第2章 测试系统特性分析
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胥 永 刚
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测试系统的动态特性
胥永刚制
一阶系统特性 1.一阶系统数学模型 一阶系统数学模型
dy (t ) τ + y (t ) = K x (t ) dt
2.一阶系统动态特性 一阶系统动态特性 传递函数、频率响应函数、相频特性、 （传递函数、频率响应函数、相频特性、幅频 特性、脉冲响应函数） 特性、脉冲响应函数） 1 −t / τ 1 h (t ) = e H (s ) =
输入信号x(t)由圆频率为： 由圆频率为： 输入信号 由圆频率为 量构成，其频谱中相应的幅值和相位为： 量构成，其频谱中相应的幅值和相位为：
两斜波分
胥 永 刚
胥 永 刚
胥永刚制
测试装置对该两频率信号分量的增益和相移为： 测试装置对该两频率信号分量的增益和相移为：
根据线性时不变系统的频率保持性和线性叠加性 可知， 可知，该装置对输入信号 x(t )的稳态响应 y (t )为：
胥 永 刚
胥 永 刚
胥永刚制
5 求传递函数为H(S)= 1 + 0.01S 例：求传递函数为
的系统对正弦
输入x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应 ，并求出幅值 的稳态响应y(t)， 输入 的稳态响应 误差和相位误差。 误差和相位误差。 解：由频率保持性知 y(t)=10|H(ω)|sin(62.8t+φ(ω)) 且｜H(ω)｜= ｜
Φ ( f ) = − arg tg (2πTf ) = −9.32 o
即振幅误差是1.32%，相位滞后是-9.32º 。 ，相位滞后是 即振幅误差是
胥 永 刚
§3.4 测试系统对任意输入的响应
胥 永 刚
胥永刚制
胥 永 刚
§3.4 测试系统对任意输入的响应 系统对任意输入的响应
胥 永 刚
胥永刚制
y(t) ≈ ∑[x(ti )∆ti ]h(t − ti )
τ =0
t
对 ti 取 限,就 到 ∆ 极 得
y(t) = ∫ x(ti )h(t − ti )d ti
t
y(t) = x(t ) ∗h(t)
0
从时域上看来，系统(或装置) 从时域上看来，系统(或装置)的输出是输入 与该系统(装置)脉冲响应函数的卷积。 与该系统(装置)脉冲响应函数的卷积。
jϕ(ω)
Y(ω) = = A e− jt0ω 0 X(ω)
ϕ(ω) = −t0ω
数 A(ω) = A (常 ) 0
A(ω)不等于常数引起的失真称为幅值失真 ω 不等于常数引起的失真称为幅值失真 φ(ω)与ω的非线性关系引起的失真称为相值失真 ω 与 的非线性关系引起的失真称为相值失真
胥 永 刚
§3.5 测试系统不失真测试条件
H ( jω )
A0
胥 永 刚
胥永刚制
ω
ω
− φ (ω)
胥 永 刚
§3.6 测试系统特性的实验测定 测试系统特性参数的实验测定 1、频率响应法
胥 永 刚
胥永刚制
系统固有频率 和阻尼比 。固有频 率为系统幅频特性曲线峰值点对应的 频率， 频率，阻尼系数则可以由峰值点附近 的两个半功率点的频率计算
胥 永 刚
胥 永 刚
胥 永 刚
胥永刚制
用一阶测量仪器测量100Hz的正弦信号，如果要求振幅 的正弦信号， 例：用一阶测量仪器测量 的正弦信号 的测量误差小于5%，问仪器的时间常数 的取值范围 的取值范围。 的测量误差小于 ，问仪器的时间常数T的取值范围。若用 该仪器测50Hz的正弦信号，相应的振幅误差和相位滞后是多 的正弦信号， 该仪器测 的正弦信号 少？ 1 一阶装置,仍有 解：一阶装置 仍有 H ( s ) =
胥 永 刚
胥永刚制
胥 永 刚
胥 永 刚
胥永刚制
某测试装置为一阶时不变系统， 例3-1 某测试装置为一阶时不变系统，其传递函数 1 为 H (s ) = 。求其对周期信号 0 .005 s + 1 x ( t ) = 0.5 cos 10t + 0.2 cos(100t − 45°) 的稳态响应 y (t ) 。 解：该装置的频率响应函数为： 该装置的频率响应函数为：
§3.6 测试系统特性的实验测定 2、阶跃响应法 、
