常数项级数的概念及性质
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常数项级数的概念和性质
∞
lim u n = lim ( S n − S n −1 )
n →∞ n →∞
= lim S n − lim S n −1
n →∞ n →∞
= S −S =0
例4. 判别 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
n 的敛散性. n +1
(−1) n −1 n = 1, 解：由于 lim | u n |= lim n →∞ n →∞ n +1
一、问题的提出
1. 计算圆的面积 正六边形的面积 a1 正十二边形的面积 a1 + a 2
n 正 3 × 2 形的面积 a1 + a 2 + L + a n
R
即 A ≈ a1 + a2 +L+ an 1 3 3 3 3 2. = + + +L+ n +L 3 10 100 1000 10
二、常数项级数的概念
n =1 ∞
S n = ∑ u k = u1 + u 2 + L + u n ,
k =1
n
称为常数项级数的部分和. 若 lim S n = S 存在，则称级数 ∑ u n 收敛， n →∞
n =1 ∞
∑ S称为级数的和： u n = S .
n =1
∞
观察雪花分形过程
设三角形 周长为 P1 = 3, 3 ; 面积为 A1 = 4 第一次分叉： 第一次分叉：
1.常数项级数的定义 1.常数项级数的定义 设有数列{un}:u1, u2, …, un, …, 则称表达式
∑u
n =1
∞
n
= u1 + u 2 + L + u n + L
常数项级数的概念和
n(n 2
1)
.
ln im snln im n(n21), ∴所给级数是发散的. 3
定 义 如 果 级un数 的 部 分{和 sn}有 数极 列 s， 限
n1
则 称 级 un数 收 敛 ， 并 un且 s.
n1
n1
例2 判定级数1 的收敛 . 性
课堂练习 判别级数1 的敛散. 性
P255.4(3)
n2 n 3
解ln im un
1 lim
3 nn
级数
1 发散.
lim
n
1
1
3n
1 1 0. 1
|q|1,
该级数收敛,
并且
4
n
n0 5
1
1
4
5.
5
9
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常k数 0,则kun与un有相同的敛
n1
n1
证 设u n的部sn 分 u 1 和 u 2 为 u n;
n 1
则knu 的 部n 分 k1 u 和 k2u 为 knu ksn . n 1
( u 1 u 2 u n ) ( v 1 v 2 v n ) snn,
ln i m nln i (m snn)s,
(un vn)收敛，且其和s为 ．
n1
11
性质2 如果级 数 un、 vn分别收敛s、 于 , 和
例3 讨 论 等a比 nq aa 级 qa数 2q anq
n0
常数项数概念与性质
并写成
如果 没有极限则称无穷级数 发散
余项当级数 收敛时其部分和sn是级数 的和s的近似值它们之间的差值
rnssnun1un2
叫做级数 的余项
例1讨论等比级数(几何级数)
的敛散性其中a0q叫做级数的公比
例1讨论等比级数 (a0)的敛散性
解如果q1则部分和
当|q|1时因为 所以此时级数 收敛其和为
当|q|>1时因为 所以此时级数 发散
性质4如果级数 收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变
应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数
11)+11)+收敛于零但级数1111却是发散的
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散
级数收敛的必要条件
性质5如果 收敛则它的一般项un趋于零即
性质5如果 收敛则
证设级数 的部分和为sn且 则
应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件
例4证明调和级数
是发散的
例4证明调和级数 是发散的
证假若级数 收敛且其和为ssn是它的部分和
显然有 及 于是
但另一方面
故 矛盾这矛盾说明级数 必定发散
§111常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项级数给定一个数列
u1u2u3un
则由这数列构成的表达式
u1u2u3un
叫做常数项)无穷级数简称常数项)级数记为 即
其中第n项un叫做级数的一般项
级数的部分和作级数 的前n项和
称为级数 的部分和
级数敛散性定义如果级数 的部分和数列 有极限s即
则称无穷级数 收敛这时极限s叫做这级数的和
性质1如果 则
如果 没有极限则称无穷级数 发散
余项当级数 收敛时其部分和sn是级数 的和s的近似值它们之间的差值
rnssnun1un2
叫做级数 的余项
例1讨论等比级数(几何级数)
的敛散性其中a0q叫做级数的公比
例1讨论等比级数 (a0)的敛散性
解如果q1则部分和
当|q|1时因为 所以此时级数 收敛其和为
当|q|>1时因为 所以此时级数 发散
性质4如果级数 收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变
应注意的问题如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数
11)+11)+收敛于零但级数1111却是发散的
推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散
级数收敛的必要条件
性质5如果 收敛则它的一般项un趋于零即
性质5如果 收敛则
证设级数 的部分和为sn且 则
应注意的问题级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件
例4证明调和级数
是发散的
例4证明调和级数 是发散的
证假若级数 收敛且其和为ssn是它的部分和
显然有 及 于是
但另一方面
故 矛盾这矛盾说明级数 必定发散
§111常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念
常数项级数给定一个数列
u1u2u3un
则由这数列构成的表达式
u1u2u3un
叫做常数项)无穷级数简称常数项)级数记为 即
其中第n项un叫做级数的一般项
级数的部分和作级数 的前n项和
称为级数 的部分和
级数敛散性定义如果级数 的部分和数列 有极限s即
则称无穷级数 收敛这时极限s叫做这级数的和
性质1如果 则
7.1常数项级数的概念和性质
| an – a |
3. 有关性质： (1) 单调有界数列必收敛.
