数理方程第13讲二阶线性偏微分方程的分类

( 2.1) 若判别式为 线性偏微分方程分为三类： ，则二阶
时，方程称为双曲型;
时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
1.双曲型偏微分方程
因为双曲型方程对应的判别式
所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，
B B2 4 AC y x c1 , 2A
dy B B 2 4 AC dx 2A
(3.8)
还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(3.9)
其中
(2.4)
或者进一步作变换
于是有
所以
又可以进一步将方程(2.4)化为
这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方 程就属于此类型． 2．当判别式 时：这时方程
(2.2)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
由(2.2)式可以得出，一定有
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
与பைடு நூலகம்是两个不同的函数。
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式
线是一族实函数曲线． y B x c
2A
，所以特征曲
其特征方程的解为 因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(2.5)
(2.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程的判别式 ，所以特征曲线是
代入(2.1)得到
2 2 2 2u u * [ A( ) B C( ) ] 2 B x x y y x x
2 2 2u [ A( ) B C( ) ] 2 x x y y * u * u D E F *u G *
定理2.1 如果
是方程 (2.2)
的一般积分，则
是方程
(2.3)
的一个特解．
在具体求解方程(2.1)时，需要分三种情况讨论判别式
1. 当判别式 以求得两个实函数解
时，从方程(2.1)可
也就是说，偏微分方程(2.1)有两条实的特征线．于是，令
即可使得
．同时，根据(2.2)式，就可以断定
．所以，方程(2.1) 即为
一组共轭复变函数族．其特征方程的解为
B 4 AC B 2 y x xi c1 , 2A 2A B 4 AC B 2 y x xi c2 2A 2A
(2.7)
若令
(2.8)
作自变量变换，则偏微分方程变为
(2.9) 上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
7.3
二阶线性常系数偏微分方程的 进一步化简
如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还
可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法
1.双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简
(3.1) 注：上式中用小写字母 大写字母代表某函数区别开来, 例如 代表常系数，以便与 ．为了化简，
我们不妨令
从而有
(3.2)
B B 2 4 AC y x c2 2A
设特征方程的解为
令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式
(2.2)
(2.3) 上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量 代换，令
或
则偏微分方程又变为
(2.4) 上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 2 ( ) 2 2( ) 2 2 x x x x x x x 2 2u 2u 2 2u 2u 2 u 2 u 2 2 ( ) 2 2( ) 2 2 y y y y y y y 2 2u 2u 2u 2u u 2 u 2 2 ( ) 2 xy x y x y x y x y xy xy
于是
所以
方程(2.1)又可以进一步化为
这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、
泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型． 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只
需讨论判别式 即可.
7.2 二阶线性偏微分方程标准化
对于二阶线性偏微分方程
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简
(3.3)
式中
均为常系数．若令
(3.4)
则有 (3.5)
其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（3.6）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(3.7)
3.椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
只要它和
彼此独立，即雅可比行列式
即可．这样，方程(2.1)就化为
此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
3. 当判别式
时：这时，可以重复上
和
面的讨论，只不过得到的
是一
对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(2.1)的两条特征线是
一对共轭复函数族．于是
是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量
程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解
也表现出各自不同的特点． 我们在解析几何中知道对于二次实曲线
其中
为常数，且设
则当
时，上述二次曲线分别为双
曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏 微分方程进行分类. 下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行 理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨
论的基本方法是一样的．
两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为
( x, y) 作坐标变换 ( x, y)
则 u u u x x x u u u y y y
（1.1）
第七章 二阶线性方程的分类与标准化
本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方 法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏
微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微
分方程求解是十分有用的.
7.1 数学物理方程的分类
在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的
偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方