高中抛物线练习及答案
高三抛物线练习题答案
高三抛物线练习题答案1. 练习题一题目：求解抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标。
解答：首先，我们知道抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
在题目中给定了抛物线的表达式为y = ax^2 + bx + c，因此我们可以直接利用该表达式计算顶点坐标。
答案：顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
2. 练习题二题目：已知抛物线的焦点为F，直线l是该抛物线的准线，证明直线l过焦点F的垂线。
解答：首先，根据焦准定义可知，抛物线上的每一点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。
设P为抛物线上的任意一点，d1为焦点F到点P的距离，d2为点P到准线l的距离。
根据问题所求证，我们需要证明直线l过点P的垂线。
假设直线l不过点P的垂线，即直线l与过点P的垂线的交点为Q。
由于点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离，可知点Q也同时满足该条件。
然而，这与焦准定义相矛盾，因为焦准定义要求点P到焦点F的距离与点P到准线l的距离相等，但我们假设的交点Q违反了这个条件。
因此，通过反证法可证明直线l过焦点F的垂线。
答案：直线l过焦点F的垂线。
3. 练习题三题目：已知抛物线y = x^2的焦点为F，点P为抛物线上的一点，且点P到焦点F的距离为2。
求点P的坐标。
解答：根据已知条件，我们知道焦点F的坐标为(0, 1)。
要求点P的坐标，我们首先需要知道点P在抛物线上的纵坐标，即抛物线的函数表达式为y = x^2，代入点P的横坐标为x，得到点P的纵坐标为x^2。
由于点P到焦点F的距离为2，可以利用距离公式得到方程：√((x-0)^2 + (x^2-1)^2) = 2化简上述方程，得到：x^4 - x^2 - 3 = 0解这个方程，可以得到x的两个解，再带入y = x^2即可求得点P的坐标。
答案：点P的坐标为(-√3, 3)和(√3, 3)。
通过以上三个练习题的解答，我们可以发现在高三抛物线练习题中，需要灵活运用抛物线的性质和公式，进行问题求解。
高中抛物线试题及答案
高中抛物线试题及答案一、选择题1. 抛物线的标准方程为 \( y = ax^2 + bx + c \)，其中 \( a \)、\( b \)、\( c \) 是常数，且 \( a \neq 0 \)。
下列哪个选项不是抛物线的标准形式？A. \( y = 3x^2 - 4x + 5 \)B. \( y = -2x^2 + 3 \)C. \( x = 4y^2 - 6y + 7 \)D. \( y = 0 \)答案：D2. 对于抛物线 \( y = ax^2 + bx + c \)，如果 \( a > 0 \)，抛物线的开口方向是：A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右答案：A3. 抛物线 \( y = x^2 \) 的焦点坐标是：A. (0, 0)B. (0, 1/4)C. (0, -1/4)D. (1/4, 0)答案：B二、填空题4. 抛物线 \( y = 2x^2 - 4x + 3 \) 的顶点坐标是 _________ 。
答案：(1, 1)5. 抛物线 \( y = -3x^2 + 6x - 5 \) 的对称轴方程是 _________ 。
答案：x = 1三、解答题6. 已知抛物线 \( y = ax^2 + bx + c \) 经过点 (1, 2) 和 (-1, 6)，求抛物线的方程。
解：将点 (1, 2) 代入方程得 \( 2 = a(1)^2 + b(1) + c \)，即\( a + b + c = 2 \)。
将点 (-1, 6) 代入方程得 \( 6 = a(-1)^2 + b(-1) + c \)，即\( a - b + c = 6 \)。
解得 \( b = -2 \)，\( a + c = 4 \)。
假设 \( a = 1 \)，则 \( c = 3 \)，抛物线方程为 \( y = x^2- 2x + 3 \)。
7. 已知抛物线 \( y = x^2 + 4x + 5 \)，求其焦点坐标。
高考数学专题《抛物线》习题含答案解析
专题9.5 抛物线1.（2020·全国高考真题（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p.故选：C.2．（2020·北京高三二模）焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝4y B ．y 2＝4x C ．x 2＝8y D ．y 2＝8x【答案】D 【解析】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.3.（全国高考真题）设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，曲线()0ky k x=>与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则k =（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【答案】D 【解析】由抛物线的性质可得(1,2)221kP y k ⇒==⇒=，故选D. 4．（2020·全国高考真题（文））设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ．1,04⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,0)D ．(2,0)练基础【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2， 故选：B.5.（2019·四川高三月考（文））若抛物线22y px =的准线为圆2240x y x ++=的一条切线，则抛物线的方程为（ ） A.216y x =- B.28y x =-C.216y x =D.24y x =【答案】C 【解析】∵抛物线22y px =的准线方程为x=2p-，垂直于x 轴． 而圆2240x y x ++=垂直于x 轴的一条切线为4x =-， 则42p=，即8p =． 故抛物线的方程为216y x =． 故选：C ．6.（2019·北京高考真题（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________． 【答案】(x -1)2+y 2=4. 【解析】抛物线y 2=4x 中，2p =4，p =2， 焦点F （1,0），准线l 的方程为x =-1， 以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2=4.7.（2019·山东高三月考（文））直线l 与抛物线22x y =相交于A ，B 两点，当AB 4=时，则弦AB 中点M 到x 轴距离的最小值为______. 【答案】32【解析】由题意，抛物线22x y =的焦点坐标为（0，12），根据抛物线的定义如图，所求d=111A B AF BF 113M 2222A B AB M ++--==≥= 故答案为：32． 8.（2021·沙湾县第一中学（文））设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且直线AB 的倾斜角为4π，则线段AB 的长是____，焦点F 到A ，B 两点的距离之积为_________.【答案】8 8 【分析】由题意可得直线AB 的方程为1y x =-，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y 后，利用根与系数的关系，结合抛物线的定义可求得答案 【详解】解：由题意得(1,0)F ，则直线AB 的方程为1y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241y x y x ⎧=⎨=-⎩，得2610x x -+=， 所以12126,1x x x x +==， 所以12628AB x x p =++=+=，因为11221,122=+=+=+=+p pAF x x BF x x ， 所以()()1212121116118AF BF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++=++=， 故答案为：8，89．（2021·全国高三专题练习）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点(),3A m -到焦点F 的距离为5，则m 的值为__________；抛物线方程为__________. 【答案】答案见解析 答案见解析 【分析】由于抛物线的开口方向未定，根据点(),3A m -在抛物线上这一条件，抛物线开口向下，向左、向右均有可能，以此分类讨论，利用焦半径公式列方程可得p 的值，根据点(),3A m -在抛物线上可得m 的值. 【详解】根据点(),3A m -在抛物线上，可知抛物线开口向下，向左、向右均有可能， 当抛物线开口向下时，设抛物线方程为22x py =-（0p >）， 此时准线方程为2py =，由抛物线定义知(3)52p --=，解得4p =.所以抛物线方程为28x y ，这时将(),3A m -代入方程得m =±当抛物线开口向左或向右时，可设抛物线方程为22y ax （0a ≠），从p a =知准线方程为2ax =-，由题意知()25232am am⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解此方程组得11192a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，22192a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，33912a m =⎧⎪⎨=⎪⎩，44912a m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，综合（1）、（2）得92m =，22y x =； 92m =-，22y x =-；12m =，218y x =； 12m =-，218y x =-；m =±28xy .故答案为：92，92-，12，12-，±22y x =，22y x =-，218y x =，218y x =-，28x y .10.（2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3.3FC =--， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.1．（2021·吉林长春市·高三（理））已知M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，若以Fx 为始边，FM 为终边的角60xFM ∠=，则FM 等于（ ） A ．2 B C ．D ．4【答案】D 【分析】设点200,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，取()1,0a =，可得1cos ,2FM a <>=，求出20y 的值，利用抛物线的定义可求练提升得FM 的值. 【详解】设点()00,M x y ，其中2004y x =，则()1,0F ，2001,4y FM y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取()1,0a =，则211cos ,2y FM a FM a FM a-⋅<>===⋅⎛，可得4200340480y y -+=，因为20104y ->，可得204y >，解得2012y =，则20034y x ==，因此，014MF x=+=. 故选：D.2.（2017·全国高考真题（文））过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线交C 于点M （在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MNl ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（）A. B. D.【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ，设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x=，0y =，所以sin sin 42NP MNF NFP NF ∠=∠===，所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ⋅∠=⋅=3．（2020·广西南宁三中其他（理））已知抛物线28C y x =：的焦点为F ，P 是抛物线C 的准线上的一点，且P 的纵坐标为正数，Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点，若PQ =，则直线PF 的方程为（ ）A ．20x y --=B ．20x y +-=C ．20x y -+=D ．20x y ++=【答案】B 【解析】过Q 点作QH PM ⊥于H ，因为PQ =，由抛物线的定义得PQ =，所以在Rt PQH ∆中，4PQH π∠=，所以4PFM π∠=，所以直线PF 的斜率为1k =-，所以直线PF 的方程为()()012y x -=--， 即20x y +-=， 故选B.4.（2020·浙江高三月考）如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅的值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】因为抛物线21:4C y x =的焦点为(1,0)F ，又直线l 经过1C 的焦点F ，设直线:(1)l y k x =-，由24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， 设1122(,),(,)A x y B x y ，则121=x x由题意可得：1111=-=+-=AB AF BF x x ， 同理2=CD x ，所以12cos01︒⋅=⋅⋅==AB CD AB CD x x . 故选C5．【多选题】（2022·全国高三专题练习）已知抛物线21:C y mx =与双曲线222:13y C x -=有相同的焦点，点()02,P y 在抛物线1C 上，则下列结论正确的有（ ）A ．双曲线2C 的离心率为2B ．双曲线2C 的渐近线为y x = C ．8m =D ．点P 到抛物线1C 的焦点的距离为4【答案】ACD 【分析】由双曲线方程写出离心率、渐近线及焦点，即可知A 、B 、C 的正误，根据所得抛物线方程求0y ，即知D 的正误. 【详解】双曲线2C 的离心率为2e ==，故A 正确；双曲线2C 的渐近线为y =，故B 错误； 由12,C C 有相同焦点，即24m=，即8m =，故C 正确； 抛物线28y x =焦点为()2,0，点()02,P y 在1C 上，则04y =±，故()2,4P 或()2,4P -，所以P 到1C 的焦点的距离为4，故D 正确． 