高中数学反证法
如何利用高一数学中的反证法解题
如何利用高一数学中的反证法解题在高一数学的学习中，我们会接触到许多解题方法，反证法便是其中一种极具魅力和实用性的方法。
反证法，简单来说，就是先假设命题的结论不成立，然后通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，原命题成立的结论。
接下来，让我们一起深入探讨如何利用反证法来解题。
一、反证法的基本原理反证法的核心思想是“正难则反”。
当直接证明一个命题比较困难时，我们就考虑从它的反面入手。
假设原命题的结论不成立，然后基于这个假设进行一系列的推理。
如果在推理过程中出现了矛盾，比如与已知的定理、定义、公理或者题设条件相矛盾，那么就说明这个假设是错误的，从而也就证明了原命题的结论是正确的。
例如，要证明“一个三角形最多只能有一个直角”这个命题。
如果直接证明，可能会感觉无从下手。
但我们用反证法，假设一个三角形有两个或三个直角，那么三个内角之和就会大于 180 度，这与三角形内角和为 180 度的定理相矛盾，从而证明原命题成立。
二、适用反证法的常见题型1、结论为“否定性”的命题当命题的结论是“不存在”“不可能”“不是”等否定形式时，常常适合使用反证法。
比如，证明“在一个凸多边形中，不可能存在五个内角都为钝角”。
我们先假设存在这样的凸多边形，然后通过内角和的计算推出矛盾。
2、结论为“唯一性”的命题如果要证明某个对象是唯一的，直接证明可能比较复杂，此时反证法就派上用场了。
例如，证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
假设过该点不止一条直线与已知直线平行，然后推出矛盾。
3、结论为“至多”“至少”的命题对于“至少”“至多”这类命题，反证法也是一个有效的工具。
比如，证明“一个班级中，至少有两名同学的生日在同一个月”。
假设没有两名同学的生日在同一个月，那么最多只有 12 名同学，这与班级人数通常多于 12 人相矛盾。
三、反证法的解题步骤1、反设首先，提出与原命题结论相反的假设。
需要注意的是，反设一定要全面、准确，不能遗漏任何可能的情况。
高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
高中数学课件 第二章 推理与证明 2.2反证法
路边苦李
王戎推断李子是苦涩的道理和你的方法一样吗？是什么方法？
反证法
反证法是我们常见的一种证明方法，它隶属于间接证明，今天 我们就来一起探讨反证法在证明问题中的应用.
（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只鸽子在 同一只鸽笼，对吗？ （2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、 B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎.
由A撒谎, 知B没有撒谎. 这与B撒谎矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立,
则C必定是在撒谎.
把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题 成立的证明方法称为间接证明
注：反证法是最常见的间接证法，
反证法：假设命题结论的反面成立, 经过正确的推理,引出矛盾，因此说 明假设错误,从而证明原命题成立,这 样的的证明方法叫反证法.（归谬法）
❖ “小试身手”三： ❖ 会议期间，姬鹏
飞外长会见了加拿大 外长夏普，拜会了法 国外长舒曼，与美国 国务卿罗杰斯见了面。 ❖ 这三个词用得好不好， 有什么区别吗？
❖ 朱自清的《背影》：
《背影》在三个地方分别用了“嘱 咐”“嘱”“嘱托”三个同义词，第一 次父亲因为事忙，本已说定不送我，叫 旅馆的一个熟识的茶房陪我同去。他再 三嘱咐茶房，甚是仔细。第二次，（当 父亲给“我”“拣定了靠车门的一张椅 子”）嘱我路上小心，夜里警醒些，不 要受凉。第三次，（在父亲嘱“我”路 上要小心之后）他又嘱托茶房好好照应 我。
❖ （①表示并列关系。一般不译，有时可译为“又”。②表 示递进关系。可译为“并且”或“而且”。④表示承接关 系。可译为“就”、“接着”，或不译。⑤表示转折关系。 可译为“但是”、“却”。⑥表示假设关系。可译为“如 果”、“假如”。⑦表示修饰关系，即连接状语。可不译。 ⑧用作代词。只用作第二人称，一般作定语，译为“你 的”；偶尔也作主语，译为“你”。）
