拓扑答案

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网络拓扑练习题及答案

网络拓扑练习题及答案

网络拓扑练习题及答案当今时代,互联网已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分。

而要实现互联网的畅通与稳定,网络拓扑结构的设计和优化显得尤为重要。

网络拓扑是指网络中各个节点之间连接的方式和形式,合理的网络拓扑可以提高网络性能和可靠性。

在学习网络拓扑的过程中,不可避免地需要进行练习题的训练。

下面将提供一些网络拓扑练习题及答案,帮助读者更好地理解和掌握网络拓扑的相关知识。

练习题一:请画出星型拓扑结构的示意图,并解释其特点和应用场景。

答案:星型拓扑结构是指以一个中心节点为核心,其他节点通过直接连接与该节点通信的方式完成网络连接的形式。

示意图如下:A/ \B C/ \D E星型拓扑的特点是中心节点对其他节点有着完全的控制,信息传输依赖于中心节点的稳定性。

这种结构下,如果中心节点出现故障,将影响整个网络的通信。

星型拓扑结构适用于小型网络或者需要中心控制的场景,如家庭网络和小型办公室网络。

练习题二:请画出环型拓扑结构的示意图,并解释其特点和应用场景。

答案:环型拓扑结构是指网络中的各个节点通过相邻节点之间的连接依次循环连接起来,形成一个闭合的环形结构。

示意图如下: D-----E/ \A F\ /C-----B环型拓扑的特点是每个节点都与两个相邻节点直接连接,信息传输的路径相对固定,可以提高网络的可靠性和稳定性。

然而,如果环型拓扑中某个节点出现故障,可能会导致整个网络的通信中断。

环型拓扑结构适用于需要高可靠性的场景,如金融机构的网络和核心数据中心网络。

练习题三:请画出树型拓扑结构的示意图,并解释其特点和应用场景。

答案:树型拓扑结构是指以一个根节点为起点,通过将各个子节点依次连接形成层次化结构的网络拓扑。

示意图如下:A/ \B C/ \ \D E F树型拓扑的特点是具有明显的层次结构,信息传输沿着根节点到各个子节点的路径传播,具有高度的可扩展性和容错性。

当某个节点出现故障时,不会影响整个网络的通信。

树型拓扑结构适用于大型企业网络和数据中心网络。

《拓朴学》题库及答案

《拓朴学》题库及答案

《拓扑学》题库及答案一、单项选择1.关于笛卡儿积,下面等式成立的是(A ))()()()(D B C A D C B A ⨯-⨯=-⨯- (B ))()()()(D C B A D B C A I I I ⨯=⨯⨯ (C ))()()()(D B C A D C B A ⨯⨯=⨯Y Y Y (D )D B C A ⨯⊆⨯当且仅当D C B A ⊆⊆,2.设Y X f →:是映射,)(,,X B A P ∈,)(,Y D C P ∈,则下面结论不成立的是: (A ))()()(111D f C f D C f ---=Y Y (B ))()()(111D f C f D C f---=I I(C ))()()(B f A f B A f Y Y = (D ))()()(B f A f B A f I I =3.在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中,子集+⨯Z }2{是:(A )开集,非闭集 (B )闭集,非开集 (C )即开,且闭集 (D )即非开集,也非闭集4.设R R →2:d 为映射,(R 表示实数集合),R ∈∀y x ,,下面关于d 的定义中是R 的度量的是:(A )2(,)()d x y x y '=- (B )22),(y x y x d -=(C )||||),(y x y x d += (D )⎩⎨⎧=≠=yx yx y x d 01),(5.设)T ,(X 是平庸拓扑空间,b a X b a ≠∈,,,则交错序列Λb a b a ,,,在拓扑空间)T ,(X 中的收敛点集合是: (A )∅ (B )}{a (C )},{b a (D )X6.设}},{},{,,{},3,2,1{},,,{1b a a X Y c b a X ∅===T ,}}2{},3,2{},2,1{,,{2Y ∅=T ,}{b A =,}1{=B ,则在积空间Y X ⨯中B A ⨯等于(A ))}1,{(b (B ))}1,(),1,{(c b(C ))}2,(),1,{(b b (D ))}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b7.设},,,{d c b a X =,{,,{,,},{,,},{,}}x a b c b c d b c =∅T ,},,{d c a Y =,},{c a A =,则在子空间Y 中A 的内部等于:(A )∅ (B )}{a (C )}{c (D )},{c a8.拓扑空间的Lindel öff 性,可分性,紧致性,完全正则性中是有限可积性质的有: (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 9.下列拓扑空间的蕴涵关系中,成立的有完全正则空间⇒正则空间,完全正则空间⇒正规空间,连通空间⇒局部连通空间, 度量空间⇒可分空间,度量空间⇒Lindel öff 空间(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个10.拓扑空间的可分性,紧致性,Lindel öff 性,连通性中在连续射下保持不变的性质有: (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 11.设X X R ⨯⊆是一个等价关系,则R 不满足的条件是(A )R X ⊆∆)( (B )R ∩R -1=∅ (C )R R R ⊆ο (D )1-=R R12.设Y X f →:是映射,)(}|{X J A P ⊆∈αα,)(}|{Y r B r P ⊆Γ∈则下面等式中不成立的是 (A ))()(ααααA f A f JJ∈∈=Y Y (B ))()(ααααA f A f JJ∈∈=II(C ))()(11r r r r B f B f-Γ∈Γ∈-=Y Y (D ))()(11r r r r B f B f -Γ∈Γ∈-I I13.在字典序拓扑空间++⨯Z Z 中,子集+⨯Z }1{是:(A )开集,非闭集 (B )闭集,非开集 (C )即开,且闭集 (D )即非开集,亦非闭集14.设},,{c b a X =,}},{},{,,{b a a X ∅=T ,则在拓扑空间)T ,(X 中常值序列Λ,,a a 的 收敛点集合是 (A )}{a (B )},{c a (C )},{b a (D ) X15.设},,{c b a X =,}3,2,1{=Y ,}{},{},{,,{c b a X ∅=1T ,}}3,2{},2{},2,1{,,{Y ∅=2T ,}2,1{},,{==B b a A ,则在积空间Y X ⨯中,0)(B A ⨯等于:(A )∅ (B )}{)2,(),1,(a a (C )}{)2,(),1,(b b (D )}{)2,(),1,(),2,(),1,(b b a a16.设},,,{d c b a X =,}},{},,,{},,,{,,{d c d c a d c b X ∅=T ,}{},,,{c A d c a Y ==,则在子空间Y 中,A 的闭包等于(A )}{c (B )},{a c (C )},{b c (D )},,{c d a17.设)T ,(X 是拓扑空间,)T ,(X 是可度量空间是指存在X 的度量R →2:X d 使得由d 诱导的拓扑d T 满足: (A)T T ⊆d (B)d T T ⊆ (C)d T T = (D))(X P T d = 18.拓扑空间的可分性,Lindel öff 性, 正规性、完全正则性中是遗传性质的有 (A )1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 19.下列拓扑空间的蕴涵关系中成立的有满足第二可数理空间⇒可分空间 度量空间⇒Lindel öff 空间 正规空间⇒完全正则空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个20.设),(T X 是拓扑空间,则对X 中任意两个不相交闭集B A ,存在连续映射]1,0[:→X f 使得}0{)(⊆A f ,}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是:(A )正则空间 (B )完全正则空间 (C )正规空间 (D )4T 空间 21.设X 是全集,,()A B X ∈P ,A B ⊆则当且仅当(A )∅='B A I (B )∅='B A I (C )A B A =Y (D )B B A =I 22.设Y X f →:是映射,,()A B y ∈P ,则下面结论不成立的是(A ))()()(111B f A f B A f ---=Y Y (B )111()()()f A B f A f B ---=I I (C ))()()(111B f A fB A f----=- (D )()B B f f =-)(123.在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中,子集+⨯Z }2{是(A )开集,非闭集 (B )闭集,非开集 (C )即开,且闭集 (D )即非开集,亦非闭集 24.定义度量R R R →⨯22:d ,),(21x x x =∀,221),(R ∈=y y y ,}{|||,|m ax ),(2211y x y x y x d --=,则度量空间(d ,2R )中的单位球是(A (B )(C (D )25.设)T ,(X 是离散拓扑空间,b a X b a ≠∈,,, 则在)T ,(X 中交错序列Λb a b a ,,,的收敛点集合是 (A )∅ (B) }{a (C) },{b a (D)X26.设},,,,{d c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X T ∅=,},,{c b a Y =,}{b A =,则在子空间Y 中A 的闭包等于(A )}{b (B )},{b a (C )},{c b (D )},,{c b a27.设}3,2,1{},,,{==Y c b a X ,}{,,{,},{},{,}X a b b b c =∅1T ,}{}2,1{},1{,,2Y ∅=T ,},{c b A =,}3,1{=B 则在积空间Y X ⨯中()o A B ⨯等于(A )∅ (B )}{)2,(),1,(b b (C )}{)1,(),1,(c b (D )}{(,1),(,2),(,1),(,2)b b c c28.拓扑空间的连通性、紧致性、可分性、完全正则性,Lindel öff 性,满足第二可数公理性中是可遗传性质的有(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 29.下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有:满足第二可数合理空间⇒可分空间, 度量空间⇒满足第一可数公理空间 完全正则空间⇒正则空间, 紧致空间⇒Lindel öff 空间 (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个}0{)(⊆A f ,}1{)(⊆B f 当且仅当),(T X 是:(A )正则空间 (B )完全正则空间 (C )正规空间 (D )4T 空间 31.设f Y X f ,⨯⊆是映射,则f 满足的条件是 (A )X Y f =-)(1;如果f y x y x ∈),(),,(21,则21y y =(B )X Y f=-)(1;如果f y x y x ∈),(),,(21,则21x x =(C )Y X f =)(;如果f y x y x ∈),(),,(21,则21y y = (D )Y X f =)(;如果f y x y x ∈),(),,(21,则21x x =32.设,,(),,(),R X Y A B Y C D X ⊆⨯∈∈P P 则下面等式成立的是 (A ))()()(111B R A R B A R---=Y Y (B ))()()(111B R A R B A R ---=I I(C ))()()(D R C R D C R I I = (D ))()()(D R C R D C R -=- 33.在字典序拓扑空间+⨯Z }2,1{中,子集+⨯Z }2{是(A )开集,非闭集 (B )闭集,非开集 (C )即开,且闭集 (D )即非开集,亦非闭集 34.设),(d X 是度量空间,d T 是X 的由d 诱导的拓扑,dU ∈T ,则下列关于U 的结论不正确的是(A )存在0,>∈εX x 使得),(εx B U =(B )+∈∃∈∀Z n U x ,使得U nx B ⊆)1,((C )0,>∃∈∀εU x 使得U x B ⊆),(ε(D )存在}0,|),({>∈⊆εεX x x B U B 使得U U =U B35.设},,,{c b a X =}{},{},{,,{b a a X ∅=T ,则在拓扑空间),(T X 中常值序列,,,a a a …的收敛点集合是 (A )}{a (B )},{c a (C )},{b a (D )X36.设},,,{c b a X =}},{},,,{},,,{,,{c b d c b c b a X ∅=T ,},,,{d c a Y =},{c a A =,则在子空间Y 中A 的内部是(A )∅ (B )}{a (C )}{c (D )},{c a37.设},,,{c b a X =},3,2,1{=Y }},{},{,,{b a a X ∅=1T ,}}3,2{},2{},2,1{,,{2Y ∅=T ,}1{},{==B b A ,则在积空间Y X ⨯中,B A ⨯等于(A ))}1,{(b (B ))}1,(),1,{(c b(C ))}2,(),1,{(b b (D ))}2,(),1,(),2,(),1,{(c c b b38.拓扑空间的可分性,Lindel öff 性,紧致性,正规性,连通性中是有限可积的性质有: (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 39.下列拓扑空间之间的蕴涵关系中成立的有正规空间⇒正则空间 完全正则空间⇒正则空间 局部连通空间⇒连通空间 满足第二可数公理空间⇒可分空间 度量空间⇒满足第一可数公理空间 度量空间⇒可分空间}1{)(,0)(⊆=A f x f 当且仅当),(T X 是(A )1T 空间 (B )正规空间 (C )完全正则空间 (D )4T 空间二.证明题1.设Y X ,是两个拓扑空间,Y X f →:是映射,证明若f 是连续映射,则)(Y B Ρ∈∀,11()(())o o fB f B --⊆。