故选：ACD ．6．【多选题】（2021·海南鑫源高级中学）在下列四个命题中，真命题为（ ）A ．当a 为任意实数时，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点P ，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是243x y =B ．已知双曲线的右焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x -y =0，则双曲线的标准方程为221205x y -= C ．抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程14y a=-D ．已知双曲线2214x y m +=，其离心率()1,2e ∈，则m 的取值范围(-12，0)【答案】ACD 【分析】求出直线定点设出抛物方程即可判断A ；根据渐近线方程与焦点坐标求出,a b 即可判断B ；根据抛物线方程的准线方程公式即可判断C ；利用双曲线离心率公式即可判断D ． 【详解】对A 选项，直线(a -1)x -y +2a +1=0恒过定点为()2,3P -，则过点P 且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程设为22x py =，将点()2,3P -代入可得23p =，所以243x y =，故A 正确；对B 选项，知5,2bc a==，又22225a b c +==，解得225,20a b ==，所以双曲线的标准方程为221520x y -=，故B 错； 对C 选项，得21x y a =，所以准线方程14y a=-，正确；对D 选项，化双曲线方程为2214x y m-=-，所以()1,2e =，解得()12,0m ∈-，故正确．故选：ACD7．（2021·全国高二课时练习）已知点M 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，若点M 到两定点(,)A p p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离之和最小，则点M 的坐标为______．【答案】,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，根据抛物线的定义可得||||MF MB =， 易知当A ，B ，M 三点共线时||MB MA +取得最小值且为||AB ，进而可得结果. 【详解】过点M 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，由抛物线的定义，知点M 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点M 到准线的距离相等，即||||MF MB =，所以||||||||MF MA MB MA +=+， 易知当A ，B ，M 三点共线时，||MB MA +取得最小值， 所以min 3(||||)||2p MF MA AB +==，此时点M 的坐标为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为：2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，8．（2021·全国高二课时练习）抛物线()220y px p =>的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则MN AB的最大值为______.【分析】设=AF a ，=BF b ，根据中位线定理以及抛物线定义可得()12MN a b =+，在AFB △中，由余弦定理以及基本不等式可得)AB a b ≥+，即可求得MN AB 的最大值．【详解】设=AF a ，=BF b ，作AQ 垂直抛物线的准线于点Q ，BP 垂直抛物线的准线于点P .由抛物线的定义，知AF AQ =，BF BP =.由余弦定理得()2222222cos120AB a b ab a b ab a b ab =+=︒=++=+-.又22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()22221344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+，当且仅当a b =时，等号成立，∴)AB a b ≥+，∴()1a b MN AB +≤=MN AB9．（2020·山东济南外国语学校高三月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________.【答案】1,02⎛⎫⎪⎝⎭9【解析】抛物线C ：22y x =的焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭． 过A 作AM ⊥准线交准线于M ，过B 作BN ⊥准线交准线于N ，过P 作PK ⊥准线交准线 于K ，则由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+． 再根据P 为线段AB 的中点，119(||||)||4222AM BN PK +==+=， ∴9AF BF +=，故答案为：焦点坐标是1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，9AF BF +=．10.（2019·四川高考模拟（文））抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，抛物线过点(),1P p .（Ⅰ）求抛物线C 的标准方程与其准线l 的方程；（Ⅱ）过F 点作直线与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线的切线，证明两条切线的交点在抛物线C 的准线l 上.【答案】（Ⅰ）抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由221p p =⨯，得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =，准线l 的方程为1y =-.（Ⅱ）根据题意直线AB 的斜率一定存在，又焦点()0,1F ，设过F 点的直线方程为1y kx =+，联立241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，得，2440x kx --=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x =-.∴()22221212122168x x x x x x k +=+-=+.由214y x =得，1'2y x =，过A ，B 的抛物线的切线方程分别为 ()()1112221212y y x x x y y x x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 即21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相加，得()()2212121148y x x x x x =+-+，化简，得()221y kx k =-+，即()21y k x k =--， 所以，两条切线交于点()2,1k -，该点显然在抛物线C 的准线l ：1y =-上.1．（2021·全国高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．D ．4【答案】B 【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.2．（2021·天津高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB ．则双曲线的离心率为（ ） A B C ．2D ．3练真题【答案】A 【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c ya b-=，解得2b y a =±，所以22b AB a =, 又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以2bc a c ，所以222212a cbc =-=，所以双曲线的离心率ce a== 故选：A.3．（2020·北京高考真题）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）． A ．经过点O B ．经过点P C ．平行于直线OP D ．垂直于直线OP【答案】B 【解析】如图所示：．因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P .故选：B.4.（2021·全国高考真题）已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【详解】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±, 不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =， (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.5．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=， 解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1636．（2020·浙江省高考真题）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．【答案】（Ⅰ）1(,0)32；【解析】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y mλλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当m t ==p .。
高二抛物线的简单几何性质习题一(附答案)
抛物线的几何性质习题一、选择题1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( )A.2.5B.5C.7.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y 2=11xB.y 2=-11xC.y 2=22xD.y 2=-22x4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90° B.等于90° C.大于90° D.不能确定5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定二、填空题6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 .7.若以曲线252x +162y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜= .8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是 .三、解答题9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.一、选择题1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2p C.4p D.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( )A.15B.415C.215D.423.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( )A.-x pB.y pC.px -D.-px 05.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( ) A.4 B.-4 C.p 2D.-p 2二、填空题6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 .7.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜= .8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为 .三、解答题9.抛物线y=-22x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜2r),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.【素质优化训练】 一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )A.x 3=x 1+x 2B.x 3=11x +21x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1 D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 23.当0＜k ＜31时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )A.-1B.1C.7D.9二、填空题6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为 .7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是 .8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则m 1+n1= .三、解答题9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +nm的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.10.已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x 0,y 0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P 为中点的抛物线y 2=2px(p ＞0)的中点弦方程为yy 0-p(x+x 0)=y 20-2px 0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y 2=2px 上点的切线方程有什么联系?若P(x 0,y 0)为非对称中心，将抛物线y 2=2px 换成椭圆22a x +22b y =1或双曲线22a x -22by =1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现. 2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA 所在直线为y 轴，过O 点作oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为C ，OC 即圆型水池的半径.