软层） 竖向抗侧力构件不连续
25
立ห้องสมุดไป่ตู้不规则类型
不利于抗震的地段：软弱土，液化土，条状突出的山嘴，高耸孤立的山丘，陡 坡，陡坎，河岸和边坡的边缘，平面分布上成因、岩性、状态明显不均匀的土 层（含故河道、疏松的断层破碎带、暗埋的塘浜沟谷和半填半挖地基），高含 水量的可塑黄土，地表存在结构性裂缝等。
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1.2 选择有利于抗震的场地 有利地段：一般是指位于开阔平坦地带的坚硬场地土或密实均匀中硬 场地土。 在选择高层建筑的场地时，应尽量建在基岩或薄土层上，或应建在具 有较大“平均剪切波速”的坚硬场地土上，以减少输入建筑物的地震 能量，从根本上减轻地震对建筑物的破坏作用。
楼层的最大弹性水平位移（或层间位移），大于该楼层两端弹性水平位 移（或层间位移）平均值的1.2倍
结构平面凹进的一侧尺寸，大于相应投影方向总尺寸的30%
楼板局部不连续 楼板的尺寸和平面刚度急剧变化，例如，有效楼板宽度小于该层楼板典
型宽度的50%,或开洞面积大于该层楼面面积的30%，或较大的楼层错层
b 0.5B
大大不足,率先破坏；3.水平地震作用下,柔而长的楼板产生可观的竖向运动等。
19
20
地震区的高层建筑，平面以方形、矩形、圆形为好；正六边 形、正八边形、椭圆形、扇形也可以。
不宜采用有较长翼缘的L形、T形、U形、H形、Y形等平面形状。 高层规程的规定：
设防烈度 L / B
６、７度 ≤6.0
l / Bmax
Ki3
Ki2 Ki1 Ki
Ki 0.7Ki1
Ki
0.8( Ki1
Ki2 3
Ki3 )
沿竖向的侧向刚度不规则（有柔软层） 竖向抗侧力构件不连续
25
立ห้องสมุดไป่ตู้不规则类型
抗震第3章-4-PPT精选文档
G6 G5 G4 G3 G2 G1
2.70 2.70 2.70 2.70
2.70
2.95
由于多层砌体房屋中纵向或横向承重墙体的数量较多， 房屋的侧移刚度很大，因而其纵向和横向基本周期较短，一 般均不超过0.25s。所以规范规定，对于多层砌体房屋，确 定水平地震作用时采用 。并且不考虑顶部附加 1 m ax 水平地震作用。
T T 5 T g 1 g T g ( ) m a x 1 2 T 0 .139
场地类别
第一组 第二组 第三组
Ⅰ 0.25 0.30 0.35
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
Ⅲ 0.45 0.55 0.65
Ⅳ 0.65 0.75 0.90
（3）计算结构总的水 平地震作用标准值 F G EK 1 eq
m 180 t 3
K3 98 MN/m
m t K 2 270 MN/m 2 195
m t K 245 MN/m 1 270 1
5997 . 6 kN 解： （1）计算结构等效总重力荷载代表值 G eq （2）计算水平地震影响系数 地震特征周期分组的特征周期值（s）
0 .16 Tg 0.4s m ax
（3）计算结构总的水平地震作用标准值 （4）顶部附加水平地震作用 n 0 （5）计算各层的水平地震作用标准值
F 166 .7 F 333 . 5 F 333 .5 1 2 3
F 833 . 7 kN EK 671 .6
845 .8
振型分解反应谱法结果
（6）计算各层的层间剪力
V F F F 833 . 7 kN 1 1 2 3
2 max
0.45 max
( g ) 2max
建筑结构抗震设计(PPT,共81页)
提供了较大的侧向刚度，位移得到控制。
3.1
结构抗震概念设计
五、合理的结构材料
• 延性系数（表示极限变形与相应屈服变形之比）高； • “强度/重力”比值大（轻质高强）； • 匀质性好； • 正交各向同性； • 构件的连接具有整体性、连续性和较好的延性，并
图 断层和断裂带 “有地震必有断层，有断层必有地震”
3.1
结构抗震概念设计
断裂及其工程影响
