分数指数幂习题
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3
12
(2)当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根
式是否也可以写成分数指数幂的形式？ 答案： 可以
第二章
基本初等函数（I）
2．我们规定：
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(3)0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 0 ,0 的 负 分 数 指 数 幂 无意义 ．(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)
(2)用计算器计算 3π－33.14的值(精确到0.0001)
第二章
基本初等函数（I）
(2)利用计算器可得3π≈31.5443,33.14≈31.48913
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则3π－33.14＝0.0552.
第二章
基本初等函数（I）
人 教 A 版 数 学
第二章
基本初等函数（I）
[例 5] 设 a、b、c 均为不等于 1 的正数，且 ax＝by＝ 1 1 1 c ，x＋y＋ z ＝0，求 abc 的值．
(4)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从
整数 推广到 分数 ．
第二章
基本初等函数（I）
(5)整数指数幂的运算性质，对于有理数指数幂也同样
适用的有① am·an＝am＋n(a>0，m、n∈Q) ； ② (am)n＝amn(a>0，m、n∈Q) b>0，m∈Q) ． (ab)m＝am·bm(a>0 ， ；③
1 ×2，－1＝－ ×4 等，从而能利用乘法公式进行运算． 4
第二章
基本初等函数（I）
[解Βιβλιοθήκη Baidu] 原式
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第二章
基本初等函数（I）
总结评述：对于这类问题，要仔细观察分析指数的 关系与变化，灵活地运用乘法公式进行因式分解和变形.
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
[正解] 由所给式子知，a＋b与a－b同号． (1)当a＋b与a－b同为正值时，
原式＝a
(a＋b)2 －b a2－b2
(a－b)2 2b2 － 2 a2－b2 a －b2
a(a＋b) b(a－b) 2b2 ＝ 2 2－ 2 2－ a －b a －b a2－b2 a2－b2 ＝ 2 ＝ a2－b2. a －b2
示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有含 分母又含有负指数．
第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
[例1] x取何值时，下列各式有意义？
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[分析] 根据根式与分数指数幂的意义解题． [解析] (1)1－x≥0，∴x≤1. (2)x－1≠0，∴x∈R且x≠1.
基本初等函数（I）
[点评] 一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正
指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算．
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
化简：
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[分析]
1 1 注意分析各幂中指数间的相互关系， 如－ ＝－ 2 4
第二章
基本初等函数（I）
x取何值时，下列各式有意义？
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
[例2] 化简
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[分析] 利用分数指数幂的运算性质来化简．
第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
和另一串有理指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143…之间的一个确定 的实数，因此，一般地，当a>0，α是一个无理数时，aα 是 一个确定的正实数．并且有理指数幂的运算性质，同样也 适用于无理指数幂，即a>0，b>0，α、β是无理数时，
aαaβ＝ aα＋β
(aα)β＝ aαβ
(ab)α＝ aαbα
的解答过程是否正确？若正确，从中选择一种最简单的解 法．若不正确，说明错误的原因，并给出正确解答．
第二章
基本初等函数（I）
解法 1：a ＝a
a＋b －b a－b
a－b 2b2 － 2 a＋b a －b2
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(a＋b)2 2 2 －b a －b
(a－b)2 2b2 2 2－ a －b a2－b2
(a＋b)2 －b a2－b2
(a－b)2 2b2 － 2 a2－b2 a －b2
a|a＋b| b|a－b| 2b2 ＝ 2 2－ 2 2－ a －b a －b a2－b2 ①当 a＋b>0，a－b>0 时，原式＝ a2－b2； ②当 a＋b>0，a－b<0 时， a(a＋b) b(a－b) 2b2 原式＝ 2 2＋ 2 2－ a －b a －b a2－b2
.
