随机事件的概率

(4)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此 事件为事件A事件 B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)． (5)若A∩B为不可能事件(A∩B＝∅)，则称事件 A与事件B互 斥，其含义是：事件A与事件 B在任一次试验中不会同时发生． (6)若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与 事件B互为对立，其含义是：事件 A与事件B在任一次试验中有 且仅有一个发生．
基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
事件的关系与运算 (1)一般地，对于事件A与事件B，如果事件 A发生，事件B 一定发生，这时称事件B包含事件 A(或称 A包含于事件B)，记作 B⊇A(或 A⊆ B)． (2)若B⊇A，且 A⊇B，则称事件 A与事件B相等，记作A＝ B. (3)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此 事件为事件A与事件 B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或 A＋ B)．
(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180 180 cm)的人数；
cm以上(含
(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图； (3)若从身高在第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男 生，记他们的身高分别为x， y，求 |x－y|≤5的概率．
【解析】 (1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008 ＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82， 后三组的频率为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9， 所以估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含 180 cm)的人数为800×0.18＝144.
授 人 以 渔
题型一 随机事件及概率 同时掷两颗骰子一次， (1)“点数之和是 13”是什么事件？其概率是多少？ (2)“点数之和在 2～13 范围之内”是什么事件？其概率是 多少？ (3)“点数之和是 7”是什么事件？其概率是多少？
【思路】 依定义及概率公式解答．
【解析】
(1)由于点数最大是 6，和最大是 12 ，不可能得
概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为0≤P(A)≤1． (2)必然事件的概率为1． (3)不可能事件的概率为0． (4)互斥事件概率的加法公式： 若事件A与事件 B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 特别地，若事件B与事件 A互为对立事件，则P(A)＝1－ P(B)．
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)“下周六会下雨”是随机事件． (2)事件发生的频率与概率是相同的． (3)随机事件和随机试验是一回事． (4)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值． (5)两个事件的和事件是指两个事件同时发生． (6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立的．
(2)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥 而不对立的事件有________．(填序号) ①至少有一个红球，都是红球 ②至少有一个红球，都是白球 ③至少有一个红球，至少有一个白球 ④恰有一个红球，恰有二个红球
【解析】 (1)根据互斥事件与对立事件的定义作答，A∩ B ＝{出现点数1或3}，事件 A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅， B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件． (2)由互斥与对立的关系及定义知，①不互斥，②对立，③ 不互斥，④互斥不对立． 【答案】 (1)D (2)④
题型三
随机事件的频率与概率
(2018· 湖南长郡中学月考)从某学校高三年级共800名男 生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于 155 cm～195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一 组[155，160)、第二组[160，165)、第三组[165，170)、……、 第八组[190，195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方 图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七 组、第八组人数依次构成等差数列．
13，因此此事件是不可能事件，其概率为 0. (2)由于点数之和最小是 2，最大是 12，在 2～13 范围之内， 它是必然事件，其概率为 1. (3)由(2)知， 和是 7 是有可能的， 此事件是随机事件， 事件“点 数和为 7”包含的基本事件有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5， 6 1 2)，(6，1)共 6 个，因此 P＝ ＝ . 6×6 6 【答案】 (1)不可能事件，0 (2)必然事件，1 1 (3)随机事件， 6
★状元笔记★ 解决这类问题的方法是弄清随机试验的意义和每个事件的 含义．判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件的依 据是在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出 现或可能出现、可能不出现．随机事件发生的概率等于事件发 生所包含的结果数与该试验包含的所有结果数的比．
思考题1 (1)一个口袋内装有5个白球和3个黑球，从中 任意取出一个球， ①“取出的球是红球”是什么事件？它的概率是什么？ ②“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是什么？ ③“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是什 么？
1 3 答案 2，4 解析 Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M ＝{(正，反)，(反，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故 1 3 P(M)＝2，P(N)＝4.
4．(2015· 江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只 白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只 球颜色不同的概率为________．
随机事件的概率
…2018考纲下载… 1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概 率的意义，了解频率与概率区别． 2．了解两个互斥事件的概率加法公式． 请注意 1．多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率及 运算，而随机事件的有关概念和频率很少直接考查． 2．互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在解 答题中，多为应用问题．
答案 解析 5 6 从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只
5 球颜色不同有5种结果，故所求概率为6.
5．(2017· 湖南长沙长郡中学期末)同时掷3枚硬币，至少有1 枚正面向上的概率是( 7 A. 8 3 C.8 ) 5 B. 8 1 D.8
答案 A 解析 由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生 包含的事件是将一枚硬币连续抛掷三次，共有23＝8种结果，满 足条件的事件的对立事件是三枚硬币都是背面向上，有1种结 1 7 果，所以至少一次正面向上的概率是1－8＝8，故选A.
