核工程原理_第四次作业参考答案_清华大学
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Dr 1 (3tr ,8 ) 0.00942m ， Lr 2 Dr a ,8 0.010886m2
k (5 f , ) 5 a , 5 (2.51*1.5) /1.78 2.115 Bc (k 1) L2 (2.115 1) / 0.001104 31.78m1 c
(r , z, ) AJ1 (
2
解：圆柱几何扩散方程为：
2 1 1 2 2 2 2 B 2 0 2 2 r r r r z 分离变量 (r, , z) (r ) X ( ) Z ( z) ，代入上试，两边除以 ，有：
H 0.1m ，试求反应堆的初始反应性 0 。
解：(1)、 M 2 L2 6.6 104 0.50 102 0.566 102 m2
2 Bg (
keff
2.405 2 ) ( ) 2 33m 2 0.5 1.0 k 1.19 1.0027 2 2 1 M Bg 1 0.566 102 33
1 d 2 (r ) 1 d (r ) 1 d 2 X ( ) ( ) B2 (r ) dr 2 r dr X ( ) r 2 d 2 2 2 2 其中： B B Bz
r 2 d 2 (r ) 1 d (r ) 1 d 2 X ( ) 2 2 ( )B r 0 对（2）式有： (r ) dr 2 r dr X ( ) d 2 1 d 2 X ( ) B2 其中：X(0)=X( ) 0 则有： （3） 2 X ( ) d r 2 d 2 (r ) 1 d (r ) ( ) B2 r 2 B2 (r ) dr 2 r dr
2 B2
L2
II 2 k 1
，可见尺寸 b 对临界尺寸无影响；
0 xb C , 。 C sin B ( a b x ) , b x a b 2
1
U： f 0, a 0.18b,tr 35.4m 。
1
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解：在堆芯：
N5 N A M 5 18.7 103 6.022 1023 235 103 4.792 1028
f ,5 1.5 1028 4.792 1028 7.18m1; a ,5 1.78 1028 4.792 1028 8.53m1
2 Bg (
keff
k 1.862 0.9938 2 2 1 L Bg 1 0.004894 178.51
(b)、 Lr Dc Dr Lr (3tr Dr ) 0.0285 (3 47.6 0.0016) 0.125m
2 Bg (
keff
2.405 2 2.405 2 2 ) ( )2 ( ) ( ) 158.98m2 Rd H d 0.215 0.54 k 1.862 1.047 2 2 1 L Bg 1 0.004894 158.98
1 d 2 (r ) 1 d (r ) 1 d 2 X ( ) 1 d 2Z ( z) ( ) B2 2 2 2 2 (r ) dr r dr X ( ) r d Z ( z ) dz
由此可以得到：
1 d 2 Z ( z) Bz2 2 Z ( z ) dz
（1） （2 ）
Dc 1 (3tr ,5 ) 0.00942m ， Lc 2 Dc a ,5 0.001104m2
在反射层：
N8 N A M 8 19.0 103 6.022 1023 238 103 4.807 1028
f ,8 0m1;a,8 0.18 1028 4.807 1028 =0.865m1
7、一由纯
235
U 金属（ 18.7 10 kg m ）组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的
3 3 3 3
纯 238U 金属（ 19.0 10 kg m ） 。试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：
235 238
U： f 1.5b, a 1.78b,tr 35.4m , 2.51 ；
根据带反射层球形堆单群临界条件：
Dc 1 Bc R ct g ( Bc R) Dr 1 R Lr cth T Lr 由， T ，得 cth(T / Lr ) 1 ，该式改写为 Dc 1 Bc R c tg ( Bc R) Dr 1+ R Lr
(
0
ke f f 1 ke f f
0.147
5、一球壳形反应堆，内半径为 R1 ，外半径为 R2 ，如果球的内、外均为真空，求证单群理 论的临界条件为： tgBR2
tgBR1 BR1 1 BR1tgBR1
d 2 2 d B 2 0 证明：应用球坐标系统，并把原点放在球心上，则有波动方程： 2 dr r dr sin Br cos Br 上式的通解为： (r ) C E r r sin BR2 cos BR2 ( R2 ) 0 C E 0 C sin BR2 E cos BR2 0 R2 R2 B cos BR1 sin BR1 B sin BR1 cos BR1 J ( R1 ) 0 ( R1 ) 0 C ( ) E ( )0 2 R1 R1 R1 R12 BR1 cos BR1 sin BR1 两方程联立求解： sin BR2 / cos BR2 E / C BR1 sin BR1 cos BR1 tgBR1 BR1 即： tgBR2 1 BR1tgBR1