(2) 如果一数列收敛于S，那么其任一子数列 均收敛于S.
lim s2 n1 = S， 则 (3) 若 lim s2 n = S， n
n n n
1
lim sn = S
n
2
(4) 设 lim sn = S1， lim sn = S2， 若S1≠S2， 则数列Sn发散； 若 S 1= S 2， 则数列Sn 可能收敛也可能发散.
二、级数的基本性质
性质 1 级数 an 与任一余项级数
n 1
an ( k 1) n k 1
有相同的敛散性.
证明
a n a k 1 a k 2 a k n n k 1
n ak 1 ak 2 ak n sn k sk ,
性质 3
设两收敛级数 a n s , bn ,则级数
n 1 n 1
(an bn ) 收敛,其和为 s . n 1
结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减.
思考:
1. 若级数 an 与 bn 一个收敛一个发散 , 级数
n 1 n 1
(an bn ) 敛散性如何? n 1
级数发散.
综上
当 | q | 1 时 , 收敛 aq 当 | q | 1 时 , 发散 n 0
n
例4 一个球从a米高下落到地平面上.球每次落下距
离h后碰到地平面再弹起的距离为rh,其中r是小于1的正
数.求这个球上下的总距离.
2ar a(1 r ) . s a 2ar 2ar 2ar a 1 r 1 r
常数项级数的概念与性质
性质1
如果级数
un
n1
收敛于和S，则它的各项同乘以一
个常数k所得的级数 kun 也收敛，且其和为kS。
n1
性质2 如果级数 un、 vn 收敛于和S1, S2 ，则级数 n1 n1
un vn 也收敛，且其和为S1 ± S2 。
n1
性质3 若级数 un收敛，则对该级数的项任意加（或去）
4
3 5
0
所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散。
高等数学
性质4 在一个级数中任意去掉、增加或改变有限项后，级 数的收敛性不会改变，但对于无穷级数收敛级数，其和将受 到影响。
性质5
如果
lim
n
un
0
（包括极限不存在），则级数
un
n1
必发散。
例4 判定级数
3n 的敛散性。
n1 5n 4
解 级数的一般项
un
3n 5n
4
因为
lim
n
un
lim
n
3n 5n
3 103
，
可以得到如下的表达式
33 3
3
0.33 3 10 102 103 10n
显然，如果n →∞，那么我们就得到
0.3
1 3
3 10
13 3 3
3
3 10 102 103 10n
二、常数项级数的概念
定义1 如果给定一个数列u1, u2, u3, …, un, …，则由这数列 构成的表达式
定义2 如果级数 un 的部分和数列{Sn} 的极限存在，即 n 1
lim
n
Sn
S
则称级数un 收敛，S为级数的和，记为 n 1
常数项级数的概念和性质
3
幂级数求和法的优点是适用于特定的幂级数，可 以快速得到级数的和。然而，对于非幂级数，这 种方法不适用。
04 常数项级数的应用
在数学分析中的应用
数学分析中的极限理论
常数项级数在数学分析中用于研究函数的极限行为，例如通过级数的收敛性来研究函数的连续性和可 积性。
函数逼近
常数项级数可以用来逼近复杂的函数，通过将复杂的函数展开成级数的形式，可以更方便地研究函数 的性质和进行近似计算。
常数级数的概念和性质
contents
目录
• 常数项级数的定义 • 常数项级数的性质 • 常数项级数的求和 • 常数项级数的应用 • 常数项级数的扩展
01 常数项级数的定义
有限级数和无穷级数
有限级数
级数的项数是有限的，可以表示为几 个常数相加的形式。
