口奥题库---几何

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口奥练习4

口奥练习
１、计算：1999×1998－1998×1997－1997×1996+1996×1995
2、一个长方体，它的正面和上面的面积之和是90，如果已知它的长宽高是三个连续的自然数，那么这个长方体的体积是。

3、有甲、乙两个同样的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了50%的酒精溶液。

先将乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。

这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几？
4、分数分子分母同时加上同一个自然数_______所得的新分数是。

5、一个袋子里有红、黄、白三种颜色的球各100个，现从中任意取出25个，一定有______个球的颜色相同。

上海口奥题目汇总

口奥五1. 计算：98＋998＋9998＋99998=甲、乙两名运动员在环行跑道上从同一地点同时背向而跑，已知甲运动员跑一圈要80分钟。

如果在出发后30分钟两人第一次相遇。

问：乙运动员跑一圈要多少分钟？如图：一个长方形被分成4个不同得三角形，如果绿色三角形得面积就是原长方形面积得15 ，黄色三角形面积就是15平方厘米，那么原长方形得面积就是多少平方厘米？4. “L”型（右上图），共有种不同得取法？答案（1） 111092；（2）甲得速度就是乙得速度：30÷（80－30）=0、6倍乙跑一圈：80×0、6=48(分钟)（3） 15÷(0、5－0、2)=50(平方厘米)（4）解:在2×2得正方形中,有4种取法。

4×4得方格棋盘中共有3×3=9个2×2得正方形。

所以不同得取法共有：3×3×4=36（种）口奥七1. 计算：17、48×37－174、8×1、9＋1、748×820=双休日,学生们到郊外去玩。

甲买了5只面包，乙买了同样得面包4只，当午餐用。

不料丙也参加午餐，但没有买面包，三人就均分着吃。

丙按买价拿出钱来，她给甲1元5角，给乙1元2角。

问：她这样算对不对，为什么？长方体得表面积就是74平方厘米，其中一个底面得面积就是10平方厘米，底面得周长就是9厘米。

这个长方体得体积就是多少立方厘米？甲数除以乙数，乙数除以丙数，商相等，余数都就是2。

甲、乙两数之与就是478，那么甲、乙、丙三数之与就是多少？答案：（1）原式=1748；（2）单价：（12＋15）×3÷（5＋4）=9（角）应给甲：9×5－（15＋12）=18（角）=1元8角应给乙：（15＋12）－18=9（角）所以，丙算得不对，应给甲1元8角，给乙9角。

侧面积：74－10×2=54（平方厘米）高：54÷9=6（厘米）长方体体积：10×6=60（立方厘米）714或517或489。

口奥题库 - 组合

【枚举】【2】从1993到5989的所有自然数中，十位数字与个位数字相同的共有多少个？【答案】400个【加乘原理】【3】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份。

问：一共有多少种不同的订法？【答案】19种第一种情况：3所学校的订数互不相同，有98、100、102和99、100、101两种组合，每种组合有6种不同的排列，此时有12种订法。

第二种情况：3所学校的订数有2所相同，有98、101、101和99、99、102两种组合，每种组合有3种不同的排列，此时有6种订法。

第三种情况：3所学校的订数都相同，只有100、100、100一种订法。

不同的订法共有12＋6＋1=19种。

【加乘原理】【2】在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？【答案】45个【加乘原理】【2】电影院有6个门，其中A,B,C,D这四个门只供观众出场用，甲、乙两个门既可供出场用，又可供进场用。

进出这个电影院共有多少种不同的路线？【答案】12种【加乘原理】【4】1～30这30个自然数，从中任取2两个数相加，它们的和不等于7的倍数的可能共有多少种？【答案】373个【加乘原理】【3】由数字0,1,2,3,4组成一个数，问可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？【答案】30【乘法原理】【排除法】【3】把5本不同的书放入两只不同的书包里，使得每只书包内至少有1本书，有多少种不同的放法？【答案】30【排列组合】【1】从2,3,5,7,11,13这6个数中，选出两个数并将它们相乘，可以得到多少个不同的乘积？【答案】15【排列组合】【2】由1、2、3、4这四个数字可以组成许多数字不重复的四位数，将它们从小到大排列，4123是第几个？【答案】19【排列组合】【圆排列】【1】5个小朋友围成一圈跳舞，有多少种不同的围法？【答案】24【排列组合】【捆绑法】【插空法】【2】4名女生和3名男生排成一排：（1）所有男生和男生必须相邻，女生和女生必须相邻的排法共有多少种？（2）女生不相邻的排法共有多少种？【答案】288，144【几何计数】【3】在4×4的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成“L”型（如图），共有种不同的取法？【答案】36在2×2的正方形中,有4种取法。

小学奥数必学几何五大应用及例题解析

小学奥数必学几何五大应用及例题解析1. 角的分类和性质- 角是几何中常见的概念，按大小可分为锐角、直角和钝角。

- 锐角：小于90度的角。

- 直角：恰好是90度的角。

- 钝角：大于90度但小于180度的角。

- 例题解析：求下列角是否为锐角、直角或钝角。

- a) 35度：锐角。

- b) 90度：直角。

- c) 120度：钝角。

2. 三角形的性质- 三角形是由三条线段组成的图形，有不同的分类和性质。

- 根据边长分类，可以有等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

- 根据角度分类，可以有锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

- 例题解析：以下判断三角形的分类。

- a) 三边长均相等：等边三角形。

- b) 两边长相等但不与第三边长相等：等腰三角形。

- c) 一个角为直角且两边长不相等：直角三角形。

3. 平行关系- 在几何学中，平行是指两条直线或线段的方向始终保持相同且永不交叉。

- 例题解析：判断以下线段是否平行。

- a) AB和CD两条线段：平行。

- b) AB和EF两条线段：不平行。

4. 图形的对称性- 图形的对称性是指图形在某个轴线或某个点进行镜像后仍然保持不变。

- 例题解析：以下判断图形是否具有对称性。

- a) 正方形：具有对称性，可以以中心点为轴线进行水平和垂直镜像。

- b) 任意的凸多边形：不一定具有对称性，取决于具体图形。

5. 长方形的计算- 长方形是一种特殊的四边形，具有一些特殊的性质和计算方法。

- 例题解析：已知长方形的长为10cm，宽为5cm，求长方形的周长和面积。

- 周长：2 * (长 + 宽) = 2 * (10 + 5) = 30cm。

- 面积：长 * 宽 = 10 * 5 = 50cm²。

以上是小学奥数必学几何五大应用及例题解析的内容。

希望对您有所帮助！。

第09讲图形与面积专题+口奥4(解析版)

第09讲图形与面积专题+口奥4掌握平面图形的周长和面积掌握立体图形的基本知识完成口奥知识的训练模块一：平面图形的周长与面积1、周长几个重要的解题思想（1）平移在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意．（2）割补割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变．（3）旋转在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．（4）对称平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．（5）代换在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．2、面积平面图形所围成的平面的大小叫做平面图形的面积，常见的几种规则图形的面积公式有：（1）三角形：12S ah =，其中h 表示三角形一条底边a 上的高；（2）正方形：2S a =，（3）长方形：S ab =（4）平行四边形：S ah =（5）梯形：()12S a b h =+3、圆（1）、圆和圆周长1）圆的几个要素：圆心O 、半径r ，直径d ． 2）圆的周长：围成圆的曲线的长叫做圆的周长．计算公式：C d π=，也可表示为2C r π=．（2）、弧与弧长1）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，用符号“”表示，如以A ，B 为两端点的弧，记作AB ，读作弧AB ，如图中的BC 又称作半圆．2）圆心角：顶点在圆心上的角叫做圆心角，如图中的∠AOB 称为圆心角．3）弧长计算公式：2360180n n r l r ππ=⨯=．（3）、圆的面积计算公式：2214S r d ππ==（4）、扇形1）扇形概念：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，图中的扇形记作扇形OAB ．2）扇形的面积公式一：22360360n n rS rππ=⋅=（理解记忆：=360S nS扇圆）公式二：1=2S lr（其中l为扇形的弧长，r为扇形的半径）模块二：立体图形1、当相同的正方体拼在一起的时候，这里重叠的地方就把它叫做接缝，重叠部分的面积就叫做接缝处的面积。

六年级下册奥数试题-几何专题全国通用(含答案) (2)