地质调查结果： •沿龙门山中央主断裂 带的地表破裂从映秀镇 至北川长200km； • 沿龙门山山前断裂带 的地表破裂从都江堰至 汉旺镇长40km 。
(图源：张培震, 2008)
汶川地震的 启示和教训
位于地震 断层的建筑， 由于地震断错 和地面强大振 动，带来房屋 毁灭性坍塌。
填充墙。
4层以上平面图
2）竖向不规则：塔楼上部（4层
楼面以上），北、东、西三面布
置了密集的小柱子，共64根，支
承在过渡大梁上，大梁又支承在
其下面的10根柱子上。上下两部
分严重不均匀，不连续。
3）主要破坏：第4层与第5层之 间(竖向刚度和承载力突变),周围
4层以下平面图
剖面图
柱子严重开裂，柱钢筋压屈；塔楼西立面、其他立面窗下和电梯井处的空心砖填充墙
• 这里的“规则”包含了对建筑平面、立面外形尺寸，抗 侧力构件的布置、质量分布，直至承载力分布等诸多因 素的综合要求。
• “规则”的具体界限随结构类型的不同而异，需要建筑 师和结构师相互配合，才能设计出抗震性能良好的建筑。
3.1
结构抗震概念设计
• 建筑抗震设计应符合抗震概念设计的要求，不应采用严 重不规则的设计方案；
①竖向抗侧力构件不连续时，该构件传递给水平转换
3.1
结构抗震概念设计
五、合理的结构材料
• 延性系数（表示极限变形与相应屈服变形之比）高； • “强度/重力”比值大（轻质高强）； • 匀质性好； • 正交各向同性； • 构件的连接具有整体性、连续性和较好的延性，并
图 断层和断裂带 “有地震必有断层，有断层必有地震”
3.1
结构抗震概念设计
断裂及其工程影响
地质调查结果： •沿龙门山中央主断裂 带的地表破裂从映秀镇 至北川长200km； • 沿龙门山山前断裂带 的地表破裂从都江堰至 汉旺镇长40km 。
(图源：张培震, 2008)
汶川地震的 启示和教训
位于地震 断层的建筑， 由于地震断错 和地面强大振 动，带来房屋 毁灭性坍塌。
填充墙。
4层以上平面图
2）竖向不规则：塔楼上部（4层
楼面以上），北、东、西三面布
置了密集的小柱子，共64根，支
承在过渡大梁上，大梁又支承在
其下面的10根柱子上。上下两部
分严重不均匀，不连续。
3）主要破坏：第4层与第5层之 间(竖向刚度和承载力突变),周围
4层以下平面图
剖面图
柱子严重开裂，柱钢筋压屈；塔楼西立面、其他立面窗下和电梯井处的空心砖填充墙
• 这里的“规则”包含了对建筑平面、立面外形尺寸，抗 侧力构件的布置、质量分布，直至承载力分布等诸多因 素的综合要求。
• “规则”的具体界限随结构类型的不同而异，需要建筑 师和结构师相互配合，才能设计出抗震性能良好的建筑。
3.1
结构抗震概念设计
• 建筑抗震设计应符合抗震概念设计的要求，不应采用严 重不规则的设计方案；
①竖向抗侧力构件不连续时，该构件传递给水平转换
建筑抗震课件(第三章 地震作用和结构抗震验算)
建 为什么要称为地震作用﹖ 是因为结构地震反应是地震通过结构惯性引起的，因此地
筑 震作用(即结构地震惯性力)是间接作用，而不称为荷载，但 为了应用方便，将地震作用等效为某种形式的荷载作用，
抗 这就是等效地震荷载。
震
3.1 概述
第 3.1.2 质点体系及其自由度
三
实际结构在地震作用下摇晃的现象十分复杂。在计 算地震作用时，为了将实际问题的主要矛盾突出来，
三 质点自振周期变化的曲线为地震反应谱。 由于地震的随机性，即使在同一地点、同一烈度，每次地震的地面加速
章 度记录也很不一致，因此需要根据大量的强震记录计算出对应于每一条 强震记录的反应谱曲线，然后统计求出最有代表性的平均曲线作为设计 依据，这种曲线称为标准反应谱曲线。
建 筑 抗 震 各种因素对反应谱的影响
章 运用理论公式进行计算设计，需将复杂的建筑结构
简化为动力计算简图。
单质点弹性体系
建 筑 多质点弹性体系 抗 震
3.1 概述
第 单质点弹性体系 三 章
常常将水箱及其支 架的一部分质量集 中在顶部，以质点 m来表示
建
筑
抗
震
水塔