《高一数学反证法》课件
推理要严密，避免循环论证
总结词
推理的严密性是反证法成功的关键，任何疏 漏或循环论证都可能导致结论的错误。
详细描述
在反证法的应用中，推理过程必须严谨，每 一步的推导都要有明确的依据。特别是在使 用反证法时，我们经常会用到一些已知的事 实或定理，这些都必须准确无误。此外，要 特别注意避免循环论证，即用假设证明假设 的情况。
04
反证法的注意事项
正确否定假设
总结词
在反证法的应用中，正确否定假设是至关重要的步骤，因为如果假设没有被正确否定， 那么推导出的结论可能不准确。
详细描述
在反证法的第一步，我们需要对原命题进行否定，得到假设。这个假设必须是明确的， 并且与原命题形成对立。在后续的推理中，我们必须始终围绕这个假设进行，确保没有
在否定假设时，需要注意逻辑的严谨性，确保否定假设的 依据是充分的。同时，也需要确保得出的结论与原命题一 致，没有偏离原命题的讨论范围。
03
反证法的应用实例
应用在不等式证明中
总结词
反证法在不等式证明中应用广泛，通过假设相反的不等式关系，推导出矛盾，从而证明不等式成立。
详细描述
在证明不等式时，反证法常常被用来证明一个不等式是否成立。首先，我们假设相反的不等式关系成 立，然后通过逻辑推理和数学计算，推导出矛盾。最后，根据反证法的原理，原不等式成立。
《高一数学反证 法》ppt课件
目录
• 反证法简介 • 反证法的证明步骤 • 反证法的应用实例 • 反证法的注意事项 • 反证法练习题及解析
01
反证法简介
反证法的定义
01
反证法是一种证明方法，通过否 定待证明的命题，推理出与已知 事实或公理相矛盾的结论，从而 证明原命题的正确性。
浅谈“反证法”在高中数学的应用
浅谈“反证法”在高中数学的应用反证法，又称归谬法，是一种通过否定或质疑对方的论点，从而证明自己观点正确性的方法。
这种证明方法在高中数学中有着广泛的应用，下面我们就来谈谈反证法在高中数学中的应用。
反证法的原理是：如果一个命题的结论是错误的，那么这个命题的前提也必须是错误的。
这个原理基于逻辑推理的矛盾性，即如果一个命题的前提和结论之间存在矛盾，那么这个命题就是错误的。
根据这个假设，推导出与原命题的结论相矛盾的结论；说明这个矛盾的结论与原命题的结论是矛盾的，从而证明原命题的结论是正确的。
下面我们通过一个实例来说明反证法在高中数学中的应用：例题：求证：在任意三角形ABC中，至少有一个内角小于或等于60度。
证明：假设在三角形ABC中，所有内角都大于60度，即每个内角都大于60度。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180度，因此三角形ABC的内角和大于180度。
但是，这与三角形内角和定理相矛盾，因为三角形的内角和不可能大于180度。
因此，我们的假设是错误的，至少有一个内角小于或等于60度。
通过这个例子，我们可以看到反证法的应用范围很广，可以用来证明各种类型的命题，包括数量关系、不等式、函数性质等等。
虽然反证法在高中数学中有着广泛的应用，但是并不是所有的命题都可以使用反证法来证明。
一般来说，反证法适用于那些结论是“至多”、“至少”等形式的命题，因为这些命题的结论可以被否定。
如果命题的结论是“等于”、“不等于”等形式，那么就不适合使用反证法。
反证法是一种非常重要的数学证明方法，在高中数学中有着广泛的应用。
通过掌握反证法的原理和步骤，我们可以更好地理解和掌握数学中的各种知识点，提高自己的数学素养。
使用反证法也可以培养我们的逻辑思维能力，让我们更加严谨、准确地思考问题。
因此，我们应该认真学习反证法，并将其应用到实际生活中去。
在中学数学的学习过程中，我们经常会遇到一些看似简单但实际上需要巧妙思维才能解决的问题。
这时候，反证法就像是一把利剑，能帮助我们破解难题。
高中数学课件- 反证法
反证法证明命题的一般步骤如下:
1.假设结论的反面成立; 反设
Байду номын сангаас
2.由这个假．设．出发,经过正确的推理, 归谬
导出矛盾;
推理过程中一定要用到才行
显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).
