分段函数分段点处可导性的讨论
分段函数分段点处可导性的讨论
函数 性态 的重要 工具 ， 因此 分 段 函数分 段 点处 的连 续性 与 可导性 问
题是 高 等 数 学 教学 中一重 点 ， 同 时也 是 难 点 ， 讨 论 分 段 函数 分 段点 处的 连续 性与 可导性 的题 目也 是 各级 各 类考 试 中的常 见题 型 。
正解：
：
一
三
’ ．
的 比值 当自变 量 增量 趋 于零 时 的 极 限 ， 知一 点处 的 导 数 指 的是 函数
在该 点处 的变 化 率 问题 ， 不是孤立的， 与附 近 的 函数 关 系 有 关 。 分
・ ．
． １ ｉ 厂（ ｘ ） ＝ ｘ ＝ｌ ，ｌ ｉ
ｘ － － ＊ ｌ
一
一
－ ＋ ｒ
．
所以函数 ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ＝１ 处不连续 ， 因此函数 ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ：１ 处不
是 就 需 求 导 数 定义 式 的 左、 右极限， 即左 、 右导 数 。 由于左 、 右导 数 可导， 即厂 （ １ ） 不存在。 （ ２ ） 当分 段 点 左 右 两 侧 的 表 达 式 相 同时 可 不 分左 、 右 导 数 来 存在 且相 等 是 导 数 存在 的 充分 必要 条 件 ， 因此 若 左 、 右导 数 存 在 且 相等 则函数 在分 段 点 处可导 ， 若 左、 右导 数 至少 一 个不 存在 ， 则函数 求 ， 只需 判 别导 数 的 定义 式 的 下 面我 们结 合 一 些 例 子来讨 论 分 段 函数 分 段点
ｒ
．
’
处的 导数 的计 算方 法 。
例２ 设厂 （ ） ：
．
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｐｉ ｅ ｃ ｅ ｗｉ ｓ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｓ ｏ ｎ ｅ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｍｏ ｓ ｔ ｉ ｍｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｎ ｔ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｈ ｉ ｇ ｈ ｅ ｒ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ． Ｔｈ ｉ ｓ ｐ ａ ｐ ｅ ｒ ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｄ ｅ ｒ ｉ ｖ ａ ｔ ｅ ｏ ｆ ｐ ｉ ｅ ｃ ｅ ｗｉ ｓ ｅ
分段函数在分段点处的连续性与可导性的探讨
． ．
【 考文献 】 参
［ ］同 济 大 学 应 用 数 学 系． 等 数 学 （ 册 ） Ｍ ］ 北 １ 高 上 ［ ．
京 ： 等 教 育 出版 社 ，０ ６ 高 ２０ ．
（ ０）＝ （ 厂． ０）＝１ ． 函数
‘
． ．
分析
错 解 产 生 的 根 本 原 因 是 对 导 函 数 的定 义 理 解 不
［ ］赵 邦杰 ， 瑞 海 ． 分 段 函 数 在 分 段 点 的 极 限 、 ２ 郭 对 连 续 、 导 性 的研 究 ［ ］ 西 南 民 族 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ） 可 Ｊ． ，
２ ０ （ ９ ４：０ ０ ３ ２ ） ４ ２—４ ５ ０．
透 彻 ， 函数 左 、 导 数 同 函 数 左 、 极 限 混 为 一 谈 ． 实 将 右 右 事
判 定 函数 在 分 段 点 导 数 是 否 存 在 的 方 法 ， 得 出 一 般 性 并
结论．
二 、 果 函数 在 给 定 点 连 续 。 ０ 该 点 处 的 可 导 性 需 要 如 贝在 进 一 步 讨 论
＞。’
【 键 词 】 段 函数 ； 续 ； 导 关 分 连 可
函 数 的 可 导性 与 连 续 性 之 间 的关 系 ， 高 等 数 学 中 必 是 须 掌 握 的 知 识 点 ， 入 理 解 二 者 之 间 的 关 系 ， 学 习 高 等 数 深 对
定 义 ， 点 的 左 、 极 限存 在 又 相 等 ， 极 限 等 于 函 数 在 该 该 右 且
点 的 函数 值 （（ ）： （ ）＝ （ ） ； 数 ｆ ） 点 ＝０ ｆ ０一 ， ０ ，０ ）函 （ 在 处 可 导 ， 求 函 数 在 点 ＝０ 处 的 左 、 导 数 存 在 且 相 等 要 右
分段函数在分段点可导性的判别法
例２ 设， （ ） ＝｛ Ｉ
时出错 ， 尤 其是在分段函数在分界 点处不可 导 ， 但 在 分 界 点
处左导数 、 右 导 数存 在 性 的 讨 论 问题 中 更 容 易 出 错 ． 通 过 多 年的教学 ， 总结 以 下 的 简 单 判 别 法 ， 这 种 方 法 可 以 简 化 计 算 过程 ， 学 生 比较 容 易 接 受 ．
＊ 鞯 穗
解 题 技 巧 与方 法
蒜 前茹 每 乎 薅 赫 卿 卿 睁
。
● 。 ＿ － Ｉ ≥
豢
分艨 苏 恭 分艨 萎 导幞 判 ｌ 别 浚
◎ 汪 爱 红 （ 甘 肃 民族 师 范 学 院数 学 系， 甘肃合作 ７ ４ ７ ０ ０ ０ ）
ｂ ．１ ｉ ｍ ｈ （ ） ≠ ｌ ｉ ｍ ｇ （ ） ， 则， （ ） 在 。 不 可导 （ ２ ） 当 ｌ ｉ ａ ｒ ｈ （ ） ，ｌ ｉ ｍ ｇ （ ） 中至少 有一个 不存在 ， 用 导 数定 义 来 判 断 ．
二、 应 用 举 例
别 函数 在 分 界 点 处 的连 续 性 ， 否 则 容 易 出错 ．
【 参 考文献】
（ １ ） 赵 华 文． 可导性 判定 的新定理． 济源 职业技 术学 院
学， ２ ０ １ ４ ， １ ３ （ ３ ） ．
设 厂（ ）： ， 则 ， （ ） 在 点 ：１
ｒ １＋ ‘ ＜１ ≥１
、
判 别 方 法
１ ． 若， （ ） 在 。不 连 续 ， 则ｆ （ ） 在 ‰ 不 可导． （ 连 续 是
例 ３ 设， （ ） ＝ ｛ １
解 显 然 函数
３ ｘ一１
， 求厂（ １ ） ．
分段函数在分段点处几个问题讨论
分段函数在分段点处几个问题讨论作者：邹小云来源：《时代经贸》2011年第22期【摘要】分段函数是函数问题中的难点，本文对分段函数在分段点处的连续性、可导性、不定积分及定积分等问题作了一些方法的探讨。
【关键词】分段函数；导数；不定积分；定积分分段函数在经济应用数学中是一种常见的函数，往往有很多实际问题可以用分段函数来表达，而在问题的分析过程中常常用到分段函数在分段点的连续性与可导性，这些正是学生感到头疼的问题，本文对分段函数在分段点的一些问题做了些讨论，给出一些新的方法并加以论证。
一、分段函数在分段点的连续性根据函数在一点连续的定义，即函数在点的领域内有定义，如果，则称在点连续。
因此对于分段函数判断在分段点的连续性必须三步完成：①判断分段点处是否有定义：②判断在分段点处的极限是否存在：③判断极限是否等于该点函数值。
例1：讨论分段函数：在处的连续性。