小学奥数几何专题1、（★★）如图，已知四边形ABCD 中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD 与AD 垂直，则四边形的面积等于多少？[思路]：显然四边形ABCD 的面积将由三角形ABD 与三角形BCD 的面积求和得到．三角形ABD 是直角三角形，底AD 已知，高BD 是未知的，但可以通过勾股定理求出，进而可以判定三角形BCD 的形状，然后求其面积．这样看来，BD 的长度是求解本题的关键．解：由于BD 垂直于AD ，所以三角形ABD 是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD 2=AB 2－AD 2=132—122=25=52，所以BD=5．三角形BCD 中BD=5，BC=3，CD=4，又32十42=52，故三角形BCD 是以BD 为斜边的直角三角形，BC 与CD 垂直．那么：ABCD S 四边形=ABD S ∆+BCD S∆=12×5÷2+4×3÷2=36．．即四边形ABCD 的面积是36． 2、（★★）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米；[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ，是右侧两个三角形面积和的2 倍，故左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是 9×2=18。

3．（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。

已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？[思路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。

解：粗线面积：黄面积=2：3绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，7 94、（★★）求下图中阴影部分的面积：【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。

几何形状口算练习题及答案2023

几何形状口算练习题及答案2023摘要：几何形状是数学中的重要概念，对于学生来说，熟练掌握不同几何形状的特征和计算方法是必要的。

为此，本文提供了一系列几何形状的口算练习题及答案，旨在帮助学生提高口算能力和对几何形状的认识。

1. 正方形 (Square)计算正方形的周长和面积。

例题：如果正方形的边长为4 cm，那么它的面积和周长分别是多少？解答：正方形的周长 = 边长 × 4正方形的面积 = 边长 ×边长给定正方形的边长为4 cm，代入公式得：正方形的周长 = 4 cm × 4 = 16 cm正方形的面积 = 4 cm × 4 cm = 16 cm²2. 长方形 (Rectangle)计算长方形的周长和面积。

例题：如果长方形的长为8 cm，宽为6 cm，那么它的面积和周长分别是多少？解答：长方形的周长 = (长 + 宽) × 2长方形的面积 = 长 ×宽给定长方形的长为8 cm，宽为6 cm，代入公式得：长方形的周长 = (8 cm + 6 cm) × 2 = 28 cm长方形的面积 = 8 cm × 6 cm = 48 cm²3. 圆形 (Circle)计算圆形的周长和面积，结果保留两位小数。

例题：如果圆形的半径为5 cm，那么它的面积和周长分别是多少？解答：圆形的周长= 2 × π × 半径(π取3.14)圆形的面积= π × 半径²给定圆形的半径为5 cm，代入公式得：圆形的周长≈ 2 × 3.14 × 5 = 31.4 cm圆形的面积≈ 3.14 × 5² = 78.5 cm²4. 三角形 (Triangle)计算三角形的周长和面积。

例题：已知三角形的三边分别为5 cm，8 cm，10 cm，求其周长和面积。

初三奥数几何典型练习题

初三奥数几何典型练习题精选初三奥数几何典型练习题奥数的学习并没有我们想象的那么难，只要用心我们还是可以把奥数学习好的。

我们一起来看一下这篇精选初三奥数几何典型练习题吧。

在三角形ABC 中，AB=6,BC=8,角ABC=60度，圆O 过A 点和三角形ABC 的重心G,BG 切圆O 于点G,CG 延长线交圆O 于点E, 求1.AG 的长 2.CG的长 3.GE的长因为BF=AB/2=3,BC=8,∠ABC=60,所以由余弦定理得：FC^2=BF^2+BC^2-2BF×BC×cos∠ABC,所以FC=7,又因为G 为重心，所以GC=2FG,所以GC=14/3,FG=7/3,延长BG 到AC 上的N 点，设AB 交圆于M 点，由余弦定理有AC^2=AB^2+BC^2-2AC*BC*cosABC,所以AC=2√13,所以AN=√13,所以角BAC 的余弦也可以由余弦定理得：cosBAC=(AB^2+AC^2-BC^2)/2AB*AC=1/√13,所以在三角形ABN 中同样由余弦定理有：BN^2=AB^2+AN^2-2AB*AN*cosBAC,所以BN=√37,又因为BG=2BN/3,所以BG=(2√37)/3,因为BG 为切线，所以BG^2=BM*BA,设MF=x,则148/9=(3-x)*6,所以MF=7/27,又因为MF*AF=EF*FG,所以EF=2/3,所以EG=EF+FG=3设△ABC ，AB=c,BC=a,AC=b,作AD⊥BC，设BD=x，DC=y，AD=h 则a^2+b^2-2abcosC=(x+y)^2+b^2-2(x+y)bcosC,而cosC=y/b，所以a^2+b^2-2abcosC=(x+y)^2+b^2-2(x+y)by/b=(x+y)^2+b^2-2y(x+y)=x^2+y^2+2xy+b^2-2xy-2y^2=x^2-y^2+b^2,而b^2-y^2=h^2,所以a^2+b^2-2abcosC=x^2+h^2=c^2,即a^2+b^2-2abcosC=c^2,得证现在是不是觉得奥数很简单啊，希望这篇精选初三奥数几何典型练习题可以帮助到你。

奥数几何计数题库及答案

奥数几何计数题库及答案1. 题目一：一个圆的半径为5厘米，求圆内接正六边形的边长。

答案：圆内接正六边形的边长等于圆的半径。

因此，边长为5厘米。

2. 题目二：一个正方体的棱长为10厘米，求其外接球的半径。

答案：正方体的体对角线等于外接球的直径。

体对角线的长度为$\sqrt{3} \times 10$ 厘米，所以外接球的半径为$\frac{\sqrt{3} \times 10}{2}$ 厘米。

3. 题目三：一个圆柱的底面半径为3厘米，高为10厘米，求其侧面积。

答案：圆柱的侧面积等于底面周长乘以高，公式为 $2\pi r\times h$。

代入数值得 $2\pi \times 3 \times 10 = 60\pi$ 平方厘米。

4. 题目四：一个正四面体的棱长为a厘米，求其表面积。

答案：正四面体的表面积由四个等边三角形组成，每个三角形的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。

因此，总表面积为 $4 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}a^2$ 平方厘米。

5. 题目五：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c厘米，求其对角线的长度。

答案：长方体的对角线长度可以通过勾股定理求得，公式为$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ 厘米。

6. 题目六：一个圆锥的底面半径为r厘米，高为h厘米，求其体积。

答案：圆锥的体积公式为 $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ 立方厘米。

7. 题目七：一个球的直径为d厘米，求其表面积。

答案：球的表面积公式为 $4\pi r^2$，其中r为半径，即$\frac{d}{2}$ 厘米。

代入得 $4\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi d^2$ 平方厘米。

8. 题目八：一个圆环的内圆半径为r1厘米，外圆半径为r2厘米，求其面积。

答案：圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，公式为 $\pir2^2 - \pi r1^2$ 平方厘米。

口奥题库-几何(1)

【四边形】【1】在一本数学书的插图中，有 100个平行四边形，80个长方形，40个菱形。

这本书的插图中正方形最多有 _____ 个。

【答案】40个【最值】【剪拼】一个边长是 7厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米的长方形纸条？【答案】12【剪拼】【2】图中由24个正方形组成，请通过 P 点画一条直线，把这个图形分割成面积相等的两部分。

【面积】【2】求出图中梯形 ABCD 的面积。

其中BC=10厘米。

【答案】50平方厘米【面积】【3】用4个相同的等腰直角三角形相互交叠拼成下图，阴影正方形的面积是平方厘米。

【答案】18平方厘米【答案】P图中的阴影部分面积是正方形面积的丄43 X3吃><4=18 (cm 2)【周长】【面积】【1】判断：在周长都为8厘米的正方形和长方形中，面积较大的是正方形。

【答案】“【周长面积】【2】由5个正方形组成的十字架图形的面积是180，求它的周长是多少？【答案】72【面积】【1】等腰梯形的对角线互相垂直，一条对角线的长是9厘米，求梯形的面积。

【面积】【差不变】【2】如图，有边长分别是16分米和24分米的两个正方形，一条直线把这两个相连的正方形分成四部分。

甲三角形的面积比乙三角形的面积多多少平方分米？【面积】【格点多边形】【2】、在边长等于5厘米的正方形内有一个平行四边形，这个平行四边形面积是多少？【答案】14平方厘米【面积】【格点多边形】【2】如图，计算这个格点多边形的面积 •（每一格为单位1）【答案】2 23【等高模型】【2] As shown below, the area of the parallelogramABCD is 54 cm 2, E , F trisect CA and BA, the area of the shadowis ________ .【答案］6cm 2【等高模型］【3］如图：正方形 ABCD 的边长为12厘米，P 是AB 边上的任意一点，M 、N 、I 、H 分别是 BC 、AD 上的三等分点（即 BM=MN=NC ） , E 、F 、G 是边CD 上的四等分点，图中阴影部分面积是多少平方厘米。

口奥题库几何

(D)7,24,25
【答案】C
【立体几何】【２】一个零件形状大小如下图：算一算,它的体积是多少立方厘米？
【答案】１６０立方厘米
【立体几何】【2】一个长方体,它的高和宽都相等，如果把它的长去掉３厘米,就成为表面积是1５0平方厘米的正方体,原来长方体的体积是多少立方厘米？
【答案】200立方厘米
正方体一个面的面积:150÷6=２5（平方厘米)
【答案】2４平方厘米
【等高模型】【2】如图:一个长方形被分成Ａ、B、Ｃ、D四个小长方形，已知Ａ的面积是2平方厘米，B的面积是3平方厘米,C的面积是5平方厘米，那么原长方形的面积是多少平方厘米？
【答案】17.5平方厘米
D=B×C÷A=3×5÷2=7.5(㎝２)
长方形面积:Ａ＋B+C＋D=2+３+5+7．5＝１7.5(㎝２）
【答案】1８平方厘米
图中的阴影部分面积是正方形面积的。
3×3÷２×4＝18（㎝２）
【周长】【面积】【1】判断:在周长都为８厘米的正方形和长方形中,面积较大的是正方形。
【答案】√
【周长面积】【2】由５个正方形组成的十字架图形的面积是18０,求它的周长是多少?
【答案】7２
【面积】【１】等腰梯形的对角线互相垂直,一条对角线的长是9厘米,求梯形的面积。
【最值】【剪拼】—个边长是7厘米的正方形纸片,最多能裁出多少个长是4厘米,宽是1厘米的长方形纸条？
【答案】12
【剪拼】【2】图中由２４个正方形组成，请通过P点画一条直线,把这个图形分割成面积相等的两部分。
【答案】
【面积】【2】求出图中梯形ABＣD的面积。其中ＢC=10厘米。
【答案】50平方厘米
【面积】【３】用４个相同的等腰直角三角形相互交叠拼成下图,阴影正方形的面积是平方厘米。

小学奥数题库《几何》-直线型-鸟头模型-2星题(含解析)

几何-直线型几何-鸟头模型-2星题课程目标知识提要鸟头模型•概念两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。