3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定
命题的结论正确.
结论
▪ 1.用反证法证明命题：“若整系数一 元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根， 那么a，b，c中存在偶数”时，否定 结论应为( )
2.2 直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来， 看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天 晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是 干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以 说昨晚下雨是正确的。
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍.一天， 他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋 友一哄而上去摘李子，独有王戎没动.有人问 王戎为什么？
4 在用反证法证明“已知：p3＋q3＝2， 求证p＋q≤2”时的假设为__________， 得出的矛盾为__________．
▪ 解析：假设p＋q>2，则p>2－q. ▪ ∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3.
▪ 将p3＋q3＝2代入得：6q2－12q＋6<0， ▪ ∴(q－1)2<0，显然不成立．∴p＋q≤2. ▪ 答案：p＋q>2 (q－1)2<0
c＝z2－2x＋π.求证：a，b，c 中至少有一个大于 0. 6
证明：假设 a，b，c 都不大于 0，即 a≤0，b≤0，c≤0， ∴a＋b＋c≤0. 而 a＋b＋c ＝(x2－2y＋π2)＋(y2－2z＋π3)＋(z2－2x＋π6) ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∴a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a，b，c 中至少有一个大于 0.
高中数学中的反证法和数学归纳法
反证法与数学归纳法是高中数学中两种重要的数学方法，它们在证明数学命题或结论时有着重要的作用。
反证法是一种间接证法，它是从否定结论出发，通过一系列的推理，最终得出矛盾，从而否定原结论。
在高中数学中，反证法常常用于证明一些否定结论的命题，例如：在等差数列中，是否存在正项数列，其中所有项的和为零。
首先，我们假设这个命题不成立，即不存在正项数列，其中所有项的和为零。
然后，通过一些推理，我们发现这与原命题的假设相矛盾，因此原命题成立。
数学归纳法是一种用于证明数学命题或结论的递归方法。
它分为两个步骤：第一步是证明当n=1时，命题成立；第二步是假设当n=k时，命题成立，然后证明当n=k+1时，命题也成立。
这两个步骤合起来，我们就可以得出原命题成立。
这两种方法在高中数学中都有广泛的应用。
反证法可以用于证明一些看似不可能成立的结论，例如：在三角形中，是否存在三条高交于一点。
数学归纳法可以用于证明一些复杂的数学问题，例如：在数列中，是否存在无穷多个项的公差为零。
总的来说，反证法和数学归纳法是高中数学中两种重要的数学方法，它们可以帮助我们证明一些复杂的数学问题。
高中数学反证法解题技巧
高中数学反证法解题技巧高中数学中，反证法是一种重要的解题方法，通过假设所要证明的命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在解题过程中，灵活运用反证法可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将从几个具体的题目入手，介绍高中数学中常见的反证法解题技巧，并给出详细的解题思路和步骤。
一、证明两直线平行的反证法题目：已知直线l1和直线l2，证明若l1与l2的斜率相等，则l1与l2平行。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设l1与l2不平行，即l1与l2有交点A。