设抛物线ABC 的方程为(x-1)2=-2p(y-2.25)将A(0，1.25)代入求得p=21 ∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25)令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=136324+--x x x -124+-x x 的最大值.解：将函数变形为y=222)2()3(---x x -222)1(-+x x ，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA ｜-｜PB ｜≤｜AB ｜，∴当P 、A 、B 三点共线，且P 在B 的左方时取等号，此时P 点为AB 与抛物线的交点，即P 为(6371-，183719-)时，y max =｜AB ｜=10. 2.参与设计小花园的喷水池活动.要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN 必平分∠FME ，即φ1=φ2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y 2=2px.(p ＞0)，因为ME 平行x 轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN 的两边FM 和FN 相等.设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则法线MN 的方程是y-y 0=-p y 0(x-x 0),令y=0，便得到法线与x 轴的交点N 的坐标(x 0+p,0)，所以｜FN ｜=｜x 0+p-2p ｜=x 0+2p ,又由抛物线的定义可知，｜MF ｜=x 0+2p,∴｜FN ｜=｜FM ｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M 与顶点O 重合，则法线为x 轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料： 圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案【同步达纲练习】A 级1.D2.B3.D4.C5.C6.(x-21)2+(y ±1)2=1 7.3100 8.y 2=12x 或y 2=-4x9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB 的中心为C(2x ,21+y ),l :y=kx-1,代入抛物线方程，得x 2-4kx+4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2-16＞0，即|k|＞1 ①，∴y 1+y 2=42221x x +=42)(21221x x x x -+=4k 2-2,∵C 为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x 消去k 得x 2=4(y+3),由①得，｜x ｜＞4，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(｜x ｜＞4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA 级1.B2.C3.D4.B5.B6.27.95-188.123p9.解：设l :y=kx-1,代入y=-22x ,得x 2+2kx-2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2k,x 1x 2=-2,又11x y +22x y =111x kx -+221x kx -=2k-2121x x x x +=2k-22--k=k=1，∴直线l 的方程为y=x-1.10.证明：由｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜知M 、N 在以l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px ，又｜TA ｜=2a=p,∴抛物线方程为y 2=4ax ，又圆的方程为(x-a-r)2+y 2=r 2，将两方程相减可得：x 2+2(a-r)x+a 2+2ar=0，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a,∴｜AM ｜+｜AN ｜=｜PM ｜+｜QN ｜=x 1+x 2+2a=2r,即｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜【素质优化训练】1.C2.C3.D4.C5.C6.4x+y+3=07.y 2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.2p 9.解：(1)设圆心C(x 0,y 0),则x 20=2py 0，圆C 的半径｜CA ｜=2020)(p y x -+，其方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 20+(y 0-p)2,令y=0，并将x 20=2py 0，代入，得x 2-2x 0x+x 20-p 2=0，解得x m =x 0-p,x N =x 0+p,∴｜MN ｜=｜x N -x M ｜=2p(定值)(2)∵m=｜AM ｜=220)(p p x +-,n=｜AN ｜=220)(p p x ++,∴m 2+n 2=4p 2+2x 20,m ·n=4044x p +，∴m n +n m =mn n m 22+=40422424x p x p ++=20202)(4y p p y p p ++=220)(2y p y p ++=222021y p py ++≤22，当且仅当y 0=p 时等号成立，x 0=±2p ，此时△MCN 为等腰直角三角形，且∠MCN=90°，∴∠MAN=21∠MCN=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p 2或(x+2p)2+(y-p)2=2p 210.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］2+y 2=16(y ≥0)，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则｜MF ｜+｜NF ｜=x 1+x 2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等成数列，则有2｜PF ｜=｜MF ｜+｜NF ｜,另一方面，设M 、P 、N 在抛物线的准线上的射影为M ′、P ′、N ′，则在直角梯形M ′MNN ′中，P ′P是中位线，又有2｜P′P｜=｜M′M｜+｜N′N｜=｜MF｜+｜FN｜,因而｜PF｜=｜P′P｜,∴P 点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.。
高考数学必考点专项第32练 抛物线(A)(练习及答案)(全国通用)(新高考专用)
高考数学必考点专项第32练抛物线（A（一、单选题1. 顶点在坐标原点，焦点是双曲线22145x y -=的左焦点的抛物线标准方程是( ) A. 212x y =B. 212y x =-C. 24y x =-D. 212y x =2. 设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A. 1B. 2C. 3D. 43. 设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为.l P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线( )A. 经过点OB. 经过点PC. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP4. 已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =( )A. 2B. 3C. 6D. 95. 设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( )A.B.C. (1,0)D. (2,0)6. 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00()2pM x x >是抛物线C上一点，以点M 为圆心的圆与直线2p x =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是( )A. 2y x =B. 22y x =C. 24y x =D. 28y x =7. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点 F 的直线l 交抛物线于A ， B 两点，延长 FB交准线于点C ，若||2||BC BF =，则||||BF AF 的值是( ) A.B.C.D.238. 已知点F 是抛物线24y x =焦点，M ，N 是该抛物线上两点，||||6MF NF +=，则MN 中点到准线距离为( )A.52B. 2C. 3D. 49. 已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 作倾斜角为锐角的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的方程为 ( )A. 30y --=B. 330x --=C. 10x y --=D. 10x --=10. 已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点00()2pM x x >是抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2px =截得的弦长为||MA ，若||3||MA AF =，则实数p 为( )A. 3B.C. 2D. 111. 如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(3,6)，圆2C ：22+6+8=0x y x -，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |3|QM |+的最小值为( )A. B. C. D. 12. 已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，且倾斜角为θ，则cos 2(sin 1)(sin 1)θθθ-+等于( )A. 1+B. 1C.D. 3二、多选题13. 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线22x y =的焦点的直线l 与该抛物线的两个交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则( )A. 1214y y =B. 以AB 为直径的圆与直线12y =-相切C. ||||OA OB +的最小值D. 经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点一定在定直线上14. 过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，M 为线段AB 的中点，则下列结论正确的是( )A. 以线段AB 为直径的圆与直线12x =-相交B. 以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C. 当2AF FB =时，9||2AB = D. ||AB 的最小值为4三、填空题15. 已知抛物线C ：24y x =，焦点为F ，点 M 为抛物线C 上的点，且||6FM =，则M 的横坐标是__________，作MN x ⊥轴于点N ，则FMNS=__________.16. 已知抛物线22(0)y px p =>，若第一象限的,A B 在抛物线上，焦点为F ，||2AF =，||4BF =，||3AB =，求直线AB 的斜率为__________.17. 在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线212y p x =与222x p y =在第一象限的交点为A ，若OA 的斜率为2，则21p p =__________. 18. 已知F 是抛物线216y x =-的焦点，O 为坐标原点，点P 是抛物线准线上的一动点，点A 在抛物线上，且||8AF =，则||||PA PO +的最小值为__________.四、解答题19. 如图，过抛物线24y x=的焦点F任作直线l，与抛物线交于A，B两点，AB与x 轴不垂直，且点A位于x轴上方，AB的垂直平分线与x轴交于D点.(1)若2,AF FB=求AB所在的直线方程；(2)求证：||||ABDF为定值.20. 在直角坐标系xOy中，动圆P与圆Q：22(2)1x y-+=外切，且圆P与直线1x=-相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线.C(1)求曲线C的轨迹方程；(2)设过定点(2,0)S-的动直线l与曲线C交于A，B两点，试问：在曲线C上是否存在点(M与A，B两点相异)，当直线MA，MB的斜率存在时，直线MA，MB的斜率之和为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B解：因为2459c =+=，3c ∴=，∴抛物线的焦点(3,0)F -，32p-=-，6p ∴=，212.y x ∴=- 故选.B2.【答案】C解：由于抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是2，故点P 的横坐标为2.再由抛物线24y x =的准线为1x =-，以及抛物线的定义可得点P 到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离，故点P 到该抛物线焦点的距离是2(1)3--=， 故选：.C3.【答案】B解：根据抛物线的定义可得||||PF PQ =，故线段FQ 的垂直平分线必过点.P 故选.B4.【答案】C解：设点A 的坐标为(,)x y ， 由点A 到y 轴的距离为9，可得9,x = 由点A 到抛物线C 的焦点的距离为12，可得122px += 解得 6.p = 故选.C5.【答案】B解：将2x =代入抛物线22y px =，可得y =±OD OE ⊥，可得1OD OE k k ⋅=-，即1=-，解得1p =，所以抛物线方程为：22y x =，它的焦点坐标1(,0).2故选：.B6.