《拓扑学》作业参考答案

《拓扑学》作业参考答案
R-拓扑T 以B 为基。 (2) a,b R, a b, (a, b) - k B ,
{(a,b) K | a,b R, a b}T ,而 (a,b) K | a,bR (a,b) | a,bR K
因此 R K T
=R k
11. 设A 是 Y 的任意一个开覆盖 (A T ),则A {Y '}是X 的一个开覆盖, 由 X 的紧致性知 {U1, ,Un} A {Y '}是X 的开覆盖, 从而{U1, ,Un} {Y '} A 是Y 的开覆盖,也是A 的有限子覆盖,故 Y 是紧致子集。
n
令U {U x1 , ,U x n }, V Vxi
i 1
则 A U, F V , U Y ,且U,V T
18. y A,则y x,由T2性知 U y , Vy T , U y Vy s, y.x U y, y Vy 又{Vy | y A}是A 的开覆盖,A 为紧改子集。
{Vy1 , ,Vyn } {Vy | y A}, s.t. {Vy1 , ,Vyn } A
VT1
(2)由T * 的定义知 ( X *,T *) 中的闭集为 P( X ) 中的有限集和任一含有 的集合。 对于任意 x X * ,及闭集 F, x F 。 ( a ) x , 则 F 必 为 P( X ) 中 有 限 集 , 因 此 X * F为T * 中 的 元 素 , F 亦 为 T * 中 元 素 , 故 X * F, F T * ( X * F ) F , x X * F, F F ( b ) x X ,则{x} 为 开 集 , 再 取 U {x}' X * {x}则U 亦 为 开 集 , 故 {x}, {x}' T , 使 得 x {x}, F X * {x}, {x} ( X * {x}) ,故 ( X *,T*) 是正则空间。

拓扑习题及答案

拓扑习题及答案

拓扑习题及答案拓扑学是数学中的一个分支,研究的是空间的性质和变形。

在拓扑学中,习题是帮助我们理解和掌握基本概念和定理的重要工具。

在本文中,我将为大家提供一些拓扑学的习题及其答案,希望能够帮助大家更好地理解这门学科。

1. 问题:什么是拓扑空间?答案:拓扑空间是一个集合,其中包含一些特定的子集,这些子集被称为开集,满足一些特定的性质。

拓扑空间中的开集可以用来描述集合中元素之间的相互关系。

2. 问题:什么是连通性?答案:在拓扑空间中,如果存在一条路径将空间中的任意两点连接起来,那么这个空间就是连通的。

换句话说,连通性描述了空间中不存在分离的部分。

3. 问题:什么是紧致性?答案:在拓扑空间中,如果空间中的任意开覆盖都可以找到有限个开集作为子覆盖,那么这个空间就是紧致的。

紧致性描述了空间中的元素有限性质。

4. 问题:什么是同胚?答案:在拓扑学中,如果两个拓扑空间之间存在一个双射函数,并且这个函数和其逆函数都是连续的,那么这两个空间就是同胚的。

同胚关系描述了两个空间之间的拓扑性质相同。

5. 问题:什么是拓扑不变量?答案:拓扑不变量是指在同胚变换下保持不变的性质。

例如,欧拉数是一个拓扑不变量,它描述了一个拓扑空间中的曲面的特征。

6. 问题:什么是连续映射?答案:在拓扑学中,如果一个函数将一个拓扑空间中的开集映射到另一个拓扑空间中的开集,那么这个函数就是连续的。

连续映射描述了空间中元素之间的连续性。

7. 问题:什么是同伦等价?答案:在拓扑学中,如果两个拓扑空间中的映射可以通过连续变形相互转化,那么这两个空间就是同伦等价的。

同伦等价关系描述了空间中的元素可以通过连续变形相互转化。

通过以上几个习题及其答案,我们可以初步了解拓扑学的基本概念和性质。

拓扑学作为一门抽象的数学学科,其应用范围非常广泛。

例如,在计算机科学中,拓扑学可以用来描述网络的结构和连接方式;在物理学中,拓扑学可以用来研究物质的性质和相变;在生物学中,拓扑学可以用来研究分子的结构和相互作用等等。