由于l1与l2的斜率相等，所以l1与l2的斜率分别为k。
设直线l1的方程为y = kx + b1，直线l2的方程为y = kx + b2。
由于直线l1与l2有交点A，所以A点的坐标(x0, y0)同时满足l1和l2的方程。
代入l1的方程可得y0 = kx0 + b1，代入l2的方程可得y0 = kx0 + b2。
由此可得b1= b2，即l1与l2的截距相等。
然而，根据直线的性质，不平行的两条直线的截距必不相等。
因此，假设不成立，即l1与l2平行。
二、证明存在无理数题目：证明存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设所有平方根都是有理数，即对于任意实数x，若x的平方是有理数，则x是有理数。
设x是一个无理数，即x不是有理数。
根据假设，x的平方是有理数。
那么根据平方根的性质，x的平方根也应该是有理数。
然而，这与x是无理数的前提相矛盾。
因此，假设不成立，存在一个无理数x，使得x的平方是有理数。
三、证明存在无穷多个素数题目：证明存在无穷多个素数。
解题思路：我们可以采用反证法来证明这个命题。
假设存在有限个素数p1,p2, ..., pn，它们是所有素数的完全列表。
考虑数M = p1 * p2 * ... * pn + 1，显然M大于p1, p2, ..., pn。
根据素数的定义，M要么是素数，要么可以分解为素数的乘积。
反证法高中数学教案
反证法高中数学教案
主题：反证法
教学目标：
1. 理解反证法的基本原理和应用方法；
2. 掌握运用反证法证明数学定理的能力；
3. 提高逻辑推理能力，培养思维严谨的数学思维。
教学内容：
1. 反证法的基本原理；
2. 反证法在证明数学定理中的应用；
3. 经典反证法例题分析。
教学步骤：
1. 引入反证法的概念，解释其基本原理；
2. 通过一个简单的例子，让学生体会反证法的思维过程；
3. 结合具体数学定理，教授学生如何运用反证法进行证明；
4. 给学生分发若干反证法相关的练习题，让他们在课堂上进行实践训练；
5. 教师梳理反证法的应用技巧和注意事项，强化学生的学习效果；
6. 结束课堂，布置反证法相关的家庭作业。
教学评估：
1. 基于课堂练习题，检查学生对反证法的理解和掌握情况；
2. 评判学生在应用反证法进行证明时的逻辑推理是否严谨；
3. 针对学生的反证法运用能力进行评估，给予相应的指导和补充。
教学延伸：
1. 拓展反证法在其他领域的应用，如物理学、哲学等；
2. 鼓励学生自主尝试应用反证法解决数学难题；
3. 组织讨论会，分享学生在反证法中的心得体会。
以上是一份反证法高中数学教案范本，希望能够帮助教师更好地设计和开展相关教学工作。
祝教学顺利！。
高中数学选修～课件第三章§反证法
推理不严谨，结论不成立
推理过程中存在漏洞
在使用反证法时，需要确保推理过程的严谨性。如果推理过程中存在漏洞，就可 能导致结论不成立。
未能正确运用逻辑规则
在反证法中，需要正确运用逻辑规则进行推理。如果未能正确运用逻辑规则，就 可能导致推理结果出现错误。
05 练习题与拓展思考
针对性练习题
证明
若$a,b,c in mathbb{R}$，且$a=b+c$，则$a,b,c$中至少有一个数不小于$frac{a}{3}$ 。
错误地否定原命题
在反证法中，需要假设原命题的否定 形式成立，然后进行推理。如果错误 地否定了原命题，就会导致推理方向 偏离正确轨道。
未能找到矛盾点或突破口
对已知条件理解不足
在使用反证法时，需要充分利用已知条件进行推理。如果对 已知条件理解不足，就可能无法找到矛盾点或突破口。
缺乏解题经验
对于一些较为复杂的题目，需要具备一定的解题经验才能找 到矛盾点或突破口。如果缺乏解题经验，就可能无法有效地 运用反证法。
假设$x,y$都不大于$1$，即$x leq 1, y leq 1$，则$x+y leq 2$，与已知条件 $x+y>2$矛盾，故假设不成立，原命题成立。
答案及解析
• 假设在这$99$个数中，任意三个数的和都不是$3$的倍数。 考虑这$99$个数除以$3$的余数，只能为$0,1,2$。由于 $99$个数中任意三个数的和都不是$3$的倍数，故余数为 $0,1,2$的数应各出现$33$次。但在这$99$个连续自然数中 ，必有一个数能被$3$整除，即余数为$0$的数至少有$34$ 个，与假设矛盾，故原命题成立。
高中数学选修～课件 第三章§反证法