1 2．α为无理数时，1α＝ ，α0＝ . 1
第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
本节重点：分数指数幂的概念和运算性质． 本节难点：对分数指数幂和实数指数幂概念的理解．
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
[辨析]
上面给出的两种化简方案都不正确，方案 1 中
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忽略了算术根必须取非负值；方案 2 中只是在形式上注意了 a2＝|a|，而不加分析地分四种情形进行讨论，忽略了题中隐 a＋b 含的条件：即所给题目本身应是有意义的，即 >0，a＋b a－b 与 a－b 应是同号的．所以②③两种情况是不存在的．
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第二章
基本初等函数（I）
(6)依据上述定义可计算下列问题：
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
二、阅读教材P52～53回答：
1．5
就是介于一串有理指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142…
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第二章
基本初等函数（I）
5．设10m＝2,10n＝3，则10－2m－10－n＝________.
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[解析]
－n
由 10 ＝2 得，10
m
－2m
1 1 ＝ m 2＝ (10 ) 4
1 1 1 1 1 －2m －n 10 ＝10n＝3.∴10 －10 ＝4－3＝－12.
第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
一、选择题 1．下列各式中正确的是 ( )
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[答案] D
第二章
基本初等函数（I）
[答案] B
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第二章
基本初等函数（I）
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[答案] B
第二章
基本初等函数（I）
[答案] A
第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
一、阅读教材P50～52回答：
1．由 a10＝a2＝a 5 ， a12＝a4＝a 3 思考： (1)结果的指数与被开方数的指数、根指数有什么关系？ 由此可得：当根式的被开方数的指数被根指数整除时， 根式可以写成 a 的形式．
第二章
基本初等函数（I）
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a(a＋b) b(a－b) 2b2 ＝ 2 2－ 2 2－ a －b a －b a2－b2 a2＋ab－ba＋b2－2b2 ＝ a2－b2 a2－b2 ＝ 2 ＝ a2－b2. a －b2
第二章
基本初等函数（I）
解法 2：a ＝a
a＋b －b a－b
a－b 2b2 － 2 a＋b a －b2
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总结评述：根式与指数运算混合时，将根式化为分 数指数幂表示运算较为方便．原式有根式时，最后结果一 般应化为根式．
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第二章
基本初等函数（I）
计算下列各式：
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
人 教 A 版 数 学
第二章
第二章
基本初等函数（I）
a2＋2ab－3b2 ＝ a2－b2 (a－b)(a＋3b) 2 ＝ · a －b2 2 2 －(a －b ) (a－b)(a＋3b) 2 ＝ a －b2 －(a－b)(a＋b) a＋3b 2 ＝－ a －b2； a＋b
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第二章
基本初等函数（I）
③当 a＋b<0，a－b>0 时， －a(a＋b) b(a－b) 2b2 原式＝ 2 2 － 2 2－ a －b a －b a2－b2 a＋b 2 ＝－ a －b2； a－b ④当 a＋b<0，a－b<0 时， －a(a＋b) b(a－b) 2b2 原式＝ 2 2 ＋ 2 2－ a －b a －b a2－b2 －a2－ab＋ba－b2－2b2 ＝ a2－b2 a2＋3b2 2 ＝ 2 a －b2 2 b －a
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第二章
基本初等函数（I）
(2)当 a＋b 与 a－b 同为负值时， 原式＝a (a＋b)2 －b a2－b2 (a－b)2 2b2 － 2 a2－b2 a －b2
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a(－a－b) b(b－a) 2b2 ＝ 2 2 － 2 2－ a －b a －b a2－b2 －a2－3b2 (a2＋3b2) a2－b2 ＝ . 2 2 2 2 ＝ b －a a －b
z
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
[例 6]
化简 a
a＋b －b a－b
a－b 2b2 － 2 2，下面给出 a＋b a －b
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1．根式中，根指数与被开方数的指数不可随便约 分．只有 a≥0 时，才有 n 为奇数时， mp a ≠
np
mp an.
a ＝
np
m
an，当 a<0，p 为偶数，
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m
2．分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利 用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运
算．对于计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表
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(2)当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根
式是否也可以写成分数指数幂的形式？ 答案： 可以
第二章
基本初等函数（I）
2．我们规定：
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(3)0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 0 ,0 的 负 分 数 指 数 幂 无意义 ．(其中a>0，m，n∈N*，且n>1)
(2)用计算器计算 3π－33.14的值(精确到0.0001)
第二章
基本初等函数（I）
(2)利用计算器可得3π≈31.5443,33.14≈31.48913
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则3π－33.14＝0.0552.