解：，而：因此，所以函数在处的连续性。
例2：设函数：试研究在处的连续性。
解：所以在处不连续。
而当时分段函数在某一区间内一点时，则在处的连续性问题成为初等函数的连续性问题，即由初等函数在其定义区间内都是连续的知在处连续。
二、分段函数在分段点的可导性任何一本高等数学教材在给出了定义之后，都给出了可导的必要条件，即“可导必连续，但连续不一定可导。
”这一条件的另一说法是：在一点不连续一定在该点不可导。
因此，对于分段函数，讨论它在分段点处的可导性一般分为两步：1.若在点不连续，则它在点一定不可导；例如：讨论是否存在。
因为；而，，所以函数在在不连续。
故可知不存在。
2.若在点连续，且在点的左、右导数都存在且相等，则在点可导。
对于这种情形左、右导数用定义一般可计算。
设，求。
解：由于=1，所以=1。
其实对于第二步中，若函数满足一定的条件，可不必用定义去计算，对此介绍如下事实。
定理：设函数在连续，且在区间可导，若存在，则存在，且。
证明：任取一点，由于在连续，在区间内可导，所以在上连续，在内可导，由微分中值定理，存在，使得：从而有：由题设知存在，所以右导数存在，且。
关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨
关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨分段函数是函数的一种特殊形式，其定义域可以分为多个不相交的区间，每个区间内有不同的表达式来描述函数的值。
在分界点处，存在着连续性和可导性的问题，我们将以数学的角度进行探讨。
在本文中，我们将主要关注一维实数情况下的分段函数。
首先，让我们来定义一个一般的分段函数，假设有一个定义在实数集上的函数f(x)，它在定义域内划分为n个区间I1, I2, ..., In，每个区间内有一个表达式来描述函数的值，即f(x) = f1(x) 在 I1，f(x) =f2(x) 在 I2，...，f(x) = fn(x) 在In。
对于一个分段函数来说，最基本的性质是函数在分界点处的连续性。
若函数在分界点处连续，则称该函数是一个连续的分段函数。
为了研究函数在分界点处的连续性，我们需要探讨两个重要的概念：左极限和右极限。
对于一个分界点c，左极限记作lim┬(x→c⁻) f(x)，表示当 x 从左侧接近 c 时，f(x) 的极限值；右极限记作lim┬(x→c⁺)f(x)，表示当 x 从右侧接近 c 时，f(x) 的极限值。
对于一个分段函数来说，若函数在分界点c处连续，即左极限等于右极限，并且函数值等于极限值，即lim┬(x→c⁻) f(x) = lim┬(x→c⁺)f(x) = f(c)，则我们可以通过函数的定义来求得连续部分的函数值。
然而，对于一个分段函数来说，存在着函数在分界点处不连续的情况。
第一种情况是函数在分界点c处是跳跃不连续的，即左极限和右极限存在，但不相等，此时函数在c处不连续。
例如，考虑函数f(x) = ，x，在x=0处分界，f(0) = 0，lim┬(x→0⁻) ，x， = -x = 0，lim┬(x→0⁺) ，x， = x = 0，左极限和右极限相等，所以f(x)在x=0处连续。
第二种情况是函数在分界点c处是间断不连续的，即左极限和右极限至少有一个不存在，此时函数在c处不连续。
分段函数分段点处可导性的讨论
分段函数分段点处可导性的讨论作者：时文俊来源：《科技创新导报》2013年第15期摘要：分段函数是高等数学中一种重要的函数，该文讨论了分段函数分段点处的可导性，并给出了求分段函数分段点处导数的几种方法。
关键词：分段函数分段点可导中图分类号：O172. 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（C）-0168-02函数是高等数学的研究对象，分段函数也不例外。
分段函数一般而言不是初等函数，但在教学过程中经常涉及到。
而导数是研究函数性态的重要工具，因此分段函数分段点处的连续性与可导性问题是高等数学教学中一重点，同时也是难点，讨论分段函数分段点处的连续性与可导性的题目也是各级各类考试中的常见题型。
1 分段函数分段点处的可导性根据函数在一点处的导数的定义——函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零时的极限，知一点处的导数指的是函数在该点处的变化率问题，不是孤立的，与附近的函数关系有关。
分段函数是在自变量的不同取值范围内函数的表达式不同，因此在分段函数分段点的两侧函数表达式不同，这时要考虑分段点处的导数是就需求导数定义式的左、右极限，即左、右导数。
由于左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，因此若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导，若左、右导数至少一个不存在，则函数在分段点处不可导。
下面我们结合一些例子来讨论分段函数分段点处的导数的计算方法。
2 分段函数分段点处的导数计算2.1 用定义求分段函数分段点处的导数例1[1]设函数，求错解1：当时，，故错解2：当时，，故分析：出现上述两种错解的原因是学生没有理解导数概念的本质含义。
导数是运动的、变化的、相互联系的量，不是孤立的，不只与一点处的函数值有关，因此解法一错。
函数在一点处的导数，反映了函数相对于自变量的变化率，这个变化率是由函数与自变量的依赖关系（对应法则）决定的。
对于初等函数，这种依赖关系是一个数学式子给出的，所以求导数可按照初等函数的求导公式和求导法则来求，而分段函数的分段点处附近表示函数与自变量依赖关系得数学式子不是一个，不能应用导数公式、法则来求分段点处的导数，应考虑该点左右两侧的情况，因此要用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分段点处的导数是否存在。
关于分段函数的求导问题
厂（） ｌ ． ２ ０ ：ｉ ｍ
：ｌ — ｎ￣ ｉ ｘｓ ｍ ｚｉ＿ ＿
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ｌｍ ｓｎ ｉ ｉ
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３ 左 、 导数 （ 、 （ｏ与厂（） ． 右 ‰） ２） ； 的左 、 右极 限并 不 是 一 回事 ， 般 来 说 ， 厂（） Ｘ 处 左 连 续 时 有 ｆ ） 一 当＿ 在 Ｏ －（ｏ ＝ ｌ ｉ ， ｍｆ（ ） 当，（ 在 粕处右连续时有 （ ：ｌ 厂（ ． ） ‰） ｉ ） ａ ｒ
＃ 姆 穆
专 题
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矛努 函数蚴露导 雹
◎ 张新 燕 （ 吉林 广播 电视 大 学 长 春 １０ ２ ） ３０ ２
【 要 】 分 段 函数 ， 们 常 见 的一 类 问题 是 讨 论 它在 摘 对 我
分 界 点 的可 导 性 ． 常 规 的做 法 ， 段 函数 在 分 界 点 处 的导 按 分
例１ 函 ） ， ０ ．ｏ 否 在 设 数 ｛ 问 （是 存 ？ ＞ 厂）
ｔ
解 法一
