常见连续时间信号的频谱
信号与系统中的连续时间信号分析
信号与系统中的连续时间信号分析在信号与系统学科中，连续时间信号分析是一项重要的研究领域。
它涉及到对连续时间信号的特性和行为进行深入的研究与分析。
通过对连续时间信号的理解，我们可以更好地理解和应用于实际系统中。
连续时间信号是一种在时间上是连续的信号，与离散信号相对应。
通过对连续时间信号的分析，我们可以研究信号的频谱特性、系统响应以及信号处理等方面的问题。
下面将介绍一些连续时间信号分析的重要概念和方法。
一、连续时间信号的分类在连续时间信号的分析中，我们将信号分为不同的类型，以便更好地理解和处理它们。
常见的连续时间信号类型包括周期信号、非周期信号、能量信号和功率信号。
1. 周期信号周期信号是指信号在时间上具有重复性质的信号。
在数学上，周期信号可以表示为f(t) = f(t ± T)，其中T是信号的周期。
周期信号在通信系统中经常出现，例如正弦信号、方波信号等。
2. 非周期信号非周期信号是指无法用周期性来描述的信号。
非周期信号在实际应用中也非常常见，例如脉冲信号、指数信号等。
3. 能量信号能量信号是指信号的总能量有限，即信号在无穷远处的能量为零。
能量信号通常在短时间内集中能量，如方波信号、冲激信号等。
4. 功率信号功率信号是指信号的功率在无穷远处有限，即信号的总功率为有限值。
功率信号通常在长时间内分散能量，如正弦信号等。
二、连续时间信号的频谱分析频谱分析是连续时间信号分析的重要手段，通过对信号的频谱特性进行研究，可以了解信号的频率成分以及频率响应等信息。
1. 傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要工具。
通过傅里叶变换，我们可以将连续时间信号表示为不同频率分量的叠加。
2. 频谱密度函数频谱密度函数是描述信号功率随频率变化的函数。
通过计算信号的频谱密度函数，我们可以了解信号的频率特性和功率分布等信息。
三、连续时间系统的分析连续时间信号的分析还涉及到对系统的研究和分析。
连续时间系统是通过输入信号产生输出信号的物理系统，例如滤波器、放大器等。
信号与系统分析PPT电子教案第三章连续时间信号与系统的频谱分析
f (t ) A0 An cos(n1t n ) n1
A0
n1
An 2
[e e ] j(n1t n ) j(n1t n )
A0
1 2
n1
An
e e jn jn1t
1 2
n1
An
e e jn jn1t
上式中第三项的n用–n代换，则上式写为
f (t)
A0
1 2
n1
An e jn e jn1t
T0
因此，信号绝对可积就保证了 ak 的存在。
② 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值
为有限值。
③ 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。
其它形式
余弦形式 f (t) A0 An cos n1t n
2
n1
A0 a0
an An cosn
An an2 bn2
bn An sinn
cos
2 1 t
4
，
请画出其幅度谱和相位谱。
化为余弦形式
f (t) 1
5
cos(1t
0.15
)
cos
2 1 t
4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
A0 1
0 0
An A1 2.24
A0 1
A2 1
0 1 21
n
0.25
1
0
21
0.15
A1 5 2.236 1 0.15
在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋 于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信 号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性 延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非 周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时 的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋 于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期 信号的频域表示方法。
常见连续时间信号的频谱PPT(46张)
6. 单位阶跃信号 u(t)
u(t) 1 {u(t) u(-t)} 1 {u(t) - u(-t)} 1 1 sgn(t)
2
2
22
F[u(t)] πd () 1 j
u(t) 1
t 0
F( j)
(π)
0
( )
π/2
0 -π/2
2022/3/22
阶跃信号及其频谱
10
二、常见周期信号的频谱密度
2
]
0
0 0
-
2 d 2 arctan( ) 2π
2 2
-
2022/3/22
6
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
2022/3/22
傅里叶级数：
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d
n-
(
-
n0
)
2022/3/22
15
