千万自由度量级有限元模态分析并行计算研究

。以 Ｓｈｉｆｔ Ｉｎｖｅｒｔ 变换为例，
式中： σ为移位值。通过谱变换可以将原广义特征值 问题可以化为标准特征值问题 Ａｓ ｘ ＝ μ 其中 Ａｓ ＝ ｓ ｘ， （ Ｋ－ Ｍ） Ｍ， １／ （ ） 。在扩展 Ｋｒｙｌｏｖ 子空间 σ μ λ－ σ ｓ ＝ 时， 只需要将矩阵 Ａ 替换成平移 － 逆处理矩阵 Ａｓ 即可， 由此带来的问题就是在每个迭代步中都需要求解一个 线性方程组， 即在增加 Ｋｒｙｌｏｖ 子空间序列时， ｗ ＝ Ａｖｉ 变
振 动 与 冲 击 第 ３４ 卷第 １７ 期 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ ＡＮＤ ＳＨＯＣＫ Ｖｏｌ． ３４ Ｎｏ． １７ ２０１５

千万自由度量级有限元模态分析并行计算研究
范宣华 １ ，肖世富 １ ，陈 璞２
， 基本思想是通过
在 Ｋｒｙｌｏｖ 子空间上建立正交基并利用这组正交基将矩 阵 Ａ 缩减成 Ｈｅｓｓｅｎｂｅｒｇ 矩阵形式。后来很多学者对基 本的 Ａｒｎｏｌｄｉ ／ Ｌａｎｃｚｏｓ 算 法 进 行 了 一 系 列 重 启 动 改 进
［ ６－ ７］
， 比较 著 名 的 是 Ｓｏｒｅｎｓｅｎ 提 出 的 隐 式 重 启 动
１ 大规模特征值问题求解算法
模态分析在数学上可以归结为大型稀疏矩阵特征 值问题， 对于该问题的研究大多基于子空间投影技
３－ ４］ 。依据子空间序列产生的方式不同， 子空间类 术［
方法大致可以分为两类— — —固定维数子空间法和变化 维数子空间法。总体说来变化维数比固定维数的方式
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振 动 与 冲 击 ２０１５ 年第 ３４ 卷
１０ ］ Ｄａｖｉｄｓｏｎ 类子空间方法最初源于由 Ｄａｖｉｄｓｏｎ ［ 提
图 １ Ｐａｎｄａ 框架的基本结构 Ｆｉｇ． １ Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｃｏｎｆｉｇｕｒａｔｉｏｎ ｏｆ ＰＡＮＤＡ ｆｒａｍｅ
利用 ＰＡＮＤＡ 框架提供的并行数据结构以及接口 等功能形成的模态分析求解体系描述见图 ２ 。整个体 系分成 Ｍ ＳＣ． Ｐａｔｒａｎ 前处理建模， ＰＡＮＤＡ 框架下的并行 计算 以 及 计 算 结 果 的 后 处 理 三 个 部 分。 具 体 介 绍 如下： （ １ ） 前处理建模。模态分析的前处理借助 Ｍ ＳＣ． ＳＣ． Ｐａｔｒａｎ 中， 根据不同单元类型、 不 Ｐａｔｒａｎ 实现。在 Ｍ 同材料和边界约束等对工程结构的有限元模型进行分
－ １ Ｋ－ Ｍ） Ｍｖｉ ， 要得到 ｗ ， 即相当于求解线 成了 ｗ ＝ （ σ － １
性系统（ Ｋ－ Ｍ） ｗ ＝ Ｍｖｉ 。该大型线性方程组的求解 σ 是整个特征值算法的关键， 一般采用矩阵分解的直接 法进行求解， 矩阵分解将占据整个特征值问题求解的 大部分时间和存储空间。 １． ２ Ｄａｖｉｄｓｏｎ 类子空间方法
［ ２， ５］
为某阶近似特征值（ 里兹值） ， ｕ 为和 θ相对应 式中： θ 的近似特征向量（ 里兹向量） ， ｒ 为留数向量， ｔ 为待求 的正交补向量。和 Ｋｒｙｌｏｖ 类子空间算法的一个重要不 同在于， Ｊａｃｏｂｉ Ｄａｖｉｄｓｏｎ 方法通过得到 ｔ 的近似解来扩 展子空间， 而 Ｋｒｙｌｏｖ 类子空间方法通过将算子 Ａ 的幂 形式施 加 到 初 始 迭 代 向 量 上 来 扩 展 子 空 间。 Ｊａｃｏｂｉ 外层迭代方式求解特征系统， 外 Ｄａｖｉｄｓｏｎ 方法采用内 － 层迭代扩展子空间， 内层迭代求解“ 修正方程” 。该算 法的优势在于计算过程中涉及的运算主要是矩阵 －向 量积和向量内积， 原特征矩阵的稀疏特性得以保留， 对 内存需求低， 并行通讯少； 但对不同问题的适应性不如 采用 Ｋｒｙｌｏｖ 类子空间方法。
Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｉｎ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｏｆ ｌａｒｇｅ ｅｑｕｉｐｍｅｎｔｓ，ｔｈｅ ｄｅｍａｎｄ ｏｆ ｌａｒｇｅ ｓｃａｌｅ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ｖｅｒｙ ｓｔｒｏｎｇ ｄｕｅ ｔｏ ｉｔｓ ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ ｉｎ ｒｅａｌｉｚｉｎｇ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｔｉｒｅ ｌａｒｇｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｒｅｅ ｐｒｅｄｏｍｉｎａｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ，ｉ． ｅ． ，ｉｍｐｌｉｃｉｔｌｙ ｒｅｓｔａｒｔｅｄ Ａｒｎｏｌｄｉ ｍｅｔｈｏｄ ，Ｋｒｙｌｏｖ Ｓｃｈｕｒ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ Ｊａｃｏｂｉ Ｄａｖｉｄｓｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ＰＡＮＤＡ ｆｒａｍｅｗｏｒｋ ，ａ ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ ａ ｌａｒｇｅ ｓｃａｌｅ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗａｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ａｓ ａ ｔｙｐｉｃａｌ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ，ｉｔ ｗａｓ ｍｉｌｌｉｏｎ ｕｓｅｄ ｔｏ ｇｅｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ ｏｆ ａ ｃｅｒｔａｉｎ ｏｐｔｉｃａｌ ｍａｃｈｉｎｅｒｙ，ａ ｐａｒａｌｌｅｌ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｉｔｈ ｏｖｅｒ ｔｅｎ ＤＯＦ ｗａｓ ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ ａｎｄ ｔｈｏｕｓａｎｄｓ ｏｆ ＣＰＵ ｐｒｏｃｅｓｓｏｒｓ ｗｅｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ．Ｔｈｅ ａｄａｐｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｃａｌａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｗｉｔｈ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ．Ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｏｌｖｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ｃａｎ ｐｅｒｆｏｒｍ ｔｈｅ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｉｔｈ ｏｖｅｒ ｔｅｎ ｍｉｌｌｉｏｎ ＤＯＦ ｗｉｔｈｉｎ ｏｎｅ ｈｏｕｒ ａｎｄ ｉｔｓ ｐａｒａｌｌｅｌ ｓｃａｌａｂｉｌｉｔｙ ｉｓ ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ；ｌａｒｇｅ ｓｃａｌｅ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ 在一些特殊大型装备如巨型光机装置、 复杂武器 系统以及大型飞行器等的研制过程中， 往往既需要关 注整体动力学特性， 也需要关注局部， 涉及大规模复杂 动力学系统求解， 这对传统有限元计算方法和分析工 具形成挑战。一方面传统的简化建模会影响结构局部 关键细节的预测能力； 另一方面大型装备结构复杂， 往 往包含大量的密集模态， 需要精细建模才能得以反映。 目前国内现有的商业有限元软件模态分析能力维持在 １００ 万自由度量级、 数小时的计算水平， 无法满足大型 装备系统级高精度数值分析的需求。这样以来， 高效
