数理方程第13讲二阶线性偏微分方程的分类
二阶线性偏微分方程的分类与总结
物理学中的例子包括波动方程、热传导方程等。 力学中的例子包括弹性力学中的基本方程等。
按照应用分类
根据应用领域，可以 将二阶线性偏微分方 程分为工程、生物医 学、经济和环境科学 四类。
工程领域中的例子包 括电气工程中的传输 线方程、流体力学中 的Navier-Stokes方 程等。
生物医学领域中的例 子包括神经传导方程 、生物化学反应中的 质量传递方程等。
02
非奇异方程是指所有特征根均具有负实部的方程，而奇异方程至少存在一个具 有正实部的特征根。
03
在非奇异方程中，又可以根据波数和频率的关系分为稳定性、不稳定性、临界 稳定性和临界不稳定性的二阶线性偏微分分为物 理、几何和力学三类。
几何学中的例子包括拉普拉斯算子、热力学中的基本 方程等。
弹性力学
在弹性力学中，物体的位移和应力满足二阶线 性偏微分方程，该方程描述了物体的弹性变形 和应力分布及其随时间的变化。
在化学中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率和反应过程的动态变化，以及反应条件对反 应速率的影响。
分子的振动
分子的振动运动满足一个二阶线性偏微分方程，该方程描述了分子振动频率和振幅随时间 的变化以及分子间的相互作用。
重点介绍了二阶线性偏微分方程在数学和物理学中的重要地 位和研究进展。
研究意义
研究二阶线性偏微分方程对于理解和研究自 然现象和实际问题具有重要意义。
对于数学和物理学的发展也具有重要价值， 同时对于解决实际问题提供理论支持和方法
指导。
研究目的
对二阶线性偏微分方程进行分类和总 结，梳理各种类型方程的特点和性质 。
要点三
结构力学
在结构力学中，物体的位移、应力和 变形满足二阶线性偏微分方程，该方 程描述了结构的力学行为随时间的变 化。
二阶线性偏微分方程的分类
1 1 令 ( s t ), ( s t )uss utt A1us B1ut C1u D1 2 2 此方程二阶导数部分与弦振动方程类似，称为双曲型方程。
2 (2)当 =a12 -a11a22 =0时u =Au +Bu Cu D 1 2
0 0
多元二阶线性方程的分类
(3) A( x0 )的m个特征值都是负（正）数方程)在点x0属于椭圆型 2u 2u 2u 位势方程：u 2 + 2 + 2 f ( x, y, z ) x y z -1 A= 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0
三类典型方程
位势方程
椭圆型方程
2u 2u 2u u 2 + 2 + 2 f ( x, y, z ), x, y, z ) , x y z 在热传导问题中，若外界环境及物体内热源不随时间变化， 则经过较长时间后，物体内温度场区域稳定，即温度与时间无关。 2 2 2 = 2 + 2 + 2 是Laplace算子。 x y z f ( x, y, z )=0时称为Laplace方程，也称为调和方程。
多元二阶线性方程的分类
(1) A( x0 )的m个特征值除了一个为正（负）外都是负（正）数 方程)在点x0属于双曲型 -a 2 0 0 2 2 0 0 u u 波动方程： 2 a 2 2 f ( x, t ) A= 2 t x 0 0 -a 0 0 0 0 1 (2) A( x0 )的m个特征值除了一个为0外都是负（正）数 方程)在点x0属于抛物型 -a 2 2 2 2 u u u u 2 热传导方程： a（ + 2 + 2） f ( x, y, z , t ) A= 2 0 t x y z 0 0 0 -a 2 0 0 0 0 0
最新二阶线性偏微分方程的分类与小结
二阶线性偏微分方程的分类与小结第六章二阶线性偏微分方程的分类与小结一两个自变量的二阶线性方程1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成«Skip Record If...»①它关于未知函数«Skip Record If...»及其一、二阶偏导数都是线性的，其中«Skip Record If...»都是自变量«Skip Record If...»的已知函数，假设它们的一阶偏导数在某平面区域«Skip Record If...»内都连续，而且«Skip Record If...»不全为0 。
设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»内给定的一点，考虑在«Skip Record If...»的领域内对方程进行简化。
取自变量变换«Skip Record If...»,«Skip Record If...»其中它们具有二连续偏导数，而且在«Skip Record If...»处的雅可比行列式。