按 导 数 定 义 （ ） 厂 在 ＝０处 的 左 、 导 数 分 右
，
别 为 ．，０ ：ｌ ） ￣ Ｏ ：ｌ ：ｌ ：０ （ ） ｉ ｆ － ＬＡ ｉ ｍ ａｘ （ ｍ ｉ ｍ
ｒ
这表 明，（ ） ０ 存在 ， 且厂（ ） ． ０ ＝０ 但是 ， 当 ≠ ０时 ）
的导 函数 为
二 、 段 函 数 的 导 数 实例 分
厂）（ｉ ）２ｉ ｃ ． （＝２｝’ｘ 一ｓ ｎ ＝ 。 ｓ ｓ ｎ
显然 （ 在 ＝０处的极限不存 在 ， ） 而厂（ ） ０ 却存 在 ，
ｘ －Ｏ－ ＇ —
例 ， ： ．ｏ０ ＞， （ 否 在 ４（ ｛ ｏ 厂） 存 ？ 【 ≤ 问 ０ ） ｝ ｃ 是 ０
关于分段函数在分段点处导数的教学探讨
解 题 技 巧 与 方 法
鼯 ●
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数硅 裁 劈毂晌教孽
◎ 李杰 红 （ 津 科技 大 学理 学 院 天 ３０ １ ） ０ ０９
１
２ ．
在 高等 数 学 的 教 学 中 ， 导数 定 义 求 函 数 在 一 点 的 导 数 用 是 比较 抽 象 的 ， 是 教 学 中 的一 个 难 点． 于 分 段 函 数 在 分 也 对 段 点 的求 导 问题 ， 般 是 根 据 导 数 的定 义 ， 利 用 导 数 存 在 一 并
例 ）』ｓ÷ ０ ：０ 否 在 设 ： ｉ ，” ｆ ） 存 ． ３ Ｊ “ ≠， ， 是 ’ ’ ’ 问（
【 ＝０， ０，
解
数 学 学 习与 研 究
按导 数定义 ，
２ １ ００９
… …
１
￣ ｓｌ ｍ ｎ
＝ ｌｒ ｉ ａ
一
ｉ ｍ ＝ ｌｍ —— ｌ — — ｉ
—
： ｌ ｉ 不 ｉ ｓ ｍ ｎ上 ｎ
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一 — ｉ
０
ｒ ， ≤０， 乓Ｕ’
实 际 上 ｌ （ ） 示 ， （ 在 。点 的 左 极 限 ， ｉ ｆ 表 ｍ ） 而
例 １ 设 函数＿ ＝Ｉ ３ 厂 （ ） ２ Ｘ
解 法一 按 导数 定 义 ，
＿ ＿， ＞ ０ ， ＝
一 问：（ ） 否存在 ？ 厂 ０是
…
０ ：ｌ ） ｉ
：ｌ ￡ ： ｉ ｏ
＝
，
— — ０－ ＋ Ｕ ＋ｏ ０ ＇ 十 等
分段函数的可导性
分段函数的可导性要讨论一个分段函数的可导性，首先需要明确什么是分段函数。
分段函数是指定义在一些区间上的函数，其定义域可以分成几个不同的区间，每个区间上有不同的函数表达式。
对于分段函数的可导性，有以下几种情况需要考虑。
1.分段函数的定义域内不存在分段点：如果一个分段函数的定义域内不存在分段点，即所有的定义域区间都是连续的，那么我们只需要分别讨论每个区间上函数的可导性。
如果每个区间上的函数都是可导的，则整个定义域上的函数也是可导的。
2.分段函数的定义域内存在分段点：如果一个分段函数的定义域内存在分段点，即定义域区间不是连续的，那么我们需要考虑该分段点处的左极限和右极限是否存在，并且是否相等。
如果左极限和右极限都存在，并且相等，则该分段点处的函数是可导的。
3.分段函数的定义域内存在间断点：如果一个分段函数的定义域内存在间断点，即定义域区间不是连续的，并且该间断点是一种不可解决的间断点，比如跳跃间断点、震荡间断点等，那么该间断点处的函数是不可导的。
对于分段函数的求导，可以根据以上讨论的情况采取不同的方法。
1.对于连续的区间上的函数，使用普通的求导方法即可。
2.对于分段点处的函数，我们需要分别求取左极限和右极限的导数，并判断它们是否相等。
如果左极限和右极限的导数相等，则该分段点处的导数就是它们的共同值。
否则，该分段点处的函数不可导。
在求取分段函数的导数时，需要注意以下几点：1.分段函数的导数只在各个定义域区间内可导，而在分界点处可能不可导。
2.切记求极限时要分别对左右求取极限，不可混淆。
3.在求取导数时，要注意每个分段区间的表达式是什么，并注意区间的连续性和不连续性。
需要注意的是，上述讨论针对的是一般的分段函数。
特定类型的分段函数，比如绝对值函数、阶梯函数、取整函数等，可能有特殊的求导规则或特点，我们需要具体分析具体问题。
总结起来，分段函数的可导性需要根据分段点处的左极限和右极限是否存在、是否相等来判断。
分段函数分界点处的可导性问题
分段函数分界点处的可导性问题分段函数分界点处的可导性问题分段函数是一种在定义域上有一定的段落的函数，每个段落上的函数都是连续的，这个函数也可以称之为“分段连续函数”。
在分段函数中，分界点（也称之为终点）是一个重要的概念，它标识着每个段落的开始和结束。
分界点处的可导性问题是一个研究分段函数的重要方面，也是本文要讨论的话题。
一、分段函数的定义在数学中，分段函数是一种有限个连续函数组成的函数，它可以用一个参数来描述。
它的表达式可以写成f(x)=f1(x) if x∈[a,b]，f2(x) if x∈[b,c]...fn(x) if x∈[n-1, n]，其中f1(x),f2(x)...fn(x)分别是定义域上的连续函数。
分段函数的参数a，b，c...n-1，n称之为分界点，分界点是分段函数的终点，也是分段函数的“节点”；这些终点之间的函数表达式是相互连续的。
二、分段函数的性质1、分段函数的定义域是有限的，它的参数可以在有限的范围内取值，这也是分段函数的一个特点。
2、在分段函数中，每个段落上的函数都是连续的，但是分界点处的函数可能不连续，而且可能不存在导数。
3、分段函数的最大特点在于它可以将一个复杂的函数拆分成多个简单的函数，从而更容易研究和理解。
三、分段函数分界点处的可导性分段函数分界点处的可导性是指在分界点处，函数是否可以求导。
一般来说，分段函数在分界点处是不可导的。
这是因为在分界点处，函数的值发生了改变，函数变得不连续，从而不能求导。
因此，分段函数分界点处的可导性问题是一个值得深入研究的重要方面，它对于研究分段函数的性质有着重要的意义。
1、分段函数分界点处的函数值要研究分段函数分界点处的可导性，首先要考虑分界点处的函数值。
一般来说，分段函数在分界点处的值是不连续的，也就是说，函数的值在分界点处发生了改变，这也是分段函数分界点处不可导的一个原因。
2、分段函数分界点处的可导性分段函数分界点处的可导性是指在分界点处，函数是否可以求导。
分段函数分段点可导性的一个定理及应用
且 相 等 。 并 由此得 到 在 分段 点 导数 不存 在 的一 个充 分 条 件 以 及 三 种 特 例 分段 函数 分段 点 导 数 存 在 的 充 分 条
件 。举例说 明该定理 的应 用， 并指 出利用该定理求分段 函数分段 点导数 时的几点注意 ： 函数在该点连 续是可
导 的 必 要 条 件 ， 函数 在 该 点 左 、 导 右极 限存 在 且 相 等 是 充 分 条 件 。 关 键 词 ： 段 函数 ； 导性 ； 侧 极 限 分 可 单 中 图 分 类 号 ： ７ Ｏ １４ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ８—３９ （０ ８ ０ ０ ４ ０ １０ ６ ３ ２０ ）２— ０ ２— ３