【答案】C解：画出图形如图所示，作MD EG ⊥，垂足为D ，由题意得点0(,22)M x ，0()2px >在抛物线上，则082px =，① 由抛物线的性质，可知0||2p DM x =-， 因为1sin 3MFG ∠=， 所以011||||()332pDM MF x ==+，所以001()232p px x -=+，解得0x p =，② 由①②解得02(x p ==-舍去)或0 2.x p ==故抛物线C 的方程为24.y x =故选：.C解：由题意可知，2p =，则(1,0)F ，准线为直线1x =-， 过A ，B 分别作AM ，BN 垂直准线于M ，N ， 则有||||BF BN =，||||AF AM =， 因为||2||BC BF =，所以||2||BC BN =， 所以||2||3BC CF =， 所以||23BN p =， 所以4||||3BN BF ==，8||3BC =， 所以||4CF =， 因为||||||p CF AM CA =，所以2||44||||||4||4||CF AM CF AF AF AM ===+++，解得||4AM =， 所以||4AF =，所以4||13||43BF AF ==， 故选：.B解：F 是抛物线24y x =的焦点，(1,0)F ∴，准线方程1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 12||||116MF NF x x ∴+=+++=，解得124x x +=，∴线段MN 的中点横坐标为2，∴线段MN 的中点到该抛物线准线的距离为21 3.+=故选.C9.【答案】A解：抛物线C ：24y x =的焦点为(1,0)F ，设直线l 的方程为(1)y k x =-，0k >，点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，线段AB 的中点00(,)M x y ， 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2222(24)0k x k x k -++=， 所以0∆>，212224k x x k ++=，又因为弦AB 的中点M 到抛物线的准线的距离为5，所以12152x x ++=， 则然22224283k k k +=⇒=，又0k >，所以3k =30.y --= 故选：.A10.【答案】A解：将点M 的点坐标代入抛物线方程得0152px =， 解得0152x p=，即15(,15)2M p ，设圆M 的半径为R ，则过点M 作直线2px =的垂线，垂足为B ，所以||3RMB ==， 又因为||3||MA AF =， 所以4||3RMF =， 所以224()()1533R R -=， 解得3R =， 又因为115322p R p =-，解得3p =或5(p =-舍去). 故选.A11.【答案】C解：设抛物线的方程：22(0)y px p =>，焦点为F ，则3623p =⨯，则212p =，∴抛物线的标准方程：212y x =，焦点坐标(3,0)F ，准线方程为3x =-， 圆2C ：22680x y x +-+=的圆心为(3,0)，半径为1，由直线PQ 过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l 的方程为：3my x =-，设P 、Q 坐标分别为，由联立，得 212360y my --=，21441440m ∆=+>恒成立，由韦达定理得：1212y y m +=，1236y y ⋅=-，，22121291212y y x x ⋅==⨯， 121111||||33PF QF x x ∴+=+++ ，则||3||||13(||1)PN QM PF QF +=+++||3||4PF QF =++当且仅当时等号成立，故选.C12.【答案】A解：将x c =代入双曲线22221x y a b -=中，解得2b y a=±，则，所以24222,4b c b a c a==， 即，所以，令tan baθ=， 即42tan 4tan 4θθ-=，解得2tan 222θ=+，故2222cos 2cos sin tan 112 2.(sin 1)(sin 1)cos θθθθθθθ-==-=+-+- 故选.A13.【答案】ABD解：由抛物线的方程可得焦点1(0,)2F ，显然过焦点F 的直线的斜率存在，设直线l 的方程为：12y kx =+， 联立2122y kx x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2210x kx --=，可得0∆>，122x x k +=，121x x =-，所以21212()121y y k x x k +=++=+，221212144x x y y ==； 所以A 正确；以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1212(,)22x x y y ++，即21(,)2k k +， 根据抛物线的定义，可知半径12211||22122y y AB k +++==+， 所以圆心到直线12y =-的距离为：2211122k k ++=+等于半径，所以圆与直线相切，所以B 正确； 当直线AB 与x轴平行时，||||OA OB ==，||||OA OB += 所以||||OA OB +的最小值不是C 不正确；直线OA 的方程为：1112y x y x x x ==，与2x x =的交点坐标为：122(,)2x x x ， 因为12122x x =-，所以经过点B 与x 轴垂直的直线与直线OA 交点在定直线12y =-上，故D 正确；故选：.ABD14.【答案】ACD解：24y x =的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设A ，B ，M 在准线上的射影为A '，B '，M '，由||||AF AA ='，||||BF BB ='，111||(||||)(||||)||222MM AA BB AF FB AB '='+'=+=，可得线段AB 为直径的圆与准线1x =-相切， 所以与直线12x =-相交， 故选项A 正确；当直线AB 的斜率不存在时，显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相切；当直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为y kx k =-，联立24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 可得12242x x k +=+，121x x =，设13x =+，23x =-，可得M 的横坐标为221k +， MB 的中点的横坐标为2212(1)2x k++，222||1|BM x k=--，当1k =时，MB 的中点的横坐标为52，1||22MB =， 显然以线段BM 为直径的圆与y 轴相交，故选项B 错；2AF FB =时，122y y =-，1212244()222y y k x x k k k y k k +=+-=+-==-， 故24y k=-， 212121212(1)(1)[()1]y y k x k x k x x x x =--=-++22224(121)42k y k =--+=-=-， 将24y k =-代入得2162k=， 则28k =，则1249||22282AB x x =++=++=， 故选项C 正确； 显然当直线AB 垂直于x 轴，可得||AB 取得最小值4，故选项D 正确．故选：.ACD15.【答案】5解：抛物线C ：24y x =，则焦点(1,0)F ，准线方程l 为1x =-，过点M 作ME l ⊥，垂足为E ，设00(,)M x y ，则||||6MF ME ==，所以016x +=，则05x =，所以点M 的横坐标为5；因为点M 在抛物线上，故204520y =⨯=， 所以0||25y =，即||25MN =，所以11||||(51)254 5.22FMN S FN MN =⨯⨯=⨯-⨯= 故答案为：5；4 5.16.【答案】2解：如图所示，设抛物线的准线为l ，作AC l ⊥于点C ，BD l ⊥于点D ，AE BD ⊥于点E ，由抛物线的定义，可得2AC AF ==，4BD BF ==， 22422,945BE AE AB BE ∴=-==-=-=，∴直线AB 的斜率5tan .2AB AE k ABE BE =∠== 故答案为：5.217.【答案】18解：由题意，设点A 的坐标(,)m n ，OA 的斜率为2，2n m ∴=，又A 是抛物线212y p x =与222x p y =在第一象限的交点，212n p m ∴=与222m p n =，将2n m =代入得2142m p m =与224m p m =，12p m ∴=，24m p =， 故2118p p =， 故答案为1.818.【答案】 解：点P 是抛物线216y x =-的准线上的一动点，P ∴点的横坐标为4，，由抛物线的定义得，A ∴到准线的距离为8，即A 点的横坐标为4-，又点A 在抛物线上，∴从而点A 的坐标为或，∴坐标原点关于准线的对称点的坐标为， 则当A ，P ，B 共线时， 取得最小值，最小值为：， 故答案为413. 19.【答案】解：(1)直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，A 点在x 轴上方，10y ∴>，20y <，由，可得2440y ty --=，0>，124y y t ∴+=，124y y =-，11222(1,)2(1,)AF FB x y x y =⇒--=-，122y y ∴-=，由，代入124y y =-，因为10y >，所以0t >，解得122t =，AB ∴所在直线方程为22220.x y --=(2)证明：设AB 中点为(,)N N N x y ，1222N y y y t +∴==，221N x t =+，2(21,2)N t t ∴+， 所以AB 中垂线2:2(21)l y t t x t '-=---，2(23,0)D t ∴+，22|||231|22DF t t ∴=+-=+，||(AB=244t ==+，则22||442(||22AB t DF t +==+定值).20. 【答案】解：(1)设动圆圆心为(,)P x y ，动圆圆心P 到点(2,0)Q 的距离与到直线1x =-距离差为定圆半径1，即动点P 到顶点(2,0)的距离等于到定直线2x =-的距离，根据圆抛物线的定义，动点P 的轨迹是以定点(2,0)为焦点，直线2x =-为准线的抛物线，圆心P 的轨迹为曲线C 的方程为：28y x =；(2))假设在曲线C 上存在点M 满足题设条件，不妨设00(,)M x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ； 1010108MA y y k x x y y -==-+，2020208MB y y k x x y y -==-+； 120210*********(2)88()MA MB y y y k k y y y y y y y y y y +++=+=+++++，① 显然动直线l 的斜率非零，故可设其方程为2x ty =-，()t R ∈，联立28y x =，整理得28160y ty -+=，128y y t ∴+=，1216y y =，且12y y ≠，代入①式得020********MA MB t y k k y ty ++=++， 显然00y ≠，于是2000[8()64]()(16)160MA MB MB MA y k k t k k y y +-+++-=，②，欲使②式对任意t R ∈成立，必有，020016816MA MB y k k y y ∴+==+，即2016y =，04y =±， 将此代入抛物线C 的方程可求得满足条件的M 点坐标为(2,4)，(2,4)-，综上所述，存在点(M 与A ，B 两点相异)，其坐标为为(2,4)，(2,4)-，直线MA 、MB 的斜率之和为定值．。
2024届高考数学复习：精选好题专项(抛物线)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选好题专项（抛物线）练习[基础巩固]一、选择题1．抛物线y＝14x2的焦点到其准线的距离为()A．1 B．2C．12D．182．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为() A．(－1，0) B．(1，0)C．(0，－1) D．(0，1)3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为()A．抛物线B．直线C．线段D．射线4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x23－y2＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－4 B．4C．－2 D．25．[2022ꞏ全国乙卷(文)，6] 设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝()A.2 B．22C．3 D．326．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝()A．2 B．3C．4 D．87.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x8．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA → ꞏOB →等于( )A ．34B ．－34C ．3D ．－39．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )A ．433 B ．3C ．233D ．33二、填空题10．[2021ꞏ新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．11．[2023ꞏ全国乙卷(理)]已知点A ()1，5 在抛物线C ：y 2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________．12．已知直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．[强化练习]13．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设O 为坐标原点，直线y ＝－3 (x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( )A ．p ＝2B ．|MN |＝83C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．△OMN 为等腰三角形 14．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则△ABM 的周长为( )A ．7112 ＋26 B ．9＋26C ．9＋10D ．8312 ＋2615．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，若等边△PMF 的面积为43 ，则p ＝________．16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B两点(点A 在x 轴上方)，则|AF ||BF | ＝________.参考答案1．