«Skip Record If...»«Skip Record If...»=«SkipRecord If...»根据隐函数存在定理，在«Skip Record If...»领域内存在逆变换,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»因为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»将代入①使其变为«Skip Record If...»经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以«Skip Record If...»不全为0。
二阶线性偏微分方程的分类与小结
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
二阶线性微分方程的分类
b1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y b 2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y c c, f f
如果选取合适的变换
1 (x, y),
2 ( x, y)
做变换
2 x y ) , 3
3 2
原方程化为
2u 1 u u 0. 6( )
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性(看其系数是否和未知函数有关)，分为线性微分 方程和非线性微分方程；
a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是变量 x, y 在区域 上的实函数
2、两个自变量方程的化简
令 ( x, y), ( x, y)
D( , ) x y 且 在( x0 , y0 )处不为零。 D( x, y) x y
由于
2
(1.7 ')
如果(1.7’)存在一个解 ( x, y ) c ,根据隐函数存在定理, 有
x dy dx y
2
所以(1.7’)可以化为
dy dy a11 2a12 a22 0, dx dx
这样(1.7)的求解就化为下述常微分方程在 积分曲线问题:
a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 0
方程化为：
u u Au Bu Cu D.
例2：将弦振动方程化为标准形式。
解：方程 utt
特征方程:
a uxx 0 的特征线族是
2
二阶线性偏微分方程的分类与总结
特点
1
偏微分方程的意义
2
3
描述现实问题中多个变量之间的动态关系。
建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
通过求解偏微分方程，可以预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
二阶线性偏微分方程的分类
02
特征方程为多项式形式
特征方程为三角函数形式
分离变量法
适用范围：积分变换法适用于具有特定边界条件的二阶线性偏微分方程，如周期性边界、狄利克雷边界等。基本思想：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。步骤选择适当的积分变换函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。对原方程进行积分变换，得到变换后的常微分方程。求解常微分方程，得到原方程的解。通过反变换得到原方程的通解。
二阶线性偏微分方程的展望与发展
05
有限差分法
通过离散化偏微分方程，将连续的空间离散为多个离散点，并使用差分近似公式来计算每个离散点处的数值解。
有限元法
将连续的空间离散为多个小的单元，每个单元内使用线性函数来近似解，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
谱方法
利用傅里叶变换等函数变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解，具有高精度和高分辨率的优点。
《二阶线性偏微分方程的分类与总结》
xx年xx月xx日
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目录
二阶线性偏微分方程概述二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的求解方法二阶线性偏微分方程的应用领域二阶线性偏微分方程的展望与发展二阶线性偏微分方程的案例分析
二阶线性偏微分方程概述
01
VS
二阶线性偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且方程中未知函数的最高阶偏导数不超过二阶。
(整理)二阶线性偏微分方程的分类与小结.
