柔性机械臂逆动力学问题的分析和求解
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．
曲） 较小 ， 忽略机械臂 的径 向变形 ； 则 假定关 节及臂端 负载均 为集 中质量 ， 则忽 略其 大小 。同时 ， 暂不考虑电机转子 的转 动
惯 量 和 电机 的阻 尼 。
式 中 ， 为 ６×６质量 阵 ； 为速度 的二 次项 ； Ｈ Ｋ为 ６×６
刚 度 阵 ； 为重 力 的广义力 向量 ； 厂 Ｑ 为驱动力 矩 的广义力 向
到 了一 种实 时 的逆 动力 学方 法 。Ｃ ｆ ｎ等 应用 了驱 动 约束 ｏｏ ｒ 法【 把期望运 动处理成 非定 常约束 。Ｂ ｙ 在频域内进行 了逆 ５ 】 ， ａｏ
动 力 学求 解 嘲 。
梁 的振动 。这样 ， 动力 学模 型刚度阵 的弹性坐标互相不 耦合 ， 臂 端的位置可 由 ０ 和 确定 ， 其期望运动形式 （ 或数值解 ） ：
动坐标 系的方位角来描述 。 于是 ， 在动力学模型 中将有两类变
量， 一类 是 幅值很小 ， 但变化 迅速 的弹性坐标 ； 一类是 变化 另
机械臂的高速 、 高精度控制 ， 则是一种具有实效 的方 法。 关于柔性臂控制的逆动力学方法 的研 究 ， 报道 尚不多见 ，
其 中文献 【— 】 动力学方 程解耦 ， １５对 即把 动力学方 程近似分 解
ｒ
量；＝（ 口 口 ０
６ ｂ］ ， 。 ： 其中ａ ２ｂ 和６分别是两 。 、。 ： 和ｎ
个 机械臂的一阶和二阶弹性坐标。
柔性 臂系统 的逆动 力学问题 ，是指在 已知期 望末端操作 器运 动轨迹的情况 下 ，结合逆运动学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 动力学方 程对关节力
矩进行求解 。如果 直接进行逆 动力 学求解 ， 即把式 （） １代人动
ｆ。 。 ０ ＝０（ ｆ）
在逆 动力求解 中， 常常会遇到求得 的力矩不准 、 力矩振 荡
很大、 求解繁琐等 问题 。因此 ， 讨论逆动力学求解的特点 和性 质是 非常重要 的，并有助 于采 用合理的方式得到 比较好 的前
馈 力矩 。
一
１ 厂） ｆ＝ （ ０ ２
如采 用其他形式 的动坐标 系 ，两杆 的弹性坐标将耦 合在 起， 而且在逆 动力 学求解时 ， 将不得不处理微分方程 与代数
１ ６
《 备制 造 技术 ）Ｏ Ｏ年 第 ５期 装 ２Ｌ
稳 定 ， 解发 散 ， 其 即双 连杆 柔性臂 在 这种情 况下 ， 振动 问题 其
对 每 个 机 械 臂 取 两 阶 模 态 坐 标 来 描 述 ，应 用 拉 格 朗 日方
方程组合 的方程组 。 法得到动力学方程 ： Ｍｑ＋Ｈ（ ， ） ｑ＋ ＝口 ｑ ｇ ＋Ｘ ， ｆ （ ２ ）
１ 动力 学和 逆动 力 学模 型
一
般情 况下 ，柔性机械臂 的两根连杆横向弹性变形 （ 弯
Ｅ ｕｐ ｎ Ｍａ ｕ ａ ｔ ｎ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ Ｎｏ５， ０ ０ ｑ ｉ ｍｅ ｔ ｎ ｆ ｅｒ ｇ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ． ２ １ ｉ
柔性机械臂逆动力学 问题 的分析和 求解
孟 庆 元
（ 津 工 业 大学 ． 津 ３ ０ ６ ） 天 天 ０ １０
摘 要 ： 用割线 坐标 系对机械臂 的运动进行 了描述 ． 采 并分快变（ 振动 ） 和慢 变两方面进行 逆动力学问题 的分析 与求解。在对快 变部分
力学方 程式（ ） ， 方 程中 的弹性坐标 和力矩 进行求 解 ， ２中 对 一
般情况下 ， 数值解将很快 发散。 其
表达系统运动状 态的坐标 ， 以看成有两部分组 成 ： 可 大范
图 １ 双连杆 柔性臂
围的相 对缓 慢的运 动 （ 慢变 ） 部分 和小 范 围的振 动 （ 变 ） 快 部
图１ 是一双连杆柔性机械臂 ， 两臂间关 节电机质量 为 ｍ ， 上臂端部集 中质量为 ｍ．两连杆质量和抗 弯刚度分别为 和 ｅ ，