拓扑学导论,第三章答案

拓扑学导论,第三章答案

练习三参考解答1. 证明:空间的任意有限子集的导集是空集.1T 证明:设X 1{,,}n A x x = 是X 中有限子集. 如果'A φ≠,取. 则对于,有[\'x A ∈()U x ∀∈U {}]U x A φ≠∩. 取1[\{}]i x U x A ∈∩, 因为X 是空间,则1T 1{}i x 为闭集,故. 因此,1\{}()i U x x ∈U 1[\{,}]i U x x A φ≠∩. 又取2i x ∈1[\{,}]i U x x A ∩,则.因而, 12\{,}()i i U x x x ∈U 12[\{,,}]i i U x x x A φ≠∩.再取312[\{,,}]i i i x U x x x A ∈∩.假设1,n i i x x U ∈ 已经去出并且1{,,}n i i x x x 中点两两不同,则1\{,,}()n i i U x x x ∈ U ,因此,1[\{,,}]n i i U x x A φ≠ ∩. 又取11[\{,,}]n n i i i x U x x A +∈ ∩,则11{,,,}n n i i i x x x A +⊂ .这与A 中恰有个元矛盾.所以,n 'A φ=. □2. 设为空间, X 1T A X ⊂,则A 的导集必为闭集.证明: '∀∈,即\x X A 'x A ∉, 则开集()x U x ∈U 使(\{})x U A x φ=∩. 现在证:'x U A φ=∩.事实上,如果'x t U A ∃∈∩,即'x A ∉,则t x ≠,故.因此,\{}()x U x t ∈U [\{}](\{}](\{,})(\{})x x x U x A t U A x t U A x φ≠=⊂∩∩∩,这与(\{})x U A x ∩=φ矛盾. 所以, 'x U A φ=∩.于是, '∀∈有, 故\x X A '\x U X A ⊂\'\'x X A x X A ∈U =∪开于X ,即'A 是X 中闭集. □3. 拓扑空间为空间当且仅当X 1T ,x y X ∀∈,x y ≠,必存在网{}x δ使得x δ→x ,而0x y →/.证明:()⇐x X ∀∈,我们证\{}X x 是开集.如果\{}X x 不是开集,则\{}y X x ∃∈使得()U y ∀∈U 有\{}U X x ⊂.因为U ,故X ⊂x U ∈.从而, ()y ⊂U ()x U由已知,对于上述,x y X ∈,x y ≠,存在网{}S x δδ∈使得x δ→x ,而0x y →/. 但是,当x δ→x 时,对于()V y ∀∈U 有()V x ∈U ,因此V S δ∃∈使得V δδ∀ 有x V δ∈,则x δy →.这与0x y →/矛盾.所以, \{}X x 是开集.即,x X ∀∈,单点集{}x 是闭集.因此,X 是的.1T ()⇒设X 是空间,则对于1T ,x y X ∀∈,x y ≠,存在()y U y ∈U 使得x ∉y U . 对于,因为()U ∀∈U x \y x U U ∈,则\y U U φ≠.取\U y x U U ∈,则X 中网,(){}U U x x ∈U U x x →,但U x y →. □4. 设为拓扑空间, X (){|x G G =G 为x 的开邻域}, 则为空间当且仅当X 1T x X ∀∈, (){}x x =∩G .证明: 对于()⇒x X ∀∈,只需证明: (){}x x ⊂∩G .事实上, 对于()y x ∀∈∩G , 如果y x ≠, 则()()x y ⊂G G ; 另一方面, 由上面习题3, 存在网{}y δ使得并且y δ→y y δ→x . 这与()()x y ⊂G G 矛盾. 所以, 必然y x =. 即, (){}x x ⊂∩G .()⇐对于,x y X ∀∈,x y ≠, 因{}y x ∉=()x ∩G , 则()x G y ∃∈G 使得y ∉x G . 对于有, 即()G y ∀∈G y ∈\x G G \x G G φ≠, 取\G x y G G ∈, 则X 中网(){}G G y y ∈G 收敛于y . 又因为()G y ∀∈G , G y G x ∉, 则G y →x . 由习题3的充分性,X 是空间. □ 1T5. 设为拓扑空间, X (){|x F F =F 为x 的闭邻域}, 则为空间当且仅当X 2T x X ∀∈, (){}x x =∩F .证明: () 对于⇒y ∀∈()x ∩F ,如果y x ≠,由X 的性,2T ∃()x U x ∈U ,开集使得∃()y V y ∈U x y U V φ∩=. 从而, x y U V φ∩=并且()x U ,则x ∈F y ∈()x ∩F x U ⊂,这与x y U V φ∩=矛盾. 故()x ∩F {}x =()⇐,x y X ∀∈, x y ≠,因为{}y x ∉=()x ∩F ,故()F x ∃∈F 有. 取,,则y F ∉0U F =\V X F =()U x ∈U ,()V y ∈U 有0()U V F X F φ∩=∩−=.从而,X 为空间. □2T6. 设为拓扑空间, X ,x y X ∈, x y ≠. 若存在空间Y 以及连续映射2T f :使得X Y →()()f x f y ≠, 则也是空间.X 2T 证明: ,x y X ∀∈, x y ≠,由已知()()f x f y ≠,因为Y 是空间,故,2T (())U f ∃∈U x y (())V f ∃∈U 使得U V φ∩=. 从而11()f U ()f V φ−−∩=.由于连续,所以:f X Y →1()()fU x −∈U ,1()()f V −∈U y ,从而X 是空间. □2T7. 证明: 正则的空间是空间.0T 2T 证明: 设X 正则的空间. 0T ,x y X ∀∈, x y ≠, 由性,x 与中至少有一个点的邻域不包含另一个点. 不妨设有0T y ()U x ∈U ,y U ∉. 再由X 的正则性,使得()V x ∃∈U x V V U ∈⊂⊂. 令W X V =−,则()W y ∈U 并且()V W V X V φ∩=∩−=从而,X 是空间. □2T8. 设为一个集合, X a X ∈, 令T ={,为有限集或者, 试证明:,|c X G G φ}a G ∉(1) 为一个拓扑空间;(,)X T (2) 为拓扑空间;(,)X T 2T (3) 是否为(,)X T 1A 空间? 试分别对为有限集、可数集、不可数集三种情形进行讨论.X 解: (1) 因为,X φ∈T ,12,G G ∀∈T ,如果1a G G 2∉∩,则;如果,则与为有限集,故为有限集,从而.12G G ∩∈T 1a G G ∈∩2)c 1c G 2c G 1212(c cG G G G ∪=∩12G G ∩∈T 最后再证:{}G λλ∈Λ∀⊂T ,有.G λλ∈Λ∪∈T 事实上,若a G λλ∈Λ∉∪,则; 若G λλ∈Λ∪∈T a G λλ∈Λ∈∪,则0λ∃∈Λ使得0a G λ∈. 因0G λ为开集,则0c G λ为有限集. 又因0()c c G G cG λλλλ∈Λ∈Λ∪=∩⊂λ), 故为有限集,所以,.(cG λλ∈Λ∪G λλ∈Λ∪∈T 从而,T 为X 上一个拓扑.(2) 对于,x y X ∀∈, x y ≠,如果{,}a x y ∉,则∃{}()U x x =∈U ,使得U V =∃{}()V y y =∈U ∩φ;如果{,}a x y ∈,不妨设y a =,则x a ≠. 记并且{}U x =\{}V X x =,则()U x µ∈且()V y µ∈,有U V φ∩=. 故X 为空间.2T (3) 当X 为有限集时,X 为离散拓扑空间,且X 为空间,故2A X 为空间;1A 当X 为可数且无限时,x X ∀∈,当x a ≠时,(){{}}x x =U 为 的邻域基;当时,x x a =(){cx G G =U 为有限集并且}a G ∈为的可数邻域基. 从而,x X 为空间;1A 当X 为不可数集时,点没有可数邻域基. 事实上,若点有可数邻域基a a (){}n n a G ∈= G ,因X 为,再由上面习题4,有2T (){}n n a G ∈a == ∩∩G ,则\{}X a =\(\)cn n n n n nX G X G ∈∈∈== ∩∪∪G n . 因为,为有限集,所以n ∀∈ c nG \{}cn X a ∈= ∪G 至多可数,这与\{}X a 不可数矛盾. 从而点a 没有可数邻域基. X 不是空间. □1A9. 设为空间, X 3T ,x y X ∈并且x y ≠, 则必存在两个开邻域,使得()U x ∈U ()V y ∈U U V φ=∩.证明: ,x y X ∀∈, ,因为x y ≠X 为空间,则3T X 为空间. 所以,∃开邻域,开邻域使得2T *()U ∈U x *()V y ∈U **U V φ∩=. 又由X 的正则性,存在的开邻域U ,有x*x U U U ∈⊂⊂,存在y 的开邻域V ,有*V y V V ∈⊂⊂,从而U V φ∩=. □10. 设B 为的一个拓扑基, 则X x X ∀∈, B {|}x B x B =∈∈B 为点x 的一个开邻域基.证明: ,则并且开于()U x ∀∈U 0()U x ∈U 0U X . 因为B 为的一个拓扑基, 则,使得X *B ∃∈B *0x B U ∈⊂,即∃*B ∈Bx,有*x B U ∈⊂. 所以,为的邻域基. □x B x11. 证明: 2A 空间必为可分空间.证明: 因X 为空间,不妨设2A B {}n n B ∈= 为X 的可数邻域基,,取n ∀∈ n n B α∈,并记{n A n α=∈ }. 现在证: A X =.事实上,x X ∀∈,()U x ∀∈U ,因为B {}n n B ∈= 为X 的可数邻域基,所以使得n ∃∈ n x B U ∈⊂. 因为n n B A U A α∈∩⊂∩,即U A φ∩≠. 因此,x A ∈. 从而, A X =,X 为可分空间. □12. 设为不可数的空间, 为空间, X 2A Y 2T :f X Y →为连续映射. 试证明:存在的一个可数子集X A , 对于任意连续映射:g X Y →,如果在A 上()g x =()f x , 则在上X ()g x =()f x .证明: 设B {}n n B ∈= 为X 的可数邻域基. n ∀∈ ,取n n B α∈,记{n A n α=∈ },由习题11的证明后半部分知:A X =. 如果有连续映射使得:g X Y →A Ag f=,现在来证:x X ∀∈, 有()()g x f x =.事实上,如果0x X ∃∈使得,由Y 的性,00()()g x f x ≠2T 0(())U f x ∃∈U ,使得U V 0(())V g x ∃∈U φ∩=. 因为10()()f U x U −∈,,故10()()g V x −∈U 110()()()f U g V x −−∈∩U .因为A X =,则11()()A fU g V φ−−≠∩∩. 取n α∈11()()A f U g V −−∩∩,则()n f U α∈并且()n g V α∈. 又因为AA g f =, 则()()n n f g U V αα=∈∩,这与U V φ∩=矛盾.从而,, 有x X ∀∈()()g x f x =. □13. 证明:,,,与都具有继承性. 1T 2T 3T 1A 2A 证明: 设X 是一个拓扑空间, A X ⊂.(1) 如果X 是空间, 则子空间1T A 也是一个空间.1T 事实上, 对于x A ∀∈, 因为A X ⊂并且X 是空间, 则单点集{1T }x 是X 的闭子集. 因此, {}{}x x A =∩是A 中闭子集. 由定理3.1.3, A 是空间.1T (2) 如果X 是空间, 则子空间2T A 也是空间.2T事实上, 对于,x y A ∀∈, x y ≠, 因为X 是空间, 因此,使得2T *()U x ∃∈U *()V y ∃∈U **U V φ=∩. 记并且, 则U *U U A =∩*V V A =∩∈()A x U 并且()A V y ∈U 使得U V φ=∩. 于是, X 是空间.2T (3) 如果X 是正则的, 则A 是正则空间.事实上, 对于x A ∀∈, F ∀闭于A 并且x F ∉, 则存在是*F X 的闭子集使得. 因为*F F A =∩x A ∈, x F ∉, 则*x F ∉. 由X 的正则性,,使得*()U x ∃∈U **()V F ∃∈U **U V φ=∩. 记并且, 则U *U U A =∩*V V A =∩∈()A x U 并且()A V F ∈U 使得U V φ=∩. 于是, X 是正则空间.(4) 如果X 是空间, 则1A A 是空间.1A 事实上, 对于x A ∀∈, 因为X 是空间, 则点有可数邻域基{(. 从而, 1A x )}n n B x ∈ {()}n n B x A ∈ ∩是点在x A 中的可数邻域基. 从而, A 是空间.1A (5) 如果X 是空间, 则2A A 是空间.2A 事实上, 因为X 是空间, 则2A X 有一个可数基{}n n B ∈= B . 从而,|{}A n n B A ∈= ∩B 是A 的可数拓扑. 于是, A 是空间. □2A14. 证明:正规空间为完全正则空间当且仅当它是正则空间.证明 (⇒)设X 为正规的完全正则空间,0x X ∀∈,对于任意的闭于F X 并且0x F ∉,存在连续映射,其中:[0,f X →1]00()1x x f x x F=⎧=⎨∈⎩.因为1[0,)2和11]2(,都是[0中开集并且1],0()f x =0, , 所以, (){1}f F =1101(0)([0,2x f f −−∈⊂,111(1)((,1])2F f f −−∈⊂. 又因为连续, 所以:[0,f X →1]1([0,))2U =∈0()x U , 11((,1])2V f −=∈0()x U 并且U V φ∩=. 从而, X 是正则空间.() 设⇐X 为正规的正则空间, 0x X ∀∈,F ∀闭于X 并且0x F ∉, 由正则性,,0()U x ∃∈U ()V F ∃∈U 使得U V φ∩=. 又对于0()U x ∈U ,W ∃∈0()x U 使得W W U ⊂⊂. 因此, W V ∩=U V φ∩=,即W 与V 是X 中两个不相交闭集. 由Uryson 引理,存在连续映射使得:[0,f X →1]0()1x W f x x V⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩从而, 00()1x x f x x F=⎧=⎨∈⎩, 故X 是完全正则空间.。