14、设有一铍正圆柱，内均匀含有铀-235，圆柱高 0.40 米，半径为 0.20 米，置于地面上， 圆柱体的核参数如下：
铍：tr 47.6米1; a 0.13米1;VBe V总 1;
铀 235： f 524靶; a 618靶; N5 NBe 0.17 103 。
I
16、设有如图所示的一维无限平板反应堆。中间区域(I)的 k 1 ，厚度 2b 为已知，两侧区 域(II)的 k 1 ，试用单群理论导出确定临界尺寸 a 的公式及临界时中子通量密度的分布。
II
说明尺寸 b 对临界尺寸有无影响及其理由。
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解：以中间平板中心为原点建立直角坐标系，对 I 区和 II 区解扩散方程
(2)、根据修正单群理论有：
k 1 2.405 2 2 1.19 1 2 ) ( ) Bg 2 0.5 H M 0.566 102 求得： H 0.973 m 2.405 2 2 (3)、 Bg ( ) ( )2 2.654m2 1.66 0.07 3.5 2 0.1 k 1.19 ke f f 1 . 1 7 2 4 2 2 2 1 M Bg 1 0 . 5 66 1 0 2.654
则（4）式化为： r
2
由 r=0 与 r=R 处的边界条件可以得到：E=0 和 J1 ( BR) 0 B x1 R , x1 3.89
Biblioteka Baidu2 2
综上所述： (r , z, ) AJ1 (
x1r z )sin cos( ), R H
x 2 Bg ( 1 )2 ( )2 R H
II 区的曲率 B2
2 II k 1 0 ，故 2 ( x) A2 sin B2 x C2 cos B2 x ； 2 L2
由边界条件 3 得， 2 ( x) A2 sin B2 (a b x) ； 由边界条件 2 得， cos( B2 a) 0 ， a 由边界条件 1 得， C1 A2 ； 故临界时中子通量密度分布为 ( x)
(a)试用单群理论验证此柱是否临界； (b)设偶尔将一高 0.80 米的水桶置于圆柱体上( DH2O 0.16 10 米, LH2O 0.0285米 )。问 圆柱处什么状态？有效增殖系数 k 为多少？
2
解： (a )、N Be Be N A M Be 1.85 103 6.022 1023 9 103 1.238 1029 N 5 1.238 1029 0.17 103 2.105 1025 f ,5 524 1028 2.105 1025 1.103m 1 a ,5 618 1028 2.105 1025 1.301m 1 k f ,5 ( a ,5 a , Be ) 2.416 1.103 (1.301 0.13) 1.862 外推距离d 0.7104tr 0.015m 2.405 2 2.405 2 2 ) ( )2 ( ) ( ) 178.51m 2 Rd H 2d 0.215 0.43 L2 1 (3tr a ) 1 (3 47.6 1.431) 0.004894
第四次作业参考答案 3、设有圆柱形铀－水栅格装置(参看教材 P112 图 4-7)，R＝0.50m，水位高度 H＝1.0m，设栅 格参数为： k 1.19, L 6.6 10 m ， 0.50 10 m 。(1)试求该装置的有效增殖因
2 4 2 2 2
数 keff ；(2)当该装置恰好达到临界时，水位高度 H 等于多少？(3)设某压水堆以该铀－水栅 格作为芯部，堆芯的尺寸为 R=1.66m ， H=3.50m ，若反射层节省估算为 r 0.07 m，
1 (b) 2 (b) 2 2 1 B1 1 0 ，边界条件 D11 (b) D22 (b) ， 2 2 (a b) 0 2 B2 2 0 2 I k 1 2 I 区的曲率 B1 2 0 ，故 1 ( x) A1 x C1 ，根据对称性 A1 0 ， 1 ( x) C1 ； L1
Dc Dr
tg ( Bc R) Bc Lr
4 0.05863 18.7 103 15.80kg 3
代入各变量值求得：R=0.0586m。 临界质量： m
8、试证明有限高半圆柱形反应堆内中子通量密度分布和几何曲率为：
x1r x z 2 )sin cos( ), Bg ( 1 ) 2 ( ) R H R H 其中， x1 3.89是J1 ( x)的第一个零点.J1 ( x1 ) 0 。
（4）
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由（1）式有： Z ( z ) F cos( Bz z ), Bz / H
2
2
由（3）式有： X( )=Asin( ),B 1
d 2 (r ) d ( r ) r B2 r 2 (r ) (r ) 0 2 dr dr 2 d ( x ) 2 d ( x) 令 x Br ，有 x x ( x 2 1) ( x) 0 2 dx dx 解得： ( x) CJ1 ( x) EY1 ( x) (r ) CJ1 ( Br ) EY1 ( Br )