分 。本文试 图将这两部分分 离 ， 分别讨 论其 逆动力学特性 ， 并 以此来分析整体 系统 的逆动力学 问题 。
收稿 日期 ：０ ０ ０ — ２ ２ １－ ２ １ 作者简介 ： 盂庆元（ ９ ６ ）男 ， 津西青人 ， １８ 一 ， 天 学生， 大学本科 ， 研究 方 向为机械工程及 自动化（ 数控 方向 ） 。
控制算法 的计算速度 ， 复杂的控制算法难以实现。而逆动力学 建模和控制是 紧密相关 的 ， 过逆动力学方法 ， 到一个 比较 通 得 精确 的驱动力矩作 为前 馈 ， 再施 以适 当的控制算法 ， 以实现对
连杆变 形很 小 ， 每根连杆建立一个运动坐标 系 。 对 使得连
杆在其 中的相对运动很小 。 机械臂的整体运动 ， 则可 由这两个
成 一 些 相 对 简 单 的系 统 ，从 而得 到 逆动 力 学 的表 达 式 。 Ｍ ￣ ｎ 通过对 采用切线 坐标 系的动力学 模型进行 简化 ， ａ ｕｏ 得
范 围较大 的方位角。 本文采用端点连线坐标系 ， 即将 连杆 两端
点 的连线作 为动坐标 系的 轴（ 图 １ 。 见 ） 描述整体运动的是两 个角度 ０ 和 ， 。 而连杆相对 于动坐标 系的运动 ， 则可视为 简支
文 章 编 号 ：６ ２ ５ ５ ２ １ ０ － ０ ６ ０ １ ７ — ４ Ｘ（ ０ ０）５－ １ — ２ ０
双连杆柔性机械臂 ， 是柔性系统 中最 为典 型的例 子之一 。
鸩 ， 和巩 ， 两连杆的长度分别为 厶 和 ￡， 和 为两关节 ：
电机 提 供 的力 矩 。
在实践中 ， 对其端点 的运 动实现精确 的控制 的最重要 因素 ， 是
逆 动力学性 质的分析 中发 现， 快变部分精确的逆动力学解是发散的。在进行柔性机械 臂逆动力学求解时， 应在慢变的意义上进行。文 中给 出了一种去掉 系统快 变部 分的简单方法， 并进行 了逆 动力学求解。数值仿真结果表 明， 处理方法是合 理的。 该 关键词 ： 柔性机械臂 ； 力学； 动 逆动力学； 动； 振 大范围运动 中图分类号： Ｈ１ ３ Ｔ １ 文献标识码： Ａ
曲） 较小 ， 忽略机械臂 的径 向变形 ； 则 假定关 节及臂端 负载均 为集 中质量 ， 则忽 略其 大小 。同时 ， 暂不考虑电机转子 的转 动
惯 量 和 电机 的阻 尼 。
式 中 ， 为 ６×６质量 阵 ； 为速度 的二 次项 ； Ｈ Ｋ为 ６×６
刚 度 阵 ； 为重 力 的广义力 向量 ； 厂 Ｑ 为驱动力 矩 的广义力 向
到 了一 种实 时 的逆 动力 学方 法 。Ｃ ｆ ｎ等 应用 了驱 动 约束 ｏｏ ｒ 法【 把期望运 动处理成 非定 常约束 。Ｂ ｙ 在频域内进行 了逆 ５ 】 ， ａｏ
动 力 学求 解 嘲 。
梁 的振动 。这样 ， 动力 学模 型刚度阵 的弹性坐标互相不 耦合 ， 臂 端的位置可 由 ０ 和 确定 ， 其期望运动形式 （ 或数值解 ） ：
动坐标 系的方位角来描述 。 于是 ， 在动力学模型 中将有两类变
量， 一类 是 幅值很小 ， 但变化 迅速 的弹性坐标 ； 一类是 变化 另
机械臂的高速 、 高精度控制 ， 则是一种具有实效 的方 法。 关于柔性臂控制的逆动力学方法 的研 究 ， 报道 尚不多见 ，
其 中文献 【— 】 动力学方 程解耦 ， １５对 即把 动力学方 程近似分 解
ｒ
量；＝（ 口 口 ０
６ ｂ］ ， 。 ： 其中ａ ２ｂ 和６分别是两 。 、。 ： 和ｎ
个 机械臂的一阶和二阶弹性坐标。
柔性 臂系统 的逆动 力学问题 ，是指在 已知期 望末端操作 器运 动轨迹的情况 下 ，结合逆运动学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 动力学方 程对关节力
矩进行求解 。如果 直接进行逆 动力 学求解 ， 即把式 （） １代人动
ｆ。 。 ０ ＝０（ ｆ）
在逆 动力求解 中， 常常会遇到求得 的力矩不准 、 力矩振 荡