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成f cu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中f u c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+=xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
二阶偏微分方程分类
二阶偏微分方程分类二阶偏微分方程是指含有两个独立变量的二阶偏导数的方程。
在数学中，它是一个重要的研究对象，具有广泛的应用领域，如物理学、工程学、生物学等。
本文将对二阶偏微分方程进行分类和介绍。
一、常系数二阶线性偏微分方程常系数二阶线性偏微分方程是指系数不随自变量变化而保持不变的二阶线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + a\frac{\partial u}{\partial x} + b\frac{\partial u}{\partial y} + cu = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过特征方程法求解。
二、非齐次线性偏微分方程非齐次线性偏微分方程是指右端项不为零的线性偏微分方程。
它们可以写成以下形式：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$f(x,y)$为已知函数。
这类方程可以通过格林函数法求解。
三、椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac < 0$，即判别式小于零的方程。
它们可以写成以下形式：$$a\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 2b\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + c\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$其中$a$、$b$、$c$为常数，$f(x,y)$为已知函数。
这类方程在物理学中有广泛的应用，如热传导方程和电场方程等。
四、双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是指二阶偏微分方程中的系数满足$b^2 - 4ac > 0$，即判别式大于零的方程。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ 0),(),(≠y x D D ηξ化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y x a a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
要点一
要点二
信号处理
在信号处理中，信号的传递和处理往往涉及到二阶线性偏微分方程，例如差分方程、卷积等，通过求解可以得到信号的频谱、滤波效果等性质。
在工程中的应用
二阶线性偏微分方程的求解方法
在物理中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率，例如反应速度与反应物浓度的关系，通过求解可以得到反应速率常数等参数。
化学振荡
某些化学反应会经历振荡现象，即反应物浓度周期性地变化，二阶线性偏微分方程可以描述这种现象，通过求解可以得到振荡的频率、幅度等性质。
Hale Waihona Puke 在化学中的应用控制工程
要点三
Laplace变换法是一种通过将时域问题转换到复域问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
概述
Laplace变换法
适用于具有初始条件、冲击激励等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如RLC电路中的电压电流关系等。
适用范围
将原方程中的未知函数进行Laplace变换，得到复域中的解析解，再通过反变换得到时域中的解。
04
概述
适用范围
步骤
行波法
分离变量法
要点三
概述
分离变量法是一种通过将多变量问题分解为多个单变量问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有周期性、边界条件等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如Sturm-Liouville方程等。
步骤
将原方程中的未知函数按照某种方式分解为多个单变量函数，通过对每个单变量函数分别求解，最终得到原方程的解。
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ0),(),(≠y x D D ηξ 化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y xa a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
偏微分方程分类
目的：从数学上表示出二阶线性偏微分方程的共性与差异.1一、二阶线性偏微分方程的分类二、两个自变量的二阶方程的化简三、两个自变量二阶常系数方程的化简设为自变量，二阶线性偏微分方程的形状：111222122xx xy yy x ya u a u a u bub u cu f +++++=(),x y 其中是关于在区域Ω上的实值函数，且连续可微。
11122212,,,,,,a a a b b c f ,x y12211220,a a a Δ≡−>若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为双曲型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−=若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为抛物型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−<若在区域Ω上某点()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在点为椭圆型的。
()00,x y12211220,a a a Δ≡−>若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为双曲型的。
Ω12211220,a a a Δ≡−=若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为抛物型的。
Ω12211220,a a a Δ≡−<若在区域Ω上每一点有()00,x y 则称111222122xx xy yy x y a u a u a u bu b u cu f+++++=在内为椭圆型的。
二阶偏微分方程的分类