汇报人：XX 20XX-01-30
高中数学知识点精讲精析 反证法
4.3.3反证法1．反证法的含义反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题2.反证法的严密性数学证明方法可分为直接证法和间接证法，从原命题所给的条件出发，根据已有的公理、定义、法则、公式，通过一系列的推理，一直推到所要证明的命题的结论，这种证法叫做直接证法．有些命题不易用直接证法去证明，这时可通过证明它的等价命题真，从而断定原命题真，这种证法叫做间接证法．数学中常用的间接证法有反证法．既然反证法是间接证法，那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的．3．反证法证题的步骤用反证法证题一般分为三个步骤：1、假设命题的结论不成立；2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．即：提出假设——推出矛盾——肯定结论．4．反证法的分类反证法中有归谬法和穷举法两种．原命题的结论的否定只有一种情况，只要把这种情况推翻，就可以肯定原命题结论成立，这种反证法叫做归谬法；如果原命题的结论的否定不止一种情况，那么就必须把这几种情况一一否定，才能肯定原命题结论成立，这种反证法叫做穷举法．5．反证法中常见的矛盾形式（1）与已知条件即题设矛盾；（2）与假设即反设矛盾；（3）与已知的定义、公理和定理矛盾，即得出一个恒假命题；`（4）自相矛盾．6．反证法的适用范围（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；（2）命题的结论以否定形式出现时；（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；（6）关于存在性命题；（7）某些定理的逆定理．总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．反证法有进也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．1．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|< , |f(2)|< , |f(3)|< ,不可能同时成立【证明】假设|1+a+b|< , |4+2a+b|< , 及|9+3a+b|< 同时成立。
高中数学 反证法
复习引入
思 考：
将9个球分别染成红色或者白色，那么 无论怎样染，至少有5个球是同色的. 你能证明这个结论吗？
新课不成立（即在原 命题的条件下，结论不成立），经过正确 的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错 误，从而证明了原命题成立，这样的证明 方法叫做反证法.
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0， 则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设 ( A. a≠b≠c≠0 B. abc≠0 C. a≠0，b≠0，c≠0 D. a≠0或b≠0或c≠0 )
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0， 则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设 ( D A. a≠b≠c≠0 B. abc≠0 C. a≠0，b≠0，c≠0 D. a≠0或b≠0或c≠0 )
课堂练习
2. 在△ABC中，若∠C是直角，则
∠B 一定是锐角.
3. 求证： 2 ， 3 ， 5 不可能成 等差数列.
课堂练习
4. 已知a，b，c均为实数，且
a x 2y
2
2
，b y 2 z
2
3
，
6 求证：a，b，c中至少有一个大于0.
c z 2x
2
.
课堂小结
1.“反证法”的解题步骤： (1)提出反设（否定结论）； (2)推出矛盾（与已知、假设、定义、 定理、公理、事实矛盾，这是关键 的一步）； (3)否定假设，肯定结论.
2.反证法一般应用于证明“结论含有否定词、 至多、至少、唯一性”的问题.
课后作业
《学案》与《习案》.
例题讲解
例1. 已知a 0，证明x的方程ax b
有且只有一个根 .
