第1章 复变函数
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a (m,n为整数， 0 an , b1 bn 为复常数）
3、根式函数
F ( z) z a
(a为复常数)
4、三角函数
1 sin z (e iz e iz ) 2i
1 iz cos z (e e iz ) 2
5、双曲函数
1 z shz (e e z ) 2
1、复变函数定义： 若在复数平面上存在一个点集E，对于E的每一点（每一个z 值），按照一定的规律，有一个或多个复数值 与之相对应， 则称 为z 的函数--复变函数,z 称为 的宗量。定义域为E， f ( z ), z E. 记作 1 2 y 2、定义域及相关的概念： （1）定义域： 解析函数的定义域是满足 一定条件的点集，称为区域。
z 4e
i
5 6
例2
设 z1 5 5i, z2
z1 z1 3 4i 求 z2 与 z2
解:
z1 5 5i 35 5i 7 1 i z2 3 4i 25 5 5
z1 7 1 i z2 5 5
1 3i ,求 Re( z), Im(z) 与 zz 例3 设 z i 1 i
三、复变函数的极限和连续性：
一个复变函数对应两个二元实变函数
f ( z) u( x, y) iv( x, y)
1、函数的极限定理（证明略） 定理1 设 f ( z) u( x, y) iv( x, y), A u0 iv0 , z0 x0 iy0
三角式运算：
Z1 Z2
=
1 (cos1 i sin 1 ) 2 (cos 2 i sin 2 )
1 = [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] 2
指数式运算：
Z1 Z2
1 i ( e = 2
1
= 1 e
i1
/ 2
e i 2
2
-2 -1
x
|x+iy+i|=|x+i(y+1)|=2
x 2 ( y 1) 2 4
表示圆心在（0，-1），半径2的圆。 （2）|z-2i|=|z+2| 表示到2i和-2两点距离相等的点的轨迹。即过原点的直线。
(3) Im(i z) Im[i ( x iy)] 4
Im[x i(1 y)] 4
1 z z chz (e e ) 2
6、指数函数 7、对数函数
e e
z
xiy
e e e (cos y i sin y)
x iy x
ln z ln( z eiArgz ) ln | z | iArgz
1 sin z,cos z, shz, chz, e 具有周期性：
学习时应注意的问题
一、对于复变函数部分，注意以下问题的学习： 1、注意对定理的理解与实际应用； 2、注意描述的数学内容与物理内容上的对应与联系。 二、对于数学物理方程部分，注意以下几点： 1、注意考虑物理系统中涉及到的物理定理、定律 以及偏微分方程 ； 2、注意研究将偏微分方程转化为常微分方程的方法或能 够利用以、已有的常微分方程知识进行求解的方法；
1 2 2 2 2 [ e (1 i) e (1 i)] 2 2 2
2 2 2 2 (e e ) i (e 2 e 2 ) 4 4
2 2 sh 2 i ch2 2 2
2） ln(1) ln 1 i arg(1) ln1 i i
E
x
连通性 集合中任意两点都可用一折线连接起来且折线上 的点全都属于该集合。
连通性 集合中任意两点都可用一折线连接起来且折线上 的点全都属于该集合。 可
A
B A
B
单连通区域
以 缩 成 一 点
注 i)区域是开集
复连通区域 不是都能缩成一点
ii)连通性 复连通
闭区域
单连通
对于区域B来说，如果其中任做简单 闭合曲线，曲线的内部总属于B。
并且彼此相差2π的整数倍。约定用argz表示其中满足条件 0≤Argz<2π
的一个特定值，称为主值。于是有：Argz=argz+2kπ。
零的辐角没有意义。
3、复数的三种表示
1) 代数式
2) 三角式
z=x+iy
|Z|=
x cos
y sin
tg 1 ( )
y x
z (cos i sin )
E
x
外点
z0及其邻域均不属于点集E，则称z0点为点集E的外点。
（4）边界点与边界线： 边界点
z0点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也 有不属于E的点。z0点称为该点集E的边界点。 y 边界线 边界点的全体。
（5）区域与闭区域： 区域 是宗量z在复数平面上的取值范围，且满足 （1）全由内点组成； （2）具有连通性 记作B。
数学物理方法
宋晋湘
惠州学院 电子科学系 物理教研室
QQ：5925289；email：jxsong@hzu.edu.cn
