衡水中学2018年高考押题理数(一)答案

c( x1
x2 )]
x1 1
2(x1 x2 ) x1 x2
ln
x1 x2
2
x2 x1
ln 1
x1 x2
.
x2
令
x1 x2
t(0 t
1) ，由 (x1 x2 )2
m2 得 x12
x22
2x1x2
m2
，
因为
x1x2
1 ，两边同时除以
x1x2
，得 t
1 t
2
m2 ，
因为 m 3 2 ，故 t 1 5 ，解得 0 t 1 或 t 2 ，所以 0 t 1 .
2
t2
2
2
设 G(t)
2
t t
1 1
ln
t
，所以 G '(t)
(t 1)2 t(t 1)2
0
，
则 y G(t) 在 (0, 1] 上是减函数， 2
所以 G(t)min
G( 1) 2
2 3
ln
2
，
即
y
( x1
x2
)h
'(x0
)
的最小值为
2 3
ln
2
.
所以
( x1
x2
)h
'(x0 )
2 3
ln
2
.
22.解：（1）由 4 cos 得 2 4 cos ，
9
3
可得椭圆 C 经过点 (2, 2 10 ) ， 3
所以
4 9
40 9b2
1 ，解得 b2
8.
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. 98
（2）直线 l 的解析式为 y kx 2 ，设 A(x1, y1), B(x2, y2 ) ， AB 的中点为 E(x0, y0 ) .假设存在点 D(m, 0) ，
12
12
21. 解：（1）由于 f (x) 2 ln x 2mx x 2 的定义域为 (0, ) ，则 f '(x) 2(x2 mx 1) . x
对于方程 x2 mx 1 0 ，其判别式 m2 4 .
当 m2 4 0 ，即 0 m 2 时， f '(x) 0 恒成立，故 f (x) 在 (0, ) 内单调递增.
c( x1
x2)( x1
x2) b( x1
x2 )
0
，得
ln x1
b
x1
x2 x2
c(x1
x2) .
而 h '(x) 1 2cx b ，所以 x
ln x1
( x1
x2 )h '(x0 )
( x1
x2 )(
1 x0
2cx0
b)
( x1
x2 )[
x1
2
x2
c( x1
x2 )
x1
x2 x2
所以 x2 y2 4x 0 ，所以圆 C 的直角坐标方程为 (x 2)2 y2 4 .
将直线 l 的参数方程代入圆 C : (x 2)2 y2 4 ，并整理得 t 2 2 2t 0 ，
解得 t1 0 ， t2 2 2 . 所以直线 l 被圆 C 截得的弦长为 | t1 t2 | 2 2 . （2）直线 l 的普通方程为 x y 4 0 .
所以 E( X ) 0 1 600 7 700 21 1000 7 764 1 （元）.
120
4 Y ，付款金额为 Z ，则 Z 1000 200Y ，
由已知可得Y ~ B(3, 3 ) ，故 E(Y ) 3 3 9 ，
10
10 10
8
0
18k 9k 2 8
m
1 k
，
所以 m
2k 9k 2 8
2 9k
8
.
k
当 k 0 时， 9k 8 2 9 8 12 2 ， k
所以 2 m 0 ； 12
当 k 0 时， 9k 8 12 2 ，所以 0 m 2 .
k
12
综上所述，在 x 轴上存在满足题目条件的点 E ，且点 D 的横坐标的取值范围为[ 2 , 0) (0, 2 ] .
2a
2a 2
所以 | a 1| | a 1| 3 7 2a . 2a 2
22
2
2
OP (
3
,
1
, 2)
.平面
OPG
即为平面
OPM
，设平面
OPM
的一个法向量为
n
(x,
y,
z)
，则
22
n
n OP
OM 3
2
3 2
x 1 2
x y
0, 2z
0,
令
z
1，得
n
(0,
4,1)
.
过点 C 作 CH AB 于点 H ，由 PA 平面 ABC ，易得 CH PA ，又 PA AB A ，所以 CH 平面
当 m2 4 0 ，即 m 2 ，方程 x2 mx 1 0 恰有两个不相等是实根 x m
m2 4
，
2
令 f '(x) 0 ，得 0 x m m2 4 或 x m m2 4 ，此时 f (x) 单调递增；
2
2
令 f '(x) 0 ，得 m m2 4 x m m2 4 ，此时 f (x) 单调递减.
|CH n|
| 0
3 4
4
3 4
10 |
2
51
.
| CH | | n |
3 9 42 12
17
16 16
19.解：（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件 A ，则
P( A)
C33 C130
1 120
，
所以两位顾客均享受到免单的概率为 P P(A) P(A) 1 . 14400
2
4
4
为2 2.
所以
SABP
12 2
2 (2
2) 2 2 2 ，
即 ABP 的面积的最大值为 2 2 .