无穷级数
级数的项数是无限的，可以表示为无 穷多个常数相加的形式。
在物理中的应用
热力学中的熵
在热力学中，常数项级数用于计算熵，熵是系统无序度的量度，对于理解系统的热力学 行为具有重要意义。
波动方程的解
在物理中，常数项级数用于求解波动方程，例如在声学和电磁学中，通过级数的形式来 表示波的传播。
在工程中的应用
电路分析
在电路分析中，常数项级数用于表示和 计算电路中的电流、电压和功率等参数 ，有助于理解和优化电路的性能。
应用
复数项级数在数学、物理和工程 等领域有广泛的应用，如傅里叶 分析、量子力学和电路分析等。
函数项级数
定义
函数项级数是各项为函数的级数，可以表示为 $sum_{n=0}^{infty} f_n(x)$，其中$f_n(x)$是函数。
性质
函数项级数的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件，如一致 收敛、逐点收敛等。
高等数学11-1常数项级数的概念和性质
讨论1 事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
lim (S2nSn)0
n
但
S2nSnn1 1n 12n1 3 2 1 n
n 2n
1 2
矛盾! 所以假设不真 .
23
讨论2
在区间[n，n+1]上对函数lnx使用拉格朗日中值定理，
于 是 利 ln 用 (n不 1 等 ) 式 ln 有 n1 n1 n (nnn1)
每项均大于 1
2 m项
2
即m 前 1项大 (m于 1)1 2 级数发. 散
由性质4推论,调和级数发散.
25
例6. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:
(1) n1ennnn! ; (2) n 1n33n122n; (3) n12n2n1.
解: (1)
令
un
enn nn
!
,
则
(1n1)n e
e n1 (n 1)!
Snkn1k33k122k 1 2kn 1k(k11)(k1)1k(2)
1 2112(n1)1(n2)
进行拆项相消
limSn
n
1, 4
这说明原级数收(敛2)
,n 其1和n3为314 n1. 22n
27
(3) Sn
12SnSn1 2232253 2
n 2
n
1
1 22 3 22 5 3 2n 2n 1 2 1 22 3 32 5 4 2 2 n n 1 1
n时,这个和逼近于圆的面积 A . 即 A a 0 a 1 a 2 a n
引 2 .例 1 3 1 3 0 1 30 13 00 0 1 0 3 n 0 3
定义：给定一个数列 u 1 ,u 2 ,u 3 , ,u n , 将各项依
常数项级数的概念和..
n1
n1
如果 {sn } 没有极限， 则称级数 un 发散．
n1
例1 证明级数 1 2 3 n 是发散的.
证 这级数的部分和为
sn 1 2 3 n
n(n 1) . 2
lim
n
sn
lim
n
n(n 1) 2
,
∴所给级数是发散的.
3
定 义 如 果 级 数 un 的 部 分 和 数 列{sn } 有 极 限s，
3
7
a aq aq2
aqn
aqn
n0
| q | 1时, 收敛,
|
q
|
1
时,
发散.
并且 aqn
a
( q 1). (P250例 1)
n0
1q
课堂练习
判定级数
5 3
52 32
53 33
(1)n
5n 3n
的敛散性.
解 为等比级数，公 比q 5 . 3
| q | 1, 该级数发散.
n0
(a 0, q为 公 比) 的 收 敛 性.
解
若q
q
1,
1时, sn
则 lim q n n
a aq aq2 aqn1
0，
lim
n
sn
a， 1q
1 qn
a
.
1q
级数收敛.
