高精度运算(加减)

高精度计算(一)一、教学目标●了解什么是高精度计算。

为什么要进行高精度计算。

●熟练掌握基本的加、减高精度计算二、重点难点分析●高精度数的存储方式；三、教具或课件使用多媒体演示文稿四、主要教学过程(一)引入新课利用计算机进行数值计算,有时会遇到这样的问题:有些计算要求精度高,希望计算的数的位数可达几十位甚至几百位,虽然计算机的计算精度也算较高了,但因受到硬件的限制,往往达不到实际问题所要求的精度.我们可以利用程序设计的方法去实现这们的高精度计算.这里仅介绍常用的几种高精度计算的方法。

(二)教学过程设计1、高精度计算中需要处理好以下几个问题:（1）数据的接收方法和存贮方法数据的接收和存贮:当输入的数很长时,可采用字符串方式输入,这样可输入数字很长的数,利用字符串函数和操作运算,将每一位数取出,存入数组中.Type numtype=array[1..500]of word；{整数数组类型}Var a，b:numtype；{a和b为整数数组}la，lb:integer；{整数数组a的长度和b的长度}s:string；{输入数串}将数串s转化为整数数组a的方法如下：readln(s);la:=length(s)；for i:=1 to la do a[la-i+1]:=ord(s[i])-ord(‘0’);另一种方法是直接用循环加数组方法输入数据.Type arr= array[1..100] of integer;prucedure readdata(var int:arr);var ch:char;i,k:integer;beginread(ch);k:=0;while ch in['0'..'9'] do begininc(k);int[k]:=ord(ch)-ord(‘0’);read(ch);end;end;储存数据一律用数组。

根据不同的需要，数据的储存可分正向与反向两种。

以输入数1234为例：①正向储存：数位权的大小与储存数组的下标的大小一致下标大下标小数组各元素 a[4] a[3] a[2] a[1]所存的数字 1 2 3 4最高位最低位②反向储存：数位权的大小与储存数组的下标的大小相反下标小下标大数组各元素 a[1] a[2] a[3] a[4]所存的数字 1 2 3 4最高位最低位加法、减法、乘法的运算是从低位开始的，所以数据储存采取正向储存比较方便。

(2) 计算结果位数的确定①两数之和的位数最大为较大的数的位数加1。

②乘积的位数最大为两个因子的位数之和。

(3) 进位,借位处理加法进位: C[i]:= A[i]+B[i];if C[i]>=10 then begin C[i]:= C[i] mod 10; C[i+1]:= C[i+1]+1 end;减法借位: if a[i]<b[i] then begin a[i+1]:=a[i+1]-1;a[i]:=a[i]+10 endc[i]:=a[i]-b[i]乘法进位: x:= A[i]*B[j]+ x DIV 10+ C[i+j-1];C[i+j-1] := x mod 10;(4) 商和余数的求法商和余数处理:视被除数和除数的位数情况进行处理.2、高精度计算举例【例1】从键盘读入两个正整数，求它们的和。

分析：从键盘读入两个数到两个变量中，然后用赋值语句求它们的和，输出。

但是，我们知道，在pascal 语言中任何数据类型都有一定的表示范围。

而当两个被加数据大时，上述算法显然不能求出精确解，因此我们需要寻求另外一种方法。

在读小学时，我们做加法都采用竖式方法，如图1。

这样，我们方便写出两个整数相加的算法。

8 5 6+ 2 5 5---------------1 1 1 1图1如果我们用数组A、B分别存储加数和被加数，用数组C 存储结果。

则上例有A[1]=6, A[2]=5, A[3]=8, B[1]=5,B[2]=5, B[3]=2, C[4]=1,C[3]=1, C[2]=1,C[1]=1,两数相加如图2所示。

A3 A2 A1+B3 B2 B1-----------------C4 C3 C2 C1图2因此，算法描述如下：procedure add(a,b;var c);{ a,b,c 都为数组，a存储被加数，b 存储加数，c 存储结果} var i,x:integer;begini:=1while (i<=a 数组长度) or(i<=b 数组的长度) do beginx := a[i] + b[i] + x div 10; {第i位相加并加上次的进位}c[i] := x mod 10; {存储第i 位的值}i := i + 1 {位置指针变量}endend;通常，读入的两个整数用可用字符串来存储，程序设计如下：program exam1;const max=200;var a,b,c:array[1..max] of 0..9;n:string;lena,lenb,lenc,i,x:integer;beginwrite(’Input augend:’); readln(n);lena:=length(n); {加数放入a 数组}for i:=1 to lena do a[lena-i+1]:=ord(n[i])-ord(’0’);write(’Input addend:’); readln(n);lenb:=length(n); {被加数放入b数组}for i:=1 to lenb do b[lenb-i+1]:=ord(n[i])-ord(’0’);i:=1;while (i<=lena) or(i<=lenb) dobeginx := a[i] + b[i] + x div 10; {两数相加，然后加前次进位}c[i] := x mod 10; {保存第i 位的值}i := i + 1end;if x>=10 then {处理最高进位}begin lenc:=i;c[i]:=1; endelse lenc:=i-1;for i:=lenc downto 1 do write(c[i]); {输出结果}writelnend.【例2】高精度减法（a-b）(a>b且a,b均为正整数)。