（ １ ．中国工程物理研究院 总体工程研究所， 四川 绵阳 ６２１９９９ ； ２． 北京大学 工学院力学与工程科学系， 北京 １００８７１ ）
摘 要： 大规模有限元模态分析在一些重大装备研制过程中有迫切需求， 对于实现装置系统级分析具有重要意
义。基于隐式重启动 Ａｒｎｏｌｄｉ 、 Ｋｒｙｌｏｖ Ｓｃｈｕｒ 和 Ｊａｃｏｂｉ Ｄａｖｉｄｓｏｎ 三种主流算法和 ＰＡＮＤＡ 并行计算框架， 构建了大规模模态 分析并行计算体系； 将并行求解体系应用于某光机主体结构， 实现了其上千万自由度、 数千核的模态分析并行计算； 结合 算例对三种主流算法的适应性和并行可扩展性进行了评估。研究结果表明， 基于三种算法构建的并行求解体系均可在 １ 小时内求解千万自由度量级的大规模模态分析问题， 并行可扩展性非常优异。 关键词：有限元法；大规模模态分析；并行计算 中图分类号：ＴＢ１２３ ；ＴＰ３１ １ 文献标志码：Ａ ＤＯＩ ： １０． １３４６５ ／ ｊ． ｃｎｋｉ． ｊｖｓ． ２０１５ ． １７． ０１３
［ ６］
Ａｒｎｏｌｄｉ ／ Ｌａｎｃｚｏｓ 算法 软件包
［ ７］
， 其 具 体 代 码 实 现 于 ＡＲＰＡＣＫ
［ ８］
， 已经得到广泛应用。 Ｓｔｅｗａｒｔ
在隐式重启
Ｌａｎｃｚｏｓ 算法基础上进行了改进， 将 Ａｒｎｏｌｄｉ 动 Ａｒｎｏｌｄｉ ／ 分解代之以更为宽泛的 Ｋｒｙｌｏｖ 分解， 提出了更容易代 码实 现 的 Ｋｒｙｌｏｖ Ｓｃｈｕｒ 算 法。 隐 式 重 启 动 Ａｒｎｏｌｄｉ ／ Ｌａｎｃｚｏｓ 算 法 和 Ｋｒｙｌｏｖ Ｓｃｈｕｒ 算 法 在 数 学 上 具 有 等 价 性， 是目 前 Ｋｒｙｌｏｖ 类 子 空 间 算 法 中 的 两 个 主 流 数 值 算法。 对模态分析而言， 其数学本质是求解由质量矩阵 Ｍ 和刚度矩阵 Ｋ 组成的广义特征值方程 Ｋｘ ＝ Ｍｘ， 所 λ 关心的是低阶特征对。而 Ｋｒｙｌｏｖ 类算法多收敛于最大 特征值， 为此需要进行谱变换。常用的谱变换有 Ｓｈｉｆｔ Ｉｎｖｅｒｔ 变换和 Ｃａｙｌｅｙ 变换 对应的变换形式为： Ｋｘ ＝λ Ｍｘ ( Ｋ －σ Ｍ) －１ Ｍｘ ＝ １ ｘ λ－σ （ １）
更为高效， 最 具 代 表 性 的 是 Ｋｒｙｌｏｖ 类 子 空 间 方 法 和 Ｄａｖｉｄｓｏｎ 类子空间方法， 以下分别进行简述。 １． １ Ｋｒｙｌｏｖ 类子空间方法 Ｋｒｙｌｏｖ 类子空间方法可以追溯到 ２０ 世纪 ５０ 年代 提出的用于对称特征值求解的 Ｌａｎｃｚｏｓ 算法和用于非 对称特征值求解的 Ａｒｎｏｌｄｉ 算法
基金项目：国家自然科学基金面上项目（ １ １４７２２５６ ） ； 中国工程物理研究 院发展基金项目（ ２０１２Ａ０２０２００８ ） ； 中国工程物理研究院重点学科项 目“ 计算固体力学” ； 中国工程物理研究院院长基金项目 收稿日期：２０１４ － ０５ － ０７ 修改稿收到日期： ２０１４ － ０８ － ２７ 第一作者 范宣华 男， 博士， 高级工程师， １９８１ 年生
Ｐａｒａｌｌｅｌ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｆｏｒ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ｍｏｄａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｉｔｈ ｏｖｅｒ ｔｅｎ ｍｉｌｌｉｏｎ ＤＯＦ ＦＡＮ Ｘｕａｎ ｈｕａ １ ，ＸＩＡＯ Ｓｈｉ Ｆｕ １ ， ＣＨＥＮ Ｐｕ２
（ １ ．Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｓｙｓｔｅｍｓ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＣＡＥＰ，Ｍ ｉａｎｙａｎｇ ６２１９００ ，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍ ｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅ ，Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｐｅｋｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １００８７１ ，Ｃｈｉｎａ）