若 q 1,
则 lim q n n
，
lim
n
sn
，级数发散．
q 1时,
若q 1,
则
lim
n
sn
lim na
n
，级数发散，
若
q
1,
则lim n
常数项级数的概念和性质
则式子 u1 u2 u3 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数。
记作
u ， 即 u
n
Hale Waihona Puke nn 1n 1
u1 u2 un
其中 un 称为级数的一般项（或通项），
问题： un 存在不存在？ (即有没有和数)
n 1
2 . 部分和数列 一数列中有限项相加总是有和数的，
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 | rn | ,
且因为 n 时, Sn S， 所以 rn 0 .
例
题
例1. 讨论等比级数 (几何级数) 的敛散性：
aq n 1 a aq aq 2 ... aq n ...
(a 0, q为公比）
n 1
n 1
, un Sn Sn1 ,
n 1
un
{ Sn }
现通过研究 { Sn } 来研究级数。
3. 级数的收敛和发散
定义： 设级数
n
un ， 对应的部分和数列 Sn ，
n 1
若 lim S n S 存在， 则称
un 收敛 ,
n 1
(C)
convergence
n 1 n 1
则
(un vn ) s un vn .
n 1
收敛级数可逐项相加减。
推论： 若
则
un (C ) , vn ( D) , n 1
n 1
(un vn )
n 1
( D) .
推论： (C) + (D) => (D)
§9.1常数项级数的概念与性质
un 2
L
)
0.
注：rn un1 un2 L 称为级数 un的余项。 n1
例 7 判定下列级数的敛散性：
n
(1) n ln
n1n11 2(2)[ n1 n
3n
]
定理 2(Cauchy收敛准则)
级数 un收敛的充分要条件为： n1
对于任给的 0,存在正整数N，使当n>N时，对任
意正整数p，总有
（2） 一个收敛级数与一个发散级数逐项相加所组 成的级数一定发散。
性质 3 在级数中去掉或加上有限多项，不改变级数的 敛散性。
如 a1 1,
q1 2
的等比级数1 1 1 1 248
是收敛的，
其和
S
1 1 1
2
，
2
减去它的前五项得到的级数 1 1 1 仍收敛 ， 32 64 128
1
其和
n1
推论1 乘以非零常数不改变级数的敛散性。
性质 2 若级数 un 和 vn 都收敛，其和分别为 S 与 T ，
n1 n1
则级数 (un vn ) 也收敛，其和为S T 。
n1
即：两个收敛级数逐项相加（或相减）所得的级数收敛。
例 6．试问下列说法是否正确，并说明理由或举例。 （1）两个发散级数逐项相加所组成的级数一定发散。
n
n1
称 S 为级数的和，记为 un S 。若部分和 数列Sn
n1
极限不存在，则称级数 un 发散。
n1
例 1.判别级数
1 的敛散性，若收敛，求其和。
n1n(n 1)
例 2. 讨论等比级数（几何级数） aqn (a 0) 的敛散性。
n0
注：
aq
9-1 常数项级数的概念和性质
un 与
v 分别收敛于 与 ，
n n1
n1
( u n v n ) 也收敛，且其和为
n
u
k 1
n
k
, n
v
k 1
n
k
, 则
(u
k 1
ห้องสมุดไป่ตู้
k
v k ) n n , (n )
这说明级数
(un v n )
m
lim s m s .
证毕.
用反证法可证
推论: 若加括号后的级数发散, 则原级数必发散.
注意: 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.
… 例如， 1) (1 1) 0 , 但 (1 … 发散.
20
例6.证明调和级数 解: 考虑加括号后的级数
…
… 是发散的 .
…
内的 都 大 于
a1
a1+a2
正十二边形的面积为 a1 + a2+ a3 当n→∞时， 这个和逼近于圆的面积 A . 即 A = a1 + a2+ a3+„an+„
4
一、常数项级数的概念
… … 1.定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , 将各项依 … u 次相加所构成的式子： 1 u 2 u 3 u n …
s n a aq aq
当 q 1 时， ∵ 当 q 1 时， ∵
2
… aq
n
n1
a aq 1 q
a
a 1 q
aq
n
【高数(下)课件】11-1常数项级数的概念和性质
1 1 n n 1 n 2 sn n 2 n 1 n 1 2 2 2 1 2 1 n 故 s lim sn lim( 2 n1 n ) 2 n n 2 2
所以,此级数收敛, 且其和为2.