数学物理方法课程的起源与研究对象
起源 物理学是研究自然规律的学科，必然要遇到许多
实际物理问题。可定量解决实际物理问题就需要数学描述， 而在数学描述遇到的数学问题也是需解决的,这就派生出一 些数学方程，研究这些方程如何进行求解, 从而产生数学物 理方法这一课程 。
其中i称为虚数单位，i×i= -1。
y
2、复数的意义：
1）一个复数可以表示复平面上的一点。 2）一个复数对应复平面上的一个向量。 大小： z x 2 y 2 （向量长度）
( x, y )
x
方向：与x轴夹角 tg 1 ( ) （记作 Argz ）
y x
θ称为复数z的辐角。一个复数的辐角可以取无穷多个值，
解:
z
1 3i 3i (1 i ) 3i 3 i i i 1 i (1 i )(1 i ) 2
3 1 i 2 2
Z)
3 1 3 1 3 1 5 Re( z ) , Im( z ) , zz ( i )( i ) 2 2 2 2 2 2 2
2)
（便于除法）
5）共轭：
复数
代数式表示 三角式表示 指数式表示 z = x + iy
z （cos i sin )
共轭复数
z * x iy
z* （cos i sin )
z* e i
z ei
z* = z
* 2
（同一表示）
zz z ( x 2 y 2 )
z
sin(z 2 ) sin z
sh( z 2i) shz
cos(z 2 ) cos z
ch( z 2i) chz
e
2
( z 2i )
e
z
周期分别是 2 , 2 i
1 iz iz |sinz|=| 2i (e e )
|=
1 (e 2 y e 2 y ) 2(sin 2 x cos 2 x) 2
推论
z e
n
n in
n源自文库
z n e
i
n
给定一个 z ， z
n
2 有n个值，辐角相差 n
4）商
代数式运算：
Z1 Z2
= =
x1 iy1 x 2 iy 2
=
( x1 iy1 )(x2 iy 2 ) ( x2 iy 2 )(x 2 iy 2 )
x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2
y
x y=-3
所以1-y=4， 即y=-3的直线。
5、复平面与复数球的关系
(1) s位于平面上的坐标原点。 (2) 复平面上的有限远点与球面上 N以外的点一一对应。 (3) 复平面上的无限远点对应于球 面上北极点N。 (4) 无限远点的模为无限大，其辐 角无明确意义。 N
A
A
s
§1.2
复变函数
一、复变函数的定义与定义域：
3、注意将解出的结果进行讨论，予以其物理思考的解释。
第一篇
复变函数论
第一章
重点内容
复变函数
1、复数的三种表示及其相互转换；
2、Cauchy-Riemann方程的应用；
3、解析函数实部或虚部的求解方法。
§1、1
的和
复数与复数运算
z=x+iy
1、复数: 一个复数可以表为某个实数x和某个纯虚数iy
x和y分别称为该复数的实部与虚部，并记为Rez和Imz。
差的意义
z1 x1 iy1
z2 x2 iy2
z z2 z1 ( x2 x1 ) i ( y2 y1 )
3）积：
代数式运算
z1 z2 ( x1 iy1 )(x2 iy2 ) x1 x2 ix1 y2 ix2 y1 y1 y2
三角运算 z1 z2 1 (cos 1 i sin 1 ) 2 (cos 2 i sin 2 )
1 2 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i (cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 )]
12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
指数运算
z1z2 1e i1 2e i2 12e i (1 2 )
4
i)
解:
2 i 1 2 i 1）sh(2 i ) (e 4 e 4 ) 4 2
1 [e 2 (cos i sin ) e 2 (cos i sin )] 2 4 4 4 4
1 2 2 2 2 [ e (1 i ) e (1 i )] 2 2 2
3) 指数式 由欧拉公式 e cos i sin
i
z e
i
4、复数的运算 z1 x1 iy1 1）和： 几何意义
z2 x2 iy2
z z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
y
y
z2
z
z1
z1
x
x
和的意义 2）差：
z
z2
例4
计算 i 的数值
i
解:
i [e
i
i[ 2 n ] i 2
] e
2 n 2
(n 0,1,2....)
