绕水翼局部空泡的非定常流动特性
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首先，模拟了第一类非定常空泡运动模式（CASE 1）。下游边界 II 给定出口边界，用速度 波形条件保证连续性，图 3 中 P 点的压力随空泡脱落而发生周期性振荡，而上游边界压力固定。 图 9 所示的密度等位图，显示了导边处附着空泡的周期性脱落过程的计算结果。这里，T 为空 泡脱落的周期，每个瞬间间隔 10 ∆t 。1/33T 时刻，下泻的空泡附体溃灭。此时，尾缘处压力增 大，开始出现小范围的尾涡。随着压力的继续增大，涡流一直加强，形成回射流，边界层分离，
1 2
ρU
2 ∞
。
-4-
http://www.paper.edu.cn
图 7 空泡长度随时间的变化 Fig. 7 Cavity length versus time
图 8 压力系数随时间的变化 Fig. 8 Pressure coefficient versus time
4.2 大攻角下空泡流的两种非定常运动模式
1 引言
空化是流动中的常见现象，往往产生水动力效能下降、空蚀和噪声等负面效应，然而近年 来也被用于水下航行体的减阻研究。随着计算机的发展，湍流空泡流的数值模拟取得了一定进 展。一些基于求解全流场 N-S 方程的空泡流模型被采用。Qiao Qin，Charles C. S. Song 和 Roger E. A. Arndt[1]等人用大涡模拟的方法，模拟了绕 NACA 水翼非定常尾涡的发展过程，但尾流结构 上比实际偏大。Kubota 等人在 Rayleigh-Plesset 方程基础上建立空体积份数与混合介质密度之间 的关系，提出了基于气泡动力学的两相流模型[2]，较好地模拟了绕二维 NACA 水翼的涡空泡流， 该模型能模拟云雾状空泡，而不能模拟局部片空泡与自然超空泡。Spalding DB[3]和 Markatos NC[4] 应用液相和气相两组控制方程的 VOF 模型进行求解，该模型增加了近乎一倍的额外计算量。 Singhal 和 Athavale 等[5]运用气泡动力学方程导出了控制气液相转换的源项，建立了蒸气质量份 数疏运方程，计算了绕水翼的小攻角定常空泡流的形态和表面压力分布。Inanc Senocak 和 Wei Shyy[6],Merkle[7]及 Singhal 等[8]用求解液体体积份数疏运方程的模型模拟了水翼定常空泡的密度 和压力分布。Kunz 等[9][10]用基于体积连续性方程和液体体积份数疏运方程的空泡流模型，计算 了绕轴对称体和三角翼的定常空泡流。
性。但述控制方程并不封闭，需要补充汽水混合介
质的状态方程。实验证明，汽水混合区的声速
c 2 = dp dρ 降低到 1m/s 的数量级[11]，远小于水和
气的声速，该区域是高度可压缩的。引入如式(7)所 示的正压关系，设定了一个考虑汽水混合物可压缩
性的压力范围 ∆p ，在应用有限体积法计算时，处在
空泡边界上的相邻控制体密度变化剧烈，取
本文采用的均质平衡流模型，将汽液混合物当成密度连续变化的单一介质来考虑，并根据 水、蒸汽及混合区域的声速特性，建立了密度和压力之间的正压关系 ρ = ρ( p) 。采用了基于有
限体积法离散的 SIMPLE 压力修正算法，求解汽水混合介质的 RANS 方程和修正的 RNG k − ε
模型。模拟了绕 NACA0012 水翼局部空泡在不同条件下的非定常发展过程，验证了实验中存在 的两种不同模式的的非定常空泡脱落现象，研究了空泡脱落机理、脱落频率、升力与阻力的变 化规律以及空泡形态特性。
度晃动是比较大的。图 9 左列的空泡成长的时间长约 1/3T，右两列的脱落溃灭时间长约 2/3T， 这些都与 J.M. Michel 的经典理论[14]吻合的非常好。根据脱落周期得出 Strouhal 数为： St = fLc U ∞ = 0.22 。可以看出，空泡闭合端压力的升高，以及大攻角下的尾涡对于空泡脱落都 起着重要作用。
定常解作为初始条件所
致。在起始时刻部分负压区域的压力瞬时改变为饱和蒸汽压，密度变成蒸汽密度的原因，从而
引起了随后计算中压力场的小幅振荡，直至空泡趋于定常状态。图 8 显示了空泡成长过程水翼 吸力面上压力系数分布变化情况。其中，横坐标为到水翼导边的距离 x 与弦长 C 之比。压力系
