4.5常见曲面的参数方程

§4.5 常见曲面的参数方程

本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。

掌握旋转曲面的参数方程的建立。

掌握直纹面的参数方程。

本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。

在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。

（一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标

设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是

)()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤===

则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影'

P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则

)())(())((1121212121t h Z t g t f Y X =+=+

再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线

)(0)

(t h Z Y t f X ===

时,（4.5.1）成为

⎪⎩

⎪⎨⎧===)(sin )(cos )(t h Z t f Y t f X θθ

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤≤≤πθ20b t a （4.5.2） 例１、如图，以原点为中心，a 为半径的球面可看作是由坐标面XOZ 上的半圆r ， ϕϕsin 0cos a Z Y a X === （22π

ϕπ

≤≤-）绕Z 轴旋转所生成的，由(4.5.2)

得其参数方程为

⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕsin sin cos cos cos a Z a Y a X

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛<≤≤≤-πθππ2022t （4.5.3） 它与§2.1中的球面参数方程的形式是相同的。

(4.5.3)中的参数分别叫做经度与纬度，序对),(ϕθ叫做地理坐标。显然，除两极外，球面上的点),,(Z Y X P 与序对),(ϕθ一一对应。这种利用曲面参数方程中的两个参数来表示曲面上的点的坐标叫做曲纹坐标，它对于曲面理论的进一步研究有着重要的作用。

利用球面的这种曲纹坐标还可以引入空间的另一种坐标系。设P 为空间任意一点，它到原点的距离为r ，过P 作以原点为中心，以r 为半径的球面，则P 在这球面上具有地理坐标ϕθ,，可令点P 对应有序数组),,(ϕθr ；反之，由非负实数r 可确定P 所在的球面，再由),(ϕθ在这球面上确定P 点。空间中点的这种坐标叫做球坐标。显然，Z 轴上点的球坐标θ可取任意值。

把(4.5.3)中的常数a 换为变数r ，就成为球坐标与直角坐标的变换式，即

⎪⎩

⎪⎨⎧===ϕθϕθϕsin sin cos cos cos r Z r Y r X

⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-<≤≥22

200πππθt r （4.5.4） 反之，有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=+=+=++=2222222222arcsin sin cos Z Y X Z Y X X Y X X Z Y X r ϕθθ (4.5.5)

当0=Z 时，θ=0，

于是，对坐标面XOY 上的点，只需序对),(θr 即可确定。这里),(θr 不是别的，正是大家熟知的极坐标。这时原点是极点，X 轴是极轴，因此，球坐标可以看作是平面极坐标在空间中的一种推广。

例２、如图4-17，以Z 轴为对称轴，半径为a 的圆柱面可看作是由坐标面XOZ 上

的直线Γ：

t

Z

Y

a

X=

=

=0，

图4—17

绕Z轴旋转所生成的。由(4.5.2)得其参数方程为

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

=

t

Z

a

Y

a

X

θ

θ

sin

cos

⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+∞

<

<

∞

-

<

≤

t

π

θ2

（4.5.6）利用参数t,θ可得圆柱面上的一种曲纹坐标),

(t

θ，从而我们可引入空间的又一种坐标系。设P为空间任意一点，它到Z轴的距离为r，过P作以Z轴为轴，半径为r的圆柱面，则P在这圆柱面上具有曲纹坐标t,θ，可令P对应有序数组),

,

(t

rθ；反之，由非负实数r可确定P所在的圆柱面，再由)

,

(t

θ在这圆柱面上确定P点。空间中点的这种坐标叫做柱坐标。与球坐标一样，Z轴上点的柱坐标可取任意值。

把(4.5.6)中的常数a换为变数r，即得柱坐标与直角坐标间的关系式

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

=

t

Z

r

Y

r

X

θ

θ

sin

cos

⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+∞

<

<

∞

-

<

≤

≥

t

r

π

θ2

（4.5.7）反之，有

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

+

=

+

=

+

=

Z

t

Y

X

X

Y

X

X

Y

X

r

2

2

2

2

2

2

sin

cosθ

θ(4.5.8)当0

=

Z时，0

=

t，从而XOY面上的点也只需)

,

(θ

r即可确定，所以柱坐标也是平面极坐标在空间中的另一种推广。像广义极坐标一样，柱坐标r也可以推广到负值情形。

在一个坐标系下，若让一个坐标固定而其它坐标变化，则所得轨迹叫做坐标曲面；若一个坐标变化而其它坐标固定，则所得轨迹叫做坐标曲线。

例如在柱坐标系下，坐标曲面，

r

r=（常数）是以Z轴为轴，半径等于|

|

r的圆