例5 求下列方程所表示的曲线 (1) |z+i|=2 (2) |z-2i|=|z+2| (3) Im(i+ Z ) =4
例5 求下列方程所表示的曲线 (1) |z+i|=2 (2) |z-2i|=|z+2| (3) Im(i+ Z ) =4 解： （1）|z+i|=2 即是 y
z1
E
z2
x
（2）邻域： 以复数z0为圆心，任意小正实数ε为半径作一圆，圆内 所有点的集合，称z0的邻域。 注 （a）任意小的正数为半径该圆面积可以无穷小. （b）圆内所有点不包括圆周上的点. （c）对一点而言有无穷多个邻域. （3）内点与外点： 内点
Z0
y
z0
z0
Z0
若z0及其邻域属于点集E ；则称 z0点为点集E的内点。 内点的定义，不只是对于z0一点而言。
研究对象 研究物理问题中遇到的数学方程的求解方法
以及解这些方程需要的复变函数的基础知识。这些方程常常 是偏微分方程。
本教材包括的内容与学习方法
教学内容
复变函数的微分、积分 复变函数 规律 复变函数的性质及变换
二阶一维偏微分方程 数学物理方程 二阶二、三维偏微分方 程 二阶常微分和变常微分 方程
1 (e 2 y e 2 y ) 2(cos 2 x sin 2 x) 2
1 iz |cosz|=| (e e iz )|= 2
完全可以大于1,与实数领域不同.
3
对数函数是多值函数。在复数域中，负实数的对数 是有意义的。
例1
计算下列函数值
1) sh(2 2) ln(-1)
例1 将 z 12 2i 化为三角表示和指数表示. 解:
z 12 2i
x 2 y 2 12 4 4
y 2 3 tg ( ) x 3 12
5 6
(在第三象限)
5 5 i sin ) 6 6
三角式: 指数式:
z 4(cos
如果区域不是单连通
区域和边界线上的点构成的集合B+L=B
二、常见复变函数定义：
1、多项式函数：
F ( z) a0 a1z a2 z 2 an z n
(n为整数)
a0 a1 z an z n 2、有理分式函数: F ( z ) b0 b1 z b2 z 2 bn z m
3、根式函数
F ( z) z a
(a为复常数)
4、三角函数
1 sin z (e iz e iz ) 2i
1 iz cos z (e e iz ) 2
5、双曲函数
1 z shz (e e z ) 2
1、复变函数定义： 若在复数平面上存在一个点集E，对于E的每一点（每一个z 值），按照一定的规律，有一个或多个复数值 与之相对应， 则称 为z 的函数--复变函数,z 称为 的宗量。定义域为E， f ( z ), z E. 记作 1 2 y 2、定义域及相关的概念： （1）定义域： 解析函数的定义域是满足 一定条件的点集，称为区域。
z 4e
i
5 6
例2
设 z1 5 5i, z2
z1 z1 3 4i 求 z2 与 z2
解:
z1 5 5i 35 5i 7 1 i z2 3 4i 25 5 5
z1 7 1 i z2 5 5
1 3i ,求 Re( z), Im(z) 与 zz 例3 设 z i 1 i
三、复变函数的极限和连续性：
一个复变函数对应两个二元实变函数
f ( z) u( x, y) iv( x, y)
1、函数的极限定理（证明略） 定理1 设 f ( z) u( x, y) iv( x, y), A u0 iv0 , z0 x0 iy0
三角式运算：
Z1 Z2
=
1 (cos1 i sin 1 ) 2 (cos 2 i sin 2 )
1 = [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] 2
指数式运算：
Z1 Z2
1 i ( e = 2
1
= 1 e
i1
/ 2
e i 2
2
-2 -1
x
|x+iy+i|=|x+i(y+1)|=2
x 2 ( y 1) 2 4
表示圆心在（0，-1），半径2的圆。 （2）|z-2i|=|z+2| 表示到2i和-2两点距离相等的点的轨迹。即过原点的直线。
(3) Im(i z) Im[i ( x iy)] 4
Im[x i(1 y)] 4
1 z z chz (e e ) 2
6、指数函数 7、对数函数
e e
z
xiy
e e e (cos y i sin y)
x iy x
ln z ln( z eiArgz ) ln | z | iArgz
1 sin z,cos z, shz, chz, e 具有周期性：
学习时应注意的问题
一、对于复变函数部分，注意以下问题的学习： 1、注意对定理的理解与实际应用； 2、注意描述的数学内容与物理内容上的对应与联系。 二、对于数学物理方程部分，注意以下几点： 1、注意考虑物理系统中涉及到的物理定理、定律 以及偏微分方程 ； 2、注意研究将偏微分方程转化为常微分方程的方法或能 够利用以、已有的常微分方程知识进行求解的方法；
1 2 2 2 2 [ e (1 i) e (1 i)] 2 2 2
2 2 2 2 (e e ) i (e 2 e 2 ) 4 4
2 2 sh 2 i ch2 2 2
2） ln(1) ln 1 i arg(1) ln1 i i
E
x
连通性 集合中任意两点都可用一折线连接起来且折线上 的点全都属于该集合。
连通性 集合中任意两点都可用一折线连接起来且折线上 的点全都属于该集合。 可
A
B A
B
单连通区域
以 缩 成 一 点
注 i)区域是开集
复连通区域 不是都能缩成一点
ii)连通性 复连通
闭区域
单连通
对于区域B来说，如果其中任做简单 闭合曲线，曲线的内部总属于B。
并且彼此相差2π的整数倍。约定用argz表示其中满足条件 0≤Argz<2π
的一个特定值，称为主值。于是有：Argz=argz+2kπ。
零的辐角没有意义。
3、复数的三种表示
1) 代数式
2) 三角式
z=x+iy
|Z|=
x cos
y sin
tg 1 ( )
y x
z (cos i sin )
E
x
外点
z0及其邻域均不属于点集E，则称z0点为点集E的外点。
（4）边界点与边界线： 边界点
z0点的每个邻域内，既有属于点集E的点，也 有不属于E的点。z0点称为该点集E的边界点。 y 边界线 边界点的全体。
（5）区域与闭区域： 区域 是宗量z在复数平面上的取值范围，且满足 （1）全由内点组成； （2）具有连通性 记作B。
数学物理方法
宋晋湘
惠州学院 电子科学系 物理教研室
QQ：5925289；email：jxsong@hzu.edu.cn
数学物理方法课程的起源与研究对象
起源 物理学是研究自然规律的学科，必然要遇到许多
实际物理问题。可定量解决实际物理问题就需要数学描述， 而在数学描述遇到的数学问题也是需解决的,这就派生出一 些数学方程，研究这些方程如何进行求解, 从而产生数学物 理方法这一课程 。
其中i称为虚数单位，i×i= -1。
y
2、复数的意义：
1）一个复数可以表示复平面上的一点。 2）一个复数对应复平面上的一个向量。 大小： z x 2 y 2 （向量长度）
( x, y )
x
方向：与x轴夹角 tg 1 ( ) （记作 Argz ）
y x
θ称为复数z的辐角。一个复数的辐角可以取无穷多个值，
解:
z
1 3i 3i (1 i ) 3i 3 i i i 1 i (1 i )(1 i ) 2
3 1 i 2 2
Z)
3 1 3 1 3 1 5 Re( z ) , Im( z ) , zz ( i )( i ) 2 2 2 2 2 2 2
2)
（便于除法）
5）共轭：
复数
代数式表示 三角式表示 指数式表示 z = x + iy
z （cos i sin )
共轭复数
z * x iy
z* （cos i sin )
z* e i
z ei
z* = z
* 2
（同一表示）
zz z ( x 2 y 2 )
z
sin(z 2 ) sin z
sh( z 2i) shz
cos(z 2 ) cos z
ch( z 2i) chz
e
2
( z 2i )
e
z
周期分别是 2 , 2 i
1 iz iz |sinz|=| 2i (e e )
|=
1 (e 2 y e 2 y ) 2(sin 2 x cos 2 x) 2
推论
z e
n
n in
n源自文库
z n e
i
n
给定一个 z ， z
n
2 有n个值，辐角相差 n
4）商
代数式运算：
Z1 Z2
= =
x1 iy1 x 2 iy 2
=
( x1 iy1 )(x2 iy 2 ) ( x2 iy 2 )(x 2 iy 2 )
x1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2 i 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2
y
x y=-3
所以1-y=4， 即y=-3的直线。
5、复平面与复数球的关系