ｉｔｎ ｅ ｏ ｉ ｃ ｗｉｅ ｄ ｒｖ ｔｖ ｆｔ ｒ ｅ ｓ ｅ ｉ ａ ｅ ｉ ｃ ｗｉｅｆ ｃｉ ｎ ａ ｅ ｏ ｔ ｉｅ ｅ ｅ ｓｅ ｃ ｆｐ ｅ ｅ ｓ ｅ ａｉ ｅｏ ｈ ｅ ｐ ｃ ａ ｃ ｓ ｓｐ ｅ ｅ ｓ ｕｎ ｔｏ ｒ ｂ ａ ｎ ｄ ｈ ｒ ．Ａｎ ｈ ｐ ｌｃ ｔ ｎ ｉ ｌ ｄ ｔ ｅ ａ ｐ ｉａ ｉ ｏ ｏ ｈｉ ｈｅ ｒ ｍ ｓｉ ｕｓｒ ｔｄ ｔ ｒ ｕ ｈ ｅ ａ ｌｓ ｆｔ ｓｔ ｏ ｅ ｉ ｌ ｔａｅ ｈ ｏ ｇ ｘ ｍｐ ｅ ．Ｍｅ ｎ ｉｅ，ｉｇｐ ｉ ｔｄ ｏ ｔｔ ａ ｔ ｎ ｉｎ ｓ ｏ ｌ ｅ ｐ ｉ ｏｔ ｅ ｌ ａ ｗｈ ｌ ｔ ｏ ｎ ｅ ｕ ｈ ｔａ ｔ ｔｏ ｈ ｕ ｄ ｂ ａｄ ｔ ｈ ｅ
分 段 函数的 定义域 一般被 分成 若干个 子 区间 ， 不 同的子 区间上 函数有不 同 的表达 式 ， 段 函数有 在 分 多种形 式 ， 对 每一个分 段点 而言 ， 以归结 为 以下 几种 形式 ： 但 可
＞ Ｘ０
浅析数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性
浅析数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性摘要：本文运用实例探究了数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性，从而丰富了数学分析中有关分段函数分界点的连续性与可导性的内容.关键字：分段函数;分界点;连续性;可导性1引言1.1本文背景由于分段函数的特殊性,它的研究不仅牵扯的知识面广、方法多变, 且综合性强，利用以前学过的函数的连续性和可导性的知识来进一步探讨分段函数分界点的连续性和可导性,相关内容参见文献[1-9].1.2本文主要内容及意义本文从7个方面探讨了分段函数分界点的连续性和可导性.2分段函数分界点的连续性问题2.1用函数连续性定义判别分段函数分界点的连续性定义1[1]设函数在某有定义，若，则称函数在点处连续.文献[1]给出函数在点处连续的三个条件：a. 函数在点处要有定义；b．极限存在；c. .例1讨论函数在处的连续性.分析此分段函数在分段点左右两边的函数表达式相同，因此其在左右两边的极限相等，所以其在的极限一定存在，然后再根据文献[1]给出的三个条件判断其的连续性.解 (1)函数的定义域为，故函数在有定义;(2) ;(3)，即 .因此在处同时满足定义中的三条，所以在处连续.2.2用函数单侧连续性判别分段函数分界点的连续性定义2[1]设函数在某内有定义，若，称函数点处左连续.定义3[1]设函数在某内有定义，若，称函数在点处右连续.定理1[1]在点处的连续的充要条件是在点处既要左连续又要右连续.即例 2 设函数试分别讨论在点与处的连续性.分析此分段函数在分界点和左右两边的函数表达式都不同，因此不能用定义1去求,此题可以用定理1求，只有证明分段函数分界点的左右连续且相等就可以证明此分段函数在分界点连续.解在处：由已知当时，为初等函数.又为函数定义区间上的点,则 .所以在处为左连续又因为，所以在处也右连续.由于在处既左连续又有连续，故在处连续.在处：同理可知，在处，为初等函数，又为函数定义区间上的点，且 .所以左连续,因，所以在处不右连续,由于在左连续但不右连续，故在不连续.3分段函数分界点的可导性问题3.1用导数定义判别分段函数分界点的可导性定义4[1]设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处可导，记作 .例3 设函数判断在的可导性.分析分界点两侧的函数表达式相同，因此用可导的定义去求.解在处连续，在处可导.3.2用函数单侧可导性判别分段函数分界点的可导性定义5[1]设函数在点的右邻域上有定义，若右极限存在，则称函数在处右可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定义6[1]设函数在点的左邻域上有定义，若左极限存在，则称函数在处左可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定理2[1]若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充要条件是与都存在，且 .例4 设函数求在处的可导性.分析此分段函数在分界点左右两侧的函数表达式不同，因此不能用导数的定义求，只能用左右导数相等的性质求.解，，即，在点处连续.，，，在点处可导例5 设函数 ,判别在与处的可导性分析函数看似不是分段函数，但去掉绝对值后函数其实是一个分段函数，要求分段函数在分界点的可导性首先要求其在分界点是否连续，若不连续则必不可导，若连续，再按可导的定义求导、判断.此分段函数在分段点的两侧的函数表达式不同，所以要用定义分别求出分段点的左右导数，再判断.解即,即左连续也右连续，在处连续，同理可证在处连续，根据可导的定义求得，，，在处可导同理可得，，在处不可导注这说明若分段函数在其分界点连续，并不一定在分界点可导.但如果分段函数在分段点可导则必连续.即连续是可导的必要条件，而非充要条件.3.3用可导与连续的关系判断分段函数分界点的可导性例6 设函数判断在处的可导性.分析分段函数分界点连续是可导的必要条件，要证明可导则首先要证明其在分界点上连续.解，因为在处不连续，所以一定不可导.但有些学生可能会犯这样的错当时，从而在处可导，且分析上述解法错在事先没有判断在的连续性.定理2 [5]若函数在点的某邻域有定义，且都存在，则在处一定连续.例7 设分段函数判断在处的可导性.分析要判断分段函数分界点的可导性，首先要判断其在分界点的连续性，因为此函数在分界点两侧的函数表达式不同，所以再用单侧可导性来判别函数的可导性.解在上连续，，在处不可导.注在定理中，仅要求左、右导数存在，并不要求一定相等，如例7中在分界点的左右导数存在，即使，也可以证明其连续.3.4用分段函数分界点的可导性确定待定参数例8 设函数若要为可导函数，应如何选择，？分析若在定义域为可导函数，说明在每点都可导，即在处也可导，由可导性与连续性关系得在处也连续，则可由在可导，且连续两个条件求出 , .解若为可导函数，则在定义域内处处可导，即其在处也可导，由可导与连续的关系，知在连续.则有故有即，又在可导，则因此当 , 时，存在，从而为可导函数.注上例很好的运用了可导一定连续的这一性质，但是其实只要左右导数都存在，就可以推出连续的性质.4小结本文主要阐述了如何判断分段函数在分界点的连续性和可导性.如可以用函数连续性的定义和函数单侧连续性来判别其分段函数的连续性.而要判断分段函数分界点的可导性则有多种方法，如可用函数导数定义、函数单侧可导性、函数可导与连续的关系和导数极限定理来判别分段函数分界点的可导性，并且一般用导数极限定理比用导数定义判别更加简单.参考文献[1]高尚华.数学分析上册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-91.[2]高尚华.数学分析下册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-110.[3]林远华.分段函数的连续性与可微性[J].河池师范高等专科学校学报,2000, 20(2):26-29.[4]王琦.分段函数分界点处的可导性问题[J].齐齐哈尔师范学院学报. 1996,16(4):18-20.[5]辛兴云.判断“分段点”可导性的一个简便方法[N].河北广播电视大学学报,2000,5(2):55-57.[6]胡晶.王可宪.1994.分段函数在分段点可导的一个充要条件[J].承德民族师专学报,1994,10(2):26-27.[7]李艳娟.高等代数中分段函数问题研究[J].辽宁教育学院学报,1997,14(5):59-62.[8]张红卫.浅析分段函数[J].山西广播电视大学学报,2000,1(3):60-61.[9] Patrick M.Fitzpatrick．Advanced Calculus：A course in Mathematical Analysis[M]．Beijing：China MachinePress，2003:113－140．9。