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (
连续时间信号的时域分析和频域分析
时域与频域分析的概述
时域分析
研究信号随时间变化的规律，主 要关注信号的幅度、相位、频率 等参数。
频域分析
将信号从时间域转换到频率域， 研究信号的频率成分和频率变化 规律。
02
连续时间信号的时
域分析
时域信号的定义与表示
定义
时域信号是在时间轴上取值的信号， 通常用 $x(t)$ 表示。
表示
时域信号可以用图形表示，即波形图 ，也可以用数学表达式表示。
05
实际应用案例
音频信号处理
音频信号的时域分析
波形分析：通过观察音频信号的时域波形，可 以初步了解信号的幅度、频率和相位信息。
特征提取：从音频信号中提取出各种特征，如 短时能量、短时过零率等，用于后续的分类或 识别。
音频信号的频域分析
傅里叶变换：将音频信号从时域转换 到频域，便于分析信号的频率成分。
通信系统
在通信系统中，傅里叶变 换用于信号调制和解调， 以及频谱分析和信号恢复。
时频分析方法
01
短时傅里叶变换
通过在时间上滑动窗口来分析信 号的局部特性，能够反映信号的 时频分布。
小波变换
02
03
希尔伯特-黄变换
通过小波基函数的伸缩和平移来 分析信号在不同尺度上的特性， 适用于非平稳信号的分析。
将信号分解成固有模态函数，能 够反映信号的局部特性和包络线 变化。
频域信号的运算
乘法运算
01
在频域中，两个信号的乘积对应于将它们的频域表示
相乘。
卷积运算
02 在频域中，两个信号的卷积对应于将它们的频域表示
相乘后再进行逆傅里叶变换。
滤波器设计
03
在频域中，通过对频域信号进行加权处理，可以设计
第三章连续信号的频谱介绍
第三章连续信号的频谱介绍连续信号的频谱是指将连续信号在频域上的表示，它能够展示信号在不同频率上的能量分布情况。
频谱分析是信号处理中的重要内容，能够帮助我们理解信号的特性，并进行信号的分析与处理。
在本章中，我们将详细介绍连续信号的频谱分析方法和相关概念。
1.连续信号的频谱连续信号是指在时间上是连续变化的信号，可以通过连续时间的函数来表示。
在频域上，连续信号可以通过傅里叶变换来表示。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，给出了信号在不同频率上的能量分布情况。
连续信号的频谱是傅里叶变换结果的模值，它反映了信号在不同频率上的能量大小。
2.连续傅里叶变换连续傅里叶变换(CFT)是一种将连续信号从时域转换到频域的方法。
通过对连续信号进行积分运算，可以得到信号的频谱表示。
连续傅里叶变换的公式如下：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示频率为ω的频谱，f(t)表示时域信号，e^(-jωt)是复指数函数。
通过计算不同频率ω下的复指数函数与信号的积分，可以得到连续信号的频谱。
3.连续信号的频谱性质连续信号的频谱具有以下几个重要性质：-零频率分量：频谱中的零频率分量表示了信号的直流分量，即信号在频域上的平均能量。
它在频谱中通常位于中心位置。
-频谱对称性：如果原始信号是实数信号，则频谱具有共轭对称性，即F(ω)=F*(-ω)，其中F*(-ω)表示F(ω)的共轭复数。
-线性性质：信号的线性组合的频谱等于各个信号频谱的线性组合。
-平移性质：将信号在时域上平移，会导致频谱在频域上平移同样的量。
- 抽样定理：如果信号的最高频率为f_max，则抽样频率f_s至少应为2f_max才能完整地恢复信号。
4.频谱分析方法为了获取连续信号的频谱信息，需要进行频谱分析。
-傅里叶变换：利用积分运算将信号从时域转换到频域。
-快速傅里叶变换(FFT)：快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，能够快速计算信号的频谱。
-功率谱密度(PSD)：功率谱密度是对信号能量在频域上进行定量描述的方法，可以用于分析信号的频率成分。
fft计算连续时间信号的频谱
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算离散时间信号频谱的算法。
但是，对于连续时间信号，FFT通常不能直接应用，因为连续时间信号是无限长的，而我们通常只能对有限长度的信号进行离散化和采样，然后应用FFT。
一种常见的做法是对连续时间信号进行采样，然后应用FFT计算其频谱。
采样率需要根据所需的频率分辨率以及信号中包含的最大频率来确定。
然后，通过FFT计算得到的频谱是采样信号的频谱，其频率是离散的，并且与采样率有关。
另一种方法是使用连续时间信号的参数模型，如传递函数或滤波器响应，然后通过傅里叶变换计算其频谱。
这通常需要使用一些更高级的数学工具，如微分方程或滤波器设计。
需要注意的是，对于许多实际应用，我们通常并不需要完全准确的连续时间信号的频谱。
相反，我们通常对信号在某些特定频率范围内的行为感兴趣。
在这种情况下，我们可以使用更简单的工具，如滤波器或频率响应函数来分析信号。
信号系统(陈后金)第4章-信号的频域分析
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
连续时间信号与系统的频域分析报告
连续时间信号与系统的频域分析报告1. 引言连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中的重要分支，通过将信号和系统转换到频域，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
本报告将对连续时间信号与系统的频域分析进行详细介绍，并通过实例进行说明。
2. 连续时间信号的频域表示连续时间信号可以通过傅里叶变换将其转换到频域。
傅里叶变换将信号分解成一系列不同频率的正弦和余弦波的和。
具体来说，对于连续时间信号x(t)，其傅里叶变换表示为X(ω)，其中ω表示频率。
3. 连续时间系统的频域表示连续时间系统可以通过频域中的频率响应来描述。
频率响应是系统对不同频率输入信号的响应情况。
通过系统函数H(ω)可以计算系统的频率响应。
系统函数是频域中系统输出与输入之比的函数，也可以通过傅里叶变换来表示。
4. 连续时间信号的频域分析频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性。
通过频域分析，我们可以获取信号的频率成分、频谱特性以及信号与系统之间的关系。
常用的频域分析方法包括功率谱密度估计、谱线估计等。
5. 连续时间系统的频域分析频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计。
通过分析系统的频响特性，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位变化情况，进而可以对系统进行优化和设计。
6. 实例分析以音频信号的频域分析为例，我们可以通过对音频信号进行傅里叶变换，将其转换到频域。
通过频域分析，我们可以获取音频信号的频谱图，从而了解音频信号的频率成分和频率能量分布情况。
进一步，我们可以对音频信号进行系统设计和处理，比如对音乐进行均衡、滤波等操作。
7. 结论连续时间信号与系统的频域分析是信号与系统理论中重要的内容，通过对信号和系统进行频域分析，可以更好地理解和分析信号的频谱特性。
频域分析也可以用于系统的性能评估和系统设计，对于音频信号的处理和优化具有重要意义。
总结：通过本报告，我们了解了连续时间信号与系统的频域分析的基本原理和方法。
频域分析可以帮助我们更好地理解信号的频谱特性和系统的频响特性，对系统设计和信号处理具有重要意义。
第3章 连续信号的频谱——傅里叶变换
• 直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波
器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分 析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。 • 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用 频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有 许多突出的优点。 • 当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少 的重要工具。 • 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数）， 它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径 和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域 中唯一的变换域方法。
nw1 nw1
0
w
nw1
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4.周期信号的功率特性
—时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) t T1 0 1 1 2 2 2 2 2 a0 ( an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
其傅里叶级数三角展开式中 仅含基波和奇次谐波
例子
例如：奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
T1 2
t
0
E 2
T1 2
t
sin( w1t )
E 2
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2 T1 2
f (t )
0
E 2
t
0
E 2
T1 2
常见连续时间信号的频谱
2020/5/31
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傅立叶变换的基本性质
● 线性性质 F [a f1(t) f2 (t)] aF [ f1(t)] F [ f2(t)] ● 位移性质 F [ f (t t0 )] e jt0 F [ f (t)] ● 微分性质 F [ f (n) (t)] ( j)n F [ f (t)]
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1. 虚指数信号 e j0t (- t )
F ( j)
(2π)
由-1 e-jt dt 2πd ()
0 0
虚指数信号频谱密度
得F[e j0t ] - e-j(-0 )t dt 2πd ( - 0 )
同理:
F[e-j0t ] - e-j(0 )t dt 2πd ( 0 )
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F ( j) 1 a2 2
() - arctan( ) a
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1. 单边指数信号
F ( j) 1 a2 2
f (t) e -at u(t)，a 0，
() - arctan( ) a
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
1 a
-
-j x
f (x)e a dx
1
F(j)
aa
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
2020/5/31
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4_3 连续周期信号的频谱
x(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减 x(t)连续时，一阶导数不连续时，Cn按1/n2的速度衰减
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~ x (t )
集中信号大多数功率的频率范围
A T0
Cn
A
T0
O
2
2π
2π
2
T0
t
0
0 2 π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围 (0 ~ 2π/ ) 称为周期矩形信号的有效频带宽度 B 2p 信号的有效带宽和时域持续时间成反比。
Cn
n A Sa( 0 ) T0 2
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱
[例] 计算周期三角波信号指数形式的傅里叶级数展开式。
~ x (t )
-2 1
0
2
t
解:
1 Cn T0
T0 2 T 0 2
(t )e x
jn0t
dt
1 1 1 1 0 jn0 t jn0t jn0t x ( t )e d t ( t )e d t t e dt 0 1 2 1 2
Poisson求和公式
连续周期信号的频谱
~ x (t )
A
n A Cn Sa( 0 ) T0 2
2π
A T0
Cn
2π
T0
O
2
2
T0
t
0
周期矩形信号的时域波形
~ x (t )
周期矩形信号的频谱
Cn
1/ 2
第3章 频谱分析
jn1t
n 1
F jn e
1
jn1t
式(3-9)又可写为
f t
F jn e
1
jn1t
F e
n
jn1t
(3-10)
第 3章
连续时间系统的频域分析
式(3-10)称为周期信号f(t)的指数形式傅立叶级数展开式, 其中F(jnω1)为傅立叶系数, 简写为Fn, 又称为频谱函数。 由于 Fn为复数, 所以式(3-10)又称为复系数形式傅立叶级数展开式。 傅立叶系数Fn为
(n=0, 1, 2, 3, …) 4 T /2 bn f t sin n1tdt T 0
an 0
第 3章
连续时间系统的频域分析
(3) 奇谐函数。 若周期信号f(t)波形沿时间轴平移半个周 期后与原波形相对于时间轴镜像对称, 即满足
T f t f t 2
bn 0
故
1 2 sinn π/ 4 f t a0 an cos n1t cos n1t 2 n π n 1 n 1
因此
1 a0 2
an
2 sinn π/ 4 nπ
第 3章
连续时间系统的频域分析
即 a0=0.5 a1=0.45 a2≈0.32 a3=0.15
1807年, 傅立叶以他惊人的洞察力大胆断言: 任何周期函数都
可以用收敛的正弦级数表示。 他的关于把信号分解为正弦分 量的思想对后来的自然科学等领域产生了巨大的影响。
周期信号是定义在(－∞, ∞)区间内, 每隔一定时间T按相
同规律重复变化的信号。 图3-1所示是实际的周期性非正弦信号, 它们一般表示为
信号理论知识点总结
信号理论知识点总结一、信号的基本概念信号是指随时间变化的某种物理量，它可以是电压、电流、声音、光、视频等形式。
信号可以分为连续信号和离散信号两种。
1. 连续信号：连续信号是指在给定的时间间隔内连续地变化的信号，例如模拟电路中的声音信号、电压信号等都是连续信号。
2. 离散信号：离散信号是指在一定的时间间隔内发生变化的信号，例如数字电路中的数字信号就是离散信号。
二、信号的分类1. 按时间变量分类：(1) 静态信号：信号在不同时间点的取值不发生变化，称为静态信号。
(2) 动态信号：信号在不同时间点的取值会发生变化，称为动态信号。
2. 按频率分布分类：(1) 短时信号：信号在频率上的分布相对较窄，信号在时间上的变化较快。
(2) 长时信号：信号在频率上的分布相对较宽，信号在时间上的变化较慢。
3. 按能量分布分类：(1) 有限能量信号：信号的总能量在有限时间内是有限的，通常用在瞬态信号中。
(2) 无限能量信号：信号的总能量在有限时间内是无限的，通常用在周期信号中。
三、信号的基本运算1. 信号的加法：(1) 连续信号的加法：两个连续信号相加的运算可以简单地通过将两个信号的函数表达式相加进行。
(2) 离散信号的加法：两个离散信号相加的运算也可以通过将两个信号在各个时间点上的取值加起来。