B y ＝14 x 2可化为x 2＝4y ，则焦点到准线的距离为12 ×4＝2.2．B ∵y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2 ，又准线过点(－1，1)，∴－p2 ＝－1，∴p ＝2，故其焦点坐标为(1，0).3．B ∵F (2，1)在直线l ：3x ＋4y －10＝0上，∴动点M 的轨迹为过点F 且与直线l 垂直的直线．4．B ∵x 23 －y 2＝1的右焦点为(2，0)，∴p2 ＝2，p ＝4.5．B 由已知条件，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.又B (3，0)，则|AF |＝|BF |＝2.不妨设点A 在第一象限，则A (x 0，2x 0 ).根据抛物线的定义可知x 0－(－1)＝2，所以x 0＝1，所以A (1，2)，所以|AB |＝（1－3）2＋（2－0）2 ＝22 .故选B.6．D 由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p 2 ＝2p ，解得p ＝8，故选D.7．B如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43 ，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4 ＝48 ，得p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .故选B.8．B 当AB 与x 轴垂直时，A ⎝⎛⎭⎫12，1 ，B ⎝⎛⎭⎫12，－1 ，OA → ꞏOB → ＝12 ×12 ＋1×(－1)＝－34 ；当AB 与x 轴不垂直时，设l ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12 ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，y 2＝2x ，得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24 ＝0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2＋2k 2 ，x 1x 2＝14 ，∴OA → ꞏOB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－12 ⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k 2)x 1x 2－12 k 2(x 1＋x 2)＋k 24 ＝－34 . 9．A 不妨设点A 在第一象限，如图所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，由题知当A 的坐标为(3，y 0)时△AEF 为正三角形，此时H 为AE 的中点，|AE |＝3＋p 2 ，|EH |＝p ，∴2p ＝3＋p2 ，解得p ＝2，∴y 2＝4x ，A (3，23 )，F (1，0)，∴k AF ＝3 ，直线AF 的方程为y ＝3 (x －1)，代入抛物线方程得3(x －1)2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得x 1＝3，x 2＝13 ，此时y 1＝23 ，y 2＝－233 ，∴S △AOB ＝S △OFB ＋S △OF A ＝12 ×1×⎝⎛⎭⎫233＋23 ＝433 ，故选A. 10．x ＝－32答案解析：抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为p2 ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为±p ，不妨设P (p2 ，p )，因为Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，所以Q 在F 的右侧， 又∵|FQ |＝6，∴Q (6＋p 2 ，0)，∴PQ →＝(6，－p )因为PQ ⊥OP ，所以PQ → ꞏOP →＝p 2 ×6－p 2＝0， ∵p >0，∴p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32 . 11.94答案解析：将点A 的坐标代入抛物线方程，得5＝2p ，于是y 2＝5x ，则抛物线的准线方程为x ＝－54 ，所以A 到准线的距离为1－⎝⎛⎭⎫－54 ＝94. 12．0或1答案解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ， 得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0， 若k ＝0，满足题意；若k ≠0，则Δ＝(4k －8)2－4×4k 2＝0，得k ＝1.综上得k ＝0或k ＝1.13．AC 由题意，易知直线y ＝－3 (x －1)过点(1，0).对于A ，因为直线经过抛物线C 的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以p2 ＝1，即p ＝2，所以A 选项正确．对于B ，不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1<x 2，联立方程得⎩⎨⎧y ＝－3（x －1）y 2＝4x，消去y并整理得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13 ，x 2＝3.所以M (13 ，233 )，N (3，－23 )，所以由两点间距离公式可得|MN |＝（3－13）2－（－23－233）2 ＝163 ，故B 选项错误．对于C ，由以上分析易知，l 的方程为x ＝－1，以MN 为直径的圆的圆心坐标为(53 ，－233)，半径r ＝12 |MN |＝83 ＝53 ＋1，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 选项正确． 对于D ，由两点间距离公式可得|MN |＝163 ，|OM |＝133 ，|ON |＝21 ，故D 选项错误．综上，选AC.14．B 令y ＝1，得x ＝14 ，即A ⎝⎛⎭⎫14，1 . 由抛物线的光学性质可知AB 经过焦点F ，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x .消去y ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.则x A x B ＝1，所以x B ＝1x A＝4.|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝254 .将x ＝4代入y 2＝4x 得y ＝±4，故B (4，－4). 故|MB |＝（4－3）2＋（－4－1）2 ＝26 .故△ABM 的周长为|MA |＋|MB |＋|AB |＝⎝⎛⎭⎫3－14 ＋26 ＋254 ＝9＋26 .故选B. 15．2答案解析：设准线l 和x 轴交于N 点，PM 平行于x 轴，∠PMF ＝∠MFN ＝60°，由抛物线的定义得到|NF |＝p ，故|MF |＝2p ，故34 (2p )2＝43 ，∴p ＝2.16．3答案解析：如图所示，由题意得准线l ：x ＝－p2 .作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，BH ⊥AC 于点H ，则|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |，|AH |＝|AC |－|BD |＝|AF |－|BF |，因为在Rt △AHB 中，∠HAB ＝60°，所以cos 60°＝|AH ||AB | ＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |，即12 (|AF |＋|BF |)＝|AF |－|BF |，得|AF ||BF | ＝3.。
(完整版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
抛物线y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x22py ( p0)( p0)( p0)( p0)y y yyl l lFOx O F x F O xO x Fl定义范围对称性焦点极点离心率准线方程极点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A( x1 , y1 )焦点弦长AB 平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
{ M MF =点 M到直线 l 的距离 }x 0, y R x 0, y R x R, y 0x R, y0对于 x 轴对称对于 y 轴对称(p,0)(p,0)(0,p)(0,p ) 2222焦点在对称轴上O (0,0)e=1pxp p p x y2y222准线与焦点位于极点双侧且到极点的距离相等。
p2ppAFp pAFp AF x1x1AF y1y1 2222( x1x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 )p ( x1x2 )pyA x1 , y1o FxB x2 , y2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线l相切A(x1, y1 ) 2 p 2 p若 AB 的倾斜角为若 AB 的倾斜角为，则 AB，则 ABB(x2 , y2 )sin 2cos2p22x1x2y1 y2p4切线方程11AF BF AB2AF BF AF ? BF AF ? BF py0 y p( x x0 )y0 y p( x x0 )x0 x p( y y0 )x0 x p( y y0 )一．直线与抛物线的地点关系直线，抛物线，，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k≠ 0 时，＞0，直线 l 与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线 l 与抛物线相切，一个切点；＜ 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不必定）二．对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线 l ：y kx b抛物线， ( p0)①联立方程法：y kx bk2 x22(kb p)x b20y2 2 px设交点坐标为(,y1), B( x2 , y2 ) ，则有0, 以及 x1x2 , x1 x2，还可进一步求出A x1y1 y2kx1 b kx2 b k (x1x2 ) 2b，y1 y2( kx1b)(kx2b) k 2 x1 x2kb( x1x2 ) b2在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方1.订交弦 AB的弦长AB 1 k 2 x1x2 1 k 2(x1x2 )24x1x2 1 k 2a或1121 k 2AB1k 2 y1y21k 2( y1y2 ) 4 y1 y2ab. 中点M (x0, y0) , x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得y12 2 px1y22 2 px2将两式相减，可得( y1y2 )( y1y2 ) 2 p(x1 x2 )y1y2 2 px1x2 y1 y2a.在波及斜率问题时，k AB 2 py1y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，y1y2 2 p2p p ，x1x2y1 y2 2 y0y0即 k AB p ，y0同理，对于抛物线x 22(p0)，若直线 l 与抛物线订交于A、, y0 ) py B 两点，点M ( x0是弦 AB 的中点，则有 k AB x1 x22x0x0 2 p 2 p p（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点P 到点 Q （ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和获得最小值时，点P 的坐标为。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必及准线l 相切假设AB 的倾斜角为α，那么22sin pAB α=假设AB 的倾斜角为α，那么22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线 方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一． 直线及抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：〔1〕当0时，直线l 及抛物线的对称轴平行，有一个交点； 〔2〕当k ≠0时，Δ＞0，直线l 及抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 及抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 及抛物线相离，无公共点。
（3）假设直线及抛物线只有一个公共点,那么直线及抛物线必相切吗〔不肯定〕 二． 关于直线及抛物线的位置关系问题常用途理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，那么有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方 1. 相交弦的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y +=② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y pk AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，假设直线l 及抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，那么有px p x p x x k AB 0021222==+=〔留意能用这个公式的条件：1〕直线及抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕抛物线练习及答案1、点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q 〔2，－1〕的间隔 及点P 到抛物线焦点间隔 之和获得最小值时，点P 的坐标为 。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题(含答案)
则 AFK 的面积为
。
7、已知双曲线 x2 y2 1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 45