3x, x 1,
23. 解：（1） f (x) 2 x, 1 x 1 ,
2
3x, x 1 . 2
根据函数
f
(x) 的单调性可知，当 x
1 2
时，
f
( x) min
f
(1) 2
圆
C
的参数方程为
x
y
2
2
2 cos sin ,
,
（
为参数），
可设曲线 C 上的动点 P(2 2 cos, 2sin ) ，则点 P 到直线 l 的距离
d | 2 2 cos 2sin 4 | | 2 cos( ) 2 | ，当 cos( ) 1 时， d 取最大值，且 d 的最大值
3 2
.
所以函数 f (x) 的值域 M [ 3 , ) . 2
（2）因为 a M ，所以 a 3 ，所以 0 3 1.
2
2a
又| a 1| | a 1| a 1 a 1 2a 3 ，
所以 a 3 ，知 a 1 0 ， 4a 3 0 ， 2
所以 (a 1)(4a 3) 0 ，所以 3 7 2a ，
y kx 2,
使得 ADB
为以
AB 为底边的等腰三角形，则 DE
AB
.由
x
2
9
y2 8
得 (8 9k 2 )x2 1,
36kx 36
0
，
故
x1
x2
36k 9k 2
8
，
所以
x0
18k 9k 2 8
，
y0
kx0
2
16 9k 2 8
.
因为
DE
AB
，所以 kDE
1 k
，
即
16 9k 2
参考答案及解析
理科数学（Ⅰ）
一、选择题
1-5:BBDDA
6-10:BCCDB
11、12：AD
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
35
13.
5
14. 3
15. 4 5
16.[2 , 4 ]
三、解答题
17.解：（1） (1 x) (1 x)2 (1 x)3 (1 x) n 的展开式中 x 的系数为
所以 E(Z ) E(1000 200Y ) 1000 200E(Y) 820 （元）.
因为 E( X ) E(Z ) ，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 20.解：（1）由题意可得 2a 6 ，所以 a 3 .
由椭圆 C 与圆 M ： (x 2)2 y2 40 的公共弦长为 4 10 ，恰为圆 M 的直径，
mx x
1)
，所以
f
'(x)
的两根
x1 ， x2
即为方程
x2
mx
1
0
的两根.因为
m
32 2
，所以
m2
4
0
，
x1
x2
m
，
x1x2
1.
又因为 x1 ， x2 为 h(x) ln x cx 2 bx 的零点，
所以 ln
x1
cx12
bx1
0
，ln
x2
c22
bx2
0 ，两式相减得 ln
x1 x2
1 2n
1
2n
1
1
1
，
所以 Tn
1
1 3
1 3
1 7
1 2n 1
1 2n1 1
1
1 2n1 1 ，
所以 Tn 1.
18.解：（1）如图，延长 OG 交 AC 于点 M . 因为 G 为 AOC 的重心，所以 M 为 AC 的中点. 因为 O 为 AB 的中点，所以 OM / / BC . 因为 AB 是圆 O 的直径，所以 BC AC ，所以 OM AC . 因为 PA 平面 ABC ， OM 平面 ABC ，所以 PA OM . 又 PA 平面 PAC ， AC 平面 PAC ， PA AC A ，所以 OM 平面 PAC . 即 OG 平面 PAC ，又 OG 平面 OPG ， 所以平面 OPG 平面 PAC .
（2）以点 C 为原点， CB ， CA ， AP 方向分别为 x ， y ， z 轴正方向建立空间直角坐标系 C xyz ，则
C(0, 0, 0) ， A(0,1, 0) ， B( 3, 0, 0) ， O(
3
,
1
,
0)
，
P(0,1,
2)
，
M
(0,
1
,
0)
，则
OM
(
3 , 0, 0) ，
C11 C21
C31 C1n
C22
C21
C31 C1n
C2 n1
1 n2 2
1n， 2
即
Sn
1 2
n2
1 2
n
，
所以当 n 2 时， an Sn Sn1 n ；
当 n 1 时， a1 1也适合上式，
所以数列{an}的通项公式为 an n .
（2）证明： bn
2n (2n 1)(2n1 1)
PAB ，即 CH 为平面 PAO 的一个法向量.
在 RtABC 中，由 AB 2AC ，得 ABC 30 ，则 HCB 60 ， CH 1 CB
3
.
2
2
所以 xH CH cos HCB
3 4
，
yH
CH
sin HCB
3 4
.
所以 CH (
3 , 3 , 0) .
44
设二面角 A OP G 的大小为 ，则 cos
2
2
综上所述，当 0 m 2 时，f (x) 在 (0, ) 内单调递增；当 m 2 时，f (x) 在 ( m m2 4 , m m2 4 )
2
2
内单调递减，在 (0, m m2 4 ) ， ( m m2 4 , ) 内单调递增.
2
2
（2）由（1）知，
f
'(x)
2( x 2
（2）若选择方案一，设付款金额为 X 元，则 X 可能的取值为 0，600，700，1000.
P(X
0)
C33 C130
1 ， P(X 120
600)
C32C71 C130
7， 40
P(X
700)
C31C72 C130
21 ， P( X 40
1000)
C73 C130
7， 24
故 X 的分布列为，