系统输出值达到最终 稳态值的63%所经过的时 稳态值的 所经过的时 间作为时间常数 取系统响应信号一个 振荡周期的时间t 可近似 振荡周期的时间 b,可近似 计算出系统的固有频率： 计算出系统的固有频率： fn=1/tb 取系统响应信号相邻 两个振荡周期的过调量M 两个振荡周期的过调量 和M1,可近似计算出系统 可近似计算出系统 的阻尼系数： 的阻尼系数：
液柱式温度计
H (ω A (ω
τs + 1
1
)= )=
τ
j τω + 1 1 1 + (τω
)
2
ϕ (ω
)=
− arctg
(τω )
胥 永 刚
胥 永 刚
胥永刚制
一阶系统特性
一阶系统的伯德图
一阶系统的乃奎斯特图
胥 永 刚
胥 永 刚
胥永刚制
一阶系统特性
一阶系统的幅频和相频特性曲线
胥 永 刚
胥 永 刚
胥 永 刚
胥永刚制
胥 永 刚
§3.7 负载效应 减小负载效应的方法： 减小负载效应的方法：
1. 提高后续环节(负载 的输入阻抗。 提高后续环节 负载)的输入阻抗。 负载 的输入阻抗 2. 在原来两个相连接的环节中，插入高输入阻抗，低输出 在原来两个相连接的环节中，插入高输入阻抗， 阻抗的放大器，以便一方面减小从前一环节吸取的能量， 阻抗的放大器，以便一方面减小从前一环节吸取的能量， 另一方面在承受后一环节（负载） 另一方面在承受后一环节（负载）后有能减小电压输出的 变化，从而减轻总的负载效应。 变化，从而减轻总的负载效应。 3. 使用反馈或零点测量原理，使后面环节几乎不从前面环 使用反馈或零点测量原理， 节吸取能量。 节吸取能量。 Rm R1
胥 永 刚
§3.5 测试系统不失真测试条件
胥 永 刚
胥永刚制
胥 永 刚
§3.5 测试系统不失真测试条件
胥 永 刚
胥永刚制
y(t) = A x(t −t0 ) 0
对上式做傅立叶变换： 对上式做傅立叶变换：
Y(ω) = A e− jt0ω X(ω) 0 H(ω) = A(ω)e
幅频特性： 幅频特性： 相频特性： 相频特性：
胥 永 刚
§3.3 测试系统的动态特性 六、二阶系统特性
胥 永 刚
胥永刚制
二阶系统的幅频和相频曲线
胥 永 刚
§3.3 测试系统的动态特性 六、二阶系统特性
胥 永 刚
胥永刚制
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§3.3 测试系统的动态特性 六、二阶系统特性 3. 二阶系统特点： 二阶系统特点： H ① 当 ω ≤ ωn时，H ( jω ) ≈ 1 ;当ω ≥ ωn 时， ( jω ) → 0 当 此频域上几乎测不出信号。 此频域上几乎测不出信号。 ② 影响二阶系统动态特性的参数是固有频率 ωn 和 阻尼比 ξ 。 二阶系统的伯德图可以用折线来近似。 ③ 二阶系统的伯德图可以用折线来近似。 甚小， ④ 在 ω ≤ ωn 段，ϕ(ω)甚小，且和频率近似成正比 增加。 增加。 二阶系统是一个振荡环节。 ⑤ 二阶系统是一个振荡环节。
ω 2ζ ω ϕ(ω) = −arctg n 2 ω 1− ω n
h(t ) =
ωn e−ζω 1−ζ 2
t n sin
1−ζ 2ωnt
0 <ζ <1
胥 永 刚
§3.3 测试系统的动态特性 六、二阶系统特性
胥 永 刚
胥永刚制
源自文库
二阶系统的伯德图
二阶系统的乃奎斯特图
2 ωn K H(s) = 2 2 s + 2ζωns +ωn 2 Kωn H( j ω) = 2 ( jω)2 + 2ζωn ( jω) +ωn
A(ω) = K
1
2 ω 2 ω 1− + 4ζ 2 ω ωn n 2
测力弹簧秤： 测力弹簧秤：
胥 永 刚
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胥永刚制
二阶系统特性
典型二阶系统
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§3.3 测试系统的动态特性 六、二阶系统特性 1.二阶系统数学模型 1.二阶系统数学模型
d2 y(t) dy(t) 2 2 + 2ζωn +ωn y(t) = Kωn x(t) dt 2 dt
胥 永 刚
2.二阶系统的动态特性 2.二阶系统的动态特性
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E
R2
胥永刚制
一阶系统特性 一阶系统的脉冲响应函数
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胥永刚制