二、级数的基本性质
性质1 (级数收敛的必要条件) 若 un 收敛，
1 1 1 sn L 1 3 3 5 ( 2n 1 ) ( 2n 1 )
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( )L ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1
1 1 sn (1 ) 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 0)的敛散性. 例 讨论级数 n 1
n 3 ln a 是以 ln a 为公比的等比级数, 解 因为 n 1
故 1 当 a e时, | ln a | 1, 级数 收敛. e 1 当0 a 或a e时, | ln a | 1, 发散. e
n 1
u
n 1
n
u1 u2 u3 L un L
(1)
对收敛级数(1), 称差
rn s sn un1 un 2 L un i
rn 0 为级数(1)的余项或余和.显然有 lim n
i 1
当n充分大时, sn s
误差为 | rn |
定义
当n无限增大时, 如果级数 un的部分和
数列sn有极限s, 即 lim sn s. 则称无穷级数
s叫 做 级 数 u 收 敛, 这 时 极 限 u 的 和.
n 1 n
n 1 n
n 1
n
12-1常数项级数的概念和性质
n1
n1
n1
即 收敛级数可以逐项相加与逐项相减．
例6 若级数 an 与 bn 均发散，
n1
n1
则级数 (an bn )是否必发散？ (1987)
n1
解 结论是错误的．
例如级数 ln n 1 及 ln n 1 均发散，
n1
n
n1
n
但级数 [ln n 1 ln n 1] 0 是收敛的．
23
n
n1 n
n
2. 级数的部分和与部分和数列
n
设有级数 un，其前 n 项的和 sn ui
n1
i 1
称为级数的部分和． 它所构成的数列 sn
s1 u1， s2 u1 u2，，sn u1 u2 un，
称为级数的部分和数列．
3. 级数的敛散性
aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性．
n0
解
当
|
当 q 1 时，sn q | 1时，lim qn
n
a
aq 0，
aq2 lim
n
sn
1
aqn1 a. q
a1 qn 1q
收敛
当综当当上q|qq所|述111时ln时i时m， ，，ssansnqn不 lninm存a当nqa在 n，|aq．| 发a，1ln散i时m,lns收inm(敛s1n于)n.11a发a.q散发.a0散nn为为偶奇数数，
第十二章质
一、常数项级数的概念
1. 常数项级数的定义
设有数列 un：u1，u2，，un，，按其次序求和
u1 u2 u3 un un 称为(常数项)级数．
12.1 常数项级数的概念和性质
敛的（具体解释见课本 253、254 页） 。
2．级数的部分和：级数 un 的前 n 项的和
n 1
sn u1 u2 u3 un ui
i 1
n
称为级数 un 的部分和。
n 1
例： s1 u1 ， s2 u1 u2 ， s3 u1 u2 u3 。
3．级数的收敛与发散：对于级数 un ，
注 2：一般来说，一般项的极限为 0 不能保证级数一定为收敛的，即：
lim un 0 级数 un 收敛
n
n 1
比方说，虽然 lim
1 1 1 1 lim 2 0 ，但是，级数 是发散的，而级数 2 是收 n n n n n 1 n n 1 n
第一节 常数项级数的概念和性质
1．常数项无穷级数：给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , un , ，则称
u
n 1
n
u1 u2 u3 un
为常数项无穷级数，记为 un ，简称为级数，且将数列 u1 , u2 , u3 , , un , 中的第
1 1 2n
1 对部分和 sn 取极限，得： lim sn lim 1 n n n 2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 于是，级数 n 是收敛的，且 n 1 2 4 8 2 2 4 8 2
例 3：考虑级数
1 1 1 1 的收敛性。 1 2 2 3 3 4 n(n 1) 1 1 1 ，从而级数的部分和为 n(n 1) n n 1
该级数的一般项为 un
sn
8.1常数项级数的概念和性质
n1
称为几何级数(又称为等比级数), 其中a 0, q 0.
试讨论该级数的敛散性.
解 该级数的前n项部分和为
Sn
a
aq
aqn1
a aqn 1q
(q 1)
(1)当 q
1时,
有
lim
n
S
n
a, 1q
所以级数 (8 1) 收敛, 且其和为 a . 1q
(2)当 q 1时,
有
lim
n
n1
un 同时收敛或同时发散, 且同时收敛时, 有
n1
cun c un .
n1
n1
性质8.2 若级数 un 与级数 vn 都收敛, 则级数
n1
n1
(un vn ) 收敛 , 且有
n1
(un vn ) un vn .
n1
n1
n1
级数 un 发散, vn 收敛, 必有 （un vn数发散.
