概率论(三版)2_3 常用的离散型分布

DX
1 n
n
i1(xi
x)2
(242)
(243) (244)
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值 且其概率分布为
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
(242)
说明
在古典概型中 试验共有 n 个不同的可能结果 且每个结
几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{Xk}q k1p k1 2
(2.50)
其中q1p 则称随机变量X服从参数为p的几何分布 记为
X~g(k p)
说明 在独立重复试验中 事件A发生的概率为p 设X为直到A
发生为止所进行的试验的次数 则X~g(k p)
五、几何分布
几何分布
如果随机变量X的概率分布为
§23 常用的离散型分布
一、退化分布
第 三
二、两点分布
版
三、n个点上的均匀分布
四、二项分布
五、几何分布
六、超几何分布
七、泊松(Poisson)分布
一、退化分布
退化分布 一个随机变量X以概率1取某一常数 即 P{Xa}1
则称X服从a处的退化分布 说明
由定理23的推论3知 X服从退化分布的充要条件是 DX0 且若X服从a处的退化分布 则EXa
n
n
D( X ) D( Xi ) p(1 p) np(1 p)
i 1
i 1
例218 一个袋子中装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 (N1N2N)每次从中任取一球 查看完其颜色后再放回去 一 共取n次 求取到的白球数X的分布
解 每次取球看成是一次试验 n次取球看成是n重伯努利
试验
取到白球的概率为 p N1 故X ~b(n, N1) 其分布为
" 他答对题数"m这个随机变量 ~ B(5,1/ n)
pk P(m k) Cnk pk (1 p)nk , (k 0,1,,5)
其中p 1 ,于是当n 4时,此人及格的概率是:
p3
p4
n
p5
c53
1 4
3
3 4
2
c54
1 4
4
3 4
c55
1 4
5
0.10
五、几何分布
b(k; n, p) Ckn pk(1 p)nk
说明 设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数 事件A发生的
概率为p(0p1) 则X~b(n p)
四、二项分布
二项分布
如果一个随机变量 X 的概率分布为
ຫໍສະໝຸດ BaiduP{X k} Ckn pk(1 p)nk k0 1 2, n
(245)
则称 X 服从参数为 n p 的二项分布 并记作 X~b(n p) 且记
(239)
则称X服从参数为p的01分布 也称X是参数为p的伯努利随机
变量 此时
EXp DXp(1p)
(240)
说明 在一次试验中 观察A是否发生 记A发生的次数为X 则X
要么取值为1 要么取值为0 于是X服从参数为p的01分布
(1) 0 – 1 分布
X = xi Pi
10
p 1-p
0<p<1
应用场合凡是随机试验只有两个可能的结果， 常用0 – 1分布描述，如产品是否格、人口性别统 计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等. 注 其分布律可写成
退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定 的 即这样的随机变量退化成了一个确定的常数
二、两点分布
两点分布 一个随机变量只有两个可能取值 设其分布为
P{Xx1}p P{Xx2}1p 0p1 则称X服从x1 x2处参数为p的两点分布 两点分布的期望和方差
EXpx1(1p)x2 DXp(1p)(x1x2)2
说明 设 P(A)p P(A)1p 则随机变量
X () xx12,,
A(即A发生), A(即A不发生),
便服从 x1 x2 处参数为 p 的两点分布
(236)
(237) (238)
(241)
二、两点分布
特殊的两点分布
如果X只取0 1两个值 其概率分布为
P{X1}p P{X0}1p 0p1
N
N
P{X
k}Ckn(
N1)k N
(
N2 N
)nk
0kn
(246)
例一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考 试有5个选择题，每题有n重选择，其中只有一个答案 正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.
解 :由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对 于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相 互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验
b(k; n, p) Ckn pk(1 p)nk
二项分布的期望和方差
设X~b(n p) 则
EXnp
(247)
DXnpq 其中q1p
(249)
证法二:
设
1 第i次试验事件A发生
Xi 0 第i次试验事件A不发生
则
D(
X
i
)
E(
X
2 i
)
E(
X
i
)2
p p2 p(1 p)
n
X Xi i 1
P( X k) pk (1 p)1k , k 0,1
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值 且其概率分布为
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
n个点上的均匀分布的期望和方差
EX
1 n
n
x i1 i
def
x
果出现的可能性相同
设{1
2
n )
则P{i}
1 n
(i1
2,
n). 如果随机变量 X 是上的一一对应的函数 那么 X 便服
从均匀分布
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值 且其概率分布为
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
P{Xk}q k1p k1 2
(2.50)
其中q1p 则称随机变量X服从参数为p的几何分布 记为
X~g(k p)
几何分布的期望和方差
EX
1 p
DX
q p2
(251) (253)
例219 设X服从几何分布 则对任何两个正整数m n 有
P{Xmn|Xm}P{Xn}
(254)
证明 由 P{X mn| X m} P{X mn} 据(250)知 P{X m}
(242)
说明 设 X 表示投掷一枚均匀的骰子出现的点数 此时{1 2
6} 令
X()
则 X 服从{1 2 6}上的均匀分布
四、二项分布
二项分布
如果一个随机变量 X 的概率分布为
P{X k} Ckn pk(1 p)nk k0 1 2, n
(245)
则称 X 服从参数为 n p 的二项分布 并记作 X~b(n p) 且记