五、一阶系统特性 一阶系统特点： 一阶系统特点： ① 当激励频率 ω 远小于 1 / τ 时，其 A(ω ) 值接近于 1，输入、输出值几乎相等。 ，输入、输出值几乎相等。 是反映一阶系统特性的重要参数。 ② 时间常数 τ 是反映一阶系统特性的重要参数。 一阶系统的伯德图可以用一条折线来近似描述。 ③ 一阶系统的伯德图可以用一条折线来近似描述。
S 1 + ( τω )
2
=
5 1 + (0.01 × 62.8)
2
= 4.23
φ(w)=－arctg(τω)=－tg-1(0.01×62.8)=－32° － － × － ° ∴ y(t)=42.3sin(62.8t－32°) － ° 幅值误差为5× － ∴ 幅值误差为 ×10－42.3=7.7，相位误差为 ° ，相位误差为32°
Ts + 1 1 H( f ) = [1 + (T 2πf ) 2 ]1 2
越大，测量误差越小。 同一 f ，T 越大，测量误差越小。 测量误差小于5%， 令 f =100Hz, 测量误差小于 ，即H ( f ) > 0.95,求出 T < 5.23 × 10 −4 秒 用该仪器测50Hz的正弦信号，有 H ( f ) = 0.9868 ， 的正弦信号， 用该仪器测 的正弦信号
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测试系统的动态特性
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一阶系统特性 1.一阶系统数学模型 一阶系统数学模型
dy (t ) τ + y (t ) = K x (t ) dt
2.一阶系统动态特性 一阶系统动态特性 传递函数、频率响应函数、相频特性、 （传递函数、频率响应函数、相频特性、幅频 特性、脉冲响应函数） 特性、脉冲响应函数） 1 −t / τ 1 h (t ) = e H (s ) =
输入信号x(t)由圆频率为： 由圆频率为： 输入信号 由圆频率为 量构成，其频谱中相应的幅值和相位为： 量构成，其频谱中相应的幅值和相位为：
两斜波分
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胥永刚制
测试装置对该两频率信号分量的增益和相移为： 测试装置对该两频率信号分量的增益和相移为：
根据线性时不变系统的频率保持性和线性叠加性 可知， 可知，该装置对输入信号 x(t )的稳态响应 y (t )为：
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胥永刚制
5 求传递函数为H(S)= 1 + 0.01S 例：求传递函数为
的系统对正弦
输入x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应 ，并求出幅值 的稳态响应y(t)， 输入 的稳态响应 误差和相位误差。 误差和相位误差。 解：由频率保持性知 y(t)=10|H(ω)|sin(62.8t+φ(ω)) 且｜H(ω)｜= ｜
Φ ( f ) = − arg tg (2πTf ) = −9.32 o
即振幅误差是1.32%，相位滞后是-9.32º 。 ，相位滞后是 即振幅误差是
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§3.4 测试系统对任意输入的响应
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胥永刚制
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§3.4 测试系统对任意输入的响应 系统对任意输入的响应
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胥永刚制
y(t) ≈ ∑[x(ti )∆ti ]h(t − ti )
τ =0
t
对 ti 取 限,就 到 ∆ 极 得
y(t) = ∫ x(ti )h(t − ti )d ti
t
y(t) = x(t ) ∗h(t)
0
从时域上看来，系统(或装置) 从时域上看来，系统(或装置)的输出是输入 与该系统(装置)脉冲响应函数的卷积。 与该系统(装置)脉冲响应函数的卷积。
jϕ(ω)
Y(ω) = = A e− jt0ω 0 X(ω)
ϕ(ω) = −t0ω
数 A(ω) = A (常 ) 0