拓扑试题及答案

拓扑试题及答案

拓扑试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 拓扑空间中,任意两个开集的并集还是开集,这是拓扑空间的哪个公理?A. 任意并集公理B. 有限并集公理C. 有限交公理D. 任意交公理答案:A2. 连续映射的定义是?A. 映射的逆映射是连续的B. 映射的原像与像的连续性一致C. 映射的像与原像的连续性一致D. 映射的原像与像的连续性不一致答案:B3. 在拓扑学中,一个空间的基是什么?A. 空间中所有开集的集合B. 空间中所有闭集的集合C. 空间中所有单点集的集合D. 空间中所有有限集的集合答案:A4. 拓扑空间中,一个集合的闭包是指什么?A. 集合本身B. 集合的内部C. 包含集合的所有极限点D. 集合的外部答案:C5. 什么是紧致性?A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间中任意开覆盖都有无限子覆盖D. 空间中任意闭覆盖都有无限子覆盖答案:B二、填空题(每题2分,共10分)1. 如果拓扑空间X的任意开覆盖都有一个有限子覆盖,则称X是________。

答案:紧致的2. 拓扑空间中,如果一个映射是连续的,那么它的逆映射也是________。

答案:连续的3. 在拓扑空间X中,如果存在一个开集U包含点x,使得x是U的极限点,则称x是X的________。

答案:累积点4. 拓扑空间X的基B,如果X中任意开集都可以表示为B中开集的并集,则称B是X的一个________。

答案:基5. 如果拓扑空间X的任意子集的闭包都是闭集,则称X是________。

答案:T1空间三、简答题(每题5分,共20分)1. 请简述什么是拓扑空间?答案:拓扑空间是一个集合X,配合一个定义在其上的拓扑结构,这个结构由X的子集构成,满足任意并集公理、有限交公理和空集与全集为开集的条件。

2. 什么是连续映射?答案:连续映射是指在拓扑空间X和Y之间定义的映射f,对于Y中的任意开集V,其原像f^(-1)(V)在X中也是开集。

拓扑学基础答案

拓扑学基础答案

拓扑学基础(数学教育本科)试卷参考答案一、单项选择题1、C2、A3、B4、A5、A6、C7、D 8、A 9、B 10、D二、填空题11、满射 12、同胚 13、A 的补集A '是一个开集 14 、Y B 15、可分 16、一 17、x 和y 连通18、X ,)(x f 19、Y 中每一个开集U 的原象)(1U f -是X 中的一个开集三、名词解释题1、如果存在一个从集合X 到正整数集Z +的单射,则称集合X 是一个可数集。

2、设X 是一个集合,T 是X 的一个子集族,如果T 满足如下条件:(1)∈φ,X T ,(2)若A ,∈B T ,则∈B A T ,(3)若T ⊂1T ,则1A ∈∈ T T ,则称T 是X 的一个拓扑。

偶对(X ,T )是一个拓扑空间。

3、设X 和Y 是两个拓扑空间,如果f:X →Y 是一个一一映射,并且f 和f -1:Y →X 都是连续的,则称f 是一个同胚映射。

4、设X 是一个拓扑空间,如果对于任何x 、y ,存在X 中的一条从x 到y 的道路(或曲线),则称X 是一个道路连通空间。

5、一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个A 1空间。

6、一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个A 2空间。

7、设X 是一个拓扑空间,如果X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称拓扑空间X 是一个Lindel öff 空间。

8、设X 是一个拓扑空间,如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各有一个开邻域,它们互不相交,则称拓朴空间X 是一个正则空间。

9、设X 是一个拓扑空间,如果X 的每一个开覆盖有一个有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个紧致空间。

10、设X 是一个拓扑空间,如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间。

四、判断题1、√2、√3、×4、×5、√6、×7、√ 8、× 9、√ 10、× 11、√ 12、×五、解答与证明题1、解:(1)1T 不是X 的拓扑,这是因为∈},{b a 1T ,∈},{d b 1T ,但∈/=}{},{},{b d b b a 1T(2)2T 是X 的拓扑,满足拓扑的定义2、证∵()()()()A B A B d A B A B d A d B ==B A B d B A d A ==))(())((3、证:∵B B A A B A ⊂⊂ ,,故A B A ⊂ ,B B A ⊂∴B A B A ⊂5、设Y 是紧致空间X 中的一个闭子集,如果A 是Y 的一个覆盖,它由X 中的开集构成,则B =A {Y '}是X 的一个开覆盖,设1B 是2B 的一个有限子族并且覆盖X ,则1B }{Y '-便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ,这说明Y 是X 的一个紧致子集。

拓扑期末试题及答案

拓扑期末试题及答案

拓扑期末试题及答案一、选择题1. 下面哪个选项不是拓扑的基本概念?A. 连通性B. 邻域C. 紧致性D. 可分性答案:B. 邻域2. 拓扑空间的定义中包括以下哪些要素?A. 集合B. 拓扑C. 运算D. 距离答案:A. 集合,B. 拓扑3. 以下哪个定理用于判断一个集合是否为紧致集?A. Heine-Borel定理B. Bolzano-Weierstrass定理C. 单调有界定理D. Cantor定理答案:A. Heine-Borel定理4. 一个空间若每个点都有至少一个可数邻域,则称该空间满足:A. 可分性B. 连通性C. 紧致性D. 完备性答案:A. 可分性5. 以下哪个不是拓扑空间上的基本拓扑?A. 离散拓扑B. 序拓扑C. 紧致拓扑D. Hausdorff拓扑答案:C. 紧致拓扑二、填空题1. 在连通空间中,_________只有一个子集,即空集和整个集合本身。

答案:极大连通子集2. 设X是一个度量空间,如果序列{an}在X中收敛到点x,则它的任意一个子列也在X中收敛到点x,这个定理称为_________定理。

答案:Bolzano-Weierstrass定理3. 设X、Y是两个度量空间,f:X→Y是一个映射,若对X中任意一致收敛的序列{an}都有序列{f(an)}一致收敛于f(a),则称f是一个_________映射。

答案:连续映射4. 在一个度量空间中,若集合E能被包含在一列开集内,即E⊆∪(n=1)∞O(n),则E称为_________集。

答案:可分集5. 在度量空间中,_________是指个别的点被聚集成簇,而某个区域内不能含有过多的点。

答案:Hausdorff性三、计算题1. 已知拓扑空间X为实数集R上的子集,其基本拓扑为以区间(a,b)为开集的集合族T,计算X中元素x=1的极限点。

解答:首先,极限点是指一个点周围存在无穷多的序列点。

对于x=1来说,我们可以构造一个序列{a_n},其中a_n = 1+1/n。

考研拓扑学试题及答案

考研拓扑学试题及答案

考研拓扑学试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 在拓扑学中,一个集合的子集被称为开集,如果它是全空间的开集。

以下哪个选项不是开集的特征?A. 包含空集B. 任意两个开集的交集是开集C. 任意有限个开集的并集是开集D. 任意无限个开集的并集不是开集2. 拓扑空间中的一个基本性质是连续性。

以下哪个选项不是连续函数的特征?A. 函数的逆像是开集B. 函数的值域是开集C. 函数的图像是连续的曲线D. 函数在其定义域内连续3. 以下哪个命题是正确的?A. 有限个连通空间的不交并仍然是连通的B. 任意个连通空间的不交并是连通的C. 任意个连通空间的并集是连通的D. 有限个连通空间的并集是连通的4. 在拓扑空间中,一个点的闭包是指包含该点的最小闭集。

以下哪个说法是错误的?A. 闭包是闭集B. 闭包包含该点的所有邻域C. 闭包是唯一的D. 闭包可能是开集5. 以下哪个选项不是紧空间的特征?A. 任意开覆盖都有有限子覆盖B. 任意序列都有收敛的子序列C. 任意闭区间是紧的D. 任意闭集在空间中是紧的6. 拓扑空间中的分离公理是描述空间中点和子集之间关系的一种性质。

以下哪个选项是错误的?A. T0空间中,每个点由其闭包唯一确定B. T1空间中,每个点由其开核唯一确定C. T2空间中,任意两个不同点都由不相交的开集分离D. T3空间中,任意闭集和任意开集都由不相交的开集分离7. 以下哪个命题是错误的?A. 任意两个拓扑空间的乘积空间是豪斯多夫空间B. 任意两个豪斯多夫空间的乘积空间是豪斯多夫空间C. 任意两个紧致空间的乘积空间是紧致的D. 任意两个可数紧空间的乘积空间是可数紧的8. 以下哪个选项不是局部紧空间的特征?A. 每个点都有一个紧致的邻域B. 空间本身是紧致的C. 每个点都有一个开集邻域,其闭包是紧致的D. 每个点都有一个紧致子集作为其邻域9. 以下哪个命题是正确的?A. 任意两个拓扑空间的和空间是豪斯多夫空间B. 任意两个豪斯多夫空间的和空间是豪斯多夫空间C. 任意两个紧致空间的和空间是紧致的D. 任意两个可数紧空间的和空间是可数紧的10. 在拓扑空间中,一个点的导集是指所有包含该点的序列的极限点的集合。

代数拓扑习题答案

代数拓扑习题答案

代数拓扑习题答案代数拓扑习题答案在代数拓扑学中,习题是学习和理解概念和定理的重要途径。

通过解答习题,我们可以加深对代数拓扑学原理的理解,并且提高解决问题的能力。

在本篇文章中,我将为你提供一些代数拓扑学习题的答案,希望能对你的学习有所帮助。

1. 证明:任意两个同伦的空间具有相同的同伦群。

解答:设X和Y是两个同伦的空间,即存在连续映射f: X -> Y和g: Y -> X,使得f∘g和g∘f分别同伦于恒等映射id_X和id_Y。

我们需要证明X和Y的同伦群是同构的。

首先,我们定义一个映射h: [0, 1] × X -> Y,其中h(t, x) = f(g(x, t)),其中g(x, t)是X到X的一个路径,t∈[0, 1]。

显然,h是一个连续映射,并且满足h(0, x) =f(g(x, 0)) = f(x)和h(1, x) = f(g(x, 1)) = f(g(x))。

接下来,我们定义一个映射k: [0, 1] × Y -> X,其中k(t, y) = g(f(y, t)),其中f(y, t)是Y到Y的一个路径,t∈[0, 1]。

同样地,k是一个连续映射,并且满足k(0, y) = g(f(y, 0)) = g(y)和k(1, y) = g(f(y, 1)) = g(f(y))。

现在我们来证明h和k分别是X和Y的同伦。

对于任意的x∈X,我们有h(0, x) = f(g(x, 0)) = f(x)和h(1, x) = f(g(x, 1)) = f(g(x))。

由于f∘g同伦于id_X,所以h同伦于id_X。

同样地,对于任意的y∈Y,我们有k(0, y) = g(f(y, 0)) = g(y)和k(1, y) = g(f(y, 1)) = g(f(y))。

由于g∘f同伦于id_Y,所以k同伦于id_Y。

综上所述,我们可以得出结论:X和Y的同伦群是同构的。

2. 证明:一个连续映射f: X -> Y是一个同伦等价当且仅当它诱导了同构的同伦群同态。

拓扑学导论 答案 朱培勇

拓扑学导论 答案 朱培勇

第四章习题参考解答1. 设B 为拓扑空间在的一个拓扑基, 则(,)X T X 为紧空间当且仅当由B 中开集组成的任意开覆盖存在有限子覆盖.证明 (⇒)是显然的,我们只需证().⇐设ϕ是生成拓扑基B 的拓扑子基,由于B 中元构成的开覆盖存在有限子覆盖,而ϕ⊂B ,所以ϕ中元构成的每一个开覆盖存在有限子覆盖,由Alexander 子基定理,X 为紧空间.2. 证明: 拓扑空间中有限个紧子集的并集也是紧集. 举例说明无限个紧子集的并集未必是紧的.证明 设是拓扑空间1,,k A A X 中有限个紧集,令1k i i A A ==∪. 若U 是A 的一开覆盖,则i ∀(1i k ≤≤), . 由的紧性,存在i A A ⊂⊂∪U i A 1{,,i i i }s is U U ⊂U ,有1i i s i j A U =⊂∪(其中), 则i s ∈ 111i s k k i i i j ij A A U ====∪⊂∪∪. 即{1,1,2,,ij i U j s i ≤≤= }k 是U 的有限子覆盖. 从而,A 是X 中紧集.举例:{[,]}n n n −∈ 是实直线中无限个紧集,,但不是紧的. 事实上有一个开覆盖1[,n n n ∞==∪− ] {(,)}n n n −∈ 没有有限子覆盖,所以不紧.3. 证明: (1) 有限余拓扑空间是紧空间; (2)在离散空间中, 子集A 为紧集当且仅当A 为有限集合.证明 (1) 设X 为有限余拓扑空间,其拓扑T {U X X U =⊂\为有限集},设U {}U λλ=∈Λ为X 的任意开覆盖,任取0λ∈Λ,0U λφ≠. 因为0U λ是X中开集,所以0\X U λ为有限集. 不妨设0\X U λ12{,,,}k x x x = ,i ∀(1),i k ≤≤i λ∃∈Λ使得i i x U λ∈,故00010(\)()i i k k i i X X U U U U U λλλλ===∪⊂∪∪=∪λ从而,X 为紧空间. (2) 设X 为离散空间() 设⇐12{,,,}k A x x x = 为X 中有限集,U 为A 的任意开覆盖,即A ⊂∪U . (1), i ∀i n ≤≤i U ∃∈U ,有i i x U ∈,故0i n i A U λ=⊂∪,从而为的有限子族构成的1{}i i n U ≤≤U X 的覆盖,从而A 紧.(⇒) 设A 为X 的紧子集,x A ∀∈,{}x 为X 中开集,因为,由{}x A A x ∈⊂∪A 的紧性,存在{{}}x x A ∈中有限子族1{{},,{}}n x x 使得1{}n i i A x =⊂∪=1{,,}n x x . 从而,A 为X 的有限子集.4. 设为无限集, X ,x y X ∈且x y ≠, 令={,T ,|X U U φ\{,}}X x y ⊂, 则 (1) (,是拓扑空间; (2) )X T \{}A X x =与\{}B X y =均为X 紧子集; (3)A B ∩不是紧子集.证明 (1) 因为φ∈T , X ∈T , 故公理真; 对于1()O 1A ∀2\{,}A X x y ⊂, 因为12A A ⊂∩\{,}X x y , 即, 则 也真; 下面验证 真.12A A ∈∩T 2()O 3()O 设{},如果U λλ∈Λ⊂T λ∃∈Λ使得U X λ=,则U X λλ∈Λ=∈∪T ;如果λ∀∈Λ,U X λ≠,则. 从而, \{,}U X x y λ⊂\{,}U X x y λλ∈Λ=∪. 因此, ,故T 为U λλ∈Λ∈∪T X 上的一个拓扑.(2) 设U 是\{}A X x =的任意开覆盖,则\{}y X x ∈⊂∪U ,有,故y U ∃∈U y y U ∈y U X =. 所以{}{}y U X =是U 关于A 的子覆盖,从而A 紧.同理,\{}B X y =也是X 的紧子集.(3) 因为(\{})(\{})\{,}A B X x X y X x y ==∩∩是离散拓扑空间,如果紧,则A B ∩\{,}X x y 为有限集,这与X 为无限集矛盾.5. 设是紧空间, , 为闭集, 则X 2T F X ⊂F {|F U U =∩是的紧邻域}. F 证明 设为的所有紧邻域的族,我们证明:V ()F F ∩V ()F F =.是显然的,因此只需证: F ⊂∩V ()F ∩V ()F F ⊂.0x ∀∈V ()F ,如果0\x X F ∈,则,由于0\{}F X x X ⊂⊂开X 为紧的,所以2T X 正规,故存在W 使得X ⊂开0\{}F W W X x ⊂⊂⊂. 故W 为的紧邻域,F W ⊂V ()F ,从而0x ∈V ()F W ⊂,这与0x W ∉矛盾,故必有0x F ∈,所以∩V ()F F ⊂.6. 设为X 1A 列紧空间, 为拓扑空间, Y :f X Y →为连续映射, 则()f X 在中也是列紧集.Y 证明 设{}n n y ∈ 为中的任意一序列,()f X n ∀∈ ,取n x X ∈使得()n n f x y =. 因为{}n n x ∈ 是列紧空间X 中点列,故有一收敛子列{},不妨设k n k x ∈ k n x x X →∈,记()y f x =,现在来证:()k n f x ()k kn y y f =⎯⎯→=x y 事实上,()W µ∀∈,由的连续性,:f X Y →1()()x fW x µ−∈∈, 所以,有0k ∃∈ 0k k ∀≥1()k n x f W −∈,故()k k n n y f x W =∈,从而,即为列紧的.k kn y y ⎯⎯→()f X7. 设为不可数集合, 则可数余拓扑空间(,是Lindeloff 空间, 但不是X )X T 1A 空间.证明 设(,X J )为可列余拓扑空间,即J {U X X U =⊂\为至多可列集}{}φ∪,对于X 的任一开覆盖U ,任取0U ∈U ,0U φ≠,则0\X U 至多可列.不妨设012\{,,,,}n X U x x x = ,则,至多可列n ∀∈ n U ∃∈U 使得n n x U ∈,则{}n n U ω∈为U 的可数子族,满足00(\)n n X X U U U ω∈=∪⊂∪从而,X 为Lindelof 空间,下证X 不是空间.1A 如果X 是空间.,即,点有单调递减的可数开邻域基{}. 因为1A x X ∀∈x n n V ∈ \(n n n n \)X V X ∈∈∩=∪ V 至多可数,所以n n V X ∈∩⊂ 开,即n V ∈n ∩ 为点的开邻域. 从而,x 0n ∃∈ 使得,即00n n n V V ∈⊂∩⊂ n V 0n n n V V ∈∩= . 取,则0\{}n y V x ∈\{}X y 为的开邻域,所以x 1n ∃∈ 有1\{}n x V X y ∈⊂,所以,这与1n y V ∉01n n y V V ∈n ∈=∩⊂ 矛盾.从而,X 不是空间. 1A8. Lindelof 空间的连续像仍是Lindelof 空间.证明 设X 是Lindelof 空间,为连续映射,Y 为一拓扑空间. 设U 为的任一开覆盖,则:f X Y →()f X 1{()fU U −∈U }为X 的开覆盖,由X 的Lindelof 性,使得{}i i U ∈∃⊂U 1()i X f U −∈=∪ ,1()[()]i i i i f X f f U U −∈=∪=∪ ()f X ∈ ,则是Lindelof 空间.9. 设f 为从紧空间到空间的连续映射, 证明: 2T f 是闭映射. 即闭集映射成闭集的映射.证明 设X 是紧空间,Y 是空间,为连续映射,对于2T :f X Y →F X ∀⊂闭,为F X 的紧子集,所以为Y 的紧子集. 又因为空间中的紧子集是闭的,所以()f F 2T ()f F Y ⊂闭,从而为闭映射.:f X Y →10. 若拓扑空间的任意无穷子集至少有一个聚点, 则称为子集紧的. 试证明: 可数紧空间是子集紧的.X X 证明 设X 为可数紧空间,A 为X 的任意无穷子集. 取{}为n n x ∈ A 中任意两项都不相等的一个点列. 由定理4.2.2中(i )和(iii )的等价性,{}有一个聚点n n x ∈ *x . 因此,存在{}n n x ∈ 的一个子例*k n x x →(k →∞), 则 对于U ∀∈*()x U ,使得0k ∃∈ 0k k ∀≥有k n x U ∈. 因为**0(\{}){|}\{}k n U x A x k k x φ⊃≥≠∩,则*(\{})U x A φ≠∩. 从而,0x 为A 的聚点,即X 是子集紧的.11. 对于空间, 子集紧空间也是可数紧的.1T 证明 设X 为子集紧空间,如果1T X 不是可数紧的,则由定理4.2.1,存在一个递降非空闭集列12n F F F ⊃⊃⊃⊃ 使得1n n F φ∞==∩.对于,取n ∀∈ n n x F ∈,并即,则12{,,,,}n A x x x = A 为无穷集合. 事实上,若A 为有限集,则必有一个元在A 中出现无限次. 即{}n x 有一个子列{}k n x 使得,k ∀∈ *k n x x X =∈. 从而, n ∀∈ ,k ∃∈ 有. 故k n n ≥*k n x x =∈k n F F ∈⊂n n ,故*1n x F ∞=∈∩. 这与1n n F φ∞==∩矛盾. 所以,A 为无穷集合.现在来证:A 没有聚点. 这就与X 为子集紧矛盾.事实上,x X ∀∈,因为1n n F φ∞==∩,所以i ∃∈ 使得i x F ∉,则121(\)\[{,,,}\{}]i i U X F x x x x −=为点的开邻域并且. 这是因为,对于x {}U A x ⊂∩n ∀∈ ,若n x x ≠,则当121{,,,}n i x x x x −∈ 时,n x U ∉;当121{,,,}n i x x x x −∉ 时,则n . 因此,i ≥n n i x F F ∈⊂,故121(\)\[{,,,}\{}]n i i x U X F x x x x −∉=从而,, 即[\{}U A x ∩⊂{}]U x A φ∩=. 故A 没有聚点.12. 证明: 可数紧空间的闭子集仍是可数紧的.证明 设X 为可数紧空间,A 为X 的任意一闭子空间,{}i i U ∈ 为A 的可数开覆盖.i ∀∈ ,i V X ∃⊂开使得,则i i U A V =∩{}i V i ∈ 为X 的可数开集族,V {\}X A =∪{}i V i ∈ 为X 的一可数开覆盖. 由X 的可数紧性,存在有限子族,使得1{,,,\}k i i V V X A ⊂ V 1()kj ij X V ==∪∪(\)X A ,故11()()k k k j ij j ij j i 1j A A V A V ====∩∪=∪∩=∪U从而,A 是可数紧空间.13. 证明: 可数紧空间的连续像是可数紧的.证明 设X ,Y 是两个拓扑空间,连续,:f X Y →X 可数紧. 又设是的一个开覆盖,即,故1{}n n V ∞=Y 1n Y V ∞=⊂∪n 11()n n X fV ∞−=⊂∪,由的连续性,{(:f X Y →11)}n n f V −∞=为X 的开覆盖,再由X 的可数紧性,111{(),,()}k n n f V f V −−∃ 11{()}n n f V −∞=⊂使得,故 11()i k i X fV −=⊂∪n ()Y f X =⊂1111[()]()i i k k i n i n i 1i k n f f V f f V V −−===⊂∪∪ =∪从而,Y 可数紧.14. 举例说明度量空间的连续像可以不是局部紧的.解:设(,是一个非局部紧的拓扑空间,现在以)X T X 为底集合在X 上赋予离散度量ρ, 即:X X ρ+×→ 合于1,(,)0,x yx y x yρ≠⎧=⎨=⎩则(,)X ρ是一个度量空间,恒等映射:(,)(,)id X X ρ→T 是一个连续映射,度量空间(,)X ρ在id 下的连续像(,不是局部紧的. )X T15. 证明: 拓扑空间与某个紧空间Y 的一个闭子空间同胚当且仅当是一个紧空间.X X 证明:(设与某个紧空间Y 的一个闭子空间)⇒X Z 同胚,即存在同胚映射:f X Z →. 对于X 的任意开覆盖U ,V ={()|}f U U ∈U 是Z 的开覆盖. 因为Z 为紧空间Y 的闭子集,由定理4.1.6,Z 是紧子空间. 因此,存在有限集合族使得1{,,}n U U ⊂U 1()n i i Z f U ==∪i ,则1111()()n n i i i X f Z f f U U −−=====∪∪故X 是紧空间.()⇐ 设X 是紧空间,则存在紧空间Y X =的一个闭子空间Z X =使得恒等映射是一个同胚映射. 于是,结论得证.:X id X Z →。

拓扑空间复习题及答案

拓扑空间复习题及答案

拓扑空间复习题及答案# 拓扑空间复习题及答案一、选择题1. 以下哪个不是拓扑空间的公理?A. 并集公理B. 交集公理C. 子集公理D. 空集公理答案:C2. 一个集合和它的幂集构成的拓扑空间是:A. 离散拓扑B. 幂集拓扑C. 可数拓扑D. 欧几里得拓扑答案:A3. 在拓扑空间中,以下哪个概念与开集密切相关?A. 闭集B. 邻域C. 极限点D. 边界点答案:B二、填空题1. 一个集合 \( X \) 上的拓扑 \( \tau \) 必须满足三个条件:\( \emptyset \) 和 \( X \) 属于 \( \tau \),任意个开集的并集仍属于 \( \tau \),以及任意有限个开集的\( \)________。

答案:交集2. 在拓扑空间 \( (X, \tau) \) 中,如果 \( A \subseteq X \) 且\( A \) 的任意点都有一个开集 \( U \) 使得 \( U \cap A = A \),则称 \( A \) 是 \( X \) 中的________。

答案:闭集三、简答题1. 解释什么是连续映射,并给出一个例子。

答案:连续映射是指在拓扑空间 \( (X, \tau_X) \) 和 \( (Y,\tau_Y) \) 之间,如果映射 \( f: X \rightarrow Y \) 满足:对于任意 \( Y \) 中的开集 \( V \),其逆像 \( f^{-1}(V) \) 是 \( X \) 中的开集,则 \( f \) 是连续的。

例如,考虑实数集\( \mathbb{R} \) 上的欧几里得拓扑,映射 \( f(x) = x^2 \) 是连续的,因为对于任意开区间 \( V \),其逆像 \( f^{-1}(V) \) 总是\( \mathbb{R} \) 中的开区间。

2. 什么是紧性?请给出一个紧空间的例子。

答案:紧性是拓扑空间的一个性质,指的是空间中的任意开覆盖都存在有限的子覆盖。

拓扑答案

拓扑答案

– 任取 U ⊆ τ,则
(
)
∪ (A ∪U) = A ∪
∪ U
∈ τ′.
U ∈U
U ∈U
练习 5 (4.). • 证明 X 上任意一族拓扑之交仍是 X 上的拓扑. 证明
• 设 {τλ |λ ∈ Λ} 是 X 的一族拓扑,τ = ∩ τλ .
λ ∈Λ
1. 显然 0/ , X ∈ τ;
(a) 任取 U1,U2 ∈ τ,则对任意的 λ ∈ Λ 有 U1,U2 ∈ τλ .由于 τλ 是拓扑,有 U1 ∩U2 ∈ τλ ,
· 这个 U = U ∩ A 也是 x 在 A 中的开邻域,因此 x ∈ B◦A.
练习 13 (13.). a.
证明
• 余可数拓扑空间 X 的序列 {xn} 收敛于 a 的充分必要条件是该序列的尾部是
• 如果 {xn} 的尾部是 a,则 {xn} 显然收敛于 a;
– 如果 xn 收敛于 a,取 a 邻域 U = (X\{xn|n ∈ N}) ∪ {a},则当 n 充分大时,xn 在 U 内, 即存在 N ∈ N,使得当 n > N 时,有 xn ∈ U,从而 xn = a.
练习 12 (12.). • 设 Y 为拓扑空间 X 的子空间,B ⊆ A.证明:
(1) ClA(B) = ClX((B) ∩)A,这里,ClA(B) 表示 B 在 A 中的闭包. (2) B◦A = A\ A\B ,这里 B◦A 表示 B 在 A 中的内部.; (3) 如果 A 是 X 的开集,则 B◦A = B◦,
练习 16 (16.). • 证明:如果 A 是 B 的稠密子集,B 是 X 的稠密子集,则 A 是 X 的稠密子集. 证明
• 由于 A 在 B 中稠密,所以 A− ∩ B = A−B = B,于是 B ⊆ A−. – 两边取闭包得 B− ⊆ A−− = A−. – 另一方面,B 在 X 中稠密,所以 B− = X. – 于是有 X = B− ⊆ A− ⊆ X,因此 A− = X.

网络拓扑学习题和答案

网络拓扑学习题和答案

网络拓扑学习题和答案网络拓扑学习题和答案网络拓扑是计算机网络中的一个重要概念,它描述了网络中各个节点之间的连接关系。

通过学习网络拓扑,我们可以更好地理解网络的结构和运行原理。

下面,我将为大家提供一些网络拓扑学习题和答案,希望能对大家的学习有所帮助。

题目一:请简要描述星型拓扑的特点和应用场景。

星型拓扑是一种常见的网络连接方式,其特点是以一个中心节点为核心,其他所有节点都与中心节点直接相连。

这种拓扑结构的优点是易于管理和维护,故障节点不会影响其他节点的正常运行。

星型拓扑适用于小型网络,如家庭网络、小型办公室网络等。

题目二:请简要描述总线型拓扑的特点和应用场景。

总线型拓扑是一种线性连接的拓扑结构,所有节点都连接在同一条传输线上。

这种拓扑结构的特点是简单、易于扩展和成本低廉。

然而,总线型拓扑也存在缺点,即当传输线出现故障时,整个网络都会受到影响。

总线型拓扑适用于小型局域网,如小型企业内部网络。

题目三:请简要描述环型拓扑的特点和应用场景。

环型拓扑是一种节点按环形连接的拓扑结构,每个节点都与相邻节点直接相连。

环型拓扑的优点是具有高可靠性,即使某个节点出现故障,数据传输仍可继续进行。

环型拓扑适用于对可靠性要求较高的网络,如金融机构的内部网络。

题目四:请简要描述树型拓扑的特点和应用场景。

树型拓扑是一种层次结构的拓扑结构,由一个根节点和多个子节点组成。

树型拓扑的特点是易于扩展和管理,且具有较高的可靠性。

树型拓扑适用于大型局域网,如大型企业内部网络。

题目五:请简要描述网状拓扑的特点和应用场景。

网状拓扑是一种所有节点都直接相连的拓扑结构,每个节点都与其他节点之间都有直接连接。

网状拓扑的优点是具有高可靠性和冗余性,即使某个节点出现故障,数据传输仍可通过其他路径进行。

网状拓扑适用于对可靠性和冗余性要求较高的网络,如互联网。

答案一:星型拓扑的特点是易于管理和维护,故障节点不会影响其他节点的正常运行。

它适用于小型网络,如家庭网络、小型办公室网络等。

拓扑期末考试题及答案

拓扑期末考试题及答案

拓扑期末考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 拓扑空间中的开集具有以下哪些性质?A. 空集和整个空间是开集B. 有限个开集的并集是开集C. 任意个开集的并集是开集D. 所有选项都正确答案:D2. 在度量空间中,若集合A是闭集,则其补集是:A. 闭集B. 开集C. 有限集D. 无限集答案:B3. 以下哪个是连续映射的定义?A. 映射的逆像包含所有开集B. 映射的逆像是闭集C. 映射的逆像包含所有闭集D. 映射的逆像包含所有有限集答案:A4. 拓扑空间中的紧性意味着:A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间是有限维的D. 空间是局部紧的答案:A5. 什么是紧空间?A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间是有限维的D. 空间是局部紧的答案:A6. 在拓扑空间中,连续函数的原像是:A. 开集B. 闭集C. 紧集D. 可数集答案:B7. 什么是连通空间?A. 空间不能被两个非空开集分开B. 空间中任意两点都可以通过一条连续曲线连接C. 空间中任意两点都可以通过一条直线段连接D. 空间中任意两点都可以通过一条曲线连接答案:A8. 什么是局部连通空间?A. 空间中任意点都有一个邻域,该邻域是连通的B. 空间中任意点都有一个邻域,该邻域是紧的C. 空间中任意点都有一个邻域,该邻域是开的D. 空间中任意点都有一个邻域,该邻域是闭的答案:A9. 什么是分离空间?A. 空间中任意两点都可以通过不同的开集分开B. 空间中任意两点都可以通过相同的开集分开C. 空间中任意两点都可以通过不同的闭集分开D. 空间中任意两点都可以通过相同的闭集分开答案:A10. 什么是完备空间?A. 空间中任意序列都有收敛子序列B. 空间中任意序列都是柯西序列C. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖D. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖答案:A二、简答题(每题10分,共30分)1. 简述什么是邻域系统,并给出邻域系统的基本性质。

