抗震设计第三章d1PPT课件
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• 则速度为：
x i( t) X i co t s ),( i 1 ,2 , ,n
• 动力学中动能公式为
T 1 m v2 2
• 任意时刻体系的动能为
T
1 2
n i1
mi
xi2
(t)
T1 22co2( st)i n1miXi2
7 7
• 则体系的最大动能为
1
Tmax2
n
2 mi Xi2
i1
(25 16 .3 0 2 1 3 4 25 14 .7 3 2 5 5 8 5 1.9 4 42 )9 5 g ( 1 4 ) 0 2
8.89rads
18 18
• 相应的基本振型
X X11211130..847303g104
0.717 0.953
X13 14.549
1.000
19 19
• 为了提高精度，进行修正。
§3.6 求自振频率及自振周期 的近似方法
1 1
能量法（Rayleigh法） 折算质量法 顶点位移法 矩阵迭代法（stodola法）
2 2
求自振频率及自振周期的基本方法
单自由度体系
自振频率： k
m
自振周期 T： 2
3 3
多自由度体系
频率方 [K ] 程 2[m ]： 0或
2[][m][I] 0
• 根据已求得的频率计算各质点的惯性力
I11 2 m 1 X 1 125 0 .7 61 1 1 2 1 78 1 236
I21 2 m 2 X 1 225 0 .9 45 1 5 2 2 34 1 225
I31 2 m 3 X 1 35 5 1 .0 90 1 2 5 05 1 2 9
如此迭代直至达到需要的精度为止。
12 12
6. 能量法算例
[例] 某三层框架结构图，
假定横梁的刚度为无 限大。各参数如图示。 用矩阵迭代法求结构 的频率和振型。
m3 k3
m2 k2
m1
k1
13 13
已知质量为 • 层间刚度为
m1 256t1 m2 254t5 m3 559t
k15.4 3150 kN m k29.0 3150 kN m k38.2 3150kN m
X 3 X 2 3 ( 1 . 7 3 6 . 7 ) g 8 9 1 4 m 2 0 1 . 4 g 4 1 9 4 m 5 0
17 17
• 结构基本频率
1
n
g m i X i
i1
n
m
i
X
2 i
i1
g (25 16 .3 0 1 2 3 45 14 .7 3 5 5 8 5 1.9 4 4 )g 9 5 1 40
21 21
• 各层位移为
X 1 18.7 87 1 2 1 4 0
X 2 X 1 2 ( 8 . 7 3 8 . 0 7 ) 1 3 2 1 5 4 1 0 . 8 2 1 2 1 2 4 1 0
X 3 X 2 3 ( 1 . 8 2 6 . 7 2 ) 1 1 2 9 1 4 2 1 0 . 6 2 1 2 1 1 4 8 0
• 则得自振频率计算公式：
n
m i gX i
2 1
i1 n
m
i
X
2 i
i1
n
g m i X i
或
1
i1 n
m
i
X
2 i
i1
9 9
3. 基本周期
• 结构的基本周期为：
T1
2 1
2
n
mi
X
2 i
i 1
n
g mi X i
i 1
n
Gi
X
2 i
2
i 1 n
Gi X i
i 1
10 10
4. 讨论
振型向 ([K ]量 2 j[m ] 方 )X j 程 0或 ：
(2 j[][m ] [I])X j 0
j1,2, ,n
4 4
能量法（Rayleigh法）
• 若要求的是基本频率，则采可用能量法 （或称Reyleigh法）。
5 5
1. 能量守恒原理
• 根据能量守恒原理： 无阻尼弹性体系自由振动时，任一时刻的动能与变形 位能之和保持不变。
20 20
• 由惯性力引起的层间相对位移
1 （ 5 5 5 2 .4 9 4 1 3 1 5 2 0 8 )5 1 2 3 8 6 .7 81 7 2 1 4 0 2 （ 59.5 0 2 9 3 14 5 )01 2 25 3.0 35 1 2 1 4 0