分段函数分段点处的导数的求法
ｘ ０ ） ＝ｌ ｉ ａ ｒ
—
ｆ（ ｘ ） －ｆ（ ｘ ｏ ） ｌ ｉ ｍ曼 二
—
—
于是有 （ ） ：ｇ ＇ （ ｘ ｏ ） ， （ Ｘ ｏ ） ＝ （ ‰） ，
’
：
ｘ
—
Ｘｏ
－ － － ￣ Ｘ ０ Ｘ — Ｘｏ
又ｇ ＇ （ ｘ ｏ ） ＝ （ ） ：Ａ ， 则 （ ｘ ｏ ） ＝ ｆ ＇ （ ｘ ｏ ） ＝Ａ ， 因此 ／ （ Ｘ ｏ ） 存在且
文 章编号 ： １ ０ ０ ９ — ９ ￣ ４ ｘ （ ２ ｏ １ ３ ） ｏ ３ — ０ ２ ３ ６ — ０ ２
＝
１ ． 引言
分段 函数 是指 在 自变量 的不 同取值 范 围内解析 式不 同 的函数 ， 常 见 的有
７ ｙ ￣－： 求导 函数在 分段 点处 的极 限值 。
办 一
（ Ｘ ≠ ０ ） ， 求ｆ （ ０ ） 。
解： 因为 ｌ ｉ ａ， ｒ （ ｘ ） ＝Ｏ ＝厂（ Ｏ ） ， 故ｌ 厂 （ ） 在ｘ＝０ 连续， 又
。
ｘ ） 一 ｃ ｏ ） ｌ ｉ ｍ曼 二
：
—
ＸＯ
－
－
￣ ． ｘ ｏ Ｘ — Ｘｏ
， （ ｘ ）
存在 测 ， （ ） ＝ ｌ ｉ ｍ ／ （ ） 一 ｆ （ ｘ ｏ ）
（ ３ ｘ
一 ｘ ｃ ｏ ） ～ ， 因此，ｒ （ ｏ ） ＝ ｏ 。
方法 二 按求 导法 则分 别求 分段 点处 的左右 导数 。
ｆ ｇ （ ） ，
ｌ （ ） ，
ｘ ｏ 一 ５ ＜ ＜ Ｘ ｏ
若上述极限存在且相等 ， 记为， ， 则ｆ （ Ｘ ｏ ） ＝， 。
关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨
关于分段函数在分界点的连续性和可导性的探讨分段函数在数学领域占据着重要的地位，有着广泛的应用。
分段函数表示在特定范围内决定不同函数的运行行为。
其中，分段函数的分界点非常重要，它们有着对每一段连续性和可导性的重要影响。
在本文中，我们将探讨分段函数中的分界点的连续性和可导性，以及它们在数学学科中的意义和应用。
首先，让我们先来看看什么是分段函数。
分段函数是把一个函数分割成若干子函数，每个子函数都是连续的。
也就是说，对每个连续的函数段，定义域上的值是由某一关系决定的。
和分段函数一起，分段函数定义域上总存在一个点，我们称之为分界点。
它是分段函数分割的两个连续函数段的分界点。
在每个独立的分段函数中，分界点的连续性和可导性是很重要的。
从概念上讲，连续性是指函数在分界点区域没有任何间断，即函数的值在此处以某种方式顺序连接起来。
另一方面，可导性意味着函数可以在连续点处取得极限，从而引出该函数的导数，确保函数满足连续性。
因此，连续性和可导性是分段函数中分界点的重要性质。
分段函数分界点的连续性和可导性在数学学科中有着非常重要的意义。
在微积分学中，它们被用来求解和分析复杂类型的函数，例如各种微分等。
除此之外，它们还可以用来解决经典的微积分问题，如定积分求积分等。
此外，分段函数的连续性和可导性还可以用来求解函数本身及其分段函数的极限问题等。
另外，连续性和可导性也可以用来解决分段函数及其分段函数的重要属性，例如无穷多性，等价性等。
从另一方面讲，连续性和可导性也可以用来研究函数定义域和值域上的特性，这对于解决函数极值问题非常有用。
总的来说，分段函数在分界点的连续性和可导性非常重要。
它们不仅可以帮助我们求解复杂的函数，更重要的是，它们还能帮助我们研究函数定义域和值域上的特性，从而解决函数极值问题。
因此，分段函数中的分界点的连续性和可导性是数学领域不可缺少的重要特性，并且在实际应用中也有着重要作用。
分段函数在分段点处的可导性研究
分段函数在分段点处的可导性研究分段函数是指定义域内分段不同的函数表达式的函数。
在分段点处，由于不同函数表达式的定义和性质可能存在差异，因此分段函数在分段点处的可导性是一个重要的研究课题。
首先，我们介绍一下可导性的定义。
在数学中，函数在其中一点可导意味着它在该点处的导数存在。
导数可以理解为函数在该点处的局部变化率，或者是函数图像在该点处的切线斜率。
如果函数在其中一点处的导数存在，那么该函数在该点处是可导的；反之，如果函数在其中一点处的导数不存在，那么该函数在该点处是不可导的。
接下来，我们研究分段函数在分段点处的可导性。
为了简化讨论，我们假设分段函数是一元函数，定义域是实数集。
对于分段函数f(x)，假设其定义域中存在一个分段点a。
一种可能的情况是，分段函数f(x)在点a的左右两侧都存在导数。
这种情况下，我们需要关注点a处的左导数和右导数。
左导数指的是当自变量趋向于分段点a时，函数的局部变化率的极限值；右导数则是指当自变量从a的右侧趋向于a时，函数的局部变化率的极限值。
如果左导数和右导数都存在，并且相等，那么分段函数在点a处是可导的。
然而，当左导数和右导数不相等时，分段函数在点a处是不可导的。
这是因为左导数和右导数分别对应了函数在a的左侧和右侧的局部变化率，如果两者不相等，则表示函数在点a处的左侧和右侧的变化趋势不一致，没有一个确定的切线可以用来描述该函数在点a处的局部性质。
在这种情况下，分段函数在点a处是不可导的。
除了上述情况，还存在一些特殊的分段函数。
例如，在分段点a处，如果左导数和右导数都存在，但是它们的值不同，那么分段函数在点a处是间断可导的。
间断可导的意思是存在左右导数，但是该点处没有一个确切的切线，因为左导数和右导数的差异导致函数图像在该点处出现了间断。
另一个特殊情况是，分段函数在分段点a处的左导数或右导数不存在，但是函数在点a处的局部切线斜率存在。
这种情况下，我们称分段函数在点a处是唯一可导的。
分段函数分界点处的可导性同题
分段函数分界点处的可导性同题分段函数是指在一定的实数区间内，用多个函数来表示的函数，其中每一段函数的定义域不超出其区间的边界，若分界点处的可导性为常数，则称其为常数连续函数，这种连续函数便可以用一次函数表示。
分段函数分界点处的可导性是数学中一个重要的概念，它表明某一函数是否可以在分界点处进行求导。
如果分界点处的函数可以求导，那么这个函数就称为可导函数；反之，如果不可以求导，则该函数称为不可导函数。
分段函数分界点处的可导性能够提示分段函数是否可以连续，也就是说，如果分界点处具有可导性，那么分段函数就可以成为一个连续函数。
因此，分段函数分界点处的可导性极为重要，是用以判断函数连续性的关键。
分段函数分界点处的可导性受到许多条件的影响，其中包括分界点处每段函数的可导性，分界点处函数的左右极限，以及分界点之间的连续性等等。
首先，若要求分段函数分界点处的可导性，那么必须首先考虑分界点处每段函数的可导性。