高二数学课件：6.2.2-反证法
反证法
• 1. 反 证 法 是 间 接 证 明 的 一 种 基 本 方 法．假设原命题 不成立 ，经过正确的推 理，最后得出 矛盾 ，因此说明假设 错误 ， 从而证明了原命题成立，这样的证明方 法叫做反证法．
–
反证法的思维方法：正难则反
• 2．反证法的一般步骤 • (1) 反设：假设所要证明的结论不成立， 假设结论的反面成立； • (2) 归谬：由“反设”出发，通过正确的 推理，导出矛盾 ——与已知条件、已知的 公理、定义、定理、反设及明显的事实 矛盾或自相矛盾； • (3) 结论：因为推理正确，产生矛盾的原 因在于“反设”的谬误，既然结论的反 面不成立，从而肯定了结论成立．
都是
不都是
p或q
┐p且┐q
p且q
┐p或┐q
• 4．常见的主要矛盾 • 反证法的关键是在正确的推理下得出矛 盾，常见的主要矛盾有三类： • (1)与已知条件矛盾； • (2)与假设矛盾(自相矛盾)； • (3)与定义、定理、公理、事实矛盾．
• 5．一般情况下，什么样的证明题型适宜 用反证法 • 宜用反证法证明的题型一般有： • (1)一些基本命题、基本定理； • (2)易导出与已知矛盾的命题； • (3)“否定性”命题； • (4)“唯一性”命题； • (5)“必然性”命题； • (6)“至多”“至少”类命题； • (7)涉及“无限”结论的命题等.
[证明]
假设 2、 3、 8是一等差数列的某三项，
即存在自然数 m、n，使得 3－ 2＝md， 8－ 3＝nd， 3－ 2 8－ 3 即 ＝ ， m n 8－ 3 ( 8－ 3)( 3＋ 2) n 于是m＝ ＝ 3－ 2 ( 3)2－( 2)2 ＝ 24＋ 16－3－ 6＝ 6＋1. n 而 为有理数与 6＋1 为无理数矛盾． m 所以 2、 3、 8不可能是一个等差数列中的三项.
高二数学反证法ppt
引例1：
将9个球分别染成红色或白色。那么 无论怎样染，至少有5个球是同色的。你 能证明这个结论吗？
间接证明： 不是直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法。 反证法是一种常用的间接证明的方法。
一．反证法 证明命题“设p为正整数，如果p2是偶数, 则p也是偶数”，我们可以不去直接证明p 是偶数，而是否定p是偶数，然后得到矛盾， 从而肯定p是偶数。具体证明步骤如下：
p 证明：假定 2 是有理数，则可设 2 , q
其中p，q为互质的正整数，
p 把 2 两边平方得到，2q2=p2， ① q
①式表明p2是偶数，所以p也是偶数，于 是令p=2l，l是正整数，代入①式， 得q2=2l2， ②
②式表明q2是偶数，所以q也是偶数，这样 p，q都有公因数2，这与p，q互质矛盾，
2
以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ ∴原式成立。
1 与①矛盾 64
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假; 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
例4、设a3+b3=2，求证a+b≤2 证明：假设a+b>2，则有a>2－b，从而 a3>8－12b+6b2－b3， a3+b3>6b2－12b+8=6(b－1)2+2. 因为6(b－1)2+2≥2，所以a3+b3>2，这与题 设条件a3+b3=2矛盾，
所以，原不等式a+b≤2成立。
高二数学反证法
高二数学反证法在大家的学习中，数学是大家学习的难点。
对于数学的学习，每个人都必须掌握一定的学习技巧。
这一点很重要，同时大家也要了解数学中的一些重要概念。
下面学大教育专家为大家讲解高二数学中的反证法。
一、反证法的逻辑依据反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律——矛盾律和排中律。
所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中两个互相反对或互相否定的论断，其中至少有一个是假的。
而所谓“排中律”则是说：任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。
也就是说结论“p真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。