第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
[例 5] 设 a、b、c 均为不等于 1 的正数，且 ax＝by＝ 1 1 1 c ，x＋y＋ z ＝0，求 abc 的值．
(4)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从
整数 推广到 分数 ．
第二章
基本初等函数（I）
(5)整数指数幂的运算性质，对于有理数指数幂也同样
适用的有① am·an＝am＋n(a>0，m、n∈Q) ； ② (am)n＝amn(a>0，m、n∈Q) b>0，m∈Q) ． (ab)m＝am·bm(a>0 ， ；③
1 ×2，－1＝－ ×4 等，从而能利用乘法公式进行运算． 4
第二章
基本初等函数（I）
[解Βιβλιοθήκη Baidu] 原式
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第二章
基本初等函数（I）
总结评述：对于这类问题，要仔细观察分析指数的 关系与变化，灵活地运用乘法公式进行因式分解和变形.
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
[正解] 由所给式子知，a＋b与a－b同号． (1)当a＋b与a－b同为正值时，
原式＝a
(a＋b)2 －b a2－b2
(a－b)2 2b2 － 2 a2－b2 a －b2
a(a＋b) b(a－b) 2b2 ＝ 2 2－ 2 2－ a －b a －b a2－b2 a2－b2 ＝ 2 ＝ a2－b2. a －b2
示．但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有含 分母又含有负指数．
第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
[例1] x取何值时，下列各式有意义？
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[分析] 根据根式与分数指数幂的意义解题． [解析] (1)1－x≥0，∴x≤1. (2)x－1≠0，∴x∈R且x≠1.
基本初等函数（I）
[点评] 一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正
指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算．
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第二章
基本初等函数（I）
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基本初等函数（I）
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基本初等函数（I）
化简：
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[分析]
1 1 注意分析各幂中指数间的相互关系， 如－ ＝－ 2 4
第二章
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x取何值时，下列各式有意义？
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[例2] 化简
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[分析] 利用分数指数幂的运算性质来化简．
第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
和另一串有理指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143…之间的一个确定 的实数，因此，一般地，当a>0，α是一个无理数时，aα 是 一个确定的正实数．并且有理指数幂的运算性质，同样也 适用于无理指数幂，即a>0，b>0，α、β是无理数时，
aαaβ＝ aα＋β
(aα)β＝ aαβ
(ab)α＝ aαbα
的解答过程是否正确？若正确，从中选择一种最简单的解 法．若不正确，说明错误的原因，并给出正确解答．
第二章
基本初等函数（I）
解法 1：a ＝a
a＋b －b a－b
a－b 2b2 － 2 a＋b a －b2
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(a＋b)2 2 2 －b a －b
(a－b)2 2b2 2 2－ a －b a2－b2
(a＋b)2 －b a2－b2
(a－b)2 2b2 － 2 a2－b2 a －b2
a|a＋b| b|a－b| 2b2 ＝ 2 2－ 2 2－ a －b a －b a2－b2 ①当 a＋b>0，a－b>0 时，原式＝ a2－b2； ②当 a＋b>0，a－b<0 时， a(a＋b) b(a－b) 2b2 原式＝ 2 2＋ 2 2－ a －b a －b a2－b2
.