•特征共角三角形的面积比等于共角〔相等角或者互补角〕两夹边的乘积之比。

$S_{\triangle ABC}\mathbin{:}S_{\triangle ADE}=(AB\times AC)\mathbin{:}(AD\times AE)$精选例题鸟头模型1. 如下列图所示，三角形ABC的面积为1，且AD=13AB,BE=14BC,CF=15CA，那么三角形DEF的面积是．【答案】512【分析】先分别求出△ADF、△BDE、△CEF的面积，再用△ABC的面积减去这三个三角形的面积即为△DEF的面积．因为，AD=13AB,CF=15CA，所以，AF=45AC，根据“鸟头定理〞，S△ADF=45×13S△ABC=415，同理可得，S△BDE=23×14×1=16，S△CEF=34×15×1=320，所以S△DEF=1−415−16−320=512．2. 如图．将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F．如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是．【答案】18【分析】〔法1〕连接AE、CD．因为S△ABCS△DBC =11，S△ABC=1，所以S△DBC=1．同理可得其它，最后三角形DEF的面积=18．〔法2〕用共角定理因为在△ABC和△CFE中，∠ACB与∠FCE互补，所以S△ABC S△FCE =AC⋅BCFC⋅CE=1×14×2=18.又S△ABC=1，所以S△FCE=8．同理可得S△ADF=6，S△BDE=3．所以S△DEF=S△ABC+S△FCE+S△ADF+S△BDE=1+8+6+3=18.3. 如下列图所示，点Qʹ和Rʹ三等分XʹX，Rʹ和Pʹ三等分YʹY，Qʹ和Pʹ三等分ZʹZ．△PQR面积是△PʹQʹRʹ面积的倍．【答案】25【分析】连接ZYʹ,XʹY,XZʹ，根据鸟头模型，可以得到△PʹYʹZ,△XʹYRʹ,△XQʹZʹ都是△PʹQʹRʹ的4倍，那么可以得到平行四边形PZPʹYʹ、XʹRʹYR、XQʹZʹQ均为△PʹQʹRʹ的8倍，图中的三个小三角形的面积都与△PʹQʹRʹ的面积相等，那么△PQR面积是△PʹQʹRʹ面积的8×3+1=25(倍)． 4. 如图，AD=DB，AE=EF=FC，阴影局部面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米．【答案】30平方厘米【分析】S△ADE=S△DEF，S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(1×1):(2×3)=1:6,所以S△ABC=5×6=30(平方厘米).5. 如下图，正方形ABCD边长为6厘米，AE=13AC，CF=13BC．三角形DEF的面积为平方厘米．【答案】10【分析】由题意知AE=13AC、CF=13BC,可得CE=23 AC.根据〞共角定理〞可得，S△CEF:S△ABC=(CF×CE):(CB×AC)=(1×2):(3×3)=2:9;而S△ABC=6×6÷2=18;所以S△CEF=4;同理得，S△CDE:S△ACD=2:3,S△CDE=18÷3×2=12,S△CDF=6故S△DEF=S△CEF+S△DEC−S△DFC=4+12−6=10(平方厘米).6. 正方形ABCD边长为6厘米，AE=13AC,CF=13BC．三角形DEF的面积为平方厘米．【答案】10【分析】正方形的面积为6×6=36(平方厘米)，那么根据鸟头模型可以得出S △ADE =13×S △ACD =13×12×36=6(平方厘米),S △CDF =13×S △BCD =13×12×36=6(平方厘米),S ABFE =S △ABC −S △CEF =18−18×13×23=14(平方厘米),阴影局部面积为36−6−6−14=10(平方厘米)．7. 如图，P 为四边形ABCD 内部的点，AB:BC:DA =3:1:2，∠DAB =∠CBA =60°．图中所有三角形的面积都是整数．如果三角形PAD 和三角形PBC 的面积分别为20和17，那么四边形ABCD 的面积最大是．【答案】147【分析】延长AD ，BC 交于点Q ，连接PQ ．∠DAB =∠CBA =60°，所以三角形ABQ 为正三角形．由于AB:BC:DA =3:1:2,所以PCQD 的面积为20÷2+17×2=44;而三角形QCD 面积占QAB 面积的13×23=29, ABCD 面积是QCD 面积的(1−29)÷29=72.注意到ABCD 中各三角形面积均为整数，所以QAB 面积为9的倍数．QCD 面积是2的倍数，所以QCD 面积最大为42，ABCD 面积最大为42×72=147.8. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【答案】15【分析】S △ADE :S △ABC =(1×1):(5×3)=1:15，S △ABC =15S △ADE =15×1=15．9. 如图，在三角形ABC 中，AD 的长度是BD 的3倍，AC 的长度是EC 的3倍．三角形AED 的面积是10，那么三角形ABC 的面积是多少？【答案】20【分析】详解：AD 是AB 的34，AE 是AC 的23，根据鸟头模型，有△ADE 的面积是△ABC 面积的34×23=12．那么△ABC 的面积是20． 10. 如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB:AD ＝5:2，AE:EC ＝3:2，S △ADE ＝12平方厘米，求△ABC 的面积．【答案】50平方厘米【分析】S △ADE :S △ABC=(AD ×AE):(AB ×AC)=(3×2):(5×5)=6:25,因为S △ADE =12(平方厘米)，所以S △ABC =12÷6×25=50(平方厘米)．11. 如图，长方形的面积是16，BE =3BD ，CE =CF ．请问：三角形BEC 的面积是多少？【答案】3【分析】详解：连结DF ，根据鸟头模型，可知△BCE 面积是△DEF 面积的34×12=38. 那么△BCE 的面积是16×12×38=3.12. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的6倍，EC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？【答案】24【分析】S △ADE :S △ABC =(1×1):(6×4)=1:24，S △ABC =24S △ADE =24×1=24．13. 三角形ABC 中，BD 的长度是的AB 的14，AE 的长度是AC 的13．三角形AED 的面积是8，那么三角形ABC 的面积是多少？【答案】32【分析】简答：8÷(34×13)=32．14. 如图，把三角形DEF 的各边向外延长2倍后得到三角形ABC ，三角形ABC 的面积为1.三角形DEF 的面积是多少？【答案】119【分析】令三角形DEF 为1份，那么根据共角模型，有：S △DEF S △AFC =EF ×DF CF ×FA =16. 所以三角形AFC 的面积为6份，同理，三角形ABD 的面积为6份，三角形BEF 的面积为6份．那么三角形ABC 的面积为1+6+6+6=19份，对应面积为1，所以S 三角形DEF =119． 15. △CEF 的面积为9平方厘米，BE =CE,AD =2BD ，CF =3AF ，求△DEF 的面积．【答案】7平方厘米．【分析】S △CEF :S △ABC=(CE ×CF):(CB ×CA)=(1×3):(2×4)=3:8=9:24,所以三角形ABC 的面积为24平方厘米S △BDE :S △ABC=(BD ×BE):(BA ×BC)=(1×1):(2×3)=1:6=4:24,S △ADF :S △ABC=(AD ×AF):(AB ×AC)=(2×1):(3×4)=1:6=4:24,所以S △DEF =24−4−4−9=7(平方厘米).16. 如图，三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD =AB ；延长BC 至E ，使CE =2BC ；延长CA 至F ，使AF =3AC ，求三角形DEF 的面积．【答案】18【分析】S △ADF S △ABC =AD×AF AB×AC =2×31×1=6，S △BDE S △ABC =BD×BE AB×BC =1×31×1=3， S △CEF S △ABC=CE×CFBC×AC =2×41×1=8．所以S △DEF S △ABC=S △ADF S △ABC +S △BDE S △ABC +S △CEF S △ABC +S △ABCS △ABC=6+3+8+1=18,S △DEF =18S △ABC =18．17. 如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且AB:BD =5:7，AE:EC =3:2，S △ADE =36平方厘米，求△ABC 的面积．【答案】150平方厘米【分析】S △ADE :S △ABC =(AD ×AE):(AB ×AC)=[3×(7−5)]:[5×(3+2)]=6:25,因为S △ADE =36(平方厘米)，所以S △ABC =36÷6×25=150(平方厘米)．18. 分别延长四边形ABCD 的四个边，使得AB =BAʹ,BC =CBʹ,CD =DCʹ,DA =ADʹ〔如下列图所示〕．如果四边形ABCD 的面积是1平方厘米，请问四边形AʹBʹCʹDʹ的面积为多少平方厘米？【答案】5【分析】连接BD ，根据鸟头模型，可得S △AAʹDʹ=1×2×S △ABD =2S △ABD , S △CCʹBʹ=1×2×S △BCD =2S △BCD ,那么可得S △AAʹDʹ+S △CCʹBʹ=2S 四边形ABCD 连接AC ，同理可得：S △DDʹCʹ+S △BBʹAʹ=2S 四边形ABCD所以整个图形的面积是2+2+1=5(平方厘米).19. 下列图中的三角形ABC 被分成了甲〔阴影局部〕、乙两局部，BD =DC =4,BE =3,AE =6．求甲局部面积占乙局部面积的几分之几．【答案】15【分析】BEBA =33+6=13,BDBC =44+4=12，根据鸟头模型，甲局部占整个图形面积的13×12=16，那么甲局部占乙局部的15．20. 如图，把三角形DEF 的各边向外延长1倍后得到三角形ABC ，三角形ABC 的面积为1．三角形DEF 的面积是多少？【答案】17【分析】令三角形DEF为1份，那么根据共角模型，有：S△DEF S△AFC =EF×DFCF×FA=12.所以三角形AFC的面积为2份，同理，三角形ABD的面积为2份，三角形BEF的面积为2份．那么三角形ABC的面积为7份，对应面积为1，所以S三角形DEF =17．21. 如图，长方形ABCD的面积是48，BE:CE=3:5，DF:CF=1:2．三角形CFE面积是多少？【答案】10【分析】简答：48×12×58×23=10．22. 如图，AD:DB=1:4，AE:EC=1:5，如果△ABC的面积是120，那么△ADE的面积是多少？【答案】4【分析】简答：由条件得AD:AB=1:5,AE:AC=1:6,利用“共角三角形〞性质得三角形AED的面积是120×15×16=4.23. 如图，三角形ABC面积为1，延长BA至D，使得DA=AB；延长CA至E，使得EA=2AC；延长CB至F，使得FB=3BC，求三角形DEF的面积？【答案】7【分析】S△ADE S△ABC =AD×AEAB×AC=2,S△CEF S△ABC =CE×CFCA×CB=3×4=12,S△DBF S△ABC =DB×BFBA×CB=2×3=6,S△DEF=S△ADE+S△CEF−S△DBF−S△ABC=2+12−6−1=7.24. 如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积．【答案】9.2平方厘米；9.2平方厘米；13.8平方厘米；13.8平方厘米．【分析】S△ABF:S△ABE=(AB×FB):(AB×EB)=2,所以S△ABF=2×S△ABE=9.2(平方厘米);因为△ABD和△ACD同底等高，所以S△ABD=S△ACD,因而S△CDF=S△ACD−S△AFD=S△ABD−S△AFD=S△ABF=9.2(平方厘米);S△ABD:S△ABE=(AB×DB):(AB×EB)=3,所以S△ABD=3×S△ABE=13.8;所以S△ACD=S△ABD=13.8(平方厘米).25. 如下列图所示，在三角形ABC中，BC=6BD、AC=5EC、DG=GH=HE、AF=FG．请问三角形FGH与三角形ABC的面积比为何？【答案】19【分析】根据鸟头模型，S△ADC=56S△ABC,S△AED=45S△ADC,S△AGE=23S△AED,S△GHF=12×12×S△AGE,最后可以得出S△GHF=56×45×23×12×12×S△ABC=19S△ABC.26. 如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE=2:5，BC:CD=3:2，三角形BDE的面积是多少？【答案】12.5平方厘米．【分析】由于∠ABC+∠DBE=180∘，所以可以用共角定理，设AB=2份，BC=3份，那么BE=5份，BD=3+2=5份，由共角定理S△ABC:S△BDE=(AB×BC):(BE×BD)=(2×3):(5×5)=6:25,设S△ABC=6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25×0.5=12.5(平方厘米),三角形BDE的面积是12.5平方厘米．27. 