关于反证法，法国数学家J·阿达玛曾说过：“这种方法在于表明：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。
”这段话可以理解为：假设命题的结论不正确，并运用此判断，在正确的逻辑推证下导致逻辑矛盾，(根据矛盾律)知该相反判断的错误性，(再根据排中律)进而知判断本身的正确性。
这就是反证法的逻辑依据。
由此可见，证明原命题的逆否命题只是反证法的一种具体形式。
二、反证法与证逆否命题是不同的全日制普通高级中学教科书(试验修订本·必修)数学第一册(上)《教师教学用书》(以下简称教参)在第10页中指出：从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定，是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若 p则q”为真。
像这样证明“若p 则q”为真的证明方法，叫做反证法。
如上所述，用反证法证明命题“若p则q”，是把“p且非q”作为假设，利用正确的推理推出矛盾，得出“p且非q”为假，从而得出“若p则q”为真;而证明命题“若p则q”的逆否命题“若非q则非p ”，是将非q作为条件，用正确的推理推出非p成立，根据“若p则q”和“若非q则非p ”的等价性得出“若p则q”成立。
比较可知，不论从思路方面还是从方法方面来讲，反证法与证逆否命题是有着本质的不同的。
因而“反证法就是证逆否命题”这一说法的不妥之处便是非常清楚的了。
纵向梳理反证法在初中、高中数学教学中的运用,打造教案
本文主要探讨反证法在初中、高中数学教学中的应用和如何通过梳理知识点建立精品教案，从而提高教学效果。
一、反证法在数学教学中的应用反证法是数学中常见的一种证明方法，它运用到了“归谬法”的思想，即通过假设与目标结论相反的前提，再通过一系列合理的推理来得出前提不成立的结论，从而证明目标结论。
在初中、高中数学中，反证法广泛应用于数学证明中，可以运用到以下几个方面：1.一元二次方程无解时，也就是判别式小于零时，反证法可以通过假设方程有解来推导出矛盾结论。
2.所有有限数可转化为分数的证明中，反证法可以通过假设某一个有限数不能转化为分数，然后推导出矛盾结论。
3.证明无理数存在的问题中，反证法可以通过假设只存在有理数，然后推导出矛盾结论。
4.证明平方根不是有理数的问题中，也可以通过反证法来解决。
反证法在数学证明中的应用非常广泛，可以帮助学生提高逻辑思维和证明能力。
二、梳理知识点建立精品教案针对初中、高中数学教学中反证法的应用，我们可以通过梳理知识点来建立精品教案，提高教学质量和效果。
具体的步骤如下：1.梳理知识点我们需要对反证法在数学证明中的应用进行全面的梳理，明确适用于哪些知识点，如何运用反证法来证明这些知识点。
2.挖掘问题在梳理知识点的基础上，我们需要挖掘出学生易错的问题，针对这些问题，设计一些练习，帮助学生理解反证法的应用和推导过程。
3.提高教学效果为了提高教学效果，我们可以结合反证法的应用来进行课堂教学，例如在探究无理数存在性质时，可以通过反证法来展开思考，并对学生进行实践性的训练。
4.梳理教案我们需要根据梳理知识点、挖掘问题和教学效果，来梳理一份高质量的教案，包括知识点解析、典型例题分析、练习题以及考点集锦等。
通过梳理知识点建立精品教案，不仅可以帮助学生掌握反证法的应用和推导技巧，也可以提高教学质量和教学效果，从而取得更好的教学成果。
反证法在初中、高中数学教学中的应用是必不可少的，我们应充分发挥其在思维训练和证明技巧上的优势，通过梳理知识点打造精品教案，提高教学质量和效果，助力学生成长和发展。
高中数学反证法29页ppt课件
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃, 怎么知道李子是苦的啊?”
王戎说:“如果李子是甜的,树长在 路边,李子早就没了！李子现在还 那么多,所以啊,肯定李子是苦的， 不好吃!”
例: 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见 地上全湿了。小华对妈妈说：“昨天晚上下 雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
反馈练习
1、写出用“反证法”证明下列命题的 第一步“假设”. (1)互补的两个角不能都大于90°.
假设互补的两个角都大于90°.