支承水箱的支架 则简化为无质量 而有弹性的杆件， 其高度等于水箱
的重心高
3.1 概述
建 去的微量，故：
筑
m[x(t) xg (t)] kx(t)
抗
震
3.3单质点弹性体系的水平地震作用计算
第
这样，在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移
三 将与该时刻的瞬时惯性力成正比。因此，可认为这一相
章 对位移是在惯性力的作用下引起的，虽然惯性力并不是
真实作用于质点上的力，但惯性力对结构体系的作用和
筑 震作用(即结构地震惯性力)是间接作用，而不称为荷载，但 为了应用方便，将地震作用等效为某种形式的荷载作用，
抗 这就是等效地震荷载。
震
3.1 概述
第 3.1.2 质点体系及其自由度
三
实际结构在地震作用下摇晃的现象十分复杂。在计 算地震作用时，为了将实际问题的主要矛盾突出来，
三 质点自振周期变化的曲线为地震反应谱。 由于地震的随机性，即使在同一地点、同一烈度，每次地震的地面加速
章 度记录也很不一致，因此需要根据大量的强震记录计算出对应于每一条 强震记录的反应谱曲线，然后统计求出最有代表性的平均曲线作为设计 依据，这种曲线称为标准反应谱曲线。
建 筑 抗 震 各种因素对反应谱的影响
章 运用理论公式进行计算设计，需将复杂的建筑结构
简化为动力计算简图。
单质点弹性体系
建 筑 多质点弹性体系 抗 震
3.1 概述
第 单质点弹性体系 三 章
常常将水箱及其支 架的一部分质量集 中在顶部，以质点 m来表示
建
筑
抗
震
水塔
支承水箱的支架 则简化为无质量 而有弹性的杆件， 其高度等于水箱
的重心高
3.1 概述
建 去的微量，故：
筑
m[x(t) xg (t)] kx(t)
抗
震
3.3单质点弹性体系的水平地震作用计算
第
这样，在地震作用下，质点在任一时刻的相对位移
三 将与该时刻的瞬时惯性力成正比。因此，可认为这一相
章 对位移是在惯性力的作用下引起的，虽然惯性力并不是
真实作用于质点上的力，但惯性力对结构体系的作用和
建筑结构抗震设计第三章--有图(1)--2.
设两个质点作同频率、同相位的简谐振动，则上列微 （ X 1 sin （t ） 分方程组的解为： x 1 t）
x（ X 2 sin （t ） 2 t）
式中 X1和X2——分别为质点1和质点2的位移振幅； ω——振动频率； φ——初相位。 （k11 m1 2）X 1 k12 X 2 0 经整理后得下列振幅方程 ：
k21 X 1 （k22 m2 2）X 2 0
2018/1/28
结构抗震设计
9
1）、自振频率和自振周期
上式为 Xl和 X2 的线性齐次方程组；体系在自由振动时， X1和X2不能同时为零，否则体系就不可能产生振动。 为使上式有非零解，其系数行列式必须等于零，即：
k11 m1 2 k 21
2018/1/28
结构抗震设计
5
二、两自由度弹性体系的自由振动
左图为一两自由度弹性体系在 水平地震作用下，在时刻t的变 形情况。Xg(t)为地震时地面运 动的水平位移，质点1和质点2 沿地面运动方向产生的相对于 地面的水平位移分别为x1(t)和 （ x2(t)，而相对速度则为 x 1 t） （ 1 t） x （ 和 x ，相对加速度为 2 t） x （ x （ 2 t），绝对加速度分别为 和 g t） 1 t） x （ x （ + 和 + 。 x （ 2 t） g t）
2018/1/28 结构抗震设计 4
一、多质点和多自由度体系
在进行建筑结构地震反应分析时， 除了少数质量比较集中的结构 可以简化为单质点体系外，大 量的多层和高层工业与民用建 筑、多跨不等高单层工业厂房 等，质量比较分散，则应简化 为多质点体系来分析，这样才 能得出比较符合实际的结果。 一般，对多质点体系，若 只考虑其作单向振动时，则体 系的自由度与质点个数相同。
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如此迭代直至达到需要的精度为止。
12 12