如下图，在长方形ABCD中，DE=CE，CF=2BF，如果长方形ABCD的面积为18，那么阴影局部的面积是多少？【答案】6【分析】简答：由于长方形ABCD的面积为18，可知三角形BCD的面积为9，三角形CEF的面积为三角形BCD的面积的1 2×23=13,那么阴影局部的面积是9×(1−13)=6.28. 如图，△ABC中，AD:AB＝2:3，AE:AC＝4:5，求：△AED的面积是△ABC面积的几分之几？【答案】815【分析】S △ADE :S △ABC=(AD ×AE):(AB ×AC)=(2×4):(3×5)=8:15,所以△AED 的面积是△ABC 面积的815．29. ，AC:AE ＝5:1，BC:CD ＝4:1，BA:BF ＝6:1，那么，△DEF 的面积是△ABC 的几分之几？【答案】61120【分析】S△AEF S △ABC=AE×AF AC×AB =1×55×6=16，S △BDF S △ABC =BD×BFBC×BA =3×14×6=18， S △CDE S △ABC=CD×CECB×CA =1×44×5=15，S △DEF S △ABC=S △ABC −S △AEF −S △BDF −S △CDES △ABC=1−16−18−15=61120. 30. 如图，△ABC 的面积是36，并且AE =13AC ，CD =14BC ，BF =15AB ，试求△DEF 的面积．【答案】15【分析】详解：由鸟头模型可得，S △AEF =36×45×13=485,S △BED =36×15×34=275,S △CDE =36×14×23=6,S △DEF =36−485−275−6=15.31. 如图，AE =15AC ，CD =14BC ，BF =16AB ，那么S△DEF S △ABC等于多少？【答案】61120【分析】设S △ABC =1，那么根据悬空=整体−空白,S △DEF =S △ABC −S △AEF −S △BDF −S △DEC现在分别去求S △AEF 、S △BDF 、S △DEC ，由鸟头定理知道：S △AEF =(AF AB ×AE AC )S △ABC =(56×15)S △ABC =16S △ABC同理：S △BDF =(BF AB ×BD BC )S △ABC =16×34S △ABC =18S △ABCS △DEC =(EC AC ×DC BC )S △ABC =45×14S △ABC =15S △ABC所以：S △DEF =(1−16−18−15)S △ABC =61120S △ABC ,S △DEF S △ABC =61120.32. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且AD:AB ＝2:5，AE:AC ＝4:7，S △ADE ＝16平方厘米，求△ABC 的面积．【答案】70平方厘米【分析】S △ADE :S △ABC=(AD ×AE):(AB ×AC)=(2×4):(7×5)=8:35,因为S △ADE =16(平方厘米)，所以S △ABC =16÷8×35=70(平方厘米)．33. 如图，AE =13AC ，CD =14BC ，BF =15AB ，试求 $\dfrac{\text{三角形$ DEF $的面积}}{\text{三角形$ ABC $的面积}}$ 的值？【答案】512 【分析】S △AEFS △ABC =AE×AFAC×AB =1×43×5=415，S △BDF S △ABC=BD×BF BC×BA=1×35×4=320，S △CDE S △ABC=CD×CE CB×CA=1×24×3=16，所以S △DEF S △ABC=S △ABC −S △AEF −S △BDF −S △CDES △ABC=1−415−320−16=512. 34. 如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN =BN ．那么，阴影局部的面积是多少？【答案】512【分析】S △ABD =12，S △AMN :S △ABD =(AM ×AN ):(AB ×AD )=1:6，S △AMN =112，所以阴影局部的面积为S 阴=12−112=512．35. 如图，三角形ABC 的面积为3，其中AB:BE ＝2:5，BC:CD ＝3:2，三角形BDE 的面积是多少？【答案】12.5【分析】BC:BD =3:(3+2)=3:5，S △ABC :S △BDE =(2×3):(5×5)=6:25，S △ABC =256S △BDE =256×3=12.5．36. 把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH ．如果ABCD 的面积是5平方厘米，那么EFGH 的面积是多少？【答案】65平方厘米【分析】连接BD ，由共角定理知：S △ABD S △AEH =AB ×AD AE ×AH =1×12×3=16, S △BCD S △CFG =BC ×CD CF ×CG =1×13×2=16, S △AEH +S △CFG =6S ABCD ,同理连接AC ，可得：S △BEF +S △DGH =6S ABCD ,所以S EFGH =(6+6+1)S ABCD =13×5=65cm 2．37. 如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两局部BD =DC =4,BE =3,AE =6，乙局部面积是甲局部面积的几倍？【答案】5【分析】BD:BC =4:(4+4)=1:2,BE:BA =3:(3+6)=1:3，S △BDE :S △ABC =(1×1):(3×2)=1:6，S △BDE =16S △ABC ，S 四边形ACDE =S △ABC −16S △ABC =56S △ABC ，S △BDE :S 四边形ACDE =16:56=1:5．38. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF =2CF ，三角形AFE 〔图中阴影局部〕的面积为8平方厘米．平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【答案】48平方厘米【分析】S △AEF :S △ABC =(AE ×AF):(AB ×AC)=(1×2):(2×3)=1:3,S △ABC =3S △AEF =3×8=24,S 四边形ABCD =2×24=48(平方厘米)．39. 如图，在三角形ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AB 上的一点，且BE =13AB ，四边形ACDE 的面积是35，求三角形ABC 的面积．【答案】42【分析】S △BDE :S △ABC=(BD ×BE):(BC ×BA)=(1×1):(2×3)=1:6,那么S △BDE=16S △ABC ，S 四边形ACDE =S △ABC −16S △ABC =56S △ABC ，所以：S △ABC =35÷56=42．40. 如下图，在直角三角形ABC 中，AC 的长3厘米，CB 的长4厘米，AB 的长5厘米，有一只小虫从C 点出发，沿CB 以1厘米/秒的速度向B 爬行；另一只小虫从B 点出发，沿BA 以1厘米/秒的速度向A 爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形？〔请写出所有答案〕【答案】2秒、2013秒或3213秒．【分析】设经过了x 秒，那么BE =x 厘米，CD =x 厘米，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形的情况有三种：〔1〕以B 为等腰三角形顶角所在的顶点，即BD =BE 〔如图1〕．这个最好算，BD =4−x ，BE =x ，故x =4−x ，解得x =2；〔2〕以E 为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED =EB ，如图2，从E 向BD 作垂线，垂足为F ，在金字塔BEFAC 种，BE BA =BF BC ，即x 5=BF 4，所以BF =45x ．利用CD +DF +FB =4列出方程x +45x +45x =4，解得x =2013；〔或者利用△BEF 和△BAC 相似，得BE BF =54，即x BF =54，所以BF =45x 〕〔3〕以D 为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED =DB ，如图3，从D 向AB 作垂线，垂足为F ，利用△BFD 和△BCA 相似得BF BD =45，即BF 4−x =45，所以BF =45(4−x)．利用BE =2BF 列出方程x =45(4−x)×2，解得x =3213．综上，经过2秒或2013秒或3213秒后，两只小虫所在的位置D 、E 与B 组成的三角形DBE 是等腰三角形．41. 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【答案】16.2【分析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD ，小正方形为MNDE ，EB 分别交AC,AD 于O,H 两点，AO:OC =AB:EC =12:20=3:5, AH:BC =AO:OC =3:5,所以AO:AC =3:8, AH:AD =3:5,S △AHO :S △ADC =9:40.因为 S △ADC =12×122=72, 所以 S △AHO =940S △ADC =940×72=16.2. 42. 如下图，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？【答案】12【分析】连接AF 、EG ．因为S △CDE =14×82=16，根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，S △AEF =8，S △EFG =8，再根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，得到S △BFC =16，S ABFE =32，S △ABF =24，所以S △ABG =12(平方厘米). 43. 如图，在△ABC 中，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长BC 至E ，使CE =12BC ，F 是AC 的中点，假设△ABC 的面积是2，那么△DEF 的面积是多少？【答案】3.5【分析】因为在△ABC 和△CFE 中，∠ACB 与∠FCE 互补，所以S △ABC S △FCE =AC ⋅BC FC ⋅CE =2×21×1=41. 又因为S △ABC =2，所以S △FCE =0.5．同理可得S △ADF =2，S △BDE =3．所以S △DEF =S △ABC +S △CEF +S △DEB −S △ADF =2+0.5+3−2=3.5. 44. 长方形ABCD 的面积为36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影局部面积是多少？【答案】13.5【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下列图：可得：S △EHB =12S △AHB 、S △FHB =12S △CHB 、S △DHG =12S △DHC ，而S ABCD =S △AHB +S △CHB +S △CHD =36．即S △EHB +S △BHF +S △DHG =12(S △AHB +S △CHB +S △CHD )=12×36=18;而S △EHB +S △BHF +S △DHG =S 阴影+S △EBF ，S △EBF =12×BE ×BF =12×(12×AB)×(12×BC)=18×36=4.5. 所以阴影局部的面积是：S 阴影=18−S △EBF =18−4.5=13.5．解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成下列图：这样阴影局部的面积就是△DEF 的面积，根据鸟头定理，那么有：S 阴影=S ABCD −S △AED −S △BEF −S △CFD=36−12×12×36−12×12×12×36−12×12×36=13.5. 45. 长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影局部面积是多少？【答案】13.5平方厘米【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下列图：可得： S △EHB =12S △AHB 、S △FHB =12S △CHB 、S △DHG =12S △DHC , 而S ABCD =S △AHB +S △CHB +S △CHD =36(平方厘米).即S △EHB +S △BHF +S △DHG =12(S △AHB +S △CHB +S △CHD )=12×36=18. 而S △EHB +S △BHF +S △DHG =S 阴影+S △EBFS △EBF =12×BE ×BF =12×(12×AB)×(12×BC)=18×36=4.5. 所以阴影局部的面积是：S 阴影=18−S △EBF =18−4.5=13.5(平方厘米).解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成下列图：这样阴影局部的面积就是△DEF的面积，根据鸟头定理，那么有：S阴影7=S ABCD−S△AED−S△BEF−S△CFD=36−12×12×36−12×12×12×36−12×12×36=13.5。