网络拓扑结构含答案

网络拓扑结构含答案

4、阅读以下材料,完成43-46题
下图是某校园网络的拓扑结构示意图,请根据该图回答问题:
43、该图的网络拓扑结构名称是(C)。

A、环形结构
B、总线型结构
C、星形结构
44、如果该单位在我国要申请一个互联网IP地址,应向(B )申请。

A、电信局
B、中国互联网络信息中心
C、当地政务中心
45、图中的IP地址可以通过如下的(C)操作来查看。

A、双击“我的电脑”|“工具”菜单|“文件夹选项”|“查看”选项卡中,勾选“显示所有的文件和文件夹”
B、双击“IE”浏览器|“工具”菜单|“Internet选项”|“连接”选项卡的“局域网设置”
C、右击“网上邻居”|“属性”|右击“本地连接”|“状态”|“支持”选项卡
46、该网络内的计算机要实现互相访问,以下必需的是(B)。

A、相同的硬件配置
B、相同的TCP/IP协议
C、同一个物理空间
答案:C、B、C、B。

拓扑学期末考试题及答案

拓扑学期末考试题及答案

拓扑学期末考试题及答案一、选择题(共20题,每题2分,共40分)1. 拓扑学的基本研究对象是:A. 点B. 线C. 面D. 拓扑空间答案:D2. 拓扑学中的同胚关系是指:A. 相似但不完全相同的两个拓扑空间B. 可由连续映射建立起来的两个拓扑空间C. 有相同的拓扑结构的两个拓扑空间D. 具有同样的几何性质的两个拓扑空间答案:C3. 拓扑学中的紧集是指:A. 有界闭合集B. 无限集合C. 有限集合D. 开集答案:A4. 拓扑空间中的度量是用来衡量:A. 点的位置关系B. 集合的大小C. 集合的连接性D. 集合中元素之间的距离答案:D5. 拓扑学中的连通性是指:A. 一个集合内部的连接性B. 一个集合外部的连接性C. 一个集合与其他集合的连接性D. 一个集合内部和外部的连接性答案:A6. 拓扑空间中的完备性是指:A. 所有点都能找到相邻点B. 所有点都能找到非相邻点C. 不存在孤立点D. 所有柯西序列都有极限点答案:D7. 拓扑学中的邻域是指:A. 包含某点的开集B. 包含某点的闭集C. 与某点连通的集合D. 与某点不相交的集合答案:A8. 拓扑学中的连续映射是指:A. 映射后保持拓扑结构不变B. 映射后改变拓扑结构C. 映射前后的关系D. 映射的性质答案:A9. 拓扑学中的嵌入是指:A. 一种映射关系B. 一种集合运算C. 一种连通性D. 一种对应关系答案:A10. 拓扑学中的同伦是指:A. 具有相同基本形状的两个拓扑空间B. 可以通过连续变形相互转换的两个拓扑空间C. 有相同拓扑结构但不是同胚的两个拓扑空间D. 具有完全相同性质的两个拓扑空间答案:B11. 拓扑学中的欧拉示性数是指:A. 拓扑空间内部与外部连接性的关系B. 拓扑空间的维数C. 拓扑空间的曲率D. 拓扑空间的性质答案:A12. 拓扑学中的同调是指:A. 研究拓扑空间对某个场的影响B. 研究拓扑空间的连通性C. 研究拓扑空间的变形性质D. 研究拓扑空间的代数性质答案:D13. 拓扑学中的拓扑原则是:A. 基于几何形状的研究方法B. 基于其他学科的交叉研究方法C. 基于代数方程的研究方法D. 基于集合论的研究方法答案:D14. 拓扑学中的Hausdorff空间是指:A. 没有孤立点的拓扑空间B. 具有一定连通性的拓扑空间C. 任意两点都能分离的拓扑空间D. 具有完备性的拓扑空间答案:C15. 拓扑学中的同调群是指:A. 拓扑空间中某类映射的代数群B. 拓扑空间某类覆盖的代数群C. 拓扑空间中某类空间的代数表示D. 拓扑空间中某类链的代数群答案:A16. 拓扑学中的拓扑分类是指:A. 将拓扑空间按照某个特定的分类标准进行归类B. 利用拓扑变换将拓扑空间分类C. 将拓扑空间按照其代数性质进行分类D. 利用大数定律对拓扑空间进行分类答案:A17. 拓扑学中的拓扑基是指:A. 由拓扑空间的子集生成的拓扑结构B. 由拓扑变换生成的拓扑结构C. 由闭集生成的拓扑结构D. 由开集生成的拓扑结构答案:D18. 拓扑学中的拓扑核是指:A. 一种拓扑映射的特殊性质B. 一种拓扑空间的代数性质C. 一种连通性的性质D. 一种闭集的性质答案:A19. 拓扑学中的四色定理是指:A. 任何地图都可以用四种颜色进行染色B. 任何地图都可以用四种颜色进行染色,但可能会有重叠部分C. 任何地图都可以用四种颜色进行染色,且相邻区域颜色不同D. 任何地图都可以用四种颜色进行染色,且相邻区域颜色不同且不重叠答案:D20. 拓扑学在实际应用中的一个重要领域是:A. 计算机科学B. 物理学C. 生物学D. 全部都是答案:D二、填空题(共10题,每题2分,共20分)1. 拓扑学最早由________ 提出。

拓扑学期末考试题及答案

拓扑学期末考试题及答案

拓扑学期末考试题及答案拓扑学是一门研究空间性质的数学分支,它关注的是空间中的对象在连续变换下保持不变的性质。

以下是一份模拟的拓扑学期末考试题及答案:# 拓扑学期末考试题一、选择题(每题2分,共20分)1. 以下哪个不是拓扑空间的公理?A. 空集和全空间是开集B. 有限个开集的并集是开集C. 任意个开集的交集是开集D. 任意两个集合的并集是开集答案:D2. 拓扑空间中的连续映射是指:A. 映射的逆像总是开集B. 映射的逆像是闭集C. 映射的逆像总是交集D. 映射的逆像总是并集答案:A3. 以下哪个概念不是拓扑学中的基本概念?A. 邻域B. 极限点C. 稠密性D. 线性无关答案:D二、简答题(每题10分,共30分)1. 简述什么是紧致性,并给出一个紧致空间的例子。

答案:紧致性是拓扑空间中的一种性质,指的是空间中的任意开覆盖都存在有限子覆盖。

一个典型的紧致空间的例子是闭区间 [0, 1],它在实数线上的欧几里得拓扑中是紧致的。

2. 解释什么是连通性,并给出一个连通空间的例子。

答案:连通性是指拓扑空间不能被分为两个非空的分离的开子集。

实数线上的整个空间 R 就是一个连通空间,因为它不能被分为两个不相交的开子集。

3. 什么是同胚映射?请给出一个例子。

答案:同胚映射是一种特殊的连续双射映射,它和它的逆映射都是连续的。

一个典型的同胚映射的例子是单位圆盘与单位球面的同胚映射,它们在拓扑上是相同的。

三、计算题(每题25分,共50分)1. 给定一个拓扑空间 X,证明如果 X 是紧致的,那么它的任意子空间也是紧致的。

答案:假设 X 是紧致的,我们需要证明 X 的任意子空间 Y 也是紧致的。

考虑 Y 的任意开覆盖{U_i ∩ Y},其中 {U_i} 是 X 的开覆盖。

由于 X 是紧致的,存在有限个 U_i1, U_i2, ..., U_in 使得它们的并集覆盖了 X。

显然,这些 U_i 的交集覆盖了 Y,因此 Y 是紧致的。

拓扑学智商测试题及答案

拓扑学智商测试题及答案

拓扑学智商测试题及答案一、选择题1. 拓扑学中的“邻域”概念是指:A. 一个点的集合B. 一个点的周围区域C. 一个点的极限点集合D. 一个点的开集答案:B2. 在拓扑空间中,以下哪个不是连续函数的性质?A. 函数的极限存在B. 函数的值域连续C. 函数的图像是连续曲线D. 函数的逆映射是开集答案:D3. 拓扑空间中的“紧致性”意味着:A. 空间中任意开覆盖都有有限子覆盖B. 空间中任意闭覆盖都有有限子覆盖C. 空间是有限维的D. 空间是可数的答案:A二、填空题4. 拓扑空间中的“开集”是指满足_________条件的集合。

