大数定律

{
Xn
}
lim P{|
依概率收n 敛于 X
Xn X
,记为X n
| }
P X .
0
lim P{| X n X | } 0 lim P{| X n X | } 1
n
n
X n P X 的直观含义: 随着 的n 增大,绝对误差
|
Xn
X
|较大的可能性越来越小. 抛硬币试验的频率稳定性
nA
Xn
nA n
P
1 2
n
1
1 2
1/2
1 2
O
n
k
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（伯努利大数定律）设 nA是 次n 独立重复试 验中事件 A 发生的次数,且 P(A) p. 则 0,有
则机独律表变立该，的概则量同定由著有率列0分理雅 作,论,且布通可《（令如历XX具大常比猜1切i,何史X有数称·测比E2伯证上,(相定为术0雪1Xnl努明的,,inl,im同i律》夫第)X第m利第nP的中大,Pii于{一次{数次|,提数D1相1n个| 7试学试出(n定in1互nX大A13验期验i.律X)年独数i望）pAA发立定发不和|设2,生发|方{(}Xi生差n为nn}A}1,0,记相(20i,P互1),独p2, 立的) 随
nA ( X1,Y1), ( X 2 ,Y2 ), , ( Xn ,YnG)落入 D中L个数
由伯努利大数定律有
nA n
P P( A)
D G
的面积 的面积
|
D
D
|
故当 n充分大时 ,的D 面积
|
D
|
nA n
.
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在概率论发展初期，由于概率的数学定义尚未明确，所
以缺乏理解概率收敛的理论基础，故把频率“趋于”概率
或E变从( X量而1)列设伯nlim的随努存P方机{利（在|差En变n大n辛nA(，A存X量数钦i则)在n1p定大i的|nn{Pllnpii律1{Xm数m,X方|nD,}、}iP定该P(差服{X{切(律条E0|in|从)1n(1比n）件Dk大)1kn(存雪pn,设1可|12(nl数X1)i,X夫在m用{k定k}XP)大,p则是n{“)律}|数Dn1(独同|,i(i即|定2n1n立分1)1iX律有,n}同2布i1},X均分”i0p)要01|布0来,,P求有r代}.人v随辛物替列0机钦介,绍列
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给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一. 是 Monte Carlo 方法的主要数学理论基础.
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Monte Carlo 方法或称为计算机随机模拟方法、计算
机仿真方法用是计科算学机与产工生程一中串的相一互种独重要工具.
立、M均on服te从CaGrl上o 方均法匀的分原布理的主随要机基变于大数定律.
量(随机点设)计算机屏幕上有一矩形区域 G不( 妨设 的G面
积为 1)现.( X用1,鼠Y1标), (在X 2 ,的YG2 )内, 部, (任X画n ,Y一n )封闭曲线 求L, 围成L
的内记部事图件形 D的A 产面{生积的|随D机| .点落入 中D }
第五章 大数定律与中心极限定理
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“概率”的概念是如何产生的
设 n次独立重复试验中事件 发A 生的
次数为 nA,则当 n 时,有
随机变量 X n
nA n
p
n重伯努利试验
频怎率样理解“概越率来P(越A)接近”？ 怎样定义极限 lim X n p
n
“频率稳定性”的严格数学描述是什么
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“抛硬币”试验将一枚硬币连续抛 n次 ,记
视为经大量试验而得到的结果，就象物理学中的定律一样.
在概率论的公理化体系建立以后，大数定律可在理论上
进行严格的证明而成为意义明确的定理，故现在教材上称
为“大数定理”.
为什么叫“大数定律” END 而不叫“大数定理”
A {正面朝上 }
nA n 次试验中 A发生的次数
则
A
发生的频率为 蒲丰（1707-17X88n ）
nA n
(n 1, 2,)
法国数学家、自然哲学家
{{X蒲实X n验n}n者丰X1是n(随)机}n变1是4量0n定4列8义在样2本n0A4空8间 上0的.5n函06数9 列
fn (正xX设)n收面函德n敛皮n朝A数:·尔于上摩11逊ff根(12(xx是),13)反f指n24面(:x53朝)1632(2上n007340x80831, 294(a,14,0b)1)5116在有0016261区11963 间174 1(75a1,76b00)..55上..01..18.有.61定420042义81 ,
皮尔逊
li2m40f0n0(x)
对罗于曼随诺机夫斯变基量列,n是80否64有0
X n lim0.X5n ((n)
f1(2x0)12 39699
p)(
逐点不00收..54太敛0902现53 实, 要求太 严!
)
nLeabharlann Baidu
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设X , X1, X 2, , X n, 是一列随机变量,若 0,有
则称