高中抛物线练习及答案

抛物线及其标准方程练习

一、选择题（每小题四个选项中，只有一项符合题目要求）

1．抛物线8

2

x y -=的准线方程是（ ） A ．32

1=

x B ．41=x C ．y=2

D ．y=4

2．与椭圆20542

2=+y x 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）

A ．x y 42=

B ．x y 42±=

C ．y x 42=

D ．y x 42±=

3．过（0，1）作直线，它与抛物线x y 42=仅有一个公共点，这样的直线有（ ）

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条

4．设抛物线)0(2>=a ax y 与直线y=kx+b （k ≠0）有两个公共点，其横坐标分别是1x 、2x ，而3x 是直线与x 轴交点的横坐标，则1x 、2x ，3x 的关系是（ ）

A ．213x x x +=

B ．2

1311x x x += C ．313221x x x x x x +=

D ．213231x x x x x x +=

5．若抛物线)0(22

>=p px y 上三点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三点的焦半径的关系是（ ）

A ．成等差数列

B ．成等比数列

C ．既成等差又成等比数列

D ．既不成等差又不成等比数列

6．已知A 、B 是抛物线)0(22

>=p px y 上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（ ）

A ．x=p

B ．p x 2

3=

C ．p x 25=

D ．3p

二、填空题

7．经过抛物线x y 42-=的焦点且与直线y=2x 所成的角为45°的直线方程为_________。

8．经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作一直线l 交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，则2

121x x y y 的值为__________。

三、解答题

9．求顶点在原点，以y 轴为对称轴，其上各点与直线3x+4y=12的最短距离为1的抛物线方程。

10．若抛物线12

-=ax y 上存在关于直线x+y=0对称的两点，求a 的范围。

11．抛物线2

2

x y -=与过点M （0，-1）的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程。

答案与提示

一、1．C

2．B

3．C

4．C

5．A

6．C

二、7．y=-3x-3或3

131+=

x y 8．-4

三、9．提示：依题意可设抛物线方程为)0(22>-=y py x

∵此抛物线上各点与直线3x+4y=12的最短距离为1，此抛物线与在直线3x+4y=12下方且距离为1的直线3x+4y=7相切 由⎩⎨⎧=-+-=0

74322y x py x 得07322=+-p px x

∴072492=⨯⨯-=∆p p 解得956=

p ∴所求抛物线方程为y x 9

1122-= 10．提示：设A （m ，n ），B （-n ，-m ）为抛物线12-=ax y 上关于x+y=0对称的两点，

则⎪⎩⎪⎨⎧-=--=(2)

1(1) 122an m am n （1）-（2）得)0(1≠+=

-n m a n m （3） （1）+（3）得0)1(22=-+-a am m a

故判别式 0)1(422>--=∆a a a ，又a ≠0 ∴4

3>a 11．提示：设点A 和B 的坐标分别为),(11y x A ，),(22y x B ，直线l 的方程为y=kx-1，则2

22211221221212x x x x x x x x y y k +-=-+-=--= 由题中已知条件 12

211=+=+x y x y k k OB OA 又2211x y -=，2222x y -=，则12

221=--x x 即1221

=+-x x ，于是k=1，所以直线l 的方程为y=x-1