如果每段函数的可导性都满足要求，则可以认定分界点处的可导性为常数。
其次，分段函数分界点处的可导性也受分界点处函数的左右极限的影响。
如果分界点处函数的左右极限相同，则认为分界点处的可导性也为常数。
此外，分段函数分界点之间的连续性也是影响其可导性的一个重要因素。
如果分界点之间存在连续性，则可以认定分段函数分界点处的可导性为常数。
因此，分段函数分界点处的可导性是一个比较复杂的概念，受到许多因素的影响，而这也极大地影响了对函数的分析和研究。
最后，为了确定某个分段函数分界点处的可导性，可以采用微分法，即求解各段函数的可导性，以及分界点处函数的左右极限，以及分界点之间的连续性，从而确定函数的可导性。
有了以上探究的结果，就可以结合现有的理论，判断某分段函数分界点处的可导性，从而决定函数的连续性。
综上所述，分段函数分界点处的可导性是数学中一个重要的概念，它能够提示分段函数的连续性，而其判断又受到多种因素的影响，是比较复杂的概念。
分段函数在连续的分界点处可导性的另一种判定
这也就说明了讨论分段函数在连续的分界点是否可导 1 可以采取下述方法 / 具体步骤为 = 说明 ! 在% $ ’ $ ’ & 的邻域内连续 H % 除去分界点后分段求导 $ ’ I
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分段函数的可导性问题分析
作者： 胡国专
作者机构： 淮阴工学院数理学院,江苏淮安223003
出版物刊名： 牡丹江大学学报
页码： 127-128页
年卷期： 2011年 第12期
主题词： 分段函数 分段点 初等函数 连续性 可导性
摘要：本文对分段函数就分段点与非分段点两种情形探讨其可导性，重点讨论分段点的可导性，通过求相关初等函数导数的函数值或其极限的方法来简化分段函数可导性的判别与计算，用实例验证所用方法的便捷与高效。
并指出此方法的局限性与处理办法。
最后进一步给出有关分段函数可导性的几个实用的推论。
有关分段函数分析性质讨论
目录摘要………………………………………………………………………………………1 关键词 ……………………………………………………………………………………….……1 Abstract …………………………………………………………………………………………… 1 Key words ………………………………………………………………………………………… 1 引言……………………………………………………………………………………………… 1 1 分段函数的连续性…………………………………………………………………………… 2 1.1 用定义法判断函数在分界点处的连续性………………………………………………… 2 1.2 用定义的εδ-语言判断分段函数的连续性………………………………………… 3 2 分段函数在分界点处的可微性……………………………………………………………… 4 2.1 利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性……………………………………4 2.2 利用命题“函数()f x 在0x 可导00()()f x f x +-''⇔=”判断分段函数()f x 在分界点0x 处的可导性................................................................................................ 4 2.3 利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性....................................... 5 3 分段函数的可积性....................................................................................... 7 3.1 分段函数的不定积分与定积分..................................................................... 7 3.1.1 分段函数的不定积分................................................................................. 7 3.1.2 分段函数的定积分.................................................................................... 8 3.2 分段函数可积性的有关结论..................................................................... 9 3.3 典型分段函数的讨论................................................................................. 10 参考文献...................................................................................................... 12 致谢 (12)有关分段函数的分析性质的讨论摘要通过对分段函数连续性、可微性与可积性的讨论，不仅给出了判断分段函数是否连续、可微及可积的方法，而且讨论了几个典型且重要的分段函数（如：狄利克雷函数与黎曼函数）.通过讨论可得出分段函数在微积分中所具有的十分重要的作用:利用分段函数来判断有关命题的真假（举正、反例）.关键词分段函数分界点连续性间断点可微性可积性About the Discussion of the Analysis Features Of theSegments-divided FunctionAbstract In this paper,based on the segments-divided function continuity,differentiability and integrability discussion.Segments-divided function not only gives the boundary points are continuous,differentiable and integrable method,but discussed several typical and important segments-divided function(for example,Dirichlet function and Riemannfunction).Segments-divided function can be obtained through discussions in the calculus,which has the very important role. We can use the segments-divided function to determine whether the proposition is true or not(give positive and negative cases).Key words Segments-divided function Demarcation point continuity Discontinuities Differentiability Integrability.