1.3三角函数的诱导公式.ppt

的三角函数，是否也存在着某种关系， 需要我们作进一步的探究.
知识探究（一）： 的诱导公式
2
思考1：sin（90°－60°）与sin60° 的值相等吗？相反吗？
思考2：sin（90°－60°)与cos60°， cos（90°－60°）与sin60°的值分别 有什么关系？据此，你有什么猜想？
思考4：利用π－α＝π＋(－α)，结 合公式二、三，你能得到什么结论？
sin( ) sin
公式四： cos( ) cos
tan( ) tan
思考5：如何根据三角函数定义推导公式
四？
α的终边
y π-α的终边
P(x,y)
o
P(-x,y)
x
-α的终边
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
思考2： 与 有什么内在联系？
2
2
( )
2
2
思考3：根据相关诱导公式推导，
sin( ) ，cos( ) 分别等于什么？
2
2
sin( ) cos
思考2：设角α的终边与单位圆交于点 P（x，y），则－α的终边与单位圆的交 点坐标如何？
y
α的终边
P(x,y)
o
x
P(x,-y)
-α的终边
思考3：根据三角函数定义，－α的三角
函数与α的三角函数有什么关系？
α的终边
y
P(x,y)
o
P(x,-y)
x
-α的终边
公式三：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式六： 2

cos(
)

sin

2
思 的三考角7：函诱数导与公α式的可三统角一函为数之k2间的 (关k 系Z)， 你有什么办法记住这些公式？
奇变偶不变，符号看象限.
理论迁移
例1、求证：sin( 3 )=- cos ,
2
cos(3Байду номын сангаас )=sin
2
例2、已知cos(75°+ )= 1 ，且 3
思考3：如果α为锐角，你有什么办法证
明

sin (
) cos
，cos( p
-
a) =
sin a ？
2
2
思考4：若α为一个任意给定的角，那么
的终边与角α的终边有什么对称关
2
系？
y 的终边
2
α的终边
O
x
思考5：点P1（x，y）关于直线y=x对称 的点P2的坐标如何？
思考6：设角α的终边与单位圆的交点 为位圆P1（的x交，点y）为，P2（则y，2 x），的根终据边三与角单函 数的定义，你能获得哪些结论？
1.3 三角函数的诱导公式 第一课时
问题提出
1.任意角α的正弦、余弦、正切是怎样 定义的？
sin y α的终边 y
cos x
P(x，y)
Ox
tan y (x 0)
x
2. 2kπ＋α（k∈Z）与α的三角函数 之间的关系是什么？
公式一： sin( 2k ) sin
cos( 2k ) cos
tan( 2k ) tan（ k Z)
3.你能求sin750°和sin930°的值吗？
4.利用公式一，可将任意角的三角函数 值，转化为00～3600范围内的三角函数 值.其中锐角的三角函数可以查表计算， 而对于900～3600范围内的三角函数值， 如何转化为锐角的三角函数值，是我们 需要研究和解决的问题.
y
α的终边
P(x，y) o
x Q(-x，-y)
π+α的终边
思考5：根据三角函数定义， sin（π＋α） 、cos（π＋α）、 tan（π＋α）的值分别是什么？
α的终边 P(x，y)
y
sin(π＋α)=-y
cos(π＋α)=-x
tan(π＋α)= y
x
x
o
Q(-x，-y)
π+α的终边
思考6：对比sinα，cosα，tanα的值， π＋α的三角函数与α的三角函数有什 么关系？
sin( ) sin
公式二： cos( ) cos
tan( ) tan
思考7：该公式有什么特点，如何记忆？
知识探究（二）：-α，π-α的诱导公式：
思考1：对于任意给定的一个角α，－α 的终边与α的终边有什么关系？
y α的终边
o
x
-α的终边
2kπ＋α（k∈Z），π＋α，－α，π －α的三角函数值，等于α的同名函数 值，再放上原函数的象限符号.简记为 “函数名不变，符号看象限”
理论迁移
例1、求值：
（1）sin 7 π
7
6
6
（2）cos 11
4
（3）tan(1560°)
例2、判断下列函数的奇偶性： （1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=xsinx
0～2π的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想.
1.3 三角函数的诱导公式 第二课时
问题提出
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ+α（k∈Z）、π＋α、－α、 π－α与α的三角函数之间的关系，这 四组公式的共同特点是什么？
cos x
函数同名，象限定号.
2.对形如π－α、π＋α的角的三角函数 可以转化为α角的三角函数，对形 如 、 的角的三角函数与α角
思考6：公式三、四有什么特点，如何记
忆？
sin( ) sin
公式三： cos( ) cos
tan( ) tan
sin( ) sin
公式四： cos( ) cos
tan( ) tan
思考7：公式一～四都叫做诱导公式，他 们分别反映了2kπ＋α（k∈Z），π＋ α，－α，π－α的三角函数与α的三角 函数之间的关系，你能概括一下这四组 公式的共同特点和规律吗？
的值
6
3
3
小结作业
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三 角函数之间的相互关系，并具有一定的规 律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是 记住这些公式的有效方法.
2.诱导公式是三角变换的基本公式，其 中角α可以是一个单角，也可以是一个 复角，应用时要注意整体把握、灵活变 通.
-180°< <-90°，求cos(15°- )
的值。
练习1、 化简：
sin(2 - )cos( )cos( )cos(11 - )
2
2
cos( - )sin(3 - )sin(- - )sin( 9 )
2
练习2、已知 cos( ) 2 ，求 sin ( 2 )
公式六： 2
cos( ) sin
2
思考4：tan( ) 与 tan 有什么关系？
2
思考6：正弦函数与余弦函数互称为余函
数，你能概括一下公式五、六的共同特
点和规律吗？
公式五：
sin( ) cos
2

cos(
)

sin
2
sin( ) cos
知识探究（一）：π＋α的诱导公式
思考1：210°角与30°角有何内在联系？ 210°=180°+30°
思考2：若α为锐角，则 （180°，270°）范围内的角可以怎样 表示？
180°+α
思考3：对于任意给定的一个角α，角 π＋α的终边与角α的终边有什么关系？
y α的终边
o
x
π+α的终边
思考4：设角α的终边与单位圆交于点P （x，y），则角π＋α的终边与单位圆 的交点坐标如何？
练习1、已知cos(π＋x)＝1 ，求下
列各式的值：
3
（1）cos(2π－x)；（2）cos(π－x).
练习2、化简：
（1）
cos(180 ) sin( 360) sin(- -180) cos(-180 - )
；
（2）
cos190 sin (210) cos(-350) tan585
.
小结作业
1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意 义时恒成立.
2.以诱导公式一～四为基础，还可以 产生一些派生公式， 如sin（2π－α）=－sinα，
sin（3π－α）=sinα等.
3.利用诱导公式一～四，可以求任意 角的三角函数，其基本思路是：
任意负角的 三角函数
任意正角的 三角函数
锐角的三角 函数
y 的终边
2
P2(y，x)
α的终边
O
P1(x，y)
x
公式五：
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
知识探究（二）： 的诱导公式
2
思考1：sin（90°＋60°）与cos60°， cos（90°＋60°）与sin60°的值分别 有什么关系？据此，你有什么猜想？