为
。
8、在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y2 2 px( p 0) 焦点，则该抛物线的方程是
高中抛物线知识点归纳总结与练习题
y 2 2 px ( p 0)
抛
y l
物
线
OF x
y 2 2 px ( p 0)
y l
FO x
x 2 2 py ( p 0)
y
F
O
x
l
x 2 2 py ( p 0)
y l
O x
F
定义 范围
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫 做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx b 抛物线
1 联立方程法：
y kx b
y
2
2
px
k 2x22源自kbp)x
b2
0
， ( p 0)
设交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ，则有 0 ,以及 x1 x2, x1x2 ，还可进一步求出
距离之和的最小值为
。
3、直线 y x 3 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点，过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分
别为 P,Q ，则梯形 APQB 的面积为
。
4、设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x 轴正
高中数学抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，±62B.⎝⎛⎭⎫74，±72C.⎝⎛⎭⎫94，±32D.⎝⎛⎭⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．125．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1= 。
(完整版)抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，±62B.⎝⎛⎭⎫74，±72C.⎝⎛⎭⎫94，±32D.⎝⎛⎭⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．125．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1= 。
抛物线同步练习题小题含答案
抛物线根底训练题1. 抛物线y 2=8x 的准线方程是〔 A 〕。
〔A 〕x =－2 〔B 〕x =2 〔C 〕x =－4 〔D 〕y =－22. 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，作倾斜角为60°的直线，那么直线的方程是〔 B 〕。
〔A 〕y =33(x －1) 〔B 〕y =3 (x －1) 〔C 〕y =33(x －2) 〔D 〕y =3 (x －2)3．抛物线的焦点是F (0，4)，那么此抛物线的标准方程是( A )〔A 〕x 2＝16y 〔B 〕x 2＝8y 〔C 〕y 2＝16x 〔D 〕y 2＝8x4. 假设抛物线y =x 2与x =－y 2的图象关于直线l 对称，那么l 的方程是〔B 〕。
〔A 〕x －y =0 〔B 〕x ＋y =0 〔C 〕x =0 〔D 〕y =05．AB 是过抛物线y 2＝4x 焦点F 的弦，A ，B 两点的横坐标分别是x 1与x 2，且x 1＋x 2＝6那么|AB |等于〔 B 〕〔A 〕10 〔B 〕8 〔C 〕7 〔D 〕66．经过〔1，2〕点的抛物线的标准方程是〔C 〕〔A 〕y 2＝4x 〔B 〕x 2＝21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝21y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y7. 过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两点，如果AB 与x 轴成45°角，那么|AB |等于〔 B 〕。
〔A 〕10 〔B 〕8 〔C 〕6 〔D 〕48．抛物线的焦点在y 轴上，准线与椭圆4x 2＋3y 2＝1的左准线重合，并且经过椭圆的右焦点，那么它的对称轴方程是C〔A 〕y ＝24 〔B 〕y ＝26 或 y ＝－26〔C 〕y ＝26 〔D 〕y ＝22或y ＝－229. 顶点在原点，焦点是F (6, 0)的抛物线的方程是2y 24x =。
10．抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 是抛物线上一点，|AF |＝4＋22，那么AF 所在直线方程是111-122y x y x =+=+或。
高中数学抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，±62B.⎝⎛⎭⎫74，±72C.⎝⎛⎭⎫94，±32D.⎝⎛⎭⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．125．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1= 。
抛物线练习题带答案,知识点总结(提高版)
抛物线重难点复习一．知识点总结2.,,C F p M C 焦抛物线的焦点为为是准距上的点min ;.2pMF OF MF MF p ===(1)(2)若与对称轴垂直，则2000(,)2(0)23p M x y y px p MF x =>=±+±若是抛物线上的点则() 2000(,)224p P x y x py PF y =±=±+若是抛物线上的(点，则) (5).()(90)1cos s ()1co p MF MF pp or MF p MF MF θθθθ≥≤-+==≤若与抛物线的为则夹角，对称轴1)2MF MF MF 以为直径的圆与坐标轴相切(的中点到坐标轴的距离为(6)1122(,)(,),.F l A x y B x y l k θ3.过焦点的直线交抛物线于点、，记直线的斜率为倾斜角为221222:2,(),sin 2sin AOB p p C y px AB x x p S θθ∆==++==（1）若抛物线则 221222:2,()cos 2cos AOB p p C x py AB y y p S θθ∆==++==（2）若抛物线则，112(3)2();p AF BF p+=通焦点弦的最径小值为222222121212124:2,,;:2,,44p p C y px y y p x x C x py x x p y y ==-===-=（）若抛物线则若抛物线则 (5)以AB 为直径的圆与准线相切12MN AB ⎛⎫=⎪⎝⎭标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =>图形焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥0y ≤对称性 x 轴x 轴y 轴 y 轴 顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =通径2p（6）以CD 为直径的圆与AB 相切与焦点F1．已知抛物线C ： 2x的焦点为F ， ()00A x y ，是C 上一点，则0x =（ ）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =， 。
抛物线焦点练习题(含答案)
抛物线焦点练习题(含答案)题目一已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的焦点坐标为 $(h, k)$，且过点$(x_1, y_1)$ 的切线与抛物线交于点 $P$。
求点 $P$ 的坐标。
解答：设点 $P$ 的坐标为 $(x_p, y_p)$，则点 $P$ 在抛物线上的坐标满足 $y_p = ax_p^2 + bx_p + c$。
同时，过点 $(x_1, y_1)$ 的切线的斜率等于抛物线在点 $(x_1, y_1)$ 处的斜率，即 $-\frac{1}{2a}$。
因此，可以列出以下方程组：\begin{align*}y_p & = ax_p^2 + bx_p + c \\y_1 & = ax_1^2 + bx_1 + c \\-\frac{1}{2a} & = \frac{y_1 - y_p}{x_1 - x_p}\end{align*}解方程组可以得到点 $P$ 的坐标 $(x_p, y_p)$。
题目二已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 的焦点坐标为 $(h, k)$，且抛物线与直线 $y = mx + n$ 相交于两个点 $A$、$B$。
求直线 $AB$ 的中点坐标。
解答：设直线 $AB$ 的中点坐标为 $(x_m, y_m)$，$A$ 的坐标为$(x_a, y_a)$，$B$ 的坐标为 $(x_b, y_b)$。
则点 $A$、$B$ 在抛物线上的坐标分别满足 $y_a = ax_a^2 + bx_a + c$ 和 $y_b = ax_b^2 +bx_b + c$。
同时，直线 $AB$ 的斜率等于两个点的斜率之和的一半，即 $\frac{y_a - y_b}{x_a - x_b} = -m$。
因此，可以列出以下方程组：\begin{align*}y_a & = ax_a^2 + bx_a + c \\y_b & = ax_b^2 + bx_b + c \\\frac{y_a - y_b}{x_a - x_b} & = -m\end{align*}解方程组可以得到直线 $AB$ 的中点坐标 $(x_m, y_m)$。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题与答案
直线与抛物线的位置关系直线■:、•二，抛物线「占八y =hr+J<，=2丹消y得.+2(肪-p)x+护二0(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当k M 0 时，△>0,直线I与抛物线相交，两个不同交点；△=0,直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。
(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)-------- •- •关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线1:kx b 抛物线- 丁芒八，(p ' 0)①联立方程法：y =kx +b 2 2 2:2二k2x2+2(kb — p)x+b2 =0y =2px设交点坐标为Ad-yJ, BX M)，则有:'0 ,以及x「，还可进一步求出y 1 y 2 二 kx i b kx 2 b = k(x 1 x 2) 2b2 2y 1y 2 =(kx b)(kx 2 b) = k X j X 2 kb(x-i x 2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长AB| = J i +冏为—x 2| = J l + k 2 J% +x 2)2 —4X J X 2 = J l + k 2-p I 9!1 2 - 2+■^2^ (y i + y 2)—4y i y 2 =H 1 + kb. 中点 M （X 0,yo ）, X 0 二宁②点差法： 设交点坐标为A （X 1，yJ ，B （X 2,y 2），代入抛物线方程，得2 2 y 12px 1y 2 2px 2将两式相减，可得（% -丫2）（% y 2）=2卩（％ -X 2）y 1 -y 2 _ 2p X 1 -X 2 y 1 y 2屮-七 _ 2p _ 2p _ p 捲 一X 2y 1 y 22 y y °同理，对于抛物线X 2 =2py （p=0），若直线l 与抛物线相交于A 、 是弦AB 的中点，则有k AB 二凶」二空0 =些2p 2p p（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点, 在，且不等于零）a.在涉及斜率问题时,k AB2p y 1 y 2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为 M （x o ，y o ），B 两点，点 M (X o , y o ) 2）直线的斜率存AB =、：i +^卜1 _y2 =抛物线练习及答案21已知点P 在抛物线y = 4x 上，那么点P 到点Q (2, - 1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之1和取得最小值时，点 P 的坐标为。
2023届新高考数学：抛物线及其性质(B卷)
2023届新高考数学高频考点专项练习： 专题十四 考点39 抛物线及其性质（B 卷）1.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p =( )A.2B.3C.4D.82.抛物线22y x =上的一点P 到原点的距离为22P 到抛物线准线的距离为( ) A.222 C.52D.323.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线3y =与抛物线交于A ，B 两点，||4AF =，则抛物线C 的方程为( )A.24x y =B.22x y =C.2x y =D.212x y =4.已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别记为M ，N ，若||2||BC BN =，则AFM △的面积为( )A.43B.4C.3D.25.已知抛物线22(0)y px p =>过点122A ⎛ ⎝，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB AB λ=，则实数λ=( )A.13B.12C.2D.36.已知拋物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(0,22M x 02x p ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线C 上一点，以点M 为圆心的圆与直线2x p =交于E ，G 两点，若1sin 3MFG ∠=，则抛物线C 的方程是( ) A.2y x =B.22y x =C.24y x =D.28y x =7.过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，交其准线于点C ，且,A C 位于x 轴同侧.若||2||AC AF =，则||BF =( ) A.2B.3C.4D.58. (多选)在平面直角坐标系xOy 中，点(4,4)M 在抛物线22(0)y px p =>上，抛物线的焦点为F ，延长MF 与抛物线相交于点N ，则下列结论正确的是( )A.抛物线的准线方程为1x =-B.17||4MN =C.OMN △的面积为72D.||||||||MF NF MF NF +=⋅9. (多选)已知O 为坐标原点，抛物线2:2C y px =上一点A 到焦点F 的距离为4，若点M 为抛物线C 准线上的动点，以下说法正确的是( ) A.当MAF △为正三角形时，p 的值为2 B.存在点M ，使得MA MF -=0 C.若3MF FA =，则3p =D.若||||OM MA +的最小值为213，则4p =或1210.一条光线从抛物线22(0)y px p =>的焦点F 射出，经抛物线上一点B 反射后，反射光线经过点(5,4)A ，若||||6AB FB +=，则抛物线的标准方程为__________.11.已知l 为拋物线28y x =的准线，拋物线上的点M 到直线l 的距离为d ，点A 的坐标为(1,4)，则AM d +的最小值是______________.12.已知点(1,0)A -是抛物线22y px =的准线与x 轴的交点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线上的动点，则||||PF PA 的最小值为_______. 13.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，准线为l ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足为C ，D ，若||4||AF BF =，则p =_____.三角形CDF 的面积为________.14.已知抛物线2:2(1)C y px p =>上的点()0,1P x 到其焦点F 的距离为54. (1)求抛物线C 的方程；(2)点(,4)E t 在抛物线C 上，过点(0,2)D 的直线l 与抛物线C 交于()()()112212,,,0,0A x y B x y y y >>两点，点H 与点A 关于x 轴对称，直线AH 分别与直线OE ，OB 交于点M ，N (O 为坐标原点)，求证：||||AM MN =.15.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，(,2)M m -为抛物线上一点，||2MF =. (1)求抛物线C 的标准方程；(2)过M 的两直线交抛物线于A ，B ，且AMB ∠的平分线平行于y 轴，试判断AMB △的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由.答案以及解析1.答案：D解析：抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴椭圆2213x y pp+=的一个焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，234p p p ∴-=，又0p >，8p ∴=. 2.答案：C解析：设()()000,0P x y x >，则2002y x =，22200(22)8x y +==，即200280x x +-=，解得02x =或-4（舍去）.抛物线的准线方程为12x =-，所以点P 到准线的距离为15222+=.故选C. 3.答案：A解析：法一 抛物线2:2(0)C x py p =>的准线方程为2py =-.因为||4AF =，所以由抛物线的定义得342p+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24x y =.故选A. 法二 设直线3y =与y 轴的交点为D ，()1,3A x ，由题意可得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，216x p =，当点D与点F 重合时，则32p=，6p =，1||||6AF AD x ===，与题意不符，所以点D 与点F 不重合.则由勾股定理得222||||||AF AD DF -=，即216632p p ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，解得2p =（负值舍去），所以抛物线C 的方程为24x y =.故选A. 4.答案：A解析：法一 由题意可知，2p =，则(1,0)F ，抛物线的准线方程为直线1x =-，||||BF BN =，||||AF AM =.因为||2||BC BN =，所以||2||BC BF =，所以||2||3BC CF =，所以||23BN p =，所以4||||3BN BF ==，8||3BC =，所以||4CF =.因为||||||p CF AM CA =，所以2||44||||||4||4||CF AM CF AF AF AM ===+++，解得||4AM =，所以||4AF =，点F 到AM 的224223-，所以1423432AFM S =⨯⨯△，故选A.法二 因为||2||BC BN =，所以||2||BC BF =，所以30BCN ∠=︒，即60CAM ∠=︒.连接FM ，又AM AF =，所以AFM △为等边三角形.易得||4AM =，所以23443AFM S ==△，故选A. 5.答案：C解析：把122⎛ ⎝代入抛物线的方程，得122p ⨯，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，则(1,0)B -，设2,4M M y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3,22AB ⎛=-- ⎝，21,4M M y MB y ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.由MB AB λ=，得231, 422,M My y λλ⎧--=-⎪⎨⎪-=⎩解得2λ=或1λ=（舍去），故选C. 6.答案：C解析：过M 作MD EG ⊥，垂足为D .由点0(,22)M x 在抛物线上，得082px =，所以04px =①由题意得0||,2p DM x =-0||,2p MF x =+因为1sin ,3MFG ∠=所以1||||3DM MF =. 所以001232p p x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即0x p =.② 由①②解得02x p ==-（舍去）或02x p ==，故抛物线C 的方程是24y x =.故选C. 7.答案：C解析：设抛物线24y x =的准线为l ，准线l 与x 轴交于点H ，则(1,0)F ，:1l x =-，||2HF p ==，过A 作AD l ⊥，垂足为D ，由抛物线的定义可知||||AF AD =，||2||AC AF =，||2||AC AD ∴=，||||2||||3AD AC HF CF ==，则1216||3AB x x p =++=， π6ACD ∠=，16||||3AF BF ∴+=，||4BF ∴=，故选C.8.答案：AD解析： 点(4,4)M 在抛物线22(0)y px p =>上，24242p p ∴=⨯⇒=，24y x ∴=，焦点F 为(1,0)，准线为直线1x =-，A 正确.(4,4)M ，404413MF k -∴==-，故直线MF 的方程为4(1)3y x =-.联立224,14174044(1)3y x x x x y x ⎧=⎪⇒-+=⇒=⎨=-⎪⎩或4x =，4M x =，1,14N ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，||452p MF ∴=+=，15||424p NF =+=，525||544MN ∴=+=，B 错误.25||||||||||4MF NF MN MF NF +===⋅，D 正确.OMN △的面积为()115||15222M N OF y y ⋅-=⨯⨯=，C 错误.故选AD.快解 由上解析知抛物线24y x =，直线MN 的斜率为43，设直线MN 的倾斜角为α，则4tan 3α=，4sin 5α=.所以2225||sin 4p MN α==，252sin 2OMNp S α==△，1121||||MF NF p+==，所以||||||||MF NF MF NF +=⋅. 9.答案：AC解析：对于A ，当MAF △为正三角形时，4AF AM MF ===，如图所示，设抛物线C 的准线交x 轴于点N ，则由抛物线的定义知AM 与准线垂直，在正三角形MAF 中，60AMF ∠=︒，所以30FMN ∠=︒，所以1|||2|NF MF =，而||NF p =，所以1||22p MF ==，故A 正确；对于B ，假设存在点M ，使得MA MF -=0，即MA MF =，则点A ，F 重合，与已知条件矛盾，所以B 不正确；对于C ，若3MF FA =，则||:||3:4MF MA =，如图，过点A 作抛物线C 的准线的垂线并交准线于点E ，设准线交x 轴于点B ，由抛物线的定义可知||||4AE AF ==，易知~MFB MAE △△，则||||||||MF FB MA AE =，即344p =，解得3p =，所以C 正确； 对于D ，如图，作O 关于抛物线C 的准线的对称点(,0)O p '-，连接AO '交准线于点M ，过点A 作抛物线C 的准线的垂线并交准线于点D ，由对称性知，min (||||)OM MA AO '+=，由抛物线的定义可知||||42A p AD AF x ==+=，则42A px =-，代入抛物线C 的方程，得2242A p y p ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()222242422A O A p p AO x x y p '⎛⎫⎛⎫'=-+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2231216(213)4p p -++=，化简可得216480p p -+=，解得4p =或12p =.当12p =时，||6||42pOF AF ==>=，所以12p =不符合题意，所以4p =，所以D 不正确.故选AC.10.答案：24y x =解析：抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出，||||6AB FB +=，562p∴+=，2p ∴=，∴抛物线的标准方程为24y x =. 11.17解析：抛物线28y x =的焦点(2,0)F ，准线方程为2x =-，连接FM ，MA .由拋物线定义，得MF d =，所以22(12)(40)17AM d AM MF AF +=+≥-+-A ，M ，F三点共线时，取等号，所以AM d +1712.2 解析：依题意知12p =，所以2p =，因此抛物线方程为24y x =，(1,0)F .设()00,P x y ，则()()22200002220000121||||611x y x x PF PA x x x y -+++==++++200022000046112121x x x x x x x ==+++++++004112x x =+++，因为00x >，所以00001122x x x x +≥⋅=，当且仅当001x x =，即01x =是等号成立，因此00124x x ++≥，004112x x ≤++0041212x x +++0024112x x ≥+++，即当01x =时，||||PF PA 2. 13.答案：2；5解析：因为抛物线22(0)y px p =>的焦点为(1,0)F ，所以12p=，所以2p =. 如图所示，过点B 作BMl ，交直线AC 于点M ，由抛物线的定义知||||AF AC =，||||BF BD =，又||4||AF BF =，所以||3||AM BF =，||5||AB BF =，所以||4||BM BF =，因为AFx BAM ∠=∠，所以直线AB 的斜率||4tan ||3BM k BAM AM =∠===，则直线AB 的方程为4(1)3y x =-，设点()11,A x y ，()2,B x y ，由24(1), 34,yx y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理，得241740x x -+=，所以12174x x +=，所以1225||4AB x x p =++=，所以254||||||sin 545CD BM AB BAM ==∠=⨯=，所以CDF 的面积为15252⨯⨯=.14.答案：(1)方程为24y x =. (2)证明过程见解析.解析：(1)由点()0,1P x 在抛物线上可得，2012px =，解得012x p=. 由抛物线的定义可得015||2224p p PF x p =+=+=， 整理得22520p p -+=，解得2p =或12p =(舍去). 故抛物线C 的方程为24y x =.(2)由(,4)E t 在抛物线C 上可得244t =，解得4t =， 所以(4,4)E ，直线OE 的方程为y x =. 易知()11,H x y -，12,x x 均不为0. 由题意知直线l 的斜率存在且大于0， 设直线l 的方程为2(0)y kx k =+>，联立，得22,4,y kx y x =+⎧⎨=⎩消去y ，得22(44)40k x k x +-+=.则22(44)1616320k k k ∆=--=->，得102k <<，所以12244k x x k -+=，1224x x k =. 由直线OE 的方程为y x =，得()11,M x x .易知直线OB 的方程为22y y x =，故1212,x y N x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 数形结合可知，要证||||AM MN =，即证12M N y y y =+，即证121122x y y x x +=，即证1221122x y x y x x +=， 即证()1212(22)20k x x x x -++=，则22488(22)0k k k k--⨯+=，此等式显然成立，所以||||AM MN =. 15.答案：(1)标准方程为24y x =.(2)有最大值，最大值为6.解析：(1)因为(,2)M m -为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点， 所以422m p p==. 因为||2MF =， 所以22p m =+，即222p p +=， 解得2p =，所以抛物线C 的标准方程为24y x =.(2)由(1)得，(1,2)M -.设221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为AMB ∠的平分线平行于y 轴， 所以MA MB k k =-，得122212221144y y y y ++=---， 即()()()()121122222222y y y y y y ++=-+-+-， 整理得124y y +=，所以212221144AB y y k y y -==-. 设直线211:4AB y l y y x -=-， 即21104y x y y -+-=， 点M 到直线AB l 的距离211342y y d +-=，2221121||22244y y AB y y y =-=-=-， 所以()2112111341122|216||2242ABM y y S y y y +-=-=---∣△. 令12y t -=，由124y y +=，120,0y y ≥≥得22t -≤≤，所以31164ABM S t t =-△. 因为31()164f t t t =-是偶函数， 所以只需讨论02t ≤≤的情况.当02t ≤≤时，令3()16g t t t =-，则2()1630g t t '=->，所以3()16g t t t =-在[0,2]上单调递增，所以3()16g t t t =-的最大值为(2)24g =，即31164ABM S t t =-△的最大值为1(2)(2)64f g ==. 综上可知，AMB △的面积有最大值，最大值为6.。