从键盘读入两个正整数，求它们的差。

分析：类似加法，可以用竖式求减法。

在做减法运算时，需要注意的是：被减数必须比减数大，同时需要处理借位。

高精度减法的参考程序：program exam2;constmax=200;vara,b,c:array[1..max] of 0..9;n,n1,n2:string;lena,lenb,lenc,i,x:integer;beginwrite(’Input minuend:’); readln(n1);write(’Input subtrahend:’); readln(n2); {处理被减数和减数}if (length(n1)<length(n2)) or (length(n1)=length(n2)) and (n1<n2) thenbeginn:=n1;n1:=n2;n2:=n;write(’-’) {n1<n2,结果为负数}end;lena:=length(n1); lenb:=length(n2);for i:=1 to lena do a[lena-i+1]:=ord(n1[i])-ord(’0’);for i:=1 to lenb do b[lenb-i+1]:=ord(n2[i])-ord(’0’);i:=1;while (i<=lena) or(i<=lenb) dobeginx := a[i] - b[i] + 10 + x; {不考虑大小问题，先往高位借10}c[i] := x mod 10 ; {保存第i 位的值}x := x div 10 - 1; {将高位借掉的1减去}i := i + 1end;lenc:=i;while (c[lenc]=0) and (lenc>1) do dec(lenc); {最高位的0 不输出}for i:=lenc downto 1 do write(c[i]);writelnend.【补充例题】高精度加减法，把输入的数可能有负数也考虑进去的程序。

【变量与算法设计】用两个逻辑变量f与f1。

用f1来控制运算：当f1为假做加法，当f1为真做减法。

当f为真来控制数前负号的输出。

具体设置如下：两个数同号f1为假（做加法运算）两个数都是正数，f为假两个数都是负数，f为真。

（f为真输出负号，下同）两个数异号f1为真（做减法运算）第一个为负数，第二个为正数。

第一个数的绝对值大于第二个数的绝对值。

f为真第一个为负数，第二个数正数。

第一个数的绝对值小于第二个数的绝对值。

f为假第一个数正数，第二个为负数。

第一个数的绝对值大于第二个数的绝对值。

f为假第一个为正数，第二个为负数。

第一个数的绝对值小于第二个数的绝对值。

f为真【程序清单】PROGRAM P12_10A;CONST n=200;VAR str1,str2,str:STRING;k,l1,l2,i,j,t:Integer;a,b:ARRAY [1..n] OF Integer;fa,fb:Char;f1,f:Boolean;BEGINWrite('Input a string str1 : '); Readln(str1);Write('Input a string str2 : '); Readln(str2);l1:=Length(str1); l2:=Length(str2);fa:=str1[1]; fb:=str2[1]; f1:=False; f:=f1; {取符号位，设置f1、f的值}IF (fa='-') AND (fb='-')｛如都是负数，去掉符号位｝THEN BEGIN｛重新设置f1、f的值｝f1:=False; f:=True; str1:=Copy(str1,2,l1); l1:=l1-1;str2:=Copy(str2,2,l2); l2:=l2-1 ENDELSE BEGINIF fa='-' THEN ｛如第一个数是负数，去掉其符号位，重新设置f1、f的值｝BEGIN f1:=True; f:=f1; str1:=Copy(str1,2,l1); l1:=l1-1 END;IF fb='-' THEN｛如第二个数是负数，去掉其符号位，重新设置f1、f的值｝BEGIN f1:=True; f:=False; str2:=Copy(str2,2,l2); l2:=l2-1 ENDEND;j:=l1; ｛如第二个数的绝对值大于第一个数的绝对值就交换，重新设置f的值｝IF (l2>l1) OR f1 AND (l2=l1) AND (str2>str1) THENBEGIN f:=NOT(f); j:=l2; str:=str1; str1:=str2; str2:=str END;FOR i:=length(str1) DOWNTO 1 DO BEGIN {字符串分离同时转换成数字,存入a数组} Val(str1[i],a[l1+1-i],k);{不能转换成数字时，输出出错信息}IF k>0 THEN BEGIN Writeln('Str1 data error !'); Readln; Exit ENDEND;FOR i:=length(str2) DOWNTO 1 DO BEGIN {字符串分离同时转换成数字,存入b数组} Val(str2[i],b[l2+1-i],k); {不能转换成数字时，输出出错信息}IF k>0 THEN BEGIN Writeln('Str2 data error !'); Readln; Exit ENDEND;IF f1THEN BEGIN{f1为真做减法}FOR i:=1 TO j DO BEGINa[i]:=a[i]-b[i];k:=Ord(a[i]<0);{减法借位}a[i]:=a[i]+k*10;a[i+1]:=a[i+1]-kEND;WHILE (a[j]=0) AND (j>0) DO j:=j-1{有效数字前无用的0不输出}ENDELSE BEGIN{f1为假做加法}FOR i:=1 TO j DO BEGINk:=a[i]+b[i];a[i]:=k MOD 10;{加法进位}a[i+1]:=a[i+1]+k DIV 10END;IF a[i+1]>0 THEN j:=j+1{最后一次进位}END;Write('Xiang Jia He : ');{输出}IF j=0THEN Write(0)ELSE BEGINIF f THEN Write('-'); {输出符号位}FOR i:=j DOWNTO 1 DO Write(a[i]){高精度输出}END;Writeln; ReadlnEND.3、【上机练习】1．将例1、例2中的程序用过程函数完善程序。