数的定义为： C p = ( p − p∞ )
( ) ∂ρ + ∂
∂t ∂x j
ρu j
=0
（1）
（2）
( ) ∂
∂t
(ρui
)
+
∂ ∂x
j
ρu jui
= − ∂p ∂xi
+
∂ ∂x j
⎡
⎢ ⎢⎣
µm,t
⎜⎛ ∂ui ⎜⎝ ∂x j
+
∂u j ∂xi
⎟⎟⎠⎞⎥⎥⎦⎤ + ρgi
（3）
ρ ∂k ∂t
+ ρui
∂k ∂xi
= µm,t S 2
+∂ ∂xi
形成大范围回流的强的涡结构。导边空泡长度增加到 1/2 弦长时，逆向回射流的挤压作用使其 脱落。然后，伴随着涡流产生的低压，空泡附体持续增大，直至下游高压区溃灭。这与实验观
察到的大攻角水翼上大块云雾状空泡脱落是一致的。在空泡附体下泻过程中，空泡主体由于末
端闭合处突然增大的压力而逐渐缩短，直至附体溃灭后又逐渐增长，循环往复。空泡主体的长
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绕水翼局部空泡的非定常流动特性1
陈瑛，鲁传敬，吴磊
上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海 （200240）
摘 要：采用正压关系的均质平衡流空泡模型，基于汽水混合介质声速特性建立压力和密度之
间的状态关系，求解汽水混合介质的 RANS 方程和修正的 RNG k − ε 模型，研究了绕二维水翼
-5-
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1/33T
12/33T
23/33T
2/33T
13/33T
24/33T
3/33T
14/33T
25/33T
4/33T
15/33T
26/33T
5/33T
16/33T
-1-
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格的有限体积法离散。其中， x j 为笛卡儿坐标向量， ρ 为混合密度， ui ， u j 为笛卡儿坐标系 中的速度向量，µm,t 为分子粘度和湍流粘度的混合粘度。湍动能 k 方程中，µm,t S 2 为 k 产生项，
∂ ∂xi
⎜⎜⎝⎛α k µeff
计算时，先计算得到该工况下无空泡定常绕流的流场分布，以此作为初始状态计算空泡流。
在图 5 中，T 为空泡达到最大长度 Lc 时的时间，可以看出，在空泡成长的起始阶段，空泡长度 增加很迅速，而后逐渐趋缓，直到某时刻后，不再随时间变化。如图 6 所示，空泡闭合区回射 流很小，没有发生空泡断裂脱落现象。说明在此小攻角工况下空泡总体上趋于定常状态，这与 实验观察到的定常片空泡相吻合。
非定常局部空泡流动特性。成功模拟了试验所观察到的两种不同类型的非定常空泡脱落过程， 特别是模拟了实验观察到的翼型尾缘处涡结构产生的空泡周期性现象，分析了吸力面压力变化 与涡空化过程的关系。比较了两种运动模式下升力系数和阻力系数的变化规律，得到了与试验 结果相吻合的频率特性。 关键词: 水翼; 局部空泡流; 非定常流动特性; 涡结构 中图分类号：TJ 630.1 文献标识码：A
250
①
50 I
U∞
②
P II
图3 计算域及说明符 Fig. 3 Computation domain and notation
-3-
图4 计算网格 Fig. 4 Computation grid
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4 计算结果与讨论
4.1 小攻角定常空泡流
首先对攻角 α = 4°、空化数σ = 0.8 的空泡流进行了模拟。此时下游 II 取为出口边界，空化
长期以来，大量实验研究[2],[12],[13]观察到了水翼空泡周期性脱落的现象，有导边附着处空泡
的脱落，也有大攻角下翼型尾缘的涡空化现象。在这里本文通过不同的边界类型，在较大攻角
工况下，成功模拟了两种类型的空泡非定常运动过程，尤其模拟了一些实验观察到的翼型尾缘
处涡结构产生的空化现象。计算中，取计算时间步长 ∆t = 0.01C U ∞ ，来流攻角为α = 7°，空化 数σ = 0.7 。以下记特征时间为 T∞ = C U ∞ 。