§3 二阶偏微分方程的分类一、二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程(1)式中a ij(x)=a ij(x1,x2,…,x n)为x1,x2,…,x n的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程称为二阶方程(1)的特征方程；这里a1,a2,…,a n是某些参数，且有.如果点x︒=(x1︒,x2︒,…,x n︒)满足特征方程，即则过x︒的平面的法线方向l:(a1,a2,…,a n)称为二阶方程的特征方向；如果一个(n)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1︒,x2︒,…,x n︒)，根据二次型(a i为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n个具有同一种符号，余下一个符号相反，称方程在点P为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有个具有同一种符号(n>m>1)，其余m个具有另一种符号，称方程在点P为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P为抛物型.若在区域D内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：双曲型：超双曲型：抛物型：式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为(2)a11,a12,a22为x,y的二次连续可微函数，不同时为零.方程a11dy2a12dxdy+a22dx2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线.在某点P(x0,y0)的邻域D内，根据Δ=a122－a11a12的符号将方程分类：当Δ>0时，方程为双曲型；当Δ=0时，方程为抛物型；当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P的邻域D内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i）（i）双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线，，作变换，和方程化为标准形式或（ii）（ii）抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线，取二次连续可微函数，使，作变换，，方程化为标准形式（iii）（iii）椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设为的积分，不同时为零，作变量替换，,方程化为标准形式。
阶线性偏微分方程的分类
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型
例1 设 R2 . 讨论Tricomi方程的类型
A12 a11 a12 ( ) a22 x x x y x y y y
A22 a11 ( 2 ) 2a12 a22 ( )2 x x y y
（2.1.3）
可以看出，如果取一阶偏微分方程
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型 数学物理方程
抛物型PDE
( x, y) a a11a22 0
2 12
dy a12 dx a11
由此得到一般积分为 ( x, y) C ,
取与
( x, y ) 函数无关的 ( x, y)
由此令
作为另一个新的变量
则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在Ω中
则称方程在点(x0，y0)是抛物型的;
则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。 相应地， (2.1.7)、(2.1.8)和(2.1.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和 椭圆型(二阶线性)偏微分方程的标准形式。
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型
（3*）
2 2 2 B2 a11 2 2a12 a22 2 b1 b2 , x xy y x y
C c( x( , ), y( , ))
5
数学物理方程
第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型
A11 a11 (
2 ) 2a12 a22 ( ) 2 x x y y
系 数 之 间 （3） 的 关 系
（2）
2 2 A11 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) x x y y
阶线性偏微分方程的分类
一、两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与标准型
两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式
a11u xx 2a12u xy a22u yy b1u x b2u y cu f (2.1.1)
其中，a11, a12 , a22 ,b1,b2 , c, f 都是区域 上的实函数，
抛物型PDE (x, y) a122 a11a22 0
dy a12 dx a11
A11
a11( x
)2
2a12
x
y
a22 ( y
)2
A12 a11 x x a12 ( x y x y ) a22 y y
A22
a11
(
x
)2
2a12
x
y
a22
(
y
)2
（2.1.3）
可以看出，如果取一阶偏微分方程
a11
z
2 x
2a12 zx z y
a22
z
2 y
0
的一个特解作为 , 则
（2.1.2）
数学物理方程 第2章二阶线性偏微分方程的分类与标准型 数学物理方程 (x, y)
u(x, y) (x, y) u( , )
复合求导
u u u x x x u u u y y y
2u x 2
2u
2
( )2
x
2
2u
x
x
2u
2
( )2
x
u
2
a11 x2 2a12 xy a22 y 2 b1 x b2 y cu f 0
目的： 通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，
从而据此分类。
二阶线性偏微分方程的分类与小结6页word文档
第六章 二阶线性偏微分方程的分类与小结一 两个自变量的二阶线性方程 1 方程变换与特征方程两个自变量的二阶线性偏微分方程总表示成fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112 ①它关于未知函数u 及其一、二阶偏导数都是线性的，其中fu c b b a a a ，，，，，，，21221211都是自变量y x ,的已知函数，假设它们的一阶偏 导数在某平面区域D 内都连续，而且221211a a a ，，不全为0 。
设),(000y x M 是D 内给定的一点，考虑在0M 的领域内对方程进行简化。
取自变量变换),(y x ξξ=,),(y x ηη=其中它们具有二连续偏导数，而且在0M 处的雅可比行列式。
=∂∂),(),(y x ηξyx yx ηηξξ =x y y x ηξηξ- 根据隐函数存在定理，在0M 领域内存在逆变换,),(ηξx x =,),(ηξy y =因为x x x u u u ηξξξ+=，y y y u u u ηξξξ+= xx xx x x x x xx u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222yy yy y y y y yy u u u u u u ηξηηξξηξηηξηξξ++++=222 xy xy y x x y y x x x xy u u u u u u ηξηηηξηξξξηξηηξηξξ+++++=)(将代入①使其变为F Cu u B u B u A u A u A =+++++ηξηηξηξξ212212112经过变换后，方程的阶数不会升高，由变换的可逆性，方程的阶数也不会降低，所以221211,,A A A 不全为0。
并可验证222112122211212))((x y y x a a a A A A ηξηξ--=-这表明，在可逆变换下22211212A A A -与2211212a a a -保持相同的正负号。