(2)由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5＝0.04，人 数为0.04×50＝2. 设第六组的人数为 m，则第七组的人数为9－2－ m＝7－ m， 由 m＋2＝2(7－m)，解得 m＝4， 即第六组的人数为4，第七组的人数为3，频率分别为0.08， 0.06.
频率除以组距分别等于0.016，0.012，补充完整的频率分布 直方图如图．
【解析】
①由于口袋内装有黑、白两种颜色的球，故
“取出的球是红球”是不可能事件，其概率为0. ②由已知，从口袋内取出一个球，可能是白球，也可能是 3 黑球，故“取出的球是黑球”是随机事件，它的概率是 . 8 ③由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球，故取出一个球 不是黑球，就是白球，因此，“取出的球是白球或黑球”是必 然事件，它的概率为1. 【答案】 ①0 3 ②8 ③1
6．(2018· 沧州七校联考)如图，在A，B 两点间有6条网线并联，它们能通过的最 大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从 中任取3条且使每条网线通过最大信息 量，则选取的3条网线可以使由A到 B通过的信息总量为6的概率 是( ) 1 A. 4 1 C. 2 1 B. 3 2 D. 3
答案 A 解析 设这6条网线从上到下分别是a，b，c，d ，e，f，任 取3条有：(a，b，c)，(a，b，d)，(a，b，e)，(a，b，f)，(a，c， d)，(a，c，e)，(a，c，f)，(a，d，e)，(a，d，f)，(a，e，f)， (b，c，d)，(b，c，e)，(b，c，f)，(b，d，e)，(b，d，f)，(b， e，f)，(c，d，e)，(c，d，f)，(c，e，f)，(d，e， f)，共20种不 同的取法，选取的3条网线可以使得由A到 B通过的信息总量为6 的取法有：(a，b，f)，(a，c，e)，(a，d，e)，(b，c，e)，(b， d，e)，共5种不同的取法，所以选取的3条网线可以使得由A到B 1 通过的信息总量为6的概率是4.故选A.
判别互斥、对立事件的方法 判别互斥、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的 两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这 两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
思考题2
(1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标
以数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表 示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不 超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于 4，则( A． A与 B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 )
课前自助餐
随机事件及其概率 (1)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件． (2)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件． (3)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事 件． (4)事件A发生的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A m 发生的频率 n 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时把这个 常数叫做事件A的概率，记作P(A)．
【解析】
①用有序数对(x， y)表示甲在 x号车站下车，乙
在y号车站下车，则甲下车的站号记为2，3，4共 3种结果，乙下 车的站号也是2，3，4共3种结果．甲、乙两个下车的所有可能 结果有9种，分别为：(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)， (3，4)(4，2)，(4，3)，(4，4)． ②设甲、乙两人同时在第3号车站下车的事件为A，则P(A) 1 ＝ . 9 【答案】 ①略 1 ②9
(2)某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第1 号车站(首车站)乘车．假设每人自第2号车站开始，在每个车站 下车是等可能的．约定用有序数对(x，y)表示“甲在x号车站下 车，乙在y号车站下车”． ①用有序数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出 来； ②求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率．
(3)由(2)知身高在[180，185)内的人数为4，设为a，b，c， d，身高在[190，195]内的人数为2，设为A，B. 当x， y∈[180，185)时，有ab，ac，ad，bc，bd ，cd，共6种 情况． 当x， y∈[190，195]时，只有 AB这1种情况． 当x， y分别在[180，185)，[190，195]内时，有aA，bA， cA，dA，aB，bB，cB，dB，共8种情况，
答案 (1Biblioteka Baidu√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)√
2．(课本习题改编)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给 甲、乙、丙、丁四人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌” 是( ) A．对立事件 C．互斥但不对立事件
答案 C
B．不可能事件 D．不是互斥事件
3．掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次 反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则P(M)＝________， P(N)＝________．
【解析】 (1)互斥事件； (2)至少有1名男生包含2名男生，1男1女，至少有1名女生， 包含2名女生，1女1男，两事件不互斥； (3)不互斥； (4)对立事件． 【答案】 (1)互斥事件 (2)(3)不是互斥事件 (4)对立事件
★状元笔记★ 准确把握互斥事件与对立事件 (1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可同时不发生． (2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不 可能都不发生，即有且仅有一个发生．
题型二 随机事件间的关系 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件：某小组 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中 (1)恰有 1 名男生和恰有 2 名男生； (2)至少有 1 名男生和至少有 1 名女生； (3)至少有 1 名男生和全是男生； (4)至少有 1 名男生和全是女生．