引言在《微积分》及《数学分析》中，讨论分段函数在分界点处的连续性、可微性及可积性是相当重要的知识点.分段函数，是指当自变量在不同的范围内取值时，对应法则不能用一个公式，而是用不同的式子来表示的函数，例如1sin,0()0,0.x xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，类似的分段函数在微积分理论中随处可见，并具有十分重要的作用，比如举正反例常用到分段函数，本文将对分段函数的连续性、可微性、可积性进行讨论.我们知道在讨论分段函数连续性时须利用连续的定义判断，这就告诉我们必须掌握好函数在分界点处的左、右极限，以及其与函数在分界点处的函数值、函数在分界点处连续之间的关系,即左、右极限相等并且等于函数在分界点处的函数值时才连续.在各种版本的教材中，虽然例题各不相同，但在讨论分段函数在分界点可微性时都可利用左、右导数的原始定义及有关可导的充要条件来判断.但必须注意函数在不连续的分界点处一定不可导，而对于连续的分界点，函数可能可导也可能不可导.对于求分段函数的不定积分和定积分时须掌握原函数定义()()()F x f x '=及其具有的连续性的性质；要掌握关于可积的有关重要结论，而且要特别注意分段函数在积分论中所体现的十分重要的作用.1 分段函数的连续性分段函数是以某些点（分界点）为界用不同的表达式来表示的函数，而在各分段区间上一般是初等函数，在其定义区间上连续，所以讨论分段函数的连续性实质上是讨论它在分界点处是否连续. 1.1 用定义法判断函数在分界点处的连续性先求()f x 在分界点0x 处的左右极限0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→，再与()f x 在此点的函数值0()f x 比较，若0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→相等并且等于0()f x ，则()f x 在点0x 连续，否则在点0x 间断.下面对间断点进行简单讨论.间断点分为第一类间断点及第二类间断点，其中第一类间断点又可分为可 去间断点和跳跃间断点.（1）可去间断点 若0lim x x → ()f x =A ，而()f x 在点0x 无定义，或有定义但0()f x A ≠,则称0x 为()f x 的可去间断点.例如，对于函数1,0,()sgn 0,0,x f x x x ≠⎧==⎨=⎩因为0lim ()10(0)x f x f →=≠=，所以0x =为()f x 的可去间断点.（2）跳跃间断点 若函数()f x 在点0x 的左右极限都存在，但lim ()x x f x -→≠0lim ()x x f x +→，则称点0x 为函数()f x 的跳跃间断点.例如，符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩因为0lim sgn 1x x +→=，0lim sgn 1x x -→=-，即0limsgn x x +→≠0lim sgn x x -→，所以0x =为sgn x 的跳跃间断点.（3） 第二类间断点 函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点称为第二类间断点.例如，狄利克雷函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数,为无理数,其定义域R 上每一点x 都是第二类间断点. 例[]11 讨论函数1,7,7(),71,1sin(1),11x x f x x x x x x ⎧-∞<<-⎪+⎪-≤≤⎨⎪⎪-<<+∞-⎩=的连续点、间断点及其类型.解 因为111lim ()lim sin(1)11x x f x x x ++→→=-=-，11lim ()lim 1x x f x x --→→==且(1)1f =，所以11lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +-→→===，所以1x =是()f x 的连续点. 因为771lim ()lim 7x x f x x --→-→-=+不存在，77lim ()lim 7x x f x x ++→-→-==-，所以7x =-为()f x 的间断点，为第二类间断点. 故()f x 在7x ≠-时处处连续. 1.2 用定义的εδ-语言判断函数的连续性εδ-语[]2言：若对任给的0ε>，0δ∃>，使得当0x x δ-<时有0()()f x f x ε-<，则称函数()f x 在点0x 连续. 例[]32 证明黎曼函数1,(,,)()0,0,1(0,1)p px p q qq q R x x +⎧=∈N ⎪=⎨⎪=⎩为既约真分数，和内的无理数在()0,1内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续. 证明 设ξ∈()0,1为无理数，0ε∀>（不妨设12ε<）满足1q ε≥的正整数q只有有限个（但至少有一个，比如2q =）使得()R x ε≥的有理数x ()0,1∈只有有限个（至少有一个，如12），并设为1x ，2x ，……，n x 取12min(,,...,,,1)n x x x δξξξξξ=----，则对x ∀∈()();0,1U ξδ⊂，当x 为有理数时有()R x ε<，当x 为无理数时()0R x =.于是，对x ∀∈();U ξδ，总有()()()0()()R x R R x R x R x ξε-=-==<，由ξ的任意性知()R x 在任一无理点ξ处都连续.设p q 为()0,1内任一有理数，取012q ε=，对0δ∀>（无论多么小），在(;)p U qδ内总可取到无理数()0,1x ∈，使得011()()0p R x R q q q ε-=-=>,所以()R x 在任何有理点处都不连续.2 分段函数在分界点处的可微性分段函数在分界点处的可微性只需判断分段函数在分界点处是否可导即可.2.1 利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性利用导数定义判断分段函数()f x 在分界点0x 处可导性是一种基本方法，直接考虑极限000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆的存在性即可.例[]43 讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处的可导性. 解 因为0lim ()0(0)x f x f →==，所以()f x 在0x =连续.因为0limx ∆→2001()sin(0)(0)1lim lim sin 0x x x f x f x x xx x∆→∆→∆-+∆-∆==∆=∆∆∆，所以()f x 在0x =可导且(0)0f '=.2.2 利用命题“函数()f x 在0x 可导00()()f x f x -+''⇔=”判断分段函数()f x 在分界点0x 处的可导性利用此方法判断分段函数()f x 在分界点0x 处的可微性要分别讨论()f x 在0x 处的左、右导数，根据导数与单侧导数的关系研究其可导性.