1 2．α为无理数时，1α＝ ，α0＝ . 1
第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
本节重点：分数指数幂的概念和运算性质． 本节难点：对分数指数幂和实数指数幂概念的理解．
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
[辨析]
上面给出的两种化简方案都不正确，方案 1 中
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忽略了算术根必须取非负值；方案 2 中只是在形式上注意了 a2＝|a|，而不加分析地分四种情形进行讨论，忽略了题中隐 a＋b 含的条件：即所给题目本身应是有意义的，即 >0，a＋b a－b 与 a－b 应是同号的．所以②③两种情况是不存在的．
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第二章
基本初等函数（I）
(6)依据上述定义可计算下列问题：
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第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
二、阅读教材P52～53回答：
1．5
就是介于一串有理指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142…
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第二章
基本初等函数（I）
5．设10m＝2,10n＝3，则10－2m－10－n＝________.
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[解析]
－n
由 10 ＝2 得，10
m
－2m
1 1 ＝ m 2＝ (10 ) 4
1 1 1 1 1 －2m －n 10 ＝10n＝3.∴10 －10 ＝4－3＝－12.
第二章
基本初等函数（I）
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第二章
基本初等函数（I）
一、选择题 1．下列各式中正确的是 ( )
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[答案] D
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基本初等函数（I）
[答案] B
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[答案] B
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基本初等函数（I）
[答案] A
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第二章
基本初等函数（I）
一、阅读教材P50～52回答：
1．由 a10＝a2＝a 5 ， a12＝a4＝a 3 思考： (1)结果的指数与被开方数的指数、根指数有什么关系？ 由此可得：当根式的被开方数的指数被根指数整除时， 根式可以写成 a 的形式．
第二章
基本初等函数（I）
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a(a＋b) b(a－b) 2b2 ＝ 2 2－ 2 2－ a －b a －b a2－b2 a2＋ab－ba＋b2－2b2 ＝ a2－b2 a2－b2 ＝ 2 ＝ a2－b2. a －b2
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基本初等函数（I）
解法 2：a ＝a
a＋b －b a－b
a－b 2b2 － 2 a＋b a －b2
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总结评述：根式与指数运算混合时，将根式化为分 数指数幂表示运算较为方便．原式有根式时，最后结果一 般应化为根式．
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基本初等函数（I）
计算下列各式：
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第二章
基本初等函数（I）
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基本初等函数（I）
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基本初等函数（I）
a2＋2ab－3b2 ＝ a2－b2 (a－b)(a＋3b) 2 ＝ · a －b2 2 2 －(a －b ) (a－b)(a＋3b) 2 ＝ a －b2 －(a－b)(a＋b) a＋3b 2 ＝－ a －b2； a＋b
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第二章
基本初等函数（I）
③当 a＋b<0，a－b>0 时， －a(a＋b) b(a－b) 2b2 原式＝ 2 2 － 2 2－ a －b a －b a2－b2 a＋b 2 ＝－ a －b2； a－b ④当 a＋b<0，a－b<0 时， －a(a＋b) b(a－b) 2b2 原式＝ 2 2 ＋ 2 2－ a －b a －b a2－b2 －a2－ab＋ba－b2－2b2 ＝ a2－b2 a2＋3b2 2 ＝ 2 a －b2 2 b －a
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(2)当 a＋b 与 a－b 同为负值时， 原式＝a (a＋b)2 －b a2－b2 (a－b)2 2b2 － 2 a2－b2 a －b2
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a(－a－b) b(b－a) 2b2 ＝ 2 2 － 2 2－ a －b a －b a2－b2 －a2－3b2 (a2＋3b2) a2－b2 ＝ . 2 2 2 2 ＝ b －a a －b
z
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[例 6]
化简 a
a＋b －b a－b
a－b 2b2 － 2 2，下面给出 a＋b a －b
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1．根式中，根指数与被开方数的指数不可随便约 分．只有 a≥0 时，才有 n 为奇数时， mp a ≠
np
mp an.
a ＝
np
m
an，当 a<0，p 为偶数，
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m
2．分数指数幂是根式的另一种表示，根式的运算可利 用分数指数幂与根式之间的关系转化为分数指数幂的运
算．对于计算化简的结果，不强求统一用何种形式来表