很大、 求解繁琐等 问题 。因此 ， 讨论逆动力学求解的特点 和性 质是 非常重要 的，并有助 于采 用合理的方式得到 比较好 的前
馈 力矩 。
一
１ 厂） ｆ＝ （ ０ ２
如采 用其他形式 的动坐标 系 ，两杆 的弹性坐标将耦 合在 起， 而且在逆 动力 学求解时 ， 将不得不处理微分方程 与代数
１ ６
《 备制 造 技术 ）Ｏ Ｏ年 第 ５期 装 ２Ｌ
稳 定 ， 解发 散 ， 其 即双 连杆 柔性臂 在 这种情 况下 ， 振动 问题 其
对 每 个 机 械 臂 取 两 阶 模 态 坐 标 来 描 述 ，应 用 拉 格 朗 日方
方程组合 的方程组 。 法得到动力学方程 ： Ｍｑ＋Ｈ（ ， ） ｑ＋ ＝口 ｑ ｇ ＋Ｘ ， ｆ （ ２ ）
１ 动力 学和 逆动 力 学模 型
一
般情 况下 ，柔性机械臂 的两根连杆横向弹性变形 （ 弯
Ｅ ｕｐ ｎ Ｍａ ｕ ａ ｔ ｎ ｅ ｈ ｏ ｏ ｙ Ｎｏ５， ０ ０ ｑ ｉ ｍｅ ｔ ｎ ｆ ｅｒ ｇ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ ． ２ １ ｉ
柔性机械臂逆动力学 问题 的分析和 求解
孟 庆 元
（ 津 工 业 大学 ． 津 ３ ０ ６ ） 天 天 ０ １０
摘 要 ： 用割线 坐标 系对机械臂 的运动进行 了描述 ． 采 并分快变（ 振动 ） 和慢 变两方面进行 逆动力学问题 的分析 与求解。在对快 变部分
力学方 程式（ ） ， 方 程中 的弹性坐标 和力矩 进行求 解 ， ２中 对 一
般情况下 ， 数值解将很快 发散。 其
表达系统运动状 态的坐标 ， 以看成有两部分组 成 ： 可 大范
图 １ 双连杆 柔性臂
围的相 对缓 慢的运 动 （ 慢变 ） 部分 和小 范 围的振 动 （ 变 ） 快 部
图１ 是一双连杆柔性机械臂 ， 两臂间关 节电机质量 为 ｍ ， 上臂端部集 中质量为 ｍ．两连杆质量和抗 弯刚度分别为 和 ｅ ，
分 。本文试 图将这两部分分 离 ， 分别讨 论其 逆动力学特性 ， 并 以此来分析整体 系统 的逆动力学 问题 。
收稿 日期 ：０ ０ ０ — ２ ２ １－ ２ １ 作者简介 ： 盂庆元（ ９ ６ ）男 ， 津西青人 ， １８ 一 ， 天 学生， 大学本科 ， 研究 方 向为机械工程及 自动化（ 数控 方向 ） 。
控制算法 的计算速度 ， 复杂的控制算法难以实现。而逆动力学 建模和控制是 紧密相关 的 ， 过逆动力学方法 ， 到一个 比较 通 得 精确 的驱动力矩作 为前 馈 ， 再施 以适 当的控制算法 ， 以实现对
连杆变 形很 小 ， 每根连杆建立一个运动坐标 系 。 对 使得连
杆在其 中的相对运动很小 。 机械臂的整体运动 ， 则可 由这两个
成 一 些 相 对 简 单 的系 统 ，从 而得 到 逆动 力 学 的表 达 式 。 Ｍ ￣ ｎ 通过对 采用切线 坐标 系的动力学 模型进行 简化 ， ａ ｕｏ 得
范 围较大 的方位角。 本文采用端点连线坐标系 ， 即将 连杆 两端
点 的连线作 为动坐标 系的 轴（ 图 １ 。 见 ） 描述整体运动的是两 个角度 ０ 和 ， 。 而连杆相对 于动坐标 系的运动 ， 则可视为 简支
文 章 编 号 ：６ ２ ５ ５ ２ １ ０ － ０ ６ ０ １ ７ — ４ Ｘ（ ０ ０）５－ １ — ２ ０
双连杆柔性机械臂 ， 是柔性系统 中最 为典 型的例 子之一 。
鸩 ， 和巩 ， 两连杆的长度分别为 厶 和 ￡， 和 为两关节 ：
电机 提 供 的力 矩 。
在实践中 ， 对其端点 的运 动实现精确 的控制 的最重要 因素 ， 是
逆 动力学性 质的分析 中发 现， 快变部分精确的逆动力学解是发散的。在进行柔性机械 臂逆动力学求解时， 应在慢变的意义上进行。文 中给 出了一种去掉 系统快 变部 分的简单方法， 并进行 了逆 动力学求解。数值仿真结果表 明， 处理方法是合 理的。 该 关键词 ： 柔性机械臂 ； 力学； 动 逆动力学； 动； 振 大范围运动 中图分类号： Ｈ１ ３ Ｔ １ 文献标识码： Ａ