空间图形(棱柱,棱锥,棱台)

三. 正棱柱、正棱锥、正棱台
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．直棱柱的 特征为侧面是矩形，侧棱等于高．
直棱柱
如果直棱柱的底 面是矩形，就是 长方体
如果长方体的 所有棱的长都 相等，就是正 方体
正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱
正棱锥: 底面是正多边形且顶点到底面的垂 足是底面的中心的棱锥
正棱台: 由正棱锥截得的棱台
S下
S上S下
l
(适用于一般棱锥)
斜高l
l : 斜高 h : 高 p : 底面周长
直棱柱、正棱锥和正棱台的面积和体积公式
名称
直棱柱
正棱锥
正棱台
侧面积
S侧 =lp
全面积 S全= lp+2 S底
V= S底h
体积
(适用于一般 棱
柱)
S侧 =12 lp
S侧
1
=2
l(
p上＋p下
)
S全
=
1 2
lp+S底
1
V= 3 S底 h
一. 一般棱柱,棱锥,棱台的定义
图1
图2
图3
棱柱:由一个平面多边形平移形成的空间几何体叫 做棱柱
棱锥:当棱柱的上面收缩为一点时，可得到棱锥； 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和 平行截面间的部分叫做棱台．
二. 棱柱、棱锥和棱台的基本性质
名 称
棱柱
棱锥
棱台
上底面
图
侧棱
顶点
侧棱
上底面
侧棱
高
解:上底面积S上=64，下底面积S下=144，
V=
1 3
h
(
S上
S下
S上S下
)＝1 （6 64＋144＋ 3
64 144）=608；
斜高l 2 10
8
8 O′ E
S侧=
1 2
l
(
p上＋p下
)
=
1 2 2
1（0 32＋48）=
80
10
S全=
1 2
l
(
p上＋p下
)＋S
上＋S下
l
6
O GF
12 12
＝＋64＋144＝16（13＋5 10 ）
(1)直棱柱
侧面积: S侧 l p 全面积: S全 2S底 S侧 2S底 l p
体积:
l
V S底 h (适用于一般棱柱)
l : 侧棱长 p : 底面周长
p
h:高
3.直棱柱,正棱锥,正棱台的面积公式和一般棱柱, 棱锥,棱台的体积公式
(2)正棱锥
侧面积:
S侧
1 2
l
p
全面积:
S全
S底
解 在等腰直角三角形ABC中，
B1
因为AB=BC, ABC=90, SABC=72cm2
所以
1
ABBC=72，即
AB2=144,
AB=12；
A1
C1
于是 AC AB 2 BC 2 288 12 2
B
所以 S侧 =16(12+12+12 2 )≈656(cm2) A B
C
V=S底h=7216=1152(cm3)．
A
C
例2 如图正四棱锥P-ABCD,求它的体积、侧面积 和全面积．
解 (1) 经过顶点P作BC的垂线PE, 即侧面斜高l=PE 42＋22 ＝ 2 5
底面积 S=4×4=16，高h=4
V
=
1 3
Sh＝
64 3
；S侧
=
1 2
pl=
16
5
S全 =S侧+S=16（1＋ 5 ）
P
D4 l
C
O
E
A
B4
4
例3:如图正四棱台的高h=6,上底边长8,下底边长12,求 它的表面积体积
等腰梯形；
3．两底面为相似正 多边形，两底面中 心连线垂直于底面。
垂直于底面．
例1:用集合表示棱柱,直棱柱,正棱柱,长方体, 正方体的关系
正方体 正棱柱 直棱柱 棱柱 正方体 长方体 直棱柱 棱柱
例2:说明棱锥,正棱锥,正棱台的关系
正棱锥:底面是正多边形且顶点到底面 的垂足是底面的中心的棱锥
正棱台:由正棱锥截得的棱台
五. 棱柱、棱锥和棱台的表面积和体积
1.侧面展开图与侧面积 把棱柱、棱锥和棱台的侧面沿一条侧棱剪开后
展在一个平面上所得的图形，叫做它们的侧面展开图， 侧面展开图的面积就是它们的侧面积．
l
l
p
2.全面积:棱柱、棱锥的全面积等于侧面积与底面 积的和
3.直棱柱,正棱锥,正棱台的面积公式和一般棱柱, 棱锥,棱台的体积公式
O′
E
＝ 80 10
O GF
课内练习3
1.一个长方体三条棱长的比是1:2:3，全面积是88cm2，
求这三条棱的长．
2. 已知正方体的全面积是24 cm2，则它的一条棱长
为
，它的对角线长为
，它的体积
为
．
3. 已知正三棱柱的底面边长为6 cm，高为9 cm，则
它的侧面积为
，体积为
．
4. 已知正三棱锥的底面边长为a，且侧面是直角三
§5.2棱柱,棱锥和棱台
一般棱柱,棱锥,棱台 正棱柱,正棱锥和正棱台 棱柱,棱锥和棱台的表面积和体积
一. 一般棱柱,棱锥,棱台的定义
长方体是一个特殊的棱柱,可以看成是由 一个矩形沿着正对矩形的方向平移而形成.
如果将上述的矩形换成多边形且平移方向 不一定正对多边形,那么平移形成的图形就是 一般的棱柱.
角形，则它的全面积为
．
高
斜高
高
形
侧面
下底面
侧面
底面
斜高
侧面 下底面
主 要 特 征
1．侧棱平行且相 等；
2．侧面都是平行 四边形；
3．两底面是全等 多边形．
1．侧棱相交于一 点；
2．侧面是三角 形．
1．侧面是梯形； 2．两底面是相似 多边形．
3．侧棱延长后交 于一点．
底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱(棱锥、 棱台)，依次称作三棱柱(三棱锥、棱台)、四棱柱(四 棱锥、棱台)、五棱柱(五棱锥、棱台)…．
四. 正棱柱、正棱锥和正棱台的基本性质
名 称
正棱柱
正棱锥
正棱台
图 形
1．侧棱都等于棱
主 要 特 征
柱的高； 2．侧面都是全等 的矩形； 3．两底面是全等 的正多边形，两 底面中心的连线
1．各侧棱相等； 2．侧面是全等的等
腰三角形；
3．顶点与底面中心 的连线垂直于底面．
1．各侧棱相等； 2．各侧面是全等的
S侧
S底
1 2
l
p
体积:
V
1 3 S底 h
(适用于一般棱锥)
l : 斜高 p : 底面周长
h:高
高h
l
斜高l
3.直棱柱,正棱锥,正棱台的面积公式和一般棱柱,
棱锥,棱台的体积公式
(2)正棱台
高h
侧面积:
S侧
1 2
l(
p上
p下）
全面积:
S全
S底
S侧
S上
S下
1 2
l（p上
p下）
体积:
V
1 3
h
S上
(适用于一般棱锥)
= S全
1 2
l
(
p上＋p下
)＋S上＋S下
V
1 3
h (S上
S下
S上S下 )
(适用于一般棱台)
l：侧棱长， l：斜高，
l：斜高，
注
p：底面周长, p：底面周长， p：底面周长，
h：高．
h：高．
h：高．
例， 1 如图，已知直棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰 直角三角形，AB=BC，∠ABC=90，三角形的面积是 72cm2，侧棱长为16cm，求棱柱的侧面积S和体积V．