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( 2.1) 若判别式为 线性偏微分方程分为三类： ，则二阶
时，方程称为双曲型;
时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
1.双曲型偏微分方程
因为双曲型方程对应的判别式
所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，
B B2 4 AC y x c1 , 2A
dy B B 2 4 AC dx 2A
(3.8)
还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(3.9)
其中
(2.4)
或者进一步作变换
于是有
所以
又可以进一步将方程(2.4)化为
这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方 程就属于此类型． 2．当判别式 时：这时方程
(2.2)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
由(2.2)式可以得出，一定有
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
与பைடு நூலகம்是两个不同的函数。
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式
线是一族实函数曲线． y B x c
2A
，所以特征曲
其特征方程的解为 因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(2.5)
(2.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程的判别式 ，所以特征曲线是
代入(2.1)得到
2 2 2 2u u * [ A( ) B C( ) ] 2 B x x y y x x
2 2 2u [ A( ) B C( ) ] 2 x x y y * u * u D E F *u G *
定理2.1 如果
是方程 (2.2)
的一般积分，则
是方程
(2.3)
的一个特解．
在具体求解方程(2.1)时，需要分三种情况讨论判别式
1. 当判别式 以求得两个实函数解
时，从方程(2.1)可
也就是说，偏微分方程(2.1)有两条实的特征线．于是，令
即可使得
．同时，根据(2.2)式，就可以断定
．所以，方程(2.1) 即为
一组共轭复变函数族．其特征方程的解为
B 4 AC B 2 y x xi c1 , 2A 2A B 4 AC B 2 y x xi c2 2A 2A
(2.7)
若令
(2.8)
作自变量变换，则偏微分方程变为
(2.9) 上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
7.3
二阶线性常系数偏微分方程的 进一步化简
如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还
可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法
1.双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简
(3.1) 注：上式中用小写字母 大写字母代表某函数区别开来, 例如 代表常系数，以便与 ．为了化简，
我们不妨令
从而有
(3.2)
B B 2 4 AC y x c2 2A
设特征方程的解为
令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式
(2.2)
(2.3) 上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量 代换，令
或
则偏微分方程又变为
(2.4) 上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 2 ( ) 2 2( ) 2 2 x x x x x x x 2 2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 2 ( ) 2 2( ) 2 2 y y y y y y y 2 2u 2u 2u 2u u 2 u 2 2 ( ) 2 xy x y x y x y x y xy xy
于是
所以
方程(2.1)又可以进一步化为
这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、
泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型． 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只
需讨论判别式 即可.
7.2 二阶线性偏微分方程标准化
对于二阶线性偏微分方程
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简
(3.3)
式中
均为常系数．若令
(3.4)
则有 (3.5)
其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（3.6）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(3.7)
3.椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
只要它和
彼此独立，即雅可比行列式
即可．这样，方程(2.1)就化为
此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
3. 当判别式
时：这时，可以重复上
和
面的讨论，只不过得到的
是一
对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(2.1)的两条特征线是
一对共轭复函数族．于是
是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量
程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解
也表现出各自不同的特点． 我们在解析几何中知道对于二次实曲线
其中
为常数，且设
则当
时，上述二次曲线分别为双
曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏 微分方程进行分类. 下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行 理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨
论的基本方法是一样的．
两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为
( x, y) 作坐标变换 ( x, y)
则 u u u x x x u u u y y y
（1.1）
第七章 二阶线性方程的分类与标准化
本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方 法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏
微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微
分方程求解是十分有用的.
7.1 数学物理方程的分类
在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的
偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方