例[]14 讨论函数1cos ,0,(),0x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩在0x =处的可导性.解 因为0lim ()0,lim ()0,(0)0x x f x f x f +-→→===， 所以0lim ()0x f x →==(0)f ，即()f x 在0x =连续.因为(0)(0)f x f x +∆-∆=1cos ,0,1,0,xx x x -∆⎧∆>⎪∆⎨⎪∆<⎩所以001cos sin (0)lim ()lim 01x x x xf x +++∆→∆→-∆∆'===∆满足洛必达法则条件，(0)lim 11x f --∆→'==，所以(0)f f +-''≠（0）， 从而()f x '在0x =处不可导.2.3 利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性定理[]51 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在00()U x 内可导，且极限0lim ()x x f x →'存在，则()f x 在点0x 可导且0()f x '0lim ()x x f x →'=.例[]65 研究函数()f x =123,1,,01,,0x e x x x x x -⎧<<+∞⎪≤≤⎨⎪-∞<<⎩在分界点0x =与1x =处的可导性.解 因为30lim ()lim 0x x f x x --→→==，2lim ()lim 0x x f x x ++→→==且(0)0f =， 所以0lim ()x f x →=0=(0)f ，即()f x 在0x =处连续.同理可得 ()f x 在1x =处连续.在各区间内分别对()f x 求导，得()f x '=12,1,2,01,3,0,x e x x x x x -⎧<<+∞⎪<<⎨⎪-∞<<⎩因为 0lim ()lim 20x x f x x ++→→'==，20lim ()lim 30x x f x x --→→'==，所以 0lim ()lim ()0x x f x f x -+→→''==，所以(0)0f '=即()f x 在0x =处可导. 因为 111lim ()lim 1x x x f x e ++-→→'==，11lim ()lim 22x x f x x --→→'==， 所以 1lim ()x f x +→'≠1lim ()x f x -→'，所以()f x 在1x =处不可导. 注 1。
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分段函数分段点处可导性的讨论
摘要：分段函数是高等数学中一种重要的函数，该文讨论了分段函数分段点处的可导性，并给出了求分段函数分段点处导数的几种方法。
关键词：分段函数分段点可导
The discussion of the derivate of piecewise function on piecewise point
Abstract:Piecewise function is one of the most important function of higher mathematics. This paper discussed the derivate of piecewise function on piecewise point, and gave several methods of derivative for piecewise function on piecewise point.
Key words:piecewise function piecewise point derivation
函数是高等数学的研究对象，分段函数也不例外。
分段函数一般而言不是初等函数，但在教学过程中经常涉及到。
而导数是研究函数性态的重要工具，因此分段函数分段点处的连续性与可导性问题是高等数学教学中一重点，同时也是难点，讨论分段函数分段点处的连续性与可导性的题目也是各级各类考试中的常见题型。
1 分段函数分段点处的可导性
根据函数在一点处的导数的定义——函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零时的极限，知一点处的导数指的是函数在该点处的变化率问题，不是孤立的，与附近的函数关系有关。
分段函数是在自变量的不同取值范围内函数的表达式不同，因此在分段函数分段点的两侧函数表达式不同，这时要考虑分段点处的导数是就需求导数定义式的左、右极限，即左、右导数。
由于左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，因此若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导，若左、右导数至少一个不存在，则函数在分段点处不可导。
下面我们结合一些例子来讨论分段函数分段点处的导数的计算方法。
2 分段函数分段点处的导数计算
2.1 用定义求分段函数分段点处的导数
由以上两个例子可以看出，用导数的定义式或左、右导数来判别分段点处的可导性只需判别导数定义式的极限的存在性。
但很多学生受中学数学应试教育的影响，会用公式、法则求导函数，但没有较好的掌握导数的定义式，认为定义太复杂而不习惯用定义讨论，下边介绍另外一种求分段函数分段点处的导数的方法。
2.2 用导数极限定理求分段函数分段点处的导数
导数极限定理[2]：若函数在上连续，在内可导，，且为常数)，则在处的右导数存在且等于
证明：取，则在上连续，在内可导，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得，
（4）该定理中导函数当时的右（左）极限存在是处右、左导数存在的充分非必要条件，也就是说导函数在分段点处的左、右极限不存在时，不能断定函数在分段点处不可导。
如例2，当时，，显然，不存在，但事实上该函数在处可导。
3 结语
由上面的讨论，我们得到了三种求分段函数分段点处的导数的方法：
（1）用可导与连续的关系，但此方法只能判别函数在该点处不可导。
（2）用定义式及左、右导数的定义式，导数定义式的极限存在及左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，用这种方法解决问题比较准确，并且导数的定义式极限的存在性，不需讨论或验证一些前提条件，是首选的好办法。
因此，在解这类题目的时候，特别
是出初学时，要求学生用这种方法。
（3）用导数极限定理解决分段函数在分段点处的导数问题相对于用导数的定义来讨论有很大的优势，会简化极限的运算，但由于这个定理不是函数在一点处可导的充分必要条件，在运用时一定要注意是否满足定理的条件，否则很容易导致错误结果。
参考文献
[1] 同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社，2007.
[2] 赵树嫄.微积分[M].北京:中国人民大学出版社，1988.。