2. 信号的乘法：(1) 连续信号的乘法：两个连续信号相乘的运算可以通过将两个信号的函数表达式逐个相乘得到。
(2) 离散信号的乘法：两个离散信号相乘的运算同样可以通过将两个信号在各个时间点上的取值逐个相乘得到。
3. 信号的卷积：信号的卷积是一种重要的信号运算，它描述了两个信号之间的相互作用。
卷积的计算涉及到信号的积分，可以用于分析系统的输出响应等。
四、信号的频谱分析1. 连续信号的频谱分析：(1) 傅里叶变换：傅里叶变换是一种将连续信号从时间域变换到频率域的方法，通过傅里叶变换可以得到信号的频率特性。
(2) 傅里叶级数：对于周期信号，可以使用傅里叶级数将其分解为一系列正弦和余弦函数的和。
常见连续时间信号的频谱 ppt课件
(1)
1
t 0
0
单位冲激信号及其频谱
2020/7/9
5
常见连续时间信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,-<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的
方法求出其傅里叶变换。
F[1] lim F[1 e- | t| ]
0
lim[ 2 ] 0 2 2
2πd ()
2
0
lim[
0
2
f (t) e-at u(t)，a 0，
() - arctan( ) a
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
f (t)
F(j)
( )
1
1/a
π/2
t 20020/7/9
0
0
-π/2
3
常见连续时间信号的频谱
2. 双边指数信号 e-a|t|
F ( j) 20 f (t) costdt 20 e-at costdt
常见连续时间信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
-1 t 0 sgn(t) 0 t 0
1 t 0
F[sgn(t)e - t ] -0
(-1)et
e - jt
dt
0
e -t e - jt dt
e ( - j )t 0 -
e -( j )t --11- j来自j - j j2
]
0 0
-
2 d 2 arctan( ) 2π
2 2
-
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常见连续时间信号的频谱
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
4.3 连续周期信号的频谱-
衰减特性： 幅度频谱|Cn|随谐波n0增大时逐渐衰减，
并最终趋于零
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
连续周期信号的频谱特性
有效带宽
~x (t) A
T0
O
T0
t
2
2
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
通常将包含主要谐波分量的频率范围(0 ~ 2π/ )
Cn 0, n 1；n 3.
C3 e j2
连续周期信号的频谱
3 x(t)
0
t
-3
x(t) cos(0t 4) 2cos(30t 2)
C1
1 2
e j4 ,
C1
1 2
e j4,
C3 e j2,
C3 e j2
Cn 0, n 1；n 3.
~x (t) A
T0
O
T0
t
2
2
Cn
A
T0
Sa( n0 )
2
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
周期矩形信号的频谱
连续周期信号的频谱特性
离散特性：周期信号的频谱是由间隔为0 的谱线组成
Cn
A T0
2π
2π
0
0 2π T0
连续周期信号的频谱特性
连续周期信号的频谱
~x(t)
Cn e jn0t
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设1 引言随着科学技术的迅猛发展，电子设备和技术向集成化、数字化和高速化方向发展，而在学校特别是大学中，要想紧跟技术的发展，就要不断更新教学和实验设备。
传统仪器下的高校实验教学，已严重滞后于信息时代和工程实际的需要。
仪器设备很大部分陈旧，而先进的数字仪器(如数字存储示波器)价格昂贵不可能大量采购，同时其功能较为单一，与此相对应的是大学学科分类越来越细，每一专业都需要专用的测量仪器，因此仪器设备不能实现资源共享，造成了浪费。
虚拟仪器正是解决这一矛盾的最佳方案。
基于PC 平台的虚拟仪器，可以充分利用学校的微机资源，完成多种仪器功能，可以组合成功能强大的专用测试系统，还可以通过软件进行升级。
在通用计算机平台上，根据测试任务的需要来定义和设计仪器的测试功能，充分利用计算机来实现和扩展传统仪器功能，开发结构简单、操作方便、费用低的虚拟实验仪器，包括数字示波器、频谱分析仪、函数发生器等，既可以减少实验设备资金的投入，又为学生做创新性实验、掌握现代仪器技术提供了条件。
信号的时域分析主要是测量测试信号经滤波处理后的特征值，这些特征值以一个数值表示信号的某些时域特征，是对测试信号最简单直观的时域描述。
将测试信号采集到计算机后，在测试VI 中进行信号特征值处理，并在测试VI 前面板上直观地表示出信号的特征值，可以给测试VI 的使用者提供一个了解测试信号变化的快速途径。
信号的特征值分为幅值特征值、时间特征值和相位特征值。