高中数学选择性必修一(人教版)《抛物线练习题1答案》
抛物线11．若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194B ．92C ．3D ．4解析：选D 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，根据抛物线定义可知5＝n ＋1，即n ＝4.2．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选D 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，椭圆x 23p ＋y2p ＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．3．已知动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|，则点P 的轨迹为( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．椭圆解析：选B 把5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|化为(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|5，由于点(1,2)不在直线3x ＋4y －1＝0上，满足抛物线的定义，则点P 的轨迹为抛物线．4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，P (x 0，y 0)为C 上一点，若|PF |＝32x 0，则△POF 的面积为( )A ．1B ．2C ．22D ．24解析：选D 由题意知，F 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，因为点P (x 0，y 0)为C 上一点，|PF |＝32x 0，则12＋x 0＝32x 0，解得x 0＝1，所以P (1，±2)，则△POF 的面积为：12×12×2＝24. 5．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px (p >0)上，若|AF |＋|BF |＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，则p 的值为( )A ．1B ．1或3C ．2D ．2或6解析：选B |AF |＋|BF |＝4⇒x A ＋p 2＋x B ＋p2＝4⇒x A ＋x B ＝4－p ⇒2x中＝4－p ，因为线段AB 的中点到直线x ＝p2的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪x 中－p 2＝1，所以|2－p |＝1⇒p ＝1或3. 6．已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为( )A ．12B ．－12C ．－2D ．2解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)x 1－x 2＝2，即4k AB ＝2，k AB ＝12.7．(2020·福州期末)设抛物线y 2＝2px 上的三个点A ⎝⎛⎭⎫23，y 1，B (1，y 2)，C ⎝⎛⎭⎫32，y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1，d 2，d 3.若d 1，d 2，d 3中的最大值为3，则p 的值为________．解析：根据抛物线的几何性质可得d 1＝p 2＋23，d 2＝p 2＋1，d 3＝p 2＋32，由题意可得p >0，因此可判断d 3最大，故d 3＝p 2＋32＝3，解得p ＝3.答案：38．(2018·全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2. 答案：29．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：抛物线标准方程为x 2＝－4y ，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y ＝1，则|MF |的长度等于点M 到准线y ＝1的距离，从而点M 到两定点F ，E 的距离之和的最小值为点E (1，－3)到直线y ＝1的距离．即最小值为4.答案：410．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线x 2－y 2a＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.解析：根据抛物线的定义得1＋p2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知得－a ×2＝－1，故a ＝14.答案：1411.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p2，于是4＋p2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .(2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)， 所以k AF ＝43，则直线FA 的方程为y ＝43(x －1)．因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34，则直线MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎨⎧ y ＝－34x ＋2，y ＝43(x －1)得⎩⎨⎧x ＝85，y ＝45，所以N ⎝⎛⎭⎫85，45.12．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2psin 2θ； (2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. 证明：(1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，可得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm ，∴y 21＋y 22＝2p (x 1＋x 2)＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝4p 2m 2＋2p 2，∴x 1＋x 2＝2pm 2＋p .当θ＝90°时，m ＝0，x 1＋x 2＝p ， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＝2p sin 2θ；当θ≠90°时，m ＝1tan θ，x 1＋x 2＝2ptan 2θ＋p ，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p tan 2θ＋2p ＝2psin 2θ. ∴|AB |＝2p sin 2θ. (2)由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24.(3)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p .13．已知抛物线y 2＝2x .(1)设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA |； (2)在抛物线上求一点M ，使M 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值． 解：(1)设抛物线上任一点P (x ，y )，则|PA |2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13， 因为x ≥0，且在此区间上函数单调递增， 所以当x ＝0时，|PA |min ＝23，故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点M (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则M 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 20－2y 0＋622＝|(y 0－1)2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.。
抛物线练习题及答案
抛物线练习题及答案在这篇文章中，我将为你提供一些关于抛物线的练习题及其答案。
抛物线是高中数学的重要概念之一，在解题时需要运用二次函数和平方根的知识。
让我们开始解题吧！练习题一：1. 给定抛物线的顶点坐标为 (2, 3)，过点 (4, 5) 且对称轴为 x = 2，请写出该抛物线的标准方程。
答案一：首先，我们知道对称轴的方程为 x = 2。
由于对称轴与抛物线的平移或翻转无关，因此点 (4, 5) 在对称轴两侧的两个点关于对称轴对称。
将顶点坐标代入标准方程中，可以得到：y = a(x - h)^2 + k，其中 (h, k) 是顶点坐标。
代入 (2, 3) 可得：3 = a(2 - 2)^2 + 3，化简后，得到 a = 1。
因此，该抛物线的标准方程为：y = (x - 2)^2 + 3。
练习题二：1. 给定抛物线的焦点坐标为 (0, 2)，抛物线经过点 (4, 5)，求该抛物线的方程。
答案二：由于焦点坐标为 (0, 2)，我们可以推断出对称轴为 y = -2。
根据抛物线的性质，点 (4, 5) 和焦点在对称轴同侧。
我们需要找到抛物线的顶点坐标才能写出方程。
由于抛物线的顶点坐标位于对称轴上，所以顶点坐标为 (h, -2)。
由于焦点坐标为 (0, 2)，利用焦点和顶点构成的线段长度等于焦点到抛物线上任意一点的距离，我们可以得到以下等式：√((h-0)^2 + (-2-2)^2) = √((4-h)^2 + (5-2)^2)。
化简上述等式可得 h = -1。
因此，抛物线的顶点坐标为 (-1, -2)。
将焦点坐标和顶点坐标代入抛物线的一般方程，得到：(x - 0)^2 = 4p(y - 2)，其中 p 是焦距的倒数，即 p = 1/(4a)。
由于焦点到顶点的垂直距离为 4p，可以通过焦点和抛物线上任意一点计算得到。
√((-1-0)^2 + (-2-5)^2) = 4p，化简得√10 = 4p，所以p = √10 / 4 = √10 / 2。
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抛物线及其标准方程练习
一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．抛物线8
2
x y -=的准线方程是（ ） A ．32
1=
x B ．41=x C ．y=2
D ．y=4
2．与椭圆20542
2=+y x 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）
A ．x y 42=
B ．x y 42±=
C ．y x 42=
D ．y x 42±=
3．过（0，1）作直线，它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
4．设抛物线)0(2>=a ax y 与直线y=kx+b （k ≠0）有两个公共点，其横坐标分别是1x 、2x ，而3x 是直线与x 轴交点的横坐标，则1x 、2x ，3x 的关系是（ ）
A ．213x x x +=
B ．2
1311x x x += C ．313221x x x x x x +=
D ．213231x x x x x x +=
5．若抛物线)0(22
>=p px y 上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半径的关系是（ ）
A ．成等差数列
B ．成等比数列
C ．既成等差又成等比数列
D ．既不成等差又不成等比数列
6．已知A 、B 是抛物线)0(22
>=p px y 上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（ ）
A ．x=p
B ．p x 2
3=
C ．p x 25=
D ．3p
二、填空题
7．经过抛物线x y 42-=的焦点且与直线y=2x 所成的角为45°的直线方程为_________。
8．经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一直线l 交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，则2
121x x y y 的值为__________。
三、解答题
9．求顶点在原点，以y 轴为对称轴，其上各点与直线3x+4y=12的最短距离为1的抛物线方程。
10．若抛物线12
-=ax y 上存在关于直线x+y=0对称的两点，求a 的范围。
11．抛物线2
2
x y -=与过点M （0，-1）的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程。
答案与提示
一、1．C
2．B
3．C
4．C
5．A
6．C
二、7．y=-3x-3或3
131+=
x y 8．-4
三、9．提示：依题意可设抛物线方程为)0(22>-=y py x
∵此抛物线上各点与直线3x+4y=12的最短距离为1，此抛物线与在直线3x+4y=12下方且距离为1的直线3x+4y=7相切 由⎩⎨⎧=-+-=0
74322y x py x 得07322=+-p px x
∴072492=⨯⨯-=∆p p 解得956=
p ∴所求抛物线方程为y x 9
1122-= 10．提示：设A （m ，n ），B （-n ，-m ）为抛物线12-=ax y 上关于x+y=0对称的两点，
则⎪⎩⎪⎨⎧-=--=(2)
1(1) 122an m am n （1）-（2）得)0(1≠+=
-n m a n m （3） （1）+（3）得0)1(22=-+-a am m a
故判别式 0)1(422>--=∆a a a ，又a ≠0 ∴4
3>a 11．提示：设点A 和B 的坐标分别为),(11y x A ，),(22y x B ，直线l 的方程为y=kx-1，则2
22211221221212x x x x x x x x y y k +-=-+-=--= 由题中已知条件 12
211=+=+x y x y k k OB OA 又2211x y -=，2222x y -=，则12
221=--x x 即1221
=+-x x ，于是k=1，所以直线l 的方程为y=x-1。