小学奥数题库《几何》-直线型-鸟头模型-3星题(含解析)

几何-直线型几何-鸟头模型-3星题课程目标知识提要鸟头模型•概念两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。

•特征共角三角形的面积比等于共角〔相等角或者互补角〕两夹边的乘积之比。

$S_{\triangle ABC}\mathbin{:}S_{\triangle ADE}=(AB\times AC)\mathbin{:}(AD\times AE)$精选例题鸟头模型1. 如下列图所示，点Qʹ和Rʹ三等分XʹX，Rʹ和Pʹ三等分YʹY，Qʹ和Pʹ三等分ZʹZ．△PQR 面积是△PʹQʹRʹ面积的倍．【答案】25【分析】连接ZYʹ,XʹY,XZʹ，根据鸟头模型，可以得到△PʹYʹZ,△XʹYRʹ,△XQʹZʹ都是△PʹQʹRʹ的4倍，那么可以得到平行四边形PZPʹYʹ、XʹRʹYR、XQʹZʹQ均为△PʹQʹRʹ的8倍，图中的三个小三角形的面积都与△PʹQʹRʹ的面积相等，那么△PQR面积是△PʹQʹRʹ面积的8×3+1= 25(倍)．2. 如下图，正方形ABCD边长为6厘米，AE=13AC，CF=13BC．三角形DEF的面积为平方厘米．【答案】10【分析】由题意知AE=13AC、CF=13BC,可得CE=23 AC.根据〞共角定理〞可得，S△CEF:S△ABC=(CF×CE):(CB×AC)=(1×2):(3×3)=2:9;而S△ABC=6×6÷2=18;所以S△CEF=4;同理得，S△CDE:S△ACD=2:3,S△CDE=18÷3×2=12,S△CDF=6故S△DEF=S△CEF+S△DEC−S△DFC=4+12−6=10(平方厘米).3. 如下列图所示，三角形ABC的面积为1，且AD=13AB,BE=14BC,CF=15CA，那么三角形DEF的面积是．【答案】512【分析】先分别求出△ADF、△BDE、△CEF的面积，再用△ABC的面积减去这三个三角形的面积即为△DEF的面积．因为，AD=13AB,CF=15CA，所以，AF=45AC，根据“鸟头定理〞，S△ADF=45×13S△ABC=415，同理可得，S△BDE=23×14×1=16，S△CEF=34×15×1=320，所以S△DEF=1−415−16−320=512．4. 如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA＝AB，延长CA到E，使EA＝2AC，延长CB 到F，使FB＝3BC．如果三角形ABC的面积是1，那么三角形DEF的面积是．【答案】7【分析】S△CAB:S△CEF=(1×1):(3×4)=1:12，所以S△CEF=12，S△ABC:S△ADE=(1×1):(1×2)=1:2，所以S△ADE=2，S△BAC:S△BDF=(1×1):(2×3)=1:6，所以S△BDF=6，所以S△DEF=S△CEF−S△ABC+S△ADE−S△BDF=12−1+2−6=7.5. 如图．将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F．如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是．【答案】18【分析】〔法1〕连接AE、CD．因为S△ABCS△DBC =11，S△ABC=1，所以S△DBC=1．同理可得其它，最后三角形DEF的面积=18．〔法2〕用共角定理因为在△ABC和△CFE中，∠ACB与∠FCE互补，所以S△ABC S△FCE =AC⋅BCFC⋅CE=1×14×2=18.又S△ABC=1，所以S△FCE=8．同理可得S△ADF=6，S△BDE=3．所以S△DEF=S△ABC+S△FCE+S△ADF+S△BDE=1+8+6+3=18.6. 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，假设四边形ABCD的面积为5，那么四边形EFGH的面积是．【答案】60【分析】连接AC、BD．由于BE=2AB,BF=2BC,于是S△BEF=4S△ABC,同理S△HDG=4S△ADC,于是S△BEF+S△HDG=4S△ABC+4S△ADC=4S ABCD,再由于AE=3AB,AH=3AD,于是S△AEH=9S△ABD,同理S△CFG=9S△CBD,于是S△AEH+S△CFG=9S△ABD+9S△CBD=9S ABCD,那么S EFGH=S△BEF+S△HDG+S△AEH+S△CFG−S ABCD=4S ABCD+9S ABCD−S ABCD=12S ABCD=60.7. 正方形ABCD边长为6厘米，AE=13AC,CF=13BC．三角形DEF的面积为平方厘米．【答案】10【分析】正方形的面积为6×6=36(平方厘米)，那么根据鸟头模型可以得出S△ADE=13×S△ACD=13×12×36=6(平方厘米),S△CDF=13×S△BCD=13×12×36=6(平方厘米),S ABFE=S△ABC−S△CEF=18−18×13×23=14(平方厘米),阴影局部面积为36−6−6−14=10(平方厘米)．8. 如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，假设△ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是．【答案】730【分析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积．连接CM、CN．根据燕尾模型，S△ABM:S△ACM=BF:CF=2:1,S△ACM=2S△ADM,S△ABM=2S△ACM=4S△ADM,那么BM=4DM，即BM=45 BD.那么S△BMF=BMBD×BFBC×S△BCD=45×23×12=415,S 四边形CDMF =12 − ４15=730.另解：得出 S △ABM =2S △ACM =4S △ADM 后，可得S △ADM =15S △ABD =15×12=110,那么S 四边形CDMF =S △ACF −S △ADM =13−110=730.9. 如图，P 为四边形 ABCD 内部的点，AB:BC:DA =3:1:2，∠DAB =∠CBA =60°．图中所有三角形的面积都是整数．如果三角形 PAD 和三角形 PBC 的面积分别为 20 和 17，那么四边形 ABCD 的面积最大是．【答案】 147【分析】延长 AD ，BC 交于点 Q ，连接 PQ ．∠DAB =∠CBA =60°，所以三角形 ABQ 为正三角形．由于AB:BC:DA =3:1:2,所以 PCQD 的面积为20÷2+17×2=44;而三角形QCD面积占QAB面积的1 3×23=29,ABCD面积是QCD面积的(1−29)÷29=72.注意到ABCD中各三角形面积均为整数，所以QAB面积为9的倍数．QCD面积是2的倍数，所以QCD面积最大为42，ABCD面积最大为42×72=147.10. 如图，AD=DB，AE=EF=FC，阴影局部面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米．【答案】30平方厘米【分析】S△ADE=S△DEF，S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(1×1):(2×3)=1:6,所以S△ABC=5×6=30(平方厘米).11. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE〔图中阴影局部〕的面积为8平方厘米．平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【答案】48平方厘米【分析】S△AEF:S△ABC=(AE×AF):(AB×AC)=(1×2):(2×3)=1:3,S△ABC=3S△AEF=3×8=24,S四边形ABCD=2×24=48(平方厘米)．12. △CEF的面积为9平方厘米，BE=CE,AD=2BD，CF=3AF，求△DEF的面积．【答案】7平方厘米．【分析】S△CEF:S△ABC=(CE×CF):(CB×CA)=(1×3):(2×4)=3:8=9:24,所以三角形ABC的面积为24平方厘米S△BDE:S△ABC=(BD×BE):(BA×BC)=(1×1):(2×3)=1:6=4:24,S△ADF:S△ABC=(AD×AF):(AB×AC)=(2×1):(3×4)=1:6=4:24,所以S△DEF=24−4−4−9=7(平方厘米).13. 如图，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？【答案】17【分析】令三角形DEF为1份，那么根据共角模型，有：S△DEF S△AFC =EF×DFCF×FA=12.所以三角形AFC的面积为2份，同理，三角形ABD的面积为2份，三角形BEF的面积为2份．那么三角形ABC的面积为7份，对应面积为1，所以S三角形DEF =17．14. 如图，三角形ABC的面积为3，其中AB:BE＝2:5，BC:CD＝3:2，三角形BDE的面积是多少？【答案】12.5【分析】BC:BD=3:(3+2)=3:5，S△ABC :S△BDE=(2×3):(5×5)=6:25，S△ABC=25 6S△BDE=256×3=12.5．15. ，AC:AE＝5:1，BC:CD＝4:1，BA:BF＝6:1，那么，△DEF的面积是△ABC的几分之几？【答案】61120【分析】S△AEFS△ABC =AE×AFAC×AB=1×55×6=16，S△BDF S△ABC =BD×BFBC×BA=3×14×6=18，S△CDE S△ABC =CD×CECB×CA=1×44×5=15，S△DEFS△ABC=S△ABC−S△AEF−S△BDF−S△CDES△ABC=1−16−18−15=61120.16. 如下列图所示，在三角形ABC中，BC=6BD、AC=5EC、DG=GH=HE、AF= FG．请问三角形FGH与三角形ABC的面积比为何？【答案】19【分析】根据鸟头模型，S△ADC=56S△ABC,S△AED=45S△ADC,S△AGE=23S△AED,S△GHF=12×12×S△AGE,最后可以得出S△GHF=56×45×23×12×12×S△ABC=19S△ABC.17. 如图， AE =13AC ，CD =14BC ，BF =15AB ，试求 $\dfrac{\text{三角形$ DEF $的面积}}{\text{三角形$ ABC $的面积}}$ 的值？【答案】 512【分析】 S △AEF S △ABC=AE×AF AC×AB =1×43×5=415，S △BDF S △ABC=BD×BF BC×BA=1×35×4=320，S △CDES △ABC=CD×CE CB×CA=1×24×3=16，所以S △DEF S △ABC=S △ABC −S △AEF −S △BDF −S △CDES △ABC=1−415−320−16=512.18. 如图，把三角形 DEF 的各边向外延长 2 倍后得到三角形 ABC ，三角形 ABC 的面积为 1. 三角形 DEF 的面积是多少？【答案】 119【分析】令三角形 DEF 为 1 份，那么根据共角模型，有：S△DEF S△AFC =EF×DFCF×FA=16.所以三角形AFC的面积为6份，同理，三角形ABD的面积为6份，三角形BEF的面积为6份．