第六章万有引力学案

万有引力与航天

〖学习目标〗

1．万有引力定律

①了解太阳系行星运动的特点。 ②了解发现万有引力定律的过程。 ③知道牛顿发现万有引力定律的意义。 ④理解万有引力定律。

⑤会用万有引力定律处理简化了的天体运动的问题。 2．卫星的运动

①会计算人造卫星的环绕速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。 ②能够用万有引力定律处理行星绕太阳运动的问题和地球卫星的问题。 ③了解我国航天事业的发展历史、现状和前景。

〖学习导引〗 1．万有引力定律

（1）内容：任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。 （2）公式：F =G

2

21r

m m ，其中G =6.67×10-11N ﹒m 2/kg 2

（3）万有引力定律适用于一切物体，而公式在中学阶段只能直接用于质点间的万有引力的计算（匀质球体或匀质球壳亦可）。 2．地球上物体重力变化的原因 （1）自转的影响

当物体位于纬度φ处时，万有引力为F =G 2

R

Mm ，向心力为F n =m ω2R cos φ，则重力

mg =

φcos 22

2

n n FF F F -+。当物体位于赤道时，φ=0°，mg =F －F n =G

2

R

Mm －m ω2

R cos

φ；当物体位于两极时，φ=90°，mg =F =G 2

R

Mm 。

可见，物体的重力产生于地球对物体的引力，但在一般情况下，重力不等于万有引力，方向不指向地心，由于地球自转的影响，从赤道到两极，物体的重力随纬度的增大而增大。 （2）地面到地心的距离R 和地球密度ρ的影响

由于地球是椭球体，质量分布也不均匀，根据F =G 2

R

Mm =ρπGRm 3

4

可知，随着R 和

ρ的变化，重力也会发生变化。

说明：由于地球自转的影响，从赤道到两极，重力变化为千分之五；地面到地心的距离R 每增加一千米，重力减少不到万分之三。所以，在近似计算中，mg ≈F 。 3．万有引力定律的应用 （1）重力加速度g =G

2

)

(h R M +

（2）行星绕恒星、卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律可知 G

2

r

Mm =ma n ，又a n =

r T

r r

v

2

2

2

)2(

πω==，则

v =

r

GM ，3

r

GM =

ω，T =GM

r

3

2π

（3）中心天体的质量M 和密度ρ 由G

2

r

Mm =m r T

2

)2(

π

可得M =23

2

4GT

r π，ρ=

2

3

33

33

4T

GR r

R

M ππ=

当r =R ，即近地卫星绕中心天体运行时，ρ2

3GT

π=。

4．人造地球卫星

（1）发射速度、宇宙速度和环绕速度

发射速度（v 0）是从地面将人造卫星沿切线方向送入轨道的初速度；宇宙速度（v n ）是最小发射速度，如第一宇宙速度v 1=7.9km/s 是发射人造卫星的最小发射速度；环绕速度（v ）是人造卫星在轨道上运行的线速度。 （2）推导第一宇宙速度 由G

r

v

m

r

Mm 2

2

=可得：v =

r

GM

人造地球卫星在地面附近（r =R ）环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度为v 1=

R

GM ，这个速度叫做第一宇宙速度。

因为近地卫星所受地球的引力差不多等于卫星的重力mg ，所以，根据mg =R

v

m

2

，可

得v 1=gR 。

说明：第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，是卫星绕地球运行的最大环绕速度。 （3）地球同步卫星

周期T =24h ，轨道跟地球赤道共面同心，距地面的高度h 和环绕速度v 为一定值，可以由h

R v

m

h R T

m h R Mm G +=+=+2

2

2

)()2(

)

(π计算得出。

〖学习评价〗

1．一名宇航员来到某星上，此星的密度为地球的一半，半径也为地球的一半，则他受到的“重力”为在地球上所受重力的 A ．1/4 B ．1/2 C ．2倍 D ．4倍

2．地球绕太阳公转的周期跟月球绕地球公转的周期之比是p ，地球绕太阳公转的轨道半径跟月球绕地球公转轨道半径之比是q ，则太阳跟地球的质量之比M 日:M 地为 A ．q 3/p 2 B ．p 2q 3 C ．p 3/q 2 D ．无法确定

3．太阳距离银河系中心约25000光年，太阳绕银河系中心运动的轨道可视为圆，运动的周期约1.7×108年。太阳光射到地球上需历时约500秒。由此可估算银河系质量是太阳质量的________倍。（取两位有效数字）

4．无人飞船“神州二号”曾在离地面高度为H=3.4×105m 的圆轨道上运行了47h ，

求在这段时间内它绕行地球多少圈？（地球半径R=6.37×106m ，重力加速度g =9.8m/s 2

）

5．卫星靠近某星球的表面运转过程中，要计算该星球的密度，只需要知道下面哪一个物理量

A ．卫星的质量

B ．卫星运行的线速度

C ．卫星运行的周期

D ．卫星的半径

6．一个球形天体的自转周期为T （s ），在它两极处用弹簧秤称得某物体的重力为P （N ），