基本不等式经典例题(学生用)
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基本不等式
知识点：
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）
3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）
若0x <，则12x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则1
1122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
5.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）
注意：
(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用
应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2
＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x
技巧一：凑项
例 已知54x <，求函数14245
y x x =-+
-的最大值。
技巧二：凑系数
例： 当
时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设2
30< 技巧三： 分离换元 例：求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 性。 例：求函数2 y=的值域。 技巧六：整体代换（“1”的应用） 多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 例：已知0,0 x y >>，且19 1 x y +=，求x y +的最小值。 技巧七 例：已知x，y为正实数，且x 2＋y 2 2 ＝1，求x1＋y2的最大值. 技巧八： 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1 ab 的最小值. 技巧九、取平方 例: 求函数15 ()22 y x <<的最大值。 应用二：利用均值不等式证明不等式 例：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。求证：111 1118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 应用三：均值不等式与恒成立问题 例：已知0,0x y >>且1 91x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若 )2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .