三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其变换

π 3
5π 3
1
π π 6 3
O
-１
-2 -3
π 3
5π 6

2
x
π y=sin(x+ 3 π y=sin(2x + 3 ) ②
)①
2
二 、 质 疑 问 题 上 面 函 数 y=Asin(ωx+φ) 的 图 象 可 由
y=sinx图象平移变换 →周期变换 →振幅变换的顺序而得 到，若按下列顺序得到y=Asin(ωx+φ)的图象吗？ y π y=3sin(2x+ 3 )③ 3
1 π y sin(2x ) 1 2 2 1 1 π y sin( x ) 1 2 2 4
9
五、提炼总结 ①本节课我们复习y=Asin(ωx+)(A>0，ω>0)的图 象的画法(“五点法”、“变换法”)，并探讨了三 角函数图象各种变换的实质和规律； ②若周期变换在平移变换之前，应遵循 “先平移 ω不理，后平移ω钻底”，但振幅变换出现在前或 后不会影响得到函数y=Asin(ωx+φ)的图象. ③ A， ω， φ，K 对函数y= Asin(ωx+φ)+ k的图象 的影响: A引起 上下伸缩 ________ 变换 伸缩 左右伸缩 变换 变换 ω 引起_________ 左右平移 变换 φ 引起 ________ 上下平移 变换 k引起 ________ 平移 变换
2 1
π π 6 3
π y=sin(x+3
) ② “变换法” 中 先 y=sinx 伸缩后平移演示 5π
5π 6
O
-１ -2 -3
π 3

3
2 x
y=sin2x ① ②周期变换→平移变换 3 →振幅变换
1 例1 画出函数 y 2sin( 3 x 6 ) 的简图.
方法1 “五点法” 列表、 描点、 连线、 画图.
( B )
纵坐标缩小到原来的 2 倍
π 1 D.向左平移 6 个单位，横坐标缩小到原来的 2 倍， 1
纵坐标缩小到原来的 2 倍
6
4.要得到函数y=f (2x+π)的图象，只需将函数 y=f (x)的图象 (C ) A.向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长 到原来的2倍，纵坐标不变 B.向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长 到原来的2倍，纵坐标不变 C.向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短 到原来的0.5倍，纵坐标不变 D.向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短 到原来的0.5倍，纵坐标不变 提示: y=f (x) →y=f (x+π) →y=f (2x+π). 一千个宏伟目标，一万条豪言壮语， 7 也不如一步一个脚印!
π 5.把函数y=cos(3x＋4 π C.向右平移 12
)的图象适当变动就可以得到 y=sin(－3x)的图象，这种变动可以是 ( ) D π π A.向右平移 4 B.向左平移 4
王新敞
奎屯 新疆
π D.向左平移 12
π π ∴由y＝sin[－3(x－ )]向左平移 12 12
分析: 三角函数图象变换问题的常规题型是:已知 函数和变换方法，求变换后的函数或图象，此题 是已知变换前后的函数，求变换方式的逆向型题 目，解题的思路是将异名函数化为同名函数，且 须x的系数相同. π π π 解:∵y=cos(3x＋4 )=sin( －3x)=sin[－3(x－12 )]
生活就如同一杯咖啡，苦涩而又香醇，浓烈而又耐人 回味，欢乐、艰辛、挫折、磨难、困惑，当这一切都成 11 为往事，你会觉得那是一笔财富！
12
π 3.函数y＝3sin(2x＋ )的图象，可由y＝sinx的图象 3
经过下列哪种变换而得到 纵坐标扩大到原来的3倍
π 1 A.向右平移 个单位，横坐标缩小到原来的 倍， 3 2 π 1 B.向左平移 3 个单位，横坐标缩小到原来的 倍， 2 纵坐标扩大到原来的3倍 π C.向右平移 6 个单位，横坐标扩大到原来的2倍， 1
有志者，事竟成！ Where there is a will， There is a way.
函数y=Asin(ωx+φ)图 像
2015/12/10
1
①由函数y=sinx的图象是怎样经过平移变换→周期 变换→振幅变换而得到函数y=Asin (ωx+φ)图象.
y
3 2
“变换法” 中先 平移后伸缩演示 y=3sin(2x+ )③ y=sinx
10
六、布置作业 1.作下列函数在一个周期的闭区间上的简图，并指 出它的图象是如何由函数y = sinx的图象而得到的.
1 π (1) y=5sin( x ) 2 6
π sin2x+acos2x的图象关于 x = 6
1 π (1) y= sin(3x ). 2 4
2.已知函数f(x)= 对称，求a的值. 提示:函数f(x)= Asin(ωx+φ)的图象的对称轴位置必 过图象的最值点(最高点或最低点).
4
才能得到
8
y＝sin(－3x)的图象
6.若函数y＝f (x)的图象上每一点的纵坐标保持不 变，横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再将整个图象 π 沿x轴向左平移 2 个单位，沿y轴向下平移1个单位 1 ，得到函数y= 2 sinx的图象，则有y＝f (x)是 ( B ) A. C.
1 π y sin(2x ) 1 2 2 1 π y sin(2x ) 1 2 4
B. D.
解:由题意可知
1 π 1 即y f[ (x )] sin x 1 2 2 2 1 π π 令 (x ) t，则 x 2t ， 2 2 2 1 π 1 π 所以f(t)= (2t ) 1，即 f(x)= (2x ) 1. 2 2 2 2
1 π 1 y f[ (x )] 1 sin x 2 2 2
5π y=sin(2x ) 函数表达式为____________. 6 π π ②函数y=3cos (x+ 4 )图象向左平移 3 个单位所得图 7π y=3cos(x ) 象的函数表达式为_____________. 12 π 2.若将某函数的图象向右平移 2 以后所得到的图象 π 的函数式是y＝sin(x＋ 4 )，则原来的函数表达式为 π 3π (A) A. y＝sin(x＋ 4 ) B. y＝sin(x＋ 2 ) π π π C. y＝sin(x－ 4 ) D. y＝sin(x＋ 4 ) － 4 5
2
x
1 π x 3 6
2
2
0 0
2
7 2
5
π 0
2
13 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2π 0
y
2
－2
13π 2
y
7π 2
O π -2 2
2π
5π
x
1 y 2sin( x ) x [0， 2] 3 6
4
四、检测反馈 1. 完成下列填空： 5π ①函数y=sin2x图象向右平移12 个单位所得图象的