(3)当q 1 时, Sn na ( n 时 );
当q 1时,
Sn
a [1 2
(1)n1 ],
n 时, Sn 的极限不存在,
故当 q 1时, 级数 (8 1) 发散.
综上讨论 , 当 q 1 时收敛于 q ,当 q 1 时发散. 1q
例2 判断级数
并不存在和数 S .
练习：讨论下列级数的敛散性；若收敛，求其值。
1
1.
;
n1 (2n 1)(2n 1)
n
2. ln ;
n1 n 1
3.
ln(1
1
);
n1
n
(ln 2)n
4. n1
2n
;
5. (1)n1 5n
n1
称为几何级数(又称为等比级数), 其中a 0, q 0.
试讨论该级数的敛散性.
解 该级数的前n项部分和为
Sn
a
aq
aqn1
a aqn 1q
(q 1)
(1)当 q
1时,
有
lim
n
S
n
a, 1q
所以级数 (8 1) 收敛, 且其和为 a . 1q
(2)当 q 1时,
有
lim
n
n1
un 同时收敛或同时发散, 且同时收敛时, 有
n1
cun c un .
n1
n1
性质8.2 若级数 un 与级数 vn 都收敛, 则级数
n1
n1
(un vn ) 收敛 , 且有
n1
(un vn ) un vn .
n1
n1
n1
级数 un 发散, vn 收敛, 必有 （un vn数发散.
(3)当q 1 时, Sn na ( n 时 );
当q 1时,
Sn
a [1 2
(1)n1 ],
n 时, Sn 的极限不存在,
故当 q 1时, 级数 (8 1) 发散.
综上讨论 , 当 q 1 时收敛于 q ,当 q 1 时发散. 1q
例2 判断级数
并不存在和数 S .
练习：讨论下列级数的敛散性；若收敛，求其值。
1
1.
;
n1 (2n 1)(2n 1)
n
2. ln ;
n1 n 1
3.
ln(1
1
);
n1
n
(ln 2)n
4. n1
2n
;
5. (1)n1 5n
n1
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当q 1时，级数变为
limqn 0( q 1)
n
Sn
a1 a1qn 1q
10
当q 1时，级数变为
因此
a,
S n
0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综上
n0
aqn
收敛，当 发散，当
q q
1时，其和为 首项
1 公比
1时，
1 n
如： ( ) n1 2
收敛；其和为1.
(1)n1 1
n1
3n
收敛；
1
2
（n112(）232)
n（发12）散3 ；L
3n2
5n
n0
11 1 1 3 312133134
32
n0
3n 5n
9 1 3
发L 散.
11
5
例 3 判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
解
un 22n31n
4
4 3
n1
,
已知级数为等比级数，公比q 4 , 3
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
15
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim
n
1 (1 2
1 2n
) 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
16
17
二、无穷级数的基本性质（常数项级数 函数项级数都使用）
1 )
n1
1
1
所以级数收敛，和
s
=1.
即
n1
n(n
1)
1.
技巧: 利用 “拆项相消” 求
和
14
例5. 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
5
1.定义：一、常数项级数的概念
给定一个数列 u , u , u , L , u , L 将各项依
1
2
3
n
次相加所构成的式子：u1
u2Βιβλιοθήκη u3Lun L
称为（常数项）无穷级数. 简记为 un
n1
即
几个概念：
⑴第
n
项
u n
叫做级数的一般项.
| q | 1, 原级数发散.
12
例3. 判断级数
ln(1
1
)
n1
n
的敛散性.
解：
un
ln(1
1 )，所以级数的部分和为： n
sn
ln2
ln3 ln4 23
ln n 1 n
ln(2 3 4 n 1) ln(n 1)
23
n
lim
n
sn
limln(n 1)
n
，
所以原级数发散.
2.级数的收敛与发散：
如果级数 n1
un
部分和数列 { sn
}
有极限s,
即
lim
n
sn
s,
则称级数
un
收敛，极限s
称为该级数的和，
n1 并记作： un s ;
n1
如果部分和数列{ sn
或者称该级数没有和.