6. 能量法算例
[例] 某三层框架结构图，
假定横梁的刚度为无 限大。各参数如图示。 用矩阵迭代法求结构 的频率和振型。
m3 k3
m2 k2
m1
k1
13 13
已知质量为 • 层间刚度为
m1 256t1 m2 254t5 m3 559t
k15.4 3150 kN m k29.0 3150 kN m k38.2 3150kN m
21 21
• 各层位移为
X 1 18.7 87 1 2 1 4 0
X 2 X 1 2 ( 8 . 7 3 8 . 0 7 ) 1 3 2 1 5 4 1 0 . 8 2 1 2 1 2 4 1 0
X 3 X 2 3 ( 1 . 8 2 6 . 7 2 ) 1 1 2 9 1 4 2 1 0 . 6 2 1 2 1 1 4 8 0
• 式中Xi——质点i的振型位移幅值
• 结构的基本振型可以近似取 为当重力荷载水平作用于质 点上时的结构弹性曲线。
故体系的最大变形位能为：
Umax
1 2
n i1
migXi
Gn
mn
Xn
Gi
mi
Xi
G1
m1
X1
8 8
• 由式Tmax =Umax得:
1
2
n
2 1
miXi2
i1
12i n1migXi
20 20
• 由惯性力引起的层间相对位移
1 （ 5 5 5 2 .4 9 4 1 3 1 5 2 0 8 )5 1 2 3 8 6 .7 81 7 2 1 4 0 2 （ 59.5 0 2 9 3 14 5 )01 2 25 3.0 35 1 2 1 4 0
38.5 2 5 311 29506.79 1 22 10 4
• 则速度为：
x i( t) X i co t s ),( i 1 ,2 , ,n
• 动力学中动能公式为
T 1 m v2 2
• 任意时刻体系的动能为
T
1 2
n i1
mi
xi2
(t)
T1 22co2( st)i n1miXi2
7 7
• 则体系的最大动能为
1
Tmax2
n
2 mi Xi2
i1
X 3 X 2 3 ( 1 . 7 3 6 . 7 ) g 8 9 1 4 m 2 0 1 . 4 g 4 1 9 4 m 5 0
17 17
• 结构基本频率
1
n
g m i X i
i1
n
m
i
X
2 i
i1
g (25 16 .3 0 1 2 3 45 14 .7 3 5 5 8 5 1.9 4 4 )g 9 5 1 40
• 则得自振频率计算公式：
n
m i gX i
2 1
i1 n
m
i
X
2 i
i1
n
g m i X i
或
1
i1 n
m
i
X
2 i
i1
9 9
3. 基本周期
• 结构的基本周期为：
T1
2 1
2
n
mi
X
2 i
i 1
ng mi X i来自i 1nGiX
2 i
2
i 1 n
Gi X i
i 1
10 10
4. 讨论
• 当体系在振动中位移达到最大时，变形位能最大Umax， 而动能为零；
• 在经过静平衡位置时，动能最大Tmax，而变形位能为零。 • 故根据能量守恒原理得：
Tm axUm ax
6 6
2. 能量法公式推导
• 设在自由振动时，质点的位移为：
x i( t) X isitn )( ,i 1 ,2 , ,n
(25 16 .3 0 2 1 3 4 25 14 .7 3 2 5 5 8 5 1.9 4 42 )9 5 g ( 1 4 ) 0 2
8.89rads
18 18
• 相应的基本振型
X X11211130..847303g104
0.717 0.953
X13 14.549
1.000
19 19
• 为了提高精度，进行修正。
14 14
[解]
• 结构在重力荷 载Gi水平作用 下的弹性曲线 如图。
G3
X3
G2
X2
G1
X1
3
2
1
15 15
• 层间相对位移
1
G1
G2 k1
G3
(m1 m2 m3)g k1
(5 5 29 5 2 45 )g 5 6 11 .3 0g 3 4 1 4 0 m 5 .4 1 350
2
G2G3 (m2m3)g
k2
k2