k (5 f , ) 5 a , 5 (2.51*1.5) /1.78 2.115 Bc (k 1) L2 (2.115 1) / 0.001104 31.78m1 c
(r , z, ) AJ1 (
2
解：圆柱几何扩散方程为：
2 1 1 2 2 2 2 B 2 0 2 2 r r r r z 分离变量 (r, , z) (r ) X ( ) Z ( z) ，代入上试，两边除以 ，有：
H 0.1m ，试求反应堆的初始反应性 0 。
解：(1)、 M 2 L2 6.6 104 0.50 102 0.566 102 m2
2 Bg (
keff
2.405 2 ) ( ) 2 33m 2 0.5 1.0 k 1.19 1.0027 2 2 1 M Bg 1 0.566 102 33
1 d 2 (r ) 1 d (r ) 1 d 2 X ( ) ( ) B2 (r ) dr 2 r dr X ( ) r 2 d 2 2 2 2 其中： B B Bz
r 2 d 2 (r ) 1 d (r ) 1 d 2 X ( ) 2 2 ( )B r 0 对（2）式有： (r ) dr 2 r dr X ( ) d 2 1 d 2 X ( ) B2 其中：X(0)=X( ) 0 则有： （3） 2 X ( ) d r 2 d 2 (r ) 1 d (r ) ( ) B2 r 2 B2 (r ) dr 2 r dr
2 B2
L2
II 2 k 1
，可见尺寸 b 对临界尺寸无影响；
0 xb C , 。 C sin B ( a b x ) , b x a b 2
1
U： f 0, a 0.18b,tr 35.4m 。
1
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解：在堆芯：
N5 N A M 5 18.7 103 6.022 1023 235 103 4.792 1028
f ,5 1.5 1028 4.792 1028 7.18m1; a ,5 1.78 1028 4.792 1028 8.53m1
2 Bg (
keff
k 1.862 0.9938 2 2 1 L Bg 1 0.004894 178.51
(b)、 Lr Dc Dr Lr (3tr Dr ) 0.0285 (3 47.6 0.0016) 0.125m
2 Bg (
keff
2.405 2 2.405 2 2 ) ( )2 ( ) ( ) 158.98m2 Rd H d 0.215 0.54 k 1.862 1.047 2 2 1 L Bg 1 0.004894 158.98
1 d 2 (r ) 1 d (r ) 1 d 2 X ( ) 1 d 2Z ( z) ( ) B2 2 2 2 2 (r ) dr r dr X ( ) r d Z ( z ) dz
由此可以得到：
1 d 2 Z ( z) Bz2 2 Z ( z ) dz
（1） （2 ）
Dc 1 (3tr ,5 ) 0.00942m ， Lc 2 Dc a ,5 0.001104m2
在反射层：
N8 N A M 8 19.0 103 6.022 1023 238 103 4.807 1028
f ,8 0m1;a,8 0.18 1028 4.807 1028 =0.865m1
7、一由纯
235
U 金属（ 18.7 10 kg m ）组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的
3 3 3 3
纯 238U 金属（ 19.0 10 kg m ） 。试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：
235 238
U： f 1.5b, a 1.78b,tr 35.4m , 2.51 ；
根据带反射层球形堆单群临界条件：
Dc 1 Bc R ct g ( Bc R) Dr 1 R Lr cth T Lr 由， T ，得 cth(T / Lr ) 1 ，该式改写为 Dc 1 Bc R c tg ( Bc R) Dr 1+ R Lr
(
0
ke f f 1 ke f f
0.147
5、一球壳形反应堆，内半径为 R1 ，外半径为 R2 ，如果球的内、外均为真空，求证单群理 论的临界条件为： tgBR2
tgBR1 BR1 1 BR1tgBR1
d 2 2 d B 2 0 证明：应用球坐标系统，并把原点放在球心上，则有波动方程： 2 dr r dr sin Br cos Br 上式的通解为： (r ) C E r r sin BR2 cos BR2 ( R2 ) 0 C E 0 C sin BR2 E cos BR2 0 R2 R2 B cos BR1 sin BR1 B sin BR1 cos BR1 J ( R1 ) 0 ( R1 ) 0 C ( ) E ( )0 2 R1 R1 R1 R12 BR1 cos BR1 sin BR1 两方程联立求解： sin BR2 / cos BR2 E / C BR1 sin BR1 cos BR1 tgBR1 BR1 即： tgBR2 1 BR1tgBR1