}极限不存在，则称级数
n1
un
发散，
注意：(1)常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
注意：判断敛散性的方法：(1)找 sn ,
定义法
(2)求极限 (n ).
13
例4.
判断级数
1
n1 n(n 1)
的敛散性.
若收敛,求其和s.
解：
un
1 n(n 1)
1 n
1， n1
sn
(1
1) 2
(1 2
1) (1 33
1) 4
(1 n
1 n
) 1
1
1， n1
lnim sn
lim(1 n
性质1. 若级数
收敛于 s ,
即
s u , n
则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c s .
n
n
证:
令
S n
u, k
则 n
c
u k
c
S n
,
k 1
k 1
lim n n
cs
这说明
c
u n
收敛
,
其和为
c
s
.
即
c
un
c
un .
n1
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
n0
解：如果 q 1时 sn a aq aq2
aqn1
a aqn 1q
a 1q
aqn , 1q
当 q 1时，Q
limqn 0
n
a lim s n n 1 q
收敛
当 q 1 时，Q
limqn
n
lim
n
sn
发散
当 q 1时，sn a aq aq2 aqn1
当q 1时，sn na 发散
1 1. 1 x x2 L xn L
1 x
( x ＜1)
2. 3 3 3 L 3 L 1
10 100 1000
10n
3
2
0.33333
第九章 无穷级数
主要研究无限个量相加的问题，包括 无限个数和无限个函数相加的问题 。
常数项级数 无穷级数
幂级数
4
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
n1
即 s u u L u L u， s 叫级数的和.
1
2
n
i
i 1
这时：sn s，其误差为 rn
余项 rn s sn un1 un2 uni
i 1
lim
n
rn
lim(
n
s
sn
)
lim
n
s
lim
n
sn
0
显然
级数 un收敛 n1
lim
n
sn
存在
8
3.级数的敛散性举例： 例1.判断级数 1 2 3 L n L 的敛散性.
⑵级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
⑶称{sn }为级数的部分和数列. 其中 s1 u1, s2 u1 u2 ,
s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,
无穷多个数相加的含义是什么?
3 10
3 100
3 1000
L
3
10n
L
16 3
1 2 345L ?
即数列{sn }收敛(发散) 即数列{sn }有(没有)极限.
(2)给定一个级数，收敛与发散二者必居其一.
级数收敛时才有和，发散时就没有和.
lim
n
sn
s
lim
n
sn1
s
lim
n
snk
s
lim
n
s2n
s7
数列收敛，则它的任意子数列都收敛
(3)如果级数 un u1 u2 u3 un 收敛于s，
1
微积分虽然是研究函数的有力工具, 但也有其局 限性, 即一般要求问题本身具有有限形式.如:有限个 无穷小的和仍是无穷小; 有限个函数和的导数等于 导数的和. 有些函数的原函数不是初等函数, 不具有 有限形式. 本章将借助于新的工具来研究函数, 这个 工具就是无穷级数.
本章主要研究无穷多个数、函数相加的问题. 如
解：Q un n
所以级数的部分和为：
Sn
n(a1 2
an
)
sn
123L
n
n(n 1) 2
Q
lim
n
sn
lim n(n 1) n 2
所以原级数发散.
Sn
a1 a1qn 1q
9
例2. 讨论等比级数 (又称几何级数) aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性.
limqn 0( q 1)
n
Sn
a1 a1qn 1q
10
当q 1时，级数变为
因此
a,
S n
0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综上
n0
aqn
收敛，当 发散，当
q q
1时，其和为 首项
1 公比
1时，
1 n
如： ( ) n1 2
收敛；其和为1.
(1)n1 1
n1
3n
收敛；
1
2
（n112(）232)
n（发12）散3 ；L
3n2
5n
n0
11 1 1 3 312133134
32
n0
3n 5n
9 1 3
发L 散.
11
5
例 3 判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
解
un 22n31n
4
4 3
n1
,
已知级数为等比级数，公比q 4 , 3
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
15
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim
n
1 (1 2
1 2n
) 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
16
17
二、无穷级数的基本性质（常数项级数 函数项级数都使用）
1 )
n1
1
1
所以级数收敛，和
s
=1.
即
n1
n(n
1)
1.