38.5 2 5 311 29506.79 1 22 10 4
k2
k2
(29 .0 5 2 3 4 15 5 5 0 )g6 31 .3 4g 7 1 4 0 m
3
G3 k3
m3g k3
8.2 2 5 31g6 50 16.79g 210 4m
16 16
• 各层水平位移
X 1 1 1.0 3g 4 3 1 4 0 m
X 2 X 1 2 ( 1 . 3 0 3 . 3 3 ) g 4 4 1 7 4 m 0 1 . 7 g 3 1 0 4 m 8 0
14 14
[解]
• 结构在重力荷 载Gi水平作用 下的弹性曲线 如图。
G3
X3
G2
X2
G1
X1Leabharlann Baidu
3
2
1
15 15
• 层间相对位移
1
G1
G2 k1
G3
(m1 m2 m3)g k1
(5 5 29 5 2 45 )g 5 6 11 .3 0g 3 4 1 4 0 m 5 .4 1 350
2
G2G3 (m2m3)g
• 因采用了近似的振型曲线，故基本频率也是近似的。 若要提高计算的精度，应提高振型的精度。可采用迭
代法进行修正。方法如下。
11 11
5. 计算修正
• 按已求得的频率12 ，计算出各质点相应的惯性力 mi12Xi 。
按此惯性力计算结构的位移曲线（即为新的振型 Xi ）
再以新振型 Xi去计算新的频率 12 。
• 式中Xi——质点i的振型位移幅值
• 结构的基本振型可以近似取 为当重力荷载水平作用于质 点上时的结构弹性曲线。
故体系的最大变形位能为：
Umax
1 2
n i1
migXi
Gn
mn
Xn
Gi
mi
Xi
G1
m1
X1
8 8
• 由式Tmax =Umax得:
1
2
n
2 1
miXi2
i1
12i n1migXi
• 当体系在振动中位移达到最大时，变形位能最大Umax， 而动能为零；
• 在经过静平衡位置时，动能最大Tmax，而变形位能为零。 • 故根据能量守恒原理得：
Tm axUm ax
6 6
2. 能量法公式推导
• 设在自由振动时，质点的位移为：
x i( t) X isitn )( ,i 1 ,2 , ,n
x i( t) X i co t s ),( i 1 ,2 , ,n
• 动力学中动能公式为
T 1 m v2 2
• 任意时刻体系的动能为
T
1 2
n i1
mi
xi2
(t)
T1 22co2( st)i n1miXi2
7 7
• 则体系的最大动能为
1
Tmax2
n
2 mi Xi2
i1
(25 16 .3 0 2 1 3 4 25 14 .7 3 2 5 5 8 5 1.9 4 42 )9 5 g ( 1 4 ) 0 2
8.89rads
18 18
• 相应的基本振型
X X11211130..847303g104
0.717 0.953
X13 14.549
1.000
19 19
• 为了提高精度，进行修正。
§3.6 求自振频率及自振周期 的近似方法
1 1
能量法（Rayleigh法） 折算质量法 顶点位移法 矩阵迭代法（stodola法）
2 2
求自振频率及自振周期的基本方法
单自由度体系
自振频率： k
m
自振周期 T： 2
3 3
多自由度体系
频率方 [K ] 程 2[m ]： 0或
2[][m][I] 0
• 根据已求得的频率计算各质点的惯性力
I11 2 m 1 X 1 125 0 .7 61 1 1 2 1 78 1 236
I21 2 m 2 X 1 225 0 .9 45 1 5 2 2 34 1 225
I31 2 m 3 X 1 35 5 1 .0 90 1 2 5 05 1 2 9
如此迭代直至达到需要的精度为止。
12 12
6. 能量法算例
[例] 某三层框架结构图，
假定横梁的刚度为无 限大。各参数如图示。 用矩阵迭代法求结构 的频率和振型。
m3 k3
m2 k2
m1
k1
13 13
已知质量为 • 层间刚度为
m1 256t1 m2 254t5 m3 559t
k15.4 3150 kN m k29.0 3150 kN m k38.2 3150kN m