ρl
p > pv + ∆p
ρ = ρv
p < pv − Fra Baidu bibliotekp
(7)
⎜⎛ ρl ⎝
+ ρv ⎟⎞ + ⎜⎛ ρl 2 ⎠⎝
− ρv 2
⎟⎞ ⎠
sin⎜⎜⎝⎛
π 2
p − pv ∆p
⎟⎟⎠⎞
pv − ∆p < p < pv + ∆p
3 计算网格与边界条件
所计算的 NACA0012 水翼，弦长 C=1m，计算域如图 3 所示。边界类型包括：速度入口， 壁面，对称面以及出口边界或压力边界。图中上游 I 边界为速度入口，给定来流速度；对于两 种不同类型的非定常空泡流的模拟，II 边界分别为出口边界和压力边界。I 边界距水翼导边的距 离为 3 倍弦长，II 边界距水翼末端的距离为 5 倍弦长。采用分 2 块的 C 型结构化 250×50 的网格， 在导边、壁面和尾缘处进行了网格加密，以很好地捕捉空化产生和发展的过程，如图 4 所示。
∂k ∂xi
⎟⎟⎠⎞ 为扩散项， ρε
为耗散项。其中， S 与变形速度张量相关。和湍动能耗散率 ε
方程中， C1ε
⎜⎛ ⎝
ε k
⎟⎠⎞µm,t S
2
为
ε
产生项， ∂ ∂xi
⎜⎜⎝⎛αε µeff
∂ε ∂xi
⎟⎟⎠⎞
为扩散项，
C2ε
ρ
⎜⎜⎝⎛
ε2 k
⎟⎟⎠⎞ 为耗散项。α k
，
α ε ， C1ε ， C2ε 为 RNG 理论参数。
⎜⎜⎝⎛α k µeff
∂k ∂xi
⎟⎟⎠⎞ − ρε
（4）
ρ ∂ε ∂t
+ ρui
∂ε ∂xi
=
C1ε
⎜⎛ ⎝
ε k
⎟⎞µ ⎠
m,t
S
2
+∂ ∂xi
⎜⎜⎝⎛α ε µeff
∂ε ∂xi
⎟⎟⎠⎞
−
C2ε
ρ ⎜⎜⎝⎛
ε2 k
⎟⎟⎠⎞
为了更好地模拟空泡尾部闭合区域的回射
流，引入修正的湍流粘性系数 µm,t ，以限制尾
部混合区过度的湍流度，如式(6)。图 1 表示了 式中 n 取不同值时的曲线（n>>1），计算多取
n=5~10，如图中的带点实线所示。ρv 和 ρl 分别
为水蒸气和纯水的密度。
µ m,t
=µ
+
f
(
ρ
)C
µ
⎜⎜⎝⎛
k2 ε
⎟⎟⎠⎞
（5）
f
(ρ)
=
ρv
+
⎜⎜⎝⎛
ρv − ρ ρv − ρl
⎟⎟⎠⎞n (ρl
图 7 显示了空泡长度随时间的变化过 程，l 记为空泡长度，横坐标 t 为时间。可 以看到，空泡长度随时间的增长曲线围绕
图 6 回射流 Fig. 6 Re-entrant flow
光滑曲线（虚线）两侧略有振荡，并且振 幅逐渐减小而趋于平稳。进入 AB 段后， 空泡增长速度先降低后升高；进入 BC 段 后又降低；CD 段以后，长度趋于定值。 这一现象的产生，是由于以非空泡绕流的
数定义为 σ = ( p∞ − pv )
1 2
ρU
2 ∞
，其中
p∞ 为来流压力，U ∞ 为来流速度。空泡成长过程如图
5。
t=0.01T
t=0.05T
t=0.1 T
t=0.5 T
t=T
图 5 空泡成长过程( α = 4°, σ = 0.8) Fig. 5 Process of cavity growing(α = 4°, σ = 0.8)
图 2 压力与密度正压关系曲线
Fig. 2 Curve of barotropic relation
∆p ≈ 0.01p∞ 很好的保证了计算的收敛性，同时使得
在式(7)的正压关系中，可压缩区内的最小声速满足实验所测得的 cm2 in = (dp dρ )min ≈ o(100 ) ，
如图 2 所示。其中， pv 为室温下水的饱和蒸汽压。
−
ρv )
（6）
图 1 n 取不同值时，f(ρ)随 n 的变化曲线 Fig. 1 f(ρ) versus ρ for various values of n
-2-
2.2 空泡流模型
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上述控制方程中，汽水混合介质被当作密度连
续变化的单一介质处理，不考虑水和水蒸汽的压缩
2 空泡流数学模型的构造
2.1 控制方程
以混合密度和湍流粘性系数表示的空泡流控制方程组如下。方程系统采用多块结构化网