那么三角形ABC的面积为1+6+6+6=19份，对应面积为1，所以S三角形DEF =119．19. 如图，四边形EFGH的面积是75平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD的面积．【答案】15平方米．【分析】连接BD，由鸟头知：S△BCD S△FCG =BC⋅DCFC⋅CG=1×12×1=12S△ABD S△AEH =AD⋅ABAH⋅AE=1×12×1=12,所以S△FCG+S△AEH=2S四边形ABCD 连接AC，同理可得：S△BEF+S△DHG=2S四边形ABCD,S四边形EFGH =5S四边形ABCD又因为四边形EFGH的面积是75平方米所以四边形ABCD的面积是75÷5=15(平方米).20. 如图，△ABC的面积是36，并且AE=13AC，CD=14BC，BF=15AB，试求△DEF的面积．【答案】15【分析】详解：由鸟头模型可得，S△AEF=36×45×13=485,S△BED=36×15×34=275,S△CDE=36×14×23=6,S△DEF=36−485−275−6=15.21. 分别延长四边形ABCD的四个边，使得AB=BAʹ,BC=CBʹ,CD=DCʹ,DA=ADʹ〔如下列图所示〕．如果四边形ABCD的面积是1平方厘米，请问四边形AʹBʹCʹDʹ的面积为多少平方厘米？【答案】5【分析】连接BD，根据鸟头模型，可得S△AAʹDʹ=1×2×S△ABD=2S△ABD,S△CCʹBʹ=1×2×S△BCD=2S△BCD,那么可得S△AAʹDʹ+S△CCʹBʹ=2S四边形ABCD连接AC，同理可得：S△DDʹCʹ+S△BBʹAʹ=2S四边形ABCD所以整个图形的面积是2+2+1=5(平方厘米).22. 如图，平行四边形ABCD，BE＝AB，CF＝2CB，GD＝3DC，HA＝4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．【答案】1:18【分析】连接AC，根据共角定理：S△ABC S△FBE =BA×BCBE×BF=1×11×3=13,又因为S△ABC=1，所以，S△FBE=3，同理可得：S△GCF=8,连接BD，S△DHG=15,S△AEH=8．所以S EFGH=S△AEH+S△CFG+S△DHG+S△BEF=8+8+15+3+2=36,S ABCD:S EFGH=2:36=1:18．23. 如图，三角形ABC面积为1，延长BA至D，使得DA=AB；延长CA至E，使得EA=2AC；延长CB至F，使得FB=3BC，求三角形DEF的面积？【答案】7【分析】S△ADE S△ABC =AD×AEAB×AC=2,S△CEF S△ABC =CE×CFCA×CB=3×4=12,S△DBF S△ABC =DB×BFBA×CB=2×3=6,S△DEF=S△ADE+S△CEF−S△DBF−S△ABC =2+12−6−1=7.24. 三角形ABC中，BD的长度是的AB的14，AE的长度是AC的13．三角形AED的面积是8，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】32【分析】简答：8÷(34×13)=32．25. 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD＝5:2，AE:EC＝3:2，S△ADE＝12平方厘米，求△ABC的面积．【答案】50平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(3×2):(5×5)=6:25,因为S△ADE=12(平方厘米)，所以S△ABC=12÷6×25=50(平方厘米)．26. 如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED 的面积是10，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】20【分析】详解：AD 是 AB 的 34，AE 是 AC 的 23，根据鸟头模型，有 △ADE 的面积是 △ABC 面积的 34×23=12．那么 △ABC 的面积是 20．27. 如图， AE =15AC ，CD =14BC ，BF =16AB ，那么 S△DEF S △ABC 等于多少？【答案】 61120【分析】设 S △ABC =1，那么根据悬空=整体−空白,S △DEF =S △ABC −S △AEF −S △BDF −S △DEC现在分别去求 S △AEF 、S △BDF 、S △DEC ，由鸟头定理知道：S △AEF =(AF AB ×AE AC )S △ABC =(56×15)S △ABC =16S △ABC同理：S △BDF =(BF AB ×BD BC )S △ABC =16×34S △ABC =18S △ABC S △DEC =(EC AC ×DC BC )S △ABC =45×14S △ABC =15S △ABC所以： S △DEF =(1−16−18−15)S △ABC =61120S △ABC,S △DEF S △ABC =61120.28. 如图，在三角形 ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且 BE =13AB ，四边形 ACDE 的面积是 35，求三角形 ABC 的面积．【答案】42【分析】S△BDE:S△ABC=(BD×BE):(BC×BA)=(1×1):(2×3)=1:6,那么S△BDE=16S△ABC，S四边形ACDE=S△ABC−16S△ABC=56S△ABC，所以：S△ABC=35÷56=42．29. 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【答案】16.2【分析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB分别交AC,AD于O,H两点，AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,AH:BC=AO:OC=3:5,所以AO:AC=3:8,AH:AD=3:5,S△AHO:S△ADC=9:40.因为S△ADC=12×122=72,所以S△AHO=940S△ADC=940×72=16.2.30. 如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】15【分析】S△ADE :S△ABC=(1×1):(5×3)=1:15，S△ABC=15S△ADE=15×1=15．31. 如下图，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？【答案】12【分析】连接AF、EG．因为S△CDE=14×82=16，根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，S△AEF=8，S△EFG=8，再根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，得到S△BFC=16，S ABFE=32，S△ABF=24，所以S△ABG=12(平方厘米).32. 如图，AD:DB=1:4，AE:EC=1:5，如果△ABC的面积是120，那么△ADE的面积是多少？【答案】4【分析】简答：由条件得AD:AB=1:5,AE:AC=1:6,利用“共角三角形〞性质得三角形AED的面积是120×15×16=4.33. 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两局部BD=DC=4,BE=3,AE=6，乙局部面积是甲局部面积的几倍？【答案】5【分析】BD:BC=4:(4+4)=1:2,BE:BA=3:(3+6)=1:3，S△BDE :S△ABC=(1×1):(3×2)=1:6，S△BDE =16S△ABC，S四边形ACDE=S△ABC−16S△ABC=56S△ABC，S△BDE:S四边形ACDE =16:56=1:5．34. 如图，三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积．【答案】18【分析】S△ADFS△ABC =AD×AFAB×AC=2×31×1=6，S△BDE S△ABC =BD×BEAB×BC=1×31×1=3，S△CEF S△ABC =CE×CFBC×AC=2×41×1=8．所以S△DEF S△ABC =S△ADFS△ABC+S△BDES△ABC+S△CEFS△ABC+S△ABCS△ABC =6+3+8+1=18,S△DEF=18S△ABC=18．35. 如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE=2:5，BC:CD=3:2，三角形BDE的面积是多少？【答案】12.5平方厘米．【分析】由于∠ABC+∠DBE=180∘，所以可以用共角定理，设AB=2份，BC=3份，那么BE=5份，BD=3+2=5份，由共角定理S△ABC:S△BDE=(AB×BC):(BE×BD)=(2×3):(5×5)=6:25,设S△ABC=6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25×0.5=12.5(平方厘米),三角形BDE的面积是12.5平方厘米．36. 如图，长方形的面积是16，BE=3BD，CE=CF．请问：三角形BEC的面积是多少？【答案】3【分析】详解：连结DF，根据鸟头模型，可知△BCE面积是△DEF面积的3 4×12=38.那么△BCE的面积是16×12×38=3.37. 如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN=BN．那么，阴影局部的面积是多少？【答案】512【分析】S△ABD=12，S△AMN:S△ABD=(AM×AN):(AB×AD)=1:6，S△AMN=112，所以阴影局部的面积为S阴=12−112=512．38. 如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=12BC，F是AC 的中点，假设△ABC的面积是2，那么△DEF的面积是多少？【答案】 3.5【分析】因为在△ABC和△CFE中，∠ACB与∠FCE互补，所以S△ABC S△FCE =AC⋅BCFC⋅CE=2×21×1=41.又因为S△ABC=2，所以S△FCE=0.5．同理可得S△ADF=2，S△BDE=3．所以S△DEF=S△ABC+S△CEF+S△DEB−S△ADF=2+0.5+3−2=3.5.39. 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:BD=5:7，AE:EC=3:2，S△ADE=36平方厘米，求△ABC的面积．【答案】150平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=[3×(7−5)]:[5×(3+2)]=6:25,因为S△ADE=36(平方厘米)，所以S△ABC=36÷6×25=150(平方厘米)．40. △DEF的面积为7平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面积．