技巧: 利用 “拆项相消” 求
和
14
例5. 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
5
1.定义：一、常数项级数的概念
给定一个数列 u , u , u , L , u , L 将各项依
1
2
3
n
次相加所构成的式子：u1
u2Βιβλιοθήκη u3Lun L
称为（常数项）无穷级数. 简记为 un
n1
即
几个概念：
⑴第
n
项
u n
叫做级数的一般项.
| q | 1, 原级数发散.
12
例3. 判断级数
ln(1
1
)
n1
n
的敛散性.
解：
un
ln(1
1 )，所以级数的部分和为： n
sn
ln2
ln3 ln4 23
ln n 1 n
ln(2 3 4 n 1) ln(n 1)
23
n
lim
n
sn
limln(n 1)
n
，
所以原级数发散.
2.级数的收敛与发散：
如果级数 n1
un
部分和数列 { sn
}
有极限s,
即
lim
n
sn
s,
则称级数
un
收敛，极限s
称为该级数的和，
n1 并记作： un s ;
n1
如果部分和数列{ sn
或者称该级数没有和.
}极限不存在，则称级数
n1
un
发散，
注意：(1)常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
注意：判断敛散性的方法：(1)找 sn ,
定义法
(2)求极限 (n ).
13
例4.
判断级数
1
n1 n(n 1)
的敛散性.
若收敛,求其和s.
解：
un
1 n(n 1)
1 n
1， n1
sn
(1
1) 2
(1 2
1) (1 33
1) 4
(1 n
1 n
) 1
1
1， n1
lnim sn
lim(1 n
性质1. 若级数
收敛于 s ,
即
s u , n
则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c s .
n
n
证:
令
S n
u, k
则 n
c
u k
c
S n
,
k 1
k 1
lim n n
cs
这说明
c
u n
收敛
,
其和为
c
s
.
即
c
un
c
un .
n1
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
n0
解：如果 q 1时 sn a aq aq2
aqn1
a aqn 1q
a 1q
aqn , 1q
当 q 1时，Q
limqn 0
n
a lim s n n 1 q
收敛
当 q 1 时，Q
limqn
n
lim
n
sn
发散
当 q 1时，sn a aq aq2 aqn1
当q 1时，sn na 发散
1 1. 1 x x2 L xn L
1 x
( x ＜1)
2. 3 3 3 L 3 L 1
10 100 1000
10n
3
2
0.33333
第九章 无穷级数
主要研究无限个量相加的问题，包括 无限个数和无限个函数相加的问题 。
常数项级数 无穷级数
幂级数
4
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
n1
即 s u u L u L u， s 叫级数的和.
1
2
n
i
i 1
这时：sn s，其误差为 rn
余项 rn s sn un1 un2 uni
i 1
lim
n
rn
lim(
n
s
sn
)
lim
n
s
lim
n
sn
0
显然
级数 un收敛 n1
lim
n
sn
存在
8
3.级数的敛散性举例： 例1.判断级数 1 2 3 L n L 的敛散性.
⑵级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
⑶称{sn }为级数的部分和数列. 其中 s1 u1, s2 u1 u2 ,
s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,
无穷多个数相加的含义是什么?
3 10
3 100
3 1000
L
3
10n
L
16 3
1 2 345L ?
即数列{sn }收敛(发散) 即数列{sn }有(没有)极限.
(2)给定一个级数，收敛与发散二者必居其一.
级数收敛时才有和，发散时就没有和.
lim
n
sn
s
lim
n
sn1
s
lim
n
snk
s
lim
n
s2n
s7
数列收敛，则它的任意子数列都收敛
(3)如果级数 un u1 u2 u3 un 收敛于s，
1
微积分虽然是研究函数的有力工具, 但也有其局 限性, 即一般要求问题本身具有有限形式.如:有限个 无穷小的和仍是无穷小; 有限个函数和的导数等于 导数的和. 有些函数的原函数不是初等函数, 不具有 有限形式. 本章将借助于新的工具来研究函数, 这个 工具就是无穷级数.
本章主要研究无穷多个数、函数相加的问题. 如
解：Q un n
所以级数的部分和为：
Sn
n(a1 2
an
)
sn
123L
n
n(n 1) 2
Q
lim
n
sn
lim n(n 1) n 2
所以原级数发散.
Sn
a1 a1qn 1q
9
例2. 讨论等比级数 (又称几何级数) aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性.