常数项级数的概念及性质

性质1. 若级数
收敛于 s ,
即
s u , n
则各项
n1
乘以常数 c 所得级数
也收敛 , 其和为 c s .
n
n
证:
令
S n
u, k
则 n
c
u k
c
S n
,
k 1
k 1
lim n n
cs
这说明
c
u n
收敛
,
其和为
c
s
.
即
c
un
c
un .
n1
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数,
(1)n1 1
n1
3n
收敛；
1
2
（n112(）232)
n（发12）散3 ；L
3n2
5n
n0
11 1 1 3 312133134
32
n0
3n 5n
9 1 3
发L 散.
11
5
例 3 判别无穷级数 22n31n 的收敛性.
n1
解
un 22n31n
4
4 3
n1
,
已知级数为等比级数，公比q 4 , 3
1
微积分虽然是研究函数的有力工具, 但也有其局 限性, 即一般要求问题本身具有有限形式.如:有限个 无穷小的和仍是无穷小; 有限个函数和的导数等于 导数的和. 有些函数的原函数不是初等函数, 不具有 有限形式. 本章将借助于新的工具来研究函数, 这个 工具就是无穷级数.
本章主要研究无穷多个数、函数相加的问题. 如
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
15
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
snwk.baidu.com
lim
n
1 (1 2
1 2n
) 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
16
17
二、无穷级数的基本性质（常数项级数 函数项级数都使用）
| q | 1, 原级数发散.
12
例3. 判断级数
ln(1
1
)
n1
n
的敛散性.
解：
un
ln(1
1 )，所以级数的部分和为： n
sn
ln2
ln3 ln4 23
ln n 1 n
ln(2 3 4 n 1) ln(n 1)
23
n
lim
n
sn
limln(n 1)
n
，
所以原级数发散.
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件
5
1.定义：一、常数项级数的概念
给定一个数列 u , u , u , L , u , L 将各项依
1
2
3
n
次相加所构成的式子：u1
u2
u3
L
un L
称为（常数项）无穷级数. 简记为 un
n1
即
几个概念：
⑴第
n
项
u n
叫做级数的一般项.
注意：判断敛散性的方法：(1)找 sn ,
定义法
(2)求极限 (n ).
13
例4.
判断级数
1
n1 n(n 1)
的敛散性.
若收敛,求其和s.
解：
un
1 n(n 1)
1 n
1， n1
sn
(1
1) 2
(1 2
1) (1 33
1) 4
(1 n
1 n
) 1
1
1， n1
lnim sn
lim(1 n
当q 1时，级数变为
limqn 0( q 1)
n
Sn
a1 a1qn 1q
10
当q 1时，级数变为
因此
a,
S n
0,
n 为奇数 n 为偶数
从而
不存在 , 因此级数发散.
综上
n0
aqn
收敛，当 发散，当
q q
1时，其和为 首项
1 公比
1时，
1 n
如： ( ) n1 2
收敛；其和为1.
即数列{sn }收敛(发散) 即数列{sn }有(没有)极限.
(2)给定一个级数，收敛与发散二者必居其一.
级数收敛时才有和，发散时就没有和.
lim
n
sn
s
lim
n
sn1
s
lim
n
snk
s
lim
n
s2n
s7
数列收敛，则它的任意子数列都收敛
(3)如果级数 un u1 u2 u3 un 收敛于s，
1 )
n1
1
1
所以级数收敛，和
s
=1.
即
n1
n(n
1)
1.
技巧: 利用 “拆项相消” 求
和
14
例5. 判别无穷级数
1 1
1
的收敛性.
13 35
(2n 1) (2n 1)
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 13 35
1
(2n 1) (2n 1)
解：Q un n
所以级数的部分和为：
Sn
n(a1 2
an
)
sn
123L
n
n(n 1) 2
Q
lim
n
sn
lim n(n 1) n 2
所以原级数发散.
Sn
a1 a1qn 1q
9
例2. 讨论等比级数 (又称几何级数) aqn a aq aq2 aqn (a 0) 的敛散性.
2.级数的收敛与发散：
如果级数 n1
un
部分和数列 { sn
}
有极限s,
即
lim
n
sn
s,
则称级数
un
收敛，极限s
称为该级数的和，
n1 并记作： un s ;
n1
如果部分和数列{ sn
或者称该级数没有和.
}极限不存在，则称级数
n1
un
发散，
注意：(1)常数项级数收敛(发散)
lim
n
sn
存在(不存在).
1 1. 1 x x2 L xn L
1 x
( x ＜1)
2. 3 3 3 L 3 L 1
10 100 1000
10n
3
2
0.33333
第九章 无穷级数
主要研究无限个量相加的问题，包括 无限个数和无限个函数相加的问题 。
常数项级数 无穷级数
幂级数
4
第一节
第九章
常数项级数的概念和性质
⑵级数的前 n 项和
称为级数的部分和.
⑶称{sn }为级数的部分和数列. 其中 s1 u1, s2 u1 u2 ,
s3 u1 u2 u3 , , sn u1 u2 un ,
无穷多个数相加的含义是什么?
3 10
3 100
3 1000
L
3
10n
L
16 3
1 2 345L ?
n0
解：如果 q 1时 sn a aq aq2
aqn1
a aqn 1q
a 1q
aqn , 1q
当 q 1时，Q
limqn 0
n
a lim s n n 1 q
收敛
当 q 1 时，Q
limqn
n
lim
n
sn
发散
当 q 1时，sn a aq aq2 aqn1
当q 1时，sn na 发散
n1
即 s u u L u L u， s 叫级数的和.
1
2
n
i
i 1
这时：sn s，其误差为 rn
余项 rn s sn un1 un2 uni
i 1
lim
n
rn
lim(
n
s
sn
)
lim
n
s
lim
n
sn
0
显然
级数 un收敛 n1
lim
n
sn
存在
8
3.级数的敛散性举例： 例1.判断级数 1 2 3 L n L 的敛散性.