X 3 X 2 3 ( 1 . 7 3 6 . 7 ) g 8 9 1 4 m 2 0 1 . 4 g 4 1 9 4 m 5 0
17 17
• 结构基本频率
1
n
g m i X i
i1
n
m
i
X
2 i
i1
g (25 16 .3 0 1 2 3 45 14 .7 3 5 5 8 5 1.9 4 4 )g 9 5 1 40
21 21
• 各层位移为
X 1 18.7 87 1 2 1 4 0
X 2 X 1 2 ( 8 . 7 3 8 . 0 7 ) 1 3 2 1 5 4 1 0 . 8 2 1 2 1 2 4 1 0
X 3 X 2 3 ( 1 . 8 2 6 . 7 2 ) 1 1 2 9 1 4 2 1 0 . 6 2 1 2 1 1 4 8 0
• 则得自振频率计算公式：
n
m i gX i
2 1
i1 n
m
i
X
2 i
i1
n
g m i X i
或
1
i1 n
m
i
X
2 i
i1
9 9
3. 基本周期
• 结构的基本周期为：
T1
2 1
2
n
mi
X
2 i
i 1
n
g mi X i
i 1
n
Gi
X
2 i
2
i 1 n
Gi X i
i 1
10 10
4. 讨论
振型向 ([K ]量 2 j[m ] 方 )X j 程 0或 ：
(2 j[][m ] [I])X j 0
j1,2, ,n
4 4
能量法（Rayleigh法）
• 若要求的是基本频率，则采可用能量法 （或称Reyleigh法）。
5 5
1. 能量守恒原理
• 根据能量守恒原理： 无阻尼弹性体系自由振动时，任一时刻的动能与变形 位能之和保持不变。
20 20
• 由惯性力引起的层间相对位移
1 （ 5 5 5 2 .4 9 4 1 3 1 5 2 0 8 )5 1 2 3 8 6 .7 81 7 2 1 4 0 2 （ 59.5 0 2 9 3 14 5 )01 2 25 3.0 35 1 2 1 4 0
38.5 2 5 311 29506.79 1 22 10 4
k2
k2
(29 .0 5 2 3 4 15 5 5 0 )g6 31 .3 4g 7 1 4 0 m
3
G3 k3
m3g k3
8.2 2 5 31g6 50 16.79g 210 4m
16 16
• 各层水平位移
X 1 1 1.0 3g 4 3 1 4 0 m
X 2 X 1 2 ( 1 . 3 0 3 . 3 3 ) g 4 4 1 7 4 m 0 1 . 7 g 3 1 0 4 m 8 0
14 14
[解]
• 结构在重力荷 载Gi水平作用 下的弹性曲线 如图。
G3
X3
G2
X2
G1
X1Leabharlann Baidu
3
2
1
15 15
• 层间相对位移
1
G1
G2 k1
G3
(m1 m2 m3)g k1
(5 5 29 5 2 45 )g 5 6 11 .3 0g 3 4 1 4 0 m 5 .4 1 350
2
G2G3 (m2m3)g
• 因采用了近似的振型曲线，故基本频率也是近似的。 若要提高计算的精度，应提高振型的精度。可采用迭
代法进行修正。方法如下。
11 11
5. 计算修正
• 按已求得的频率12 ，计算出各质点相应的惯性力 mi12Xi 。
按此惯性力计算结构的位移曲线（即为新的振型 Xi ）
再以新振型 Xi去计算新的频率 12 。
• 式中Xi——质点i的振型位移幅值
• 结构的基本振型可以近似取 为当重力荷载水平作用于质 点上时的结构弹性曲线。
故体系的最大变形位能为：
Umax
1 2
n i1
migXi
Gn
mn
Xn
Gi
mi
Xi
G1
m1
X1
8 8
• 由式Tmax =Umax得:
1
2
n
2 1
miXi2
i1
12i n1migXi
• 当体系在振动中位移达到最大时，变形位能最大Umax， 而动能为零；
• 在经过静平衡位置时，动能最大Tmax，而变形位能为零。 • 故根据能量守恒原理得：
Tm axUm ax
6 6
2. 能量法公式推导
• 设在自由振动时，质点的位移为：
x i( t) X isitn )( ,i 1 ,2 , ,n