(29 .0 5 2 3 4 15 5 5 0 )g6 31 .3 4g 7 1 4 0 m
3
G3 k3
m3g k3
8.2 2 5 31g6 50 16.79g 210 4m
16 16
• 各层水平位移
X 1 1 1.0 3g 4 3 1 4 0 m
X 2 X 1 2 ( 1 . 3 0 3 . 3 3 ) g 4 4 1 7 4 m 0 1 . 7 g 3 1 0 4 m 8 0
§3.6 求自振频率及自振周期 的近似方法
1 1
能量法（Rayleigh法） 折算质量法 顶点位移法 矩阵迭代法（stodola法）
2 2
求自振频率及自振周期的基本方法
单自由度体系
自振频率： k
m
自振周期 T： 2
3 3
多自由度体系
频率方 [K ] 程 2[m ]： 0或
2[][m][I] 0
• 根据已求得的频率计算各质点的惯性力
I11 2 m 1 X 1 125 0 .7 61 1 1 2 1 78 1 236
I21 2 m 2 X 1 225 0 .9 45 1 5 2 2 34 1 225
I31 2 m 3 X 1 35 5 1 .0 90 1 2 5 05 1 2 9
振型向 ([K ]量 2 j[m ] 方 )X j 程 0或 ：
(2 j[][m ] [I])X j 0
j1,2, ,n
4 4
能量法（Rayleigh法）
• 若要求的是基本频率，则采可用能量法 （或称Reyleigh法）。
5 5
1. 能量守恒原理
• 根据能量守恒原理： 无阻尼弹性体系自由振动时，任一时刻的动能与变形 位能之和保持不变。
• 因采用了近似的振型曲线，故基本频率也是近似的。 若要提高计算的精度，应提高振型的精度。可采用迭
代法进行修正。方法如下。
11 11
5. 计算修正
• 按已求得的频率12 ，计算出各质点相应的惯性力 mi12Xi 。
按此惯性力计算结构的位移曲线（即为新的振型 Xi ）
再以新振型 Xi去计算新的频率 12 。
12 12
6. 能量法算例
[例] 某三层框架结构图，
假定横梁的刚度为无 限大。各参数如图示。 用矩阵迭代法求结构 的频率和振型。
m3 k3
m2 k2
m1
k1
13 13
已知质量为 • 层间刚度为
m1 256t1 m2 254t5 m3 559t
k15.4 3150 kN m k29.0 3150 kN m k38.2 3150kN m
21 21
• 各层位移为
X 1 18.7 87 1 2 1 4 0
X 2 X 1 2 ( 8 . 7 3 8 . 0 7 ) 1 3 2 1 5 4 1 0 . 8 2 1 2 1 2 4 1 0
X 3 X 2 3 ( 1 . 8 2 6 . 7 2 ) 1 1 2 9 1 4 2 1 0 . 6 2 1 2 1 1 4 8 0
• 式中Xi——质点i的振型位移幅值
• 结构的基本振型可以近似取 为当重力荷载水平作用于质 点上时的结构弹性曲线。
故体系的最大变形位能为：
Umax
1 2
n i1
migXi
Gn
mn
Xn
Gi
mi
Xi
G1
m1
X1
8 8
• 由式Tmax =Umax得:
1
2
n
2 1
miXi2
i1
12i n1migXi
20 20
• 由惯性力引起的层间相对位移
1 （ 5 5 5 2 .4 9 4 1 3 1 5 2 0 8 )5 1 2 3 8 6 .7 81 7 2 1 4 0 2 （ 59.5 0 2 9 3 14 5 )01 2 25 3.0 35 1 2 1 4 0
38.5 2 5 311 29506.79 1 22 10 4
• 则速度为：
x i( t) X i co t s ),( i 1 ,2 , ,n
• 动力学中动能公式为
T 1 m v2 2
• 任意时刻体系的动能为
T
1 2
n i1
mi
xi2
(t)
T1 22co2( st)i n1miXi2
7 7
• 则体系的最大动能为
1
Tmax2
n
2 mi Xi2
i1
