湖南省2017年高中数学联赛预赛试题

2017年湖南省高中数学联合竞赛试卷

一、选择题（本大题共6个，每小题5分，满分30分）

1. 设集合

{}1,2,3,....,2017X =,集合

{(,,),,,S x y z x y z X =∈且三条件

,,x y z y z x z x y <<<<<<恰好有一个成}立,若(,,),(,,)x y z S z w x S ∈∈,则下列选项正

确的是( )

A. (,,)(,,)y z w S x y w S ∈∉且

B. (,,)(,,)y z w S x y w S ∈∈且

C. (,,)(,,)y z w S x y w S ∉∈且

D. (,,)(,,)y z w S x y w S ∉∉且

2.已知点P 为正三棱柱111ABC A B C -上底面111A B C ∆的中心，作平面BCD AP ⊥,与棱1AA 交于点D,若122AA AB ==,则三棱锥D ABC -的体积为（ ）

A.

48 B. 24 C. 16 D. 12

3.已知椭圆C: 22

184

x y +=，对于任意实数k,椭圆C 被下列直线所截得弦长，与被直线

:1l y kx =+所得弦长不可能相等的是（ ）

A. 0kx y k ++=

B. 10kx k --=

C. 0kx y k +-=

D. 20kx y +-=

4.对任意正整数n 与k ()k n ≤，用(,)f n k 表示不超过n k ⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

且与n 互质的正整数个数,则

(100,3)f =（ ）

A. 11

B. 13

C. 14

D. 19

5.如果111A B C ∆三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A. 111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是锐角三角形 B. 111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 C. 111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆也是钝角三角形 D. 111A B C ∆是钝角三角形, 222A B C ∆也是锐角三角形

6.将石子摆在如果所示的梯形形状，称具有“梯形” 结构的石子数依次构成的数列{}n a ： 5,9,14,20，,,,,,,,,,,为“梯形数列”，根据梯形的构成，可知624a =（ ）

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A.166427

B.196248

C.196249

D.196250

二、填空题（本大题共6个，每小题8分，满分48分）

7.已知函数()f x 满足()()(),(1)3f m n f m f n f +==，

则22(1)(2)(2)(4)(1)(3)f f f f f f ++++22(3)(6)(4)(8)

(5)(7)

f f f f f f ++++=_________

8.已知,,A B C 为圆O 的三点，且1

()2

AO AB AC =+,则AB AC ⋅=__________

9.已知复数z ，若方程248430(x zx i i -++=为虚数单位）有实数根，则复数z 的Z 的最小值=_________

10.对于正整数n,定义!(1)(2).......21n n n n =--⋅，记12!.....12!3!

(1)!n n

S n n ⎡⎤=+++

-⎢⎥+⎣⎦， 2017S =________

11.当0x π≤≤，且3sin

2

x

tan x =____________ 12.设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，有22()()f x xf x x '+>， 则不等式2(2017)(2017)(1)0x f x f ++-->的解集_______________

13.（16分） 在锐角ABC ∆中，sin A ,a,b,c 为A,B,C 的对边， （1）求2

sin 2()sin 2

B C

B C +++的值 （2）若4a =，求当AB AC ⋅取最大值时ABC ∆的面积

14.（16分）已知数列{}n a 满足2

11(1)2,()n n n s a a n N s ++-==-

∈,其中n S {}n a 的前n 项和， (1)求证：11n s ⎧⎫

⎨⎬-⎩⎭

为等差数列

(2)若对于任意的n,均有：12(1)(1).....(1)n s s s kn +++≥，试求k 的最大值.

15.（20分） 已知,a b R +∈,a b ≠

（1ln 2

a b a b

a ln

b -+<

- （2）如果,a b 是函数()ln 2017f x x x =-的零点，证明：2ab e > (此题目有错误,省竞委已经做了声明)

16.（20分） 已知AB 是椭圆22:1(,0,)C mx ny m n m n +=>≠上的斜率为1的弦，AB 的垂直平分线与椭圆交于CD 两点，设CD 的中点F,CD 交于AB 于E (1)求证：2

2

2

4CD AB EF -= (2)求证：四点ABCD 共圆

四、加试（每大题20分）(发哥给学生考时个人加的)

（1） 在锐角ABC ∆，证明：

(2)设12,,...,0n a a a >，证明：

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