A(ω)不等于常数引起的失真称为幅值失真 ω 不等于常数引起的失真称为幅值失真 φ(ω)与ω的非线性关系引起的失真称为相值失真 ω 与 的非线性关系引起的失真称为相值失真
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§3.5 测试系统不失真测试条件
H ( jω )
A0
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ω
ω
− φ (ω)
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§3.6 测试系统特性的实验测定 测试系统特性参数的实验测定 1、频率响应法
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系统固有频率 和阻尼比 。固有频 率为系统幅频特性曲线峰值点对应的 频率， 频率，阻尼系数则可以由峰值点附近 的两个半功率点的频率计算
胥 永 刚
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胥永刚制
用一阶测量仪器测量100Hz的正弦信号，如果要求振幅 的正弦信号， 例：用一阶测量仪器测量 的正弦信号 的测量误差小于5%，问仪器的时间常数 的取值范围 的取值范围。 的测量误差小于 ，问仪器的时间常数T的取值范围。若用 该仪器测50Hz的正弦信号，相应的振幅误差和相位滞后是多 的正弦信号， 该仪器测 的正弦信号 少？ 1 一阶装置,仍有 解：一阶装置 仍有 H ( s ) =
胥 永 刚
胥永刚制
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胥永刚制
某测试装置为一阶时不变系统， 例3-1 某测试装置为一阶时不变系统，其传递函数 1 为 H (s ) = 。求其对周期信号 0 .005 s + 1 x ( t ) = 0.5 cos 10t + 0.2 cos(100t − 45°) 的稳态响应 y (t ) 。 解：该装置的频率响应函数为： 该装置的频率响应函数为：
§3.6 测试系统特性的实验测定 2、阶跃响应法 、
系统输出值达到最终 稳态值的63%所经过的时 稳态值的 所经过的时 间作为时间常数 取系统响应信号一个 振荡周期的时间t 可近似 振荡周期的时间 b,可近似 计算出系统的固有频率： 计算出系统的固有频率： fn=1/tb 取系统响应信号相邻 两个振荡周期的过调量M 两个振荡周期的过调量 和M1,可近似计算出系统 可近似计算出系统 的阻尼系数： 的阻尼系数：
液柱式温度计
H (ω A (ω
τs + 1
1
)= )=
τ
j τω + 1 1 1 + (τω
)
2
ϕ (ω
)=
− arctg
(τω )
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一阶系统特性
一阶系统的伯德图
一阶系统的乃奎斯特图
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胥永刚制
一阶系统特性
一阶系统的幅频和相频特性曲线
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胥永刚制
胥 永 刚
§3.7 负载效应 减小负载效应的方法： 减小负载效应的方法：
1. 提高后续环节(负载 的输入阻抗。 提高后续环节 负载)的输入阻抗。 负载 的输入阻抗 2. 在原来两个相连接的环节中，插入高输入阻抗，低输出 在原来两个相连接的环节中，插入高输入阻抗， 阻抗的放大器，以便一方面减小从前一环节吸取的能量， 阻抗的放大器，以便一方面减小从前一环节吸取的能量， 另一方面在承受后一环节（负载） 另一方面在承受后一环节（负载）后有能减小电压输出的 变化，从而减轻总的负载效应。 变化，从而减轻总的负载效应。 3. 使用反馈或零点测量原理，使后面环节几乎不从前面环 使用反馈或零点测量原理， 节吸取能量。 节吸取能量。 Rm R1
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§3.5 测试系统不失真测试条件
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胥永刚制
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§3.5 测试系统不失真测试条件
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胥永刚制
y(t) = A x(t −t0 ) 0
对上式做傅立叶变换： 对上式做傅立叶变换：
Y(ω) = A e− jt0ω X(ω) 0 H(ω) = A(ω)e
幅频特性： 幅频特性： 相频特性： 相频特性：
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§3.3 测试系统的动态特性 六、二阶系统特性
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二阶系统的幅频和相频曲线
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§3.3 测试系统的动态特性 六、二阶系统特性
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§3.3 测试系统的动态特性 六、二阶系统特性 3. 二阶系统特点： 二阶系统特点： H ① 当 ω ≤ ωn时，H ( jω ) ≈ 1 ;当ω ≥ ωn 时， ( jω ) → 0 当 此频域上几乎测不出信号。 此频域上几乎测不出信号。 ② 影响二阶系统动态特性的参数是固有频率 ωn 和 阻尼比 ξ 。 二阶系统的伯德图可以用折线来近似。 ③ 二阶系统的伯德图可以用折线来近似。 甚小， ④ 在 ω ≤ ωn 段，ϕ(ω)甚小，且和频率近似成正比 增加。 增加。 二阶系统是一个振荡环节。 ⑤ 二阶系统是一个振荡环节。
ω 2ζ ω ϕ(ω) = −arctg n 2 ω 1− ω n
h(t ) =
ωn e−ζω 1−ζ 2
t n sin
1−ζ 2ωnt
0 <ζ <1
胥 永 刚
§3.3 测试系统的动态特性 六、二阶系统特性
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源自文库
二阶系统的伯德图
二阶系统的乃奎斯特图
2 ωn K H(s) = 2 2 s + 2ζωns +ωn 2 Kωn H( j ω) = 2 ( jω)2 + 2ζωn ( jω) +ωn
A(ω) = K
1
2 ω 2 ω 1− + 4ζ 2 ω ωn n 2
测力弹簧秤： 测力弹簧秤：
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二阶系统特性
典型二阶系统
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§3.3 测试系统的动态特性 六、二阶系统特性 1.二阶系统数学模型 1.二阶系统数学模型
d2 y(t) dy(t) 2 2 + 2ζωn +ωn y(t) = Kωn x(t) dt 2 dt
胥 永 刚
2.二阶系统的动态特性 2.二阶系统的动态特性
胥 永 刚
胥永刚制
E
R2
胥永刚制
一阶系统特性 一阶系统的脉冲响应函数
胥 永 刚
胥 永 刚
胥永刚制
五、一阶系统特性 一阶系统特点： 一阶系统特点： ① 当激励频率 ω 远小于 1 / τ 时，其 A(ω ) 值接近于 1，输入、输出值几乎相等。 ，输入、输出值几乎相等。 是反映一阶系统特性的重要参数。 ② 时间常数 τ 是反映一阶系统特性的重要参数。 一阶系统的伯德图可以用一条折线来近似描述。 ③ 一阶系统的伯德图可以用一条折线来近似描述。
S 1 + ( τω )
2
=
5 1 + (0.01 × 62.8)
2
= 4.23
φ(w)=－arctg(τω)=－tg-1(0.01×62.8)=－32° － － × － ° ∴ y(t)=42.3sin(62.8t－32°) － ° 幅值误差为5× － ∴ 幅值误差为 ×10－42.3=7.7，相位误差为 ° ，相位误差为32°
Ts + 1 1 H( f ) = [1 + (T 2πf ) 2 ]1 2
越大，测量误差越小。 同一 f ，T 越大，测量误差越小。 测量误差小于5%， 令 f =100Hz, 测量误差小于 ，即H ( f ) > 0.95,求出 T < 5.23 × 10 −4 秒 用该仪器测50Hz的正弦信号，有 H ( f ) = 0.9868 ， 的正弦信号， 用该仪器测 的正弦信号