第五章 整数规划练习题答案

第五章 整数规划练习题答案

一. 判断下列说法是否正确

1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是

该问题目标函数值的下界。()

2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。()

3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。()

4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。() 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问

应如何分配这五项工作，并求得最大产值。

工作 工人

A B C D E 甲 9 4 6 8 5 乙 8 5 9 10 6 丙 9 7 3 5 8 丁 4 8 6 9 5 戊

10

5

3

6

3

答案：

设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则：

16425105

3140

42

13251042510424003B 1

3752102

6410

1540

62

415151

3045

020305

7470574704646111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

=→→- ⎪

⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

---

m 4n 5l m 4

4

21342132432431541545235234

6

4

64

6

4

6=<===⎛

⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→−−−−→∅∅ ⎪ ⎪∅∅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∅∅⎝

⎭

⎝

⎭

031023

4003115406020303535⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

31234311546233

5

3

5∅⎛⎫ ⎪∅ ⎪ ⎪→ ⎪∅ ⎪ ⎪⎝

⎭ m=5=n ，得最优解。解矩阵*0001000100X 0000101

00010000⎛⎫

⎪

⎪ ⎪= ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

。

即，甲D ，乙C ，丙E ，丁B ，戊A ，最大产值=10+8+9+8+8=43。

三. 对整数规划

12

121212

MaxZ 8x 5x 2x 3x 12

x x 6x ,x 0,=++≤⎧⎪

-≤⎨⎪≥⎩整数 解得其松弛问题最优表如下：

c j 8

5 0 0 θ C B X B b x 1 x 2 x 3 x 4 5 x 2 3/2 0 1 1/4 -1/4 8 x 1 15/4 1 0 1/8 3/8 σj 75/2

0 0 -9/4 -7/4

答案：

(1) 产生高莫雷约束：

根据Max {f i }，应选取x 1所在行为源行：134133x x x 3884+

+=，即，134133x 0x 0x 3884⎛⎫⎛⎫

++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

产生高莫雷约束为：34313

x x 0488

--≤。

(2) 将高莫雷约束加入松弛变量x 5，写入原表最后一行形成下表并用对偶单纯形法求解：

c j 8 5 0 0 0 θ C B

X B b x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 5 x 2 3/2 0 1 1/4 -1/4 0 8 x 1 15/4 1 0 1/8 3/8 0 0

x 5

-3/4

-1/8

-3/8

1

→

b j

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