(2)△ABC中,最多有一个钝角
假设△ABC中,至少有两个钝角
演练反馈
1、写出下列命题，用反证法证明的第一步 （1）已知a=b，则a2=b2 （2）三角形最小的角小于或等于600 （3）两条直线相交，只有一个交点 （4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线 中的一条相交，那么和另一条也相交 2、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是 锐角三角形
发生在身边的例子: 妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天都外出旅游.
小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢!
上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没外出旅游. 他是如何推断该命题的正确性的? 小芳全家没外出旅游，假设小芳全家外出旅 游，那么今天不可能碰到小芳，与上午在学校碰 到小芳和她妈妈矛盾，所以假设不成立，所以小 芳全家没外出旅游．
在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一 至两个例子.
引例
证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个 不小于60°
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个 不小于60°
高中数学反证法
反证法解题反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。
即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。
应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。
实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。
用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
Ⅰ、题组：1. 已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根B.至少一个实根C.一个实根D.无实根2. 已知a<0,－1<b<0，那么a 、ab 、ab 2之间的大小关系是_____。
A. a>ab> ab 2B. ab 2>ab>aC. ab>a> ab 2D. ab> ab 2>a3. 已知α∩β＝l ，a α，b β，若a 、b 为异面直线，则_____。
A. a 、b 都与l 相交B. a 、b 中至少一条与l 相交C. a 、b 中至多有一条与l 相交D. a 、b 都与l 相交4. 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。
5. A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种例1. 如图，设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，O 是底面圆心，C 是SB 上一点。
求证：AC 与平面SOB 不垂直。
例2. 若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。
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一般地，假设原命题不成立 （即在原命题的条件下，结论不 成立），经过正确的推理，最后 得出矛盾，因此说明假设错误， 从而证明了原命题成立，这样的 证明方法叫做反证法.
例7
已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
分析：由于a≠0，因此方程至少有一个根，从正面较难说清为 什么只有这一个根。我们采用反证法，即证明如果不只一个根 会导致矛盾
2.2.2
反证法
反证法是间接证明的一种基本方法.我们对于这种方法 其实并不陌生，在日常生活或解决某些数学问题时，有时 会不自觉地使用反证法.
思考：
将9个球分别染成红色或白色。那么无 论怎样染，至少有五个球是同色的， 你能证明这个结论吗？
如果用直接证明的方法证明这个结论，则 需要将各种染色方法具体列出，在对各种染 色法一一经验证，然后归纳得出结论，这样 比较麻烦。这里我们采用反证法。 假设某种染法使红色球和白色球的个数都 不超过4，则球的总数应不超过4+4=8，这与球 的总数是9矛盾。因此，无论怎样染，至少有5 个球是同色的。
证：假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根， 不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2 则ax1 = b，ax2 = b ∴ax1 = ax2
∴ax1 - ax2 = 0
∴a（x1 - x2） =0
∴a = 0
∵x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0
与已知a ≠ 0矛盾,
故假设不成立，结论成立。
即点P是直线a与b的公共点，这与a∥b矛盾. 所以a∥ α
用反证法证题的一般步骤是什么？
（1）假设命题的结论不成立；即假设结论的反证，得出矛盾；
（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 。
1、用反正法证明时，导出矛盾有那几种可能？ （1）与原命题的条件矛盾；
（2）与假设矛盾。 （3）与定义、公理、定理、性质矛盾；
（4）与客观事实矛盾.
2、你认为反证法的使用情形有那些？
（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题； （2）唯一性命题； （3）“至多”或“至少”性命题；
（4）否定性或肯定性命题。
例8 已知直线a，b和平面α ， 如果 a α , b α ,且a//b， 求证：a//α.
a
β
α
b
证明：因为a∥b， 所以经过直线a,b确定一个平面β.
因为a , 而a ,
所以α与β是两个不同的平面.
下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点。
因为 b ∩β , 且b , 所以 α b, 假设直线 a与平面 有公共点 P，则P ∈α ，