尽管测量时采集到的信号是一个时域波形，但是由于时域分析工具较少，所以往往把问题转换到频域来处理。
信号的频域分析就是根据信号的频域描述来估计和分析信号的组成和特征量。
频域分析包括频谱分析、功率谱分析、相干函数分析以及频率响应函数分析。
信号在时域被抽样后,他的频谱X(j )是连续信号频谱X(j )的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。
常见连续时间信号的频谱
常见连续时间信号的频谱频谱是用来描述信号在不同频率上的能量分布的。
在信号处理中，常见的连续时间信号包括正弦信号、方波信号和三角波信号等。
下面将分别描述它们的频谱特性。
正弦信号是指具有连续时间的周期性振荡特征的信号。
它的频谱是一个单独的线谱，频谱图上只有一个频率分量。
该频率分量的幅度表示正弦波的振幅，相位表示信号在时间上的延迟或提前。
方波信号是一种具有快速上升和下降的信号，它在一个周期内以高电平和低电平交替出现。
方波信号的频谱是一个线谱，其中包含一系列频率成分，这些频率成分形成了奇数谐波的谐波级数。
频谱图中，频率分量的幅度和频率成分的奇数谐波级数呈现出明显的衰减规律。
三角波信号是一种具有连续变化斜率的信号，其波形类似于一条斜边倾斜上升再倾斜下降的直角三角形。
三角波信号的频谱也是一个线谱，其中包含一系列频率成分，这些频率成分形成了奇数谐波的谐波级数。
与方波信号不同的是，频谱图中的频率分量衰减得更加平缓，且奇数谐波的幅度逐渐递减。
综上所述，正弦信号的频谱是一个单独的频率分量，方波信号和三角波信号的频谱都是由奇数谐波级数的频率成分组成的。
不同信号的频率分量的幅度和衰减规律不同，这些频谱特性对于信号的合成和分析具有重要的指导意义。
常见的连续时间信号除了正弦信号、方波信号和三角波信号外，还包括矩形信号、指数信号和高斯脉冲信号等。
它们各自具有不同的周期性和非周期性特征，在频域上也表现出不同的频谱特性。
矩形信号是一种具有平坦上升和下降沿的信号，其波形类似于一个矩形框。
矩形信号的频谱是一个线谱，其中包含一系列频率成分，这些频率成分与方波信号的频谱类似，形成了奇数谐波的谐波级数。
不同的是，矩形信号的谐波级数幅度衰减得更快，频率成分的振幅更低。
指数信号是指幅度随时间以指数形式衰减或增长的信号。
指数信号的频谱是一个连续谱，在整个频率范围内都存在频率分量。
频谱图中，频率分量的幅度随着频率的增加而逐渐减小，呈现出指数衰减的特征。
连续信号的频谱(课堂PPT)
f (t) 1 F ()e jt d 2π
变换对简记：
傅氏反变换
f( t ) F( )
16
二、常用信号的频谱函数
信号与系统 3.2-17
门函数：
1 t
G (t) 0
2
t
2
F()
2 - 2
ejt dt
sin( 2
( )
)
Sa ( 2
)
2
图1
17
冲激函数( t )：
即：
F() (t)ejtdt 1 - (t) 1
即T( t )是无穷多个复指数的累加和。
end
13
3.3 周期信号的频谱
一、频谱图
如图1方波：有图2频谱图
f
(t)
4A π
(sin
1t
1 sin 3
31t
1 5
sin
51t
)
4A π
cos(1t
π) 2
1 3
cos(31t
π) 2
信号与系统 3.2-14
图1
图2
14
3.4 非周期信号的频谱
信号与系统 3.2-15
所以f( t )的傅里叶级数为
f
(t)
4A π
(sin
1t
1 sin 3
31t
1 sin 5
51t
)
5
周期方波的分解与合成 ：
信号与系统 3.2-6
图3
6
周期三角波的分解与合成 ：
信号与系统 3.2-7
图4
动画5：谐波分解
7
信号与系统 3.2-8
周期矩形脉冲和锯齿波的傅氏级数表示
f (t) 1
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19
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
2020/2/29
20
3
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
1
F( j)
(π)
(π)
t -0
0
0
余弦信号及其频谱函数
2020/2/29
12
二、常见周期信号的频谱密度
2. 正弦型信号
sin 0t
1 (e j0t 2j
- e-j0t ) F - jπ[d (
- 0 ) - d (
0 )]
sin 0t 1
2020/2/29
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d (
n-
-
n0 )
dT (t)
单位冲激串
(1)
及其频谱函数
F[dT (t)] (0 )
2020/2/29 - T 0 T
t
-0 0 0
16
4.3、功率谱密度的性质
● 利用已知的基本公式和Fourier变换的性质等
dT
(t)
d
n-
(t
-
nT
)
1 T
e
n-
jn0t
F[d T
(t)]
2π
n-
1d
T
(
-
n0
)
0
d
n-
(
-
n0
)
2020/2/29
15
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
F[d T
-1 t 0 sgn(t) 0 t 0
1 t 0
F[sgn(t)e-
t
]
0
-
(-1)et
e- jt
dt
0
e-t e- jt dt