14、设有一铍正圆柱，内均匀含有铀-235，圆柱高 0.40 米，半径为 0.20 米，置于地面上， 圆柱体的核参数如下：
铍：tr 47.6米1; a 0.13米1;VBe V总 1;
铀 235： f 524靶; a 618靶; N5 NBe 0.17 103 。
I
16、设有如图所示的一维无限平板反应堆。中间区域(I)的 k 1 ，厚度 2b 为已知，两侧区 域(II)的 k 1 ，试用单群理论导出确定临界尺寸 a 的公式及临界时中子通量密度的分布。
II
说明尺寸 b 对临界尺寸有无影响及其理由。
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解：以中间平板中心为原点建立直角坐标系，对 I 区和 II 区解扩散方程
(2)、根据修正单群理论有：
k 1 2.405 2 2 1.19 1 2 ) ( ) Bg 2 0.5 H M 0.566 102 求得： H 0.973 m 2.405 2 2 (3)、 Bg ( ) ( )2 2.654m2 1.66 0.07 3.5 2 0.1 k 1.19 ke f f 1 . 1 7 2 4 2 2 2 1 M Bg 1 0 . 5 66 1 0 2.654
则（4）式化为： r
2
由 r=0 与 r=R 处的边界条件可以得到：E=0 和 J1 ( BR) 0 B x1 R , x1 3.89
Biblioteka Baidu2 2
综上所述： (r , z, ) AJ1 (
x1r z )sin cos( ), R H
x 2 Bg ( 1 )2 ( )2 R H
II 区的曲率 B2
2 II k 1 0 ，故 2 ( x) A2 sin B2 x C2 cos B2 x ； 2 L2
由边界条件 3 得， 2 ( x) A2 sin B2 (a b x) ； 由边界条件 2 得， cos( B2 a) 0 ， a 由边界条件 1 得， C1 A2 ； 故临界时中子通量密度分布为 ( x)
(a)试用单群理论验证此柱是否临界； (b)设偶尔将一高 0.80 米的水桶置于圆柱体上( DH2O 0.16 10 米, LH2O 0.0285米 )。问 圆柱处什么状态？有效增殖系数 k 为多少？
2
解： (a )、N Be Be N A M Be 1.85 103 6.022 1023 9 103 1.238 1029 N 5 1.238 1029 0.17 103 2.105 1025 f ,5 524 1028 2.105 1025 1.103m 1 a ,5 618 1028 2.105 1025 1.301m 1 k f ,5 ( a ,5 a , Be ) 2.416 1.103 (1.301 0.13) 1.862 外推距离d 0.7104tr 0.015m 2.405 2 2.405 2 2 ) ( )2 ( ) ( ) 178.51m 2 Rd H 2d 0.215 0.43 L2 1 (3tr a ) 1 (3 47.6 1.431) 0.004894
第四次作业参考答案 3、设有圆柱形铀－水栅格装置(参看教材 P112 图 4-7)，R＝0.50m，水位高度 H＝1.0m，设栅 格参数为： k 1.19, L 6.6 10 m ， 0.50 10 m 。(1)试求该装置的有效增殖因
2 4 2 2 2
数 keff ；(2)当该装置恰好达到临界时，水位高度 H 等于多少？(3)设某压水堆以该铀－水栅 格作为芯部，堆芯的尺寸为 R=1.66m ， H=3.50m ，若反射层节省估算为 r 0.07 m，
1 (b) 2 (b) 2 2 1 B1 1 0 ，边界条件 D11 (b) D22 (b) ， 2 2 (a b) 0 2 B2 2 0 2 I k 1 2 I 区的曲率 B1 2 0 ，故 1 ( x) A1 x C1 ，根据对称性 A1 0 ， 1 ( x) C1 ； L1
Dc Dr
tg ( Bc R) Bc Lr
4 0.05863 18.7 103 15.80kg 3
代入各变量值求得：R=0.0586m。 临界质量： m
8、试证明有限高半圆柱形反应堆内中子通量密度分布和几何曲率为：
x1r x z 2 )sin cos( ), Bg ( 1 ) 2 ( ) R H R H 其中， x1 3.89是J1 ( x)的第一个零点.J1 ( x1 ) 0 。
（4）
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由（1）式有： Z ( z ) F cos( Bz z ), Bz / H
2
2
由（3）式有： X( )=Asin( ),B 1
d 2 (r ) d ( r ) r B2 r 2 (r ) (r ) 0 2 dr dr 2 d ( x ) 2 d ( x) 令 x Br ，有 x x ( x 2 1) ( x) 0 2 dx dx 解得： ( x) CJ1 ( x) EY1 ( x) (r ) CJ1 ( Br ) EY1 ( Br )