X 3 X 2 3 ( 1 . 7 3 6 . 7 ) g 8 9 1 4 m 2 0 1 . 4 g 4 1 9 4 m 5 0
17 17
• 结构基本频率
1
n
g m i X i
i1
n
m
i
X
2 i
i1
g (25 16 .3 0 1 2 3 45 14 .7 3 5 5 8 5 1.9 4 4 )g 9 5 1 40
• 则得自振频率计算公式：
n
m i gX i
2 1
i1 n
m
i
X
2 i
i1
n
g m i X i
或
1
i1 n
m
i
X
2 i
i1
9 9
3. 基本周期
• 结构的基本周期为：
T1
2 1
2
n
mi
X
2 i
i 1
ng mi X i来自i 1nGiX
2 i
2
i 1 n
Gi X i
i 1
10 10
4. 讨论
• 当体系在振动中位移达到最大时，变形位能最大Umax， 而动能为零；
• 在经过静平衡位置时，动能最大Tmax，而变形位能为零。 • 故根据能量守恒原理得：
Tm axUm ax
6 6
2. 能量法公式推导
• 设在自由振动时，质点的位移为：
x i( t) X isitn )( ,i 1 ,2 , ,n
(25 16 .3 0 2 1 3 4 25 14 .7 3 2 5 5 8 5 1.9 4 42 )9 5 g ( 1 4 ) 0 2
8.89rads
18 18
• 相应的基本振型
X X11211130..847303g104
0.717 0.953
X13 14.549
1.000
19 19
• 为了提高精度，进行修正。
14 14
[解]
• 结构在重力荷 载Gi水平作用 下的弹性曲线 如图。
G3
X3
G2
X2
G1
X1
3
2
1
15 15
• 层间相对位移
1
G1
G2 k1
G3
(m1 m2 m3)g k1
(5 5 29 5 2 45 )g 5 6 11 .3 0g 3 4 1 4 0 m 5 .4 1 350
2
G2G3 (m2m3)g
k2
k2
(29 .0 5 2 3 4 15 5 5 0 )g6 31 .3 4g 7 1 4 0 m
3
G3 k3
m3g k3
8.2 2 5 31g6 50 16.79g 210 4m
16 16
• 各层水平位移
X 1 1 1.0 3g 4 3 1 4 0 m
X 2 X 1 2 ( 1 . 3 0 3 . 3 3 ) g 4 4 1 7 4 m 0 1 . 7 g 3 1 0 4 m 8 0
§3.6 求自振频率及自振周期 的近似方法
1 1
能量法（Rayleigh法） 折算质量法 顶点位移法 矩阵迭代法（stodola法）
2 2
求自振频率及自振周期的基本方法
单自由度体系
自振频率： k
m
自振周期 T： 2
3 3
多自由度体系
频率方 [K ] 程 2[m ]： 0或
2[][m][I] 0
• 根据已求得的频率计算各质点的惯性力
I11 2 m 1 X 1 125 0 .7 61 1 1 2 1 78 1 236
I21 2 m 2 X 1 225 0 .9 45 1 5 2 2 34 1 225
I31 2 m 3 X 1 35 5 1 .0 90 1 2 5 05 1 2 9
振型向 ([K ]量 2 j[m ] 方 )X j 程 0或 ：
(2 j[][m ] [I])X j 0
j1,2, ,n
4 4
能量法（Rayleigh法）
• 若要求的是基本频率，则采可用能量法 （或称Reyleigh法）。
5 5
1. 能量守恒原理
• 根据能量守恒原理： 无阻尼弹性体系自由振动时，任一时刻的动能与变形 位能之和保持不变。
• 因采用了近似的振型曲线，故基本频率也是近似的。 若要提高计算的精度，应提高振型的精度。可采用迭
代法进行修正。方法如下。
11 11
5. 计算修正
• 按已求得的频率12 ，计算出各质点相应的惯性力 mi12Xi 。
按此惯性力计算结构的位移曲线（即为新的振型 Xi ）
再以新振型 Xi去计算新的频率 12 。