- e( - j)t 0
- e -( j)t - 1
1
- j
j - j j
3. 单位冲激信号d(t)
F[d
(t)]
-
f (t)e-jt dt
-
d
(t)e
-
jt
dt
1
d (t)
F ( j)
(1)
1
t 0
0
单位冲激信号及其频谱
2020/2/29
5
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f(t)=1,-<t<
直流信号不满足绝对可积条件，可采用极限的
F[ f (at)]
1 a
-
-j x
f (x)e a dx
1
F(j)
aa
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
2020/2/29
25
8
4. 展缩特性 若f (t) F F( j) 则f (at) F 1 F( j ) aa
f (1 t) 2
2F (2 ) 2 A
2020/2/29
6
一、常见非周期信号的频谱
4. 直流信号f (t)
直流信号及其频谱 1
F ( j)
(2π)
0
t
0
对照冲激、直流时频曲线可看出:
时域持续越宽的信号，其频域的频谱越窄；
时域持续越窄的信号，其频域的频谱越宽。
2020/2/29
7
一、常见非周期信号的频谱
5. 符号函数信号
符号函数定义为
F( j) - f (t)e-jt dt 0 e-at e-jt dt
e -(a j)t
1
- (a j) 0 a j
➢ 幅度频谱为
F ( j) 1 a2 2
➢ 相位频谱为
() - arctan( ) a
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2
一、常见非周期信号的频谱
RX ( )
GX ()
2020/2/29
17
傅立叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性
7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性
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18
2
傅立叶变换的基本性质
2020/2/29
F1 ( j) F ( j)e- jT
A Sa( )e-jT
2
24
7
4. 展缩特性
若f (t) F F ( j)
则f (at) F
1
F(j )
aa
证明:
F[ f (at)] - f (at)e-jt dt
令 x = at，则 dx = adt ，代入上式可得
式中t0为任意实数
✓ 证明： F[ f (t - t0 )] - f (t - t0 )e-jt dt
令x = t-t0，则dx = dt，代入上式可得
F[ f (t - t0 )] - f (x)e-j(t0 x)dx F ( j) e - jt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域
F ( j )
(π)
t
-0 0
(π)
0
正弦信号及其频谱函数
( ) π/2
0
-π/2
13
二、常见周期信号的频谱密度
3. 一般周期信号
fT (t)
Cn
e
jn0t
n-
(0
2π ) T
两边同取傅里叶变换
F[ fT (t)] F( j) F[
Cn
e
jn0t
1. 单边指数信号
F ( j) 1 a2 2
f (t) e -at u(t)，a 0，
() - arctan( ) a
单边指数信号及其幅度频谱与相位频谱
f (t)
F(j)
( )
1
1/a
π/2
t 0 2020/2/29
0
0
-π/2
3
一、常见非周期信号的频谱
2. 双边指数信号 e-a|t|
0
f (t)
0.05
f (1.5t)
0.1
0.15
0.2
f (0.5t)
0.25
0.3
0.35
0.4
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 = 22050Hz
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10
5. 互易对称特性
若f (t) F F ( j)
f (t)
A
则F ( jt) F 2πf (-)
F(j) A
- 0
t
2
2
F(jt)/2
A
t
202-0/42π/29 - 2π 2π 4π
- 4π - 2π 2π 4π
f () A
- 0
2
2
28
11
6. 频移特性（调制定理）
若
f (t) F F ( j)
则
f (t) e j0t F F[ j( - 0 )]
F(j) = F*(j) ， F(j)是的实偶函数
当f(t)为实奇函数时，有
F(j) = - F*(j) ， F(j)是的虚奇函数
2020/2/29
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5
3. 时移特性
若f (t) F F ( j) 则f (t - t0 ) F F ( j) e- jt0
]
Cn
F[e jn0t
]
n-
n-
F[ fT (t)] 2π Cnd ( - n0 )
n-
2020/2/29
14
二、常见周期信号的频谱密度
4. 单位冲激串
dT (t) d (t - nT ) n-
因为dT (t)为周期信号，先将其展开为指数形式
傅里叶级数