1 本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金资助（编号：20030248001） 作者简介：陈瑛(1979－)，男，博士生 (Tel: +86-21-54743203；E-mail: cyofjs@sjtu.edu.cn )。
1 2
ρU
2 ∞
。
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图 7 空泡长度随时间的变化 Fig. 7 Cavity length versus time
图 8 压力系数随时间的变化 Fig. 8 Pressure coefficient versus time
4.2 大攻角下空泡流的两种非定常运动模式
1 引言
空化是流动中的常见现象，往往产生水动力效能下降、空蚀和噪声等负面效应，然而近年 来也被用于水下航行体的减阻研究。随着计算机的发展，湍流空泡流的数值模拟取得了一定进 展。一些基于求解全流场 N-S 方程的空泡流模型被采用。Qiao Qin，Charles C. S. Song 和 Roger E. A. Arndt[1]等人用大涡模拟的方法，模拟了绕 NACA 水翼非定常尾涡的发展过程，但尾流结构 上比实际偏大。Kubota 等人在 Rayleigh-Plesset 方程基础上建立空体积份数与混合介质密度之间 的关系，提出了基于气泡动力学的两相流模型[2]，较好地模拟了绕二维 NACA 水翼的涡空泡流， 该模型能模拟云雾状空泡，而不能模拟局部片空泡与自然超空泡。Spalding DB[3]和 Markatos NC[4] 应用液相和气相两组控制方程的 VOF 模型进行求解，该模型增加了近乎一倍的额外计算量。 Singhal 和 Athavale 等[5]运用气泡动力学方程导出了控制气液相转换的源项，建立了蒸气质量份 数疏运方程，计算了绕水翼的小攻角定常空泡流的形态和表面压力分布。Inanc Senocak 和 Wei Shyy[6],Merkle[7]及 Singhal 等[8]用求解液体体积份数疏运方程的模型模拟了水翼定常空泡的密度 和压力分布。Kunz 等[9][10]用基于体积连续性方程和液体体积份数疏运方程的空泡流模型，计算 了绕轴对称体和三角翼的定常空泡流。
性。但述控制方程并不封闭，需要补充汽水混合介
质的状态方程。实验证明，汽水混合区的声速
c 2 = dp dρ 降低到 1m/s 的数量级[11]，远小于水和
气的声速，该区域是高度可压缩的。引入如式(7)所 示的正压关系，设定了一个考虑汽水混合物可压缩
性的压力范围 ∆p ，在应用有限体积法计算时，处在
空泡边界上的相邻控制体密度变化剧烈，取
本文采用的均质平衡流模型，将汽液混合物当成密度连续变化的单一介质来考虑，并根据 水、蒸汽及混合区域的声速特性，建立了密度和压力之间的正压关系 ρ = ρ( p) 。采用了基于有
限体积法离散的 SIMPLE 压力修正算法，求解汽水混合介质的 RANS 方程和修正的 RNG k − ε
模型。模拟了绕 NACA0012 水翼局部空泡在不同条件下的非定常发展过程，验证了实验中存在 的两种不同模式的的非定常空泡脱落现象，研究了空泡脱落机理、脱落频率、升力与阻力的变 化规律以及空泡形态特性。
度晃动是比较大的。图 9 左列的空泡成长的时间长约 1/3T，右两列的脱落溃灭时间长约 2/3T， 这些都与 J.M. Michel 的经典理论[14]吻合的非常好。根据脱落周期得出 Strouhal 数为： St = fLc U ∞ = 0.22 。可以看出，空泡闭合端压力的升高，以及大攻角下的尾涡对于空泡脱落都 起着重要作用。
定常解作为初始条件所
致。在起始时刻部分负压区域的压力瞬时改变为饱和蒸汽压，密度变成蒸汽密度的原因，从而
引起了随后计算中压力场的小幅振荡，直至空泡趋于定常状态。图 8 显示了空泡成长过程水翼 吸力面上压力系数分布变化情况。其中，横坐标为到水翼导边的距离 x 与弦长 C 之比。压力系
数的定义为： C p = ( p − p∞ )
( ) ∂ρ + ∂
∂t ∂x j
ρu j
=0
（1）
（2）
( ) ∂
∂t
(ρui
)
+
∂ ∂x
j
ρu jui
= − ∂p ∂xi
+
∂ ∂x j
⎡
⎢ ⎢⎣
µm,t
⎜⎛ ∂ui ⎜⎝ ∂x j
+
∂u j ∂xi
⎟⎟⎠⎞⎥⎥⎦⎤ + ρgi
（3）
ρ ∂k ∂t
+ ρui
∂k ∂xi
= µm,t S 2
+∂ ∂xi
形成大范围回流的强的涡结构。导边空泡长度增加到 1/2 弦长时，逆向回射流的挤压作用使其 脱落。然后，伴随着涡流产生的低压，空泡附体持续增大，直至下游高压区溃灭。这与实验观
察到的大攻角水翼上大块云雾状空泡脱落是一致的。在空泡附体下泻过程中，空泡主体由于末
端闭合处突然增大的压力而逐渐缩短，直至附体溃灭后又逐渐增长，循环往复。空泡主体的长
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绕水翼局部空泡的非定常流动特性1
陈瑛，鲁传敬，吴磊
上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海 （200240）
摘 要：采用正压关系的均质平衡流空泡模型，基于汽水混合介质声速特性建立压力和密度之
间的状态关系，求解汽水混合介质的 RANS 方程和修正的 RNG k − ε 模型，研究了绕二维水翼
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1/33T
12/33T
23/33T
2/33T
13/33T
24/33T
3/33T
14/33T
25/33T
4/33T
15/33T
26/33T
5/33T
16/33T
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格的有限体积法离散。其中， x j 为笛卡儿坐标向量， ρ 为混合密度， ui ， u j 为笛卡儿坐标系 中的速度向量，µm,t 为分子粘度和湍流粘度的混合粘度。湍动能 k 方程中，µm,t S 2 为 k 产生项，
∂ ∂xi
⎜⎜⎝⎛α k µeff
计算时，先计算得到该工况下无空泡定常绕流的流场分布，以此作为初始状态计算空泡流。
在图 5 中，T 为空泡达到最大长度 Lc 时的时间，可以看出，在空泡成长的起始阶段，空泡长度 增加很迅速，而后逐渐趋缓，直到某时刻后，不再随时间变化。如图 6 所示，空泡闭合区回射 流很小，没有发生空泡断裂脱落现象。说明在此小攻角工况下空泡总体上趋于定常状态，这与 实验观察到的定常片空泡相吻合。
非定常局部空泡流动特性。成功模拟了试验所观察到的两种不同类型的非定常空泡脱落过程， 特别是模拟了实验观察到的翼型尾缘处涡结构产生的空泡周期性现象，分析了吸力面压力变化 与涡空化过程的关系。比较了两种运动模式下升力系数和阻力系数的变化规律，得到了与试验 结果相吻合的频率特性。 关键词: 水翼; 局部空泡流; 非定常流动特性; 涡结构 中图分类号：TJ 630.1 文献标识码：A
250
①
50 I
U∞
②
P II
图3 计算域及说明符 Fig. 3 Computation domain and notation
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图4 计算网格 Fig. 4 Computation grid
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4 计算结果与讨论
4.1 小攻角定常空泡流
首先对攻角 α = 4°、空化数σ = 0.8 的空泡流进行了模拟。此时下游 II 取为出口边界，空化
长期以来，大量实验研究[2],[12],[13]观察到了水翼空泡周期性脱落的现象，有导边附着处空泡
的脱落，也有大攻角下翼型尾缘的涡空化现象。在这里本文通过不同的边界类型，在较大攻角
工况下，成功模拟了两种类型的空泡非定常运动过程，尤其模拟了一些实验观察到的翼型尾缘
处涡结构产生的空化现象。计算中，取计算时间步长 ∆t = 0.01C U ∞ ，来流攻角为α = 7°，空化 数σ = 0.7 。以下记特征时间为 T∞ = C U ∞ 。
ρl
p > pv + ∆p
ρ = ρv
p < pv − Fra Baidu bibliotekp
(7)
⎜⎛ ρl ⎝
+ ρv ⎟⎞ + ⎜⎛ ρl 2 ⎠⎝
− ρv 2
⎟⎞ ⎠
sin⎜⎜⎝⎛
π 2
p − pv ∆p
⎟⎟⎠⎞
pv − ∆p < p < pv + ∆p
3 计算网格与边界条件
所计算的 NACA0012 水翼，弦长 C=1m，计算域如图 3 所示。边界类型包括：速度入口， 壁面，对称面以及出口边界或压力边界。图中上游 I 边界为速度入口，给定来流速度；对于两 种不同类型的非定常空泡流的模拟，II 边界分别为出口边界和压力边界。I 边界距水翼导边的距 离为 3 倍弦长，II 边界距水翼末端的距离为 5 倍弦长。采用分 2 块的 C 型结构化 250×50 的网格， 在导边、壁面和尾缘处进行了网格加密，以很好地捕捉空化产生和发展的过程，如图 4 所示。
∂k ∂xi
⎟⎟⎠⎞ 为扩散项， ρε
为耗散项。其中， S 与变形速度张量相关。和湍动能耗散率 ε
方程中， C1ε
⎜⎛ ⎝
ε k
⎟⎠⎞µm,t S
2
为
ε
产生项， ∂ ∂xi
⎜⎜⎝⎛αε µeff
∂ε ∂xi
⎟⎟⎠⎞
为扩散项，
C2ε
ρ
⎜⎜⎝⎛
ε2 k
⎟⎟⎠⎞ 为耗散项。α k
，
α ε ， C1ε ， C2ε 为 RNG 理论参数。
⎜⎜⎝⎛α k µeff
∂k ∂xi
⎟⎟⎠⎞ − ρε
（4）
ρ ∂ε ∂t
+ ρui
∂ε ∂xi
=
C1ε
⎜⎛ ⎝
ε k
⎟⎞µ ⎠
m,t
S
2
+∂ ∂xi
⎜⎜⎝⎛α ε µeff
∂ε ∂xi
⎟⎟⎠⎞
−
C2ε
ρ ⎜⎜⎝⎛
ε2 k
⎟⎟⎠⎞
为了更好地模拟空泡尾部闭合区域的回射
流，引入修正的湍流粘性系数 µm,t ，以限制尾
部混合区过度的湍流度，如式(6)。图 1 表示了 式中 n 取不同值时的曲线（n>>1），计算多取
n=5~10，如图中的带点实线所示。ρv 和 ρl 分别
为水蒸气和纯水的密度。
µ m,t
=µ
+
f
(
ρ
)C
µ
⎜⎜⎝⎛
k2 ε
⎟⎟⎠⎞
（5）
f
(ρ)
=
ρv
+
⎜⎜⎝⎛
ρv − ρ ρv − ρl
⎟⎟⎠⎞n (ρl
图 7 显示了空泡长度随时间的变化过 程，l 记为空泡长度，横坐标 t 为时间。可 以看到，空泡长度随时间的增长曲线围绕
图 6 回射流 Fig. 6 Re-entrant flow
光滑曲线（虚线）两侧略有振荡，并且振 幅逐渐减小而趋于平稳。进入 AB 段后， 空泡增长速度先降低后升高；进入 BC 段 后又降低；CD 段以后，长度趋于定值。 这一现象的产生，是由于以非空泡绕流的
数定义为 σ = ( p∞ − pv )
1 2
ρU
2 ∞
，其中
p∞ 为来流压力，U ∞ 为来流速度。空泡成长过程如图
5。
t=0.01T
t=0.05T
t=0.1 T
t=0.5 T
t=T
图 5 空泡成长过程( α = 4°, σ = 0.8) Fig. 5 Process of cavity growing(α = 4°, σ = 0.8)
图 2 压力与密度正压关系曲线
Fig. 2 Curve of barotropic relation
∆p ≈ 0.01p∞ 很好的保证了计算的收敛性，同时使得
在式(7)的正压关系中，可压缩区内的最小声速满足实验所测得的 cm2 in = (dp dρ )min ≈ o(100 ) ，
如图 2 所示。其中， pv 为室温下水的饱和蒸汽压。
−
ρv )
（6）
图 1 n 取不同值时，f(ρ)随 n 的变化曲线 Fig. 1 f(ρ) versus ρ for various values of n
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2.2 空泡流模型
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上述控制方程中，汽水混合介质被当作密度连
续变化的单一介质处理，不考虑水和水蒸汽的压缩
2 空泡流数学模型的构造
2.1 控制方程
以混合密度和湍流粘性系数表示的空泡流控制方程组如下。方程系统采用多块结构化网
1 本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金资助（编号：20030248001） 作者简介：陈瑛(1979－)，男，博士生 (Tel: +86-21-54743203；E-mail: cyofjs@sjtu.edu.cn )。