【答案】24平方厘米【分析】S△BDES△ABC =BD×BEBA×BC=1×13×2=16，S△CEF S△ABC =CE×CFCB×CA=1×32×4=38，S△ADF S△ABC =AD×AFAB×AC=2×13×4=16，S△DEFS△ABC=S△ABC−S△BDE−S△CEF−S△ADFS△ABC=1−16−38−16=724,又△DEF的面积为7平方厘米，所以S△ABC=7÷724=24(平方厘米).41. 鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位．三百回合大战后，两人不分胜负．突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖．说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“嘡〞的一声，飞镖被劈成了两半．如下列图所示，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那局部残片占到整体面积的几分之几？【答案】107300【分析】对图形进行分割，分割过程如下：即所给我我们的图形共有12个小正三角形组成，令每一个小正三角形的面积为1，那么根据共角模型有：S三角形BDE S三角形BAC =BD×BEAB×AC=11×1315×15=143225.所以四边形ACDE的面积为：(1−143225)×9=8225.所以较小的残片的面积为：82 25+1=10725.所以较小残片占整个面积的：10725 12= 107 300.42. 如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积．【答案】9.2平方厘米；9.2平方厘米；13.8平方厘米；13.8平方厘米．【分析】S△ABF:S△ABE=(AB×FB):(AB×EB)=2,所以S△ABF=2×S△ABE=9.2(平方厘米);因为△ABD和△ACD同底等高，所以S△ABD=S△ACD,因而S△CDF=S△ACD−S△AFD=S△ABD−S△AFD=S△ABF=9.2(平方厘米);S△ABD:S△ABE=(AB×DB):(AB×EB)=3,所以S△ABD=3×S△ABE=13.8;所以S△ACD=S△ABD=13.8(平方厘米).43. 如图，三角形ABC中，AB是AD的6倍，EC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】24【分析】S△ADE:S△ABC=(1×1):(6×4)=1:24，S△ABC=24S△ADE=24×1=24．44. 把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，那么EFGH的面积是多少？【答案】65平方厘米【分析】连接BD，由共角定理知：S△ABD S△AEH =AB×ADAE×AH=1×12×3=16,S△BCD S△CFG =BC×CDCF×CG=1×13×2=16,S△AEH+S△CFG=6S ABCD,同理连接AC，可得：S△BEF+S△DGH=6S ABCD,所以S EFGH=(6+6+1)S ABCD=13×5=65cm2．45. 如图，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，那么EFGH的面积是多少平方厘米？【答案】25平方厘米【分析】连接BD，有△ABD中∠EAD+∠BAD=180∘，又夹成两角的边EA、AH、AB、AD的乘积比，EA×AHAB×AD=2，所以S△EAH=2S△EAD．类似的，还可得S△FCG=2S△BCD，有S△EAH+S△FCG=2(S△ABD+S△BCD)=10,同理可证：S△EBF+S△DHG=2(S△ABD+S△BCD)=10,所以四边形EFGH的面积是10+10+5=25(立方厘米)．46. 下列图中的三角形ABC被分成了甲〔阴影局部〕、乙两局部，BD=DC=4,BE=3,AE= 6．求甲局部面积占乙局部面积的几分之几．【答案】15【分析】BEBA =33+6=13,BDBC=44+4=12，根据鸟头模型，甲局部占整个图形面积的13×12=16，那么甲局部占乙局部的15．47. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD:AB＝2:5，AE:AC＝4:7，S△ADE＝16平方厘米，求△ABC的面积．【答案】70平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(2×4):(7×5)=8:35,因为S△ADE=16(平方厘米)，所以S△ABC=16÷8×35=70(平方厘米)．48. 长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影局部面积是多少？【答案】13.5平方厘米【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下列图：可得：S△EHB=12S△AHB、S△FHB=12S△CHB、S△DHG=12S△DHC,而S ABCD=S△AHB+S△CHB+S△CHD=36(平方厘米).即S△EHB+S△BHF+S△DHG=12(S△AHB+S△CHB+S△CHD)=12×36=18.而S△EHB+S△BHF+S△DHG=S阴影+S△EBFS△EBF=12×BE×BF=12×(12×AB)×(12×BC)=18×36=4.5.所以阴影局部的面积是：S阴影=18−S△EBF=18−4.5=13.5(平方厘米).解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成下列图：这样阴影局部的面积就是△DEF的面积，根据鸟头定理，那么有：S阴影7=S ABCD−S△AED−S△BEF−S△CFD=36−12×12×36−12×12×12×36−12×12×36=13.549. 如下图，平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求△BMG的面积．【答案】130【分析】解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF∥BD，而FD:BC=FH:HC=1:2,EB:CD=BG:GD=1:2.所以CH:CF=GH:EF=2:3,并得G、H是BD的三等分点，可得BG=GH，所以BG:EF=BM:MF=2:3,所以BM=25 BF,S△BFD=12S△ABD=12×12S平行四边形ABCD=14;又因为BG=13 BD,所以S△BMG=13×25×S△BFD=13×25×14=130.解法二：延长CE交DA于I，如下列图，可得，AI:BC=AE:EB=1:1,从而可以确定M的点的位置，BM:MF=BC:IF=2:3,BM=25 BF,BG=13 BD可得S△BMG=25×13S△BDF=25×13×14S平行四边形ABCD=130.50. 如下图，在长方形ABCD中，DE=CE，CF=2BF，如果长方形ABCD的面积为18，那么阴影局部的面积是多少？【答案】6【分析】简答：由于长方形ABCD的面积为18，可知三角形BCD的面积为9，三角形CEF 的面积为三角形BCD的面积的1 2×23=13,那么阴影局部的面积是9×(1−13)=6.51. 如图，△ABC中，AD:AB＝2:3，AE:AC＝4:5，求：△AED的面积是△ABC面积的几分之几？【答案】815【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(2×4):(3×5)=8:15,所以△AED的面积是△ABC面积的815．52. 如图，长方形ABCD的面积是48，BE:CE=3:5，DF:CF=1:2．三角形CFE面积是多少？【答案】10【分析】简答：48×12×58×23=10．53. 如下图，∠A=∠B=60∘，且AB=24，BD=16，AC=8，而且三角形CDE的面积等于四边形ABEC的面积．请问：DE的长度是多少？【答案】14【分析】如下列图所示，延长AC和BD交于点F．由于∠A=∠B=60∘，因此△ABF为等边三角形，那么AF=BF=AB=24.而BD=16，AC=8，由此可得CF=16，DF=8，所以△CDF是△ABF的16×8 24×24= 2 9.又知△CDE的面积等于四边形ABEC的面积，△CDE的面积是△ABF的(1−29)×12=718,那么DF:DE=29:718=4:7,因此DE=14．54. 如下图，在直角三角形ABC中，AC的长3厘米，CB的长4厘米，AB的长5厘米，有一只小虫从C点出发，沿CB以1厘米/秒的速度向B爬行；另一只小虫从B点出发，沿BA以1厘米/秒的速度向A爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形DBE是等腰三角形？〔请写出所有答案〕【答案】2秒、2013秒或3213秒．【分析】设经过了x秒，那么BE=x厘米，CD=x厘米，两只小虫所在的位置D、E与B 组成的三角形DBE是等腰三角形的情况有三种：〔1〕以B为等腰三角形顶角所在的顶点，即BD=BE〔如图1〕．这个最好算，BD=4−x，BE=x，故x=4−x，解得x=2；〔2〕以E为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=EB，如图2，从E向BD作垂线，垂足为F，在金字塔BEFAC种，BEBA =BFBC，即x5=BF4，所以BF=45x．利用CD+DF+FB=4列出方程x+45x+45x=4，解得x=2013；〔或者利用△BEF和△BAC相似，得BEBF=54，即xBF=54，所以BF=45x〕〔3〕以D为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=DB，如图3，从D向AB作垂线，垂足为F，利用△BFD和△BCA相似得BFBD =45，即BF4−x=45，所以BF=45(4−x)．利用BE=2BF列出方程x=45(4−x)×2，解得x=3213．综上，经过2秒或2013秒或3213秒后，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形DBE是等腰三角形．55. 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影局部面积是多少？【答案】 13.5【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如下列图：可得：S △EHB =12S △AHB 、S △FHB =12S △CHB 、S △DHG =12S △DHC ，而 S ABCD =S △AHB +S △CHB +S △CHD =36．即S △EHB +S △BHF +S △DHG=12(S △AHB +S △CHB +S △CHD )=12×36=18;而 S △EHB +S △BHF +S △DHG =S 阴影+S △EBF ，S △EBF =12×BE ×BF=12×(12×AB)×(12×BC)=18×36=4.5. 所以阴影局部的面积是：S 阴影=18−S △EBF =18−4.5=13.5．解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，那么图形就可变成下列图：。

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