答案:任意有限个开集的并集仍然是开集5. 拓扑空间中的“闭集”是指其补集是_________的集合。

答案:开集6. 拓扑空间中的“连通性”是指空间不能被分解成至少两个非空的_________。

答案:开集三、简答题7. 简述拓扑空间中的“邻域基”概念。

答案:邻域基是指对于拓扑空间中的每一点x,存在一个邻域的集合,使得x的任何邻域都包含这个集合中的至少一个邻域。

8. 解释拓扑空间中的“分离性”。

答案:分离性是指在拓扑空间中,任意两个不同的点都存在不相交的开集,使得每个点都在其对应的开集中。

四、论述题9. 论述拓扑空间中的“同胚”概念及其在拓扑学中的重要性。

答案:同胚是指两个拓扑空间之间存在一个双射,这个双射及其逆映射都是连续的。

同胚是拓扑学中研究空间性质的一种等价关系,它允许我们通过比较同胚的空间来研究它们的共同性质,这在拓扑学的研究中具有基础性的重要性。

10. 讨论拓扑空间中的“紧致性”与“有限覆盖性质”之间的关系。

答案:紧致性是拓扑空间的一种性质,它表明空间中的任意开覆盖都存在有限子覆盖。

有限覆盖性质是紧致性的一种表述,它说明了空间的“紧凑”程度。

在紧致空间中,任意的开覆盖都可以被缩减到有限的开覆盖,这在解决拓扑空间中的收敛问题和极限问题时非常有用。

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练习 9 (9.). 证明
• 设 X 是拓扑空间,G 是 X 的开集.证明 G ∩ A− ⊆ (G ∩ A)−.
• 任取 x ∈ G ∩ A−,则对 x 的任意的开邻域 U,有 U ∩ A ̸= 0/ .
– 因 U ∩ G 是 x 的开邻域,所以 (U ∩ G) ∩ A ̸= 0/ ,即 U ∩ (G ∩ A) ̸= 0/ , – 所以 x ∈ (G ∩ A)−.
练习 2 (2.). • 设 X = {x, y, z},下列子集族是不是 X 的拓扑?如果不是,请添加最少子集使它 们成为拓扑.
(1) {X, 0/ , {x}, {y, z}}; (2) {X, 0/ , {x, y}, {x, z}}; (3) {X, 0/ , {x, y}, {x, z}, {y, z}}.
– 又 x ∈ Y ,所以 x ∈ DX (A) ∩Y . – 反之,任取 x ∈ DX (A) ∩Y ,则存在 x 在 X 中的邻域 U 使得 U ∩ (A \ {x}) ̸= 0/ . – 因 A ⊆ Y ,所以 U ∩(A\{x}) = U ∩(Y ∩ (A \ {x})) = (U ∩Y )∩(A\{x}) ̸= 0/ ,因此 x ∈ DY (A).
– 由于 B = X,所以 A = A ∩ B = A ∩ B.又由于 A = X,得 X = A ∩ B,因此 A ∩ B 稠密.
2 第 28-29 页
连续映射 练习 18 (1.).
• 设 f : X → Y ,证明下列命题等价:
(1) f 连续;
(2) 对 X 的每一子集 A,有 f (A−) ⊆ [ f (A)]−; (3) 对 Y 中的每一子集 B,有 f −1(B−) ⊇ [ f −1(B)]−; (4) 对 Y 中的每一子集 B,有 f −1(B◦) ⊆ [ f −1(B)]◦.
练习 10 (10.). • 设 A1, · · · , An 都是 X 的闭集,并且 A1 ∪ · · · ∪ An = X,B ⊆ X,则 B 是 X 的闭 集当且仅当对每个 i,B ∩ Ai 是 Ai 的闭集.
证明
• 如果 B 是 X 的闭集,则 B ∩ Ai 是 Ai 的闭集.
– 反之,如果每个 B ∩ Ai 都是 Ai 的闭集,则 B ∩ Ai 是 X 的闭集与 Ai 的交集. – 又因为 Ai 是 X 的闭集,所以每个 B ∩ Ai 都是 X 的闭集,从而 B = B ∩ X = (B ∩ A1) ∪
证明 (1)
– 由上题得:ClA(B) = DA(B) ∪ B = (DX (B) ∩ A) ∪ ((B ∩ A))=c (DX (B) ∪ B) ∩ A = ClX (B) ∩ A. (2) · A\A\B ⊆ A\(A\B) = B,且 A\A\B = A ∩ A\B 是 A 的开集,所以 A\A\B ⊆ B◦A.
· 另一方面,任取 x ∈ B◦A,则存在 x 在 X 中的邻域 U 使得 U ∩ A ⊆ B. · 于是,U ∩ (A\B) = (U ∩ A) ∩ (A\B) = 0/ ,所以 x ∈/ A\B,因此 x ∈ A\A\B.
证明(续) ( )c
(3) – 如果 A 是开集,则由上面的结论可知 B◦A = A\A\B = A ∩ A\B 是 X 的开集,从而 B◦A ⊆ B◦. * 另一方面,任取 x ∈ B◦,则存在 x 在 X 中的开邻域 U 满足 U ⊆ B.
练习 17 (17.). • 若 A, B 都是 X 的稠密子集,并且 A 是开集,则 A ∩ B 也是 X 的稠密子集. 证明
• 如果 A 是开集,则有 A ∩ B = A ∩ B.
– 事实上,任取 x ∈ A ∩ B,则对 x 的任意的邻域 Ux 有 Ux ∩ (A ∩ B) ̸= 0/ . * 任取 y ∈ Ux ∩A∩B,则因 y ∈ B 且 Ux ∩A 是 y 的邻域,有 Ux ∩(A∩B) = (Ux ∩A)∩B ̸= 0/ , 从而可知 x ∈ A ∩ B,这样我们就证明了 A ∩ B ⊆ A ∩ B. * 相反的包含式是显然的.
练习 16 (16.). • 证明:如果 A 是 B 的稠密子集,B 是 X 的稠密子集,则 A 是 X 的稠密子集. 证明
• 由于 A 在 B 中稠密,所以 A− ∩ B = A−B = B,于是 B ⊆ A−. – 两边取闭包得 B− ⊆ A−− = A−. – 另一方面,B 在 X 中稠密,所以 B− = X. – 于是有 X = B− ⊆ A− ⊆ X,因此 A− = X.
– 其次 {0} × [−1, 1] ⊆ A−,因为 ∀x ∈ [−1, 1],点 (0, x) 的任何邻域与 A 有交;
– 最后,显然 A ⊆ A−.

除此之外,其它的点都有邻域和
A
无交,所以
A−
=
({0}
×
[−1,
1])

{( x,
sin
1 x
)
:
x

(0,
1]}.
2
练习 7 (7.). 证明
4
练习 14 (14.). • 在 R 上规定拓扑 τ = {(−∞, a)|a ∈ R ∪ {+∞, −∞}},则这个拓扑空间是可分的. 证明
• 有理数集显然是稠密子集.
可分性 练习 15 (15.). 证明
• 证明:A 是 X 的稠密子集当且仅当 X 的每个非空开集与 A 相交.
• 提示:X 的每个点都是 A 的闭包点.
(
)
f f −1(B) ⊆ f [ f −1(B)]−1
() B

(
)
f −1 ◦ f f −1(B) ⊇
f −1(B).
证明:(3)⇒(1)

假设对
Y
的每一个子集
B,有
f
−1
() B

f −1(B).
– 则对 Y 的闭子集 F 有
f −1(F)
=
f −1
() F

f −1(F)

· · · ∪ (B ∩ An) 是 X 的闭集.
3
练习 11 (11.). • 设 Y 是 X 的子空间,x ∈ Y ,则 x ∈ DY (A) 当且仅当 x ∈ DX (A),即 DY (A) = DX (A) ∩Y ,这里,DY (A) 表示 A 在 Y 中的导集.
证明
• 任取 x ∈ DY (A),则对 x 在 X 中的任意邻域 U 有 (U ∩Y )∩(A \ {x}) ̸= 0/ ,所以 U ∩ (A \{x}) ̸= 0/ , 从而 x ∈ DX (A).
· 这个 U = U ∩ A 也是 x 在 A 中的开邻域,因此 x ∈ B◦A.
练习 13 (13.). a.
证明
• 余可数拓扑空间 X 的序列 {xn} 收敛于 a 的充分必要条件是该序列的尾部是
• 如果 {xn} 的尾部是 a,则 {xn} 显然收敛于 a;
– 如果 xn 收敛于 a,取 a 邻域 U = (X\{xn|n ∈ N}) ∪ {a},则当 n 充分大时,xn 在 U 内, 即存在 N ∈ N,使得当 n > N 时,有 xn ∈ U,从而 xn = a.
练习 12 (12.). • 设 Y 为拓扑空间 X 的子空间,B ⊆ A.证明:
(1) ClA(B) = ClX((B) ∩)A,这里,ClA(B) 表示 B 在 A 中的闭包. (2) B◦A = A\ A\B ,这里 B◦A 表示 B 在 A 中的内部.; (3) 如果 A 是 X 的开集,则 B◦A = B◦,
尤承业基础拓扑学讲义部分课后习题参考答案(第二版)
数学与统计学学院 December 24, 2015
1 第 20-21 页(拓扑空间)
练习 1 (1.). 解
• 写出集合 X = {a, b} 上的所有拓扑.
• τ1 = {0/ , X};
– τ2 = {{a}, {b}, 0/ , X}; – τ3 = {{a}, 0/ , X}; – τ4 = {{b}, 0/ , X}.
x,所以
y ∈/ A−;
– 综上所述,A− = [x, +∞).
练习 8 (8.). • 在度量空间 (X, d) 中,记 B[x, r] = {y ∈ X|d(x, y) ≤ r},则 B[x, r] 是闭集, 但 B[x, r] ̸= B(x, r).
证明

任取 a ∈/ B[x, r],令 r0 = 是闭集.
– 任取 U ⊆ τ,则
(
)
∪ (A ∪U) = A ∪
∪ U
∈ τ′.
U ∈U
U ∈U
练习 5 (4.). • 证明 X 上任意一族拓扑之交仍是 X 上的拓扑. 证明
• 设 {τλ |λ ∈ Λ} 是 X 的一族拓扑,τ = ∩ τλ .
λ ∈Λ
1. 显然 0/ , X ∈ τ;
(a) 任取 U1,U2 ∈ τ,则对任意的 λ ∈ Λ 有 U1,U2 ∈ τλ .由于 τλ 是拓扑,有 U1 ∩U2 ∈ τλ ,

(1) 是.
(2) 不是.添加 {x}. (3) 不是.添加 {x}, {y}, {z}.
练习 3 (3.). 证明
• 在 R 上规定子集族 τ = {(−∞, a)|a ∈ R} ∪ {0/ , R},则 τ 是拓扑.
• 只需证明 τ 对有限交和任意并是封闭的.
– 显然对任意两个实数 a, b,不妨假设 a ≤ b,则 (−∞, a) ∩ (−∞, b) = (−∞, a) ∈ τ.
5
证明:(1)⇒(2)

假设对 Y
的任意闭集
F, f −1(F)

X
的闭集.下证对
X
的任意子集
A,有
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