(1) s位于平面上的坐标原点。 (2) 复平面上的有限远点与球面上 N以外的点一一对应。 (3) 复平面上的无限远点对应于球 面上北极点N。 (4) 无限远点的模为无限大，其辐 角无明确意义。 N
A
A
s
§1.2
复变函数
一、复变函数的定义与定义域：
3、注意将解出的结果进行讨论，予以其物理思考的解释。
第一篇
复变函数论
第一章
重点内容
复变函数
1、复数的三种表示及其相互转换；
2、Cauchy-Riemann方程的应用；
3、解析函数实部或虚部的求解方法。
§1、1
的和
复数与复数运算
z=x+iy
1、复数: 一个复数可以表为某个实数x和某个纯虚数iy
x和y分别称为该复数的实部与虚部，并记为Rez和Imz。
差的意义
z1 x1 iy1
z2 x2 iy2
z z2 z1 ( x2 x1 ) i ( y2 y1 )
3）积：
代数式运算
z1 z2 ( x1 iy1 )(x2 iy2 ) x1 x2 ix1 y2 ix2 y1 y1 y2
三角运算 z1 z2 1 (cos 1 i sin 1 ) 2 (cos 2 i sin 2 )
1 2 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 ) i (cos 1 sin 2 sin 1 cos 2 )]
12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
指数运算
z1z2 1e i1 2e i2 12e i (1 2 )
4
i)
解:
2 i 1 2 i 1）sh(2 i ) (e 4 e 4 ) 4 2
1 [e 2 (cos i sin ) e 2 (cos i sin )] 2 4 4 4 4
1 2 2 2 2 [ e (1 i ) e (1 i )] 2 2 2
3) 指数式 由欧拉公式 e cos i sin
i
z e
i
4、复数的运算 z1 x1 iy1 1）和： 几何意义
z2 x2 iy2
z z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
y
y
z2
z
z1
z1
x
x
和的意义 2）差：
z
z2
例4
计算 i 的数值
i
解:
i [e
i
i[ 2 n ] i 2
] e
2 n 2
(n 0,1,2....)
例5 求下列方程所表示的曲线 (1) |z+i|=2 (2) |z-2i|=|z+2| (3) Im(i+ Z ) =4
例5 求下列方程所表示的曲线 (1) |z+i|=2 (2) |z-2i|=|z+2| (3) Im(i+ Z ) =4 解： （1）|z+i|=2 即是 y
z1
E
z2
x
（2）邻域： 以复数z0为圆心，任意小正实数ε为半径作一圆，圆内 所有点的集合，称z0的邻域。 注 （a）任意小的正数为半径该圆面积可以无穷小. （b）圆内所有点不包括圆周上的点. （c）对一点而言有无穷多个邻域. （3）内点与外点： 内点
Z0
y
z0
z0
Z0
若z0及其邻域属于点集E ；则称 z0点为点集E的内点。 内点的定义，不只是对于z0一点而言。
研究对象 研究物理问题中遇到的数学方程的求解方法
以及解这些方程需要的复变函数的基础知识。这些方程常常 是偏微分方程。
本教材包括的内容与学习方法
教学内容
复变函数的微分、积分 复变函数 规律 复变函数的性质及变换
二阶一维偏微分方程 数学物理方程 二阶二、三维偏微分方 程 二阶常微分和变常微分 方程
1 (e 2 y e 2 y ) 2(cos 2 x sin 2 x) 2
1 iz |cosz|=| (e e iz )|= 2
完全可以大于1,与实数领域不同.
3
对数函数是多值函数。在复数域中，负实数的对数 是有意义的。
例1
计算下列函数值
1) sh(2 2) ln(-1)
例1 将 z 12 2i 化为三角表示和指数表示. 解:
z 12 2i
x 2 y 2 12 4 4
y 2 3 tg ( ) x 3 12
5 6
(在第三象限)
5 5 i sin ) 6 6
三角式: 指数式:
z 4(cos
如果区域不是单连通
区域和边界线上的点构成的集合B+L=B
二、常见复变函数定义：
1、多项式函数：
F ( z) a0 a1z a2 z 2 an z n
(n为整数)
a0 a1 z an z n 2、有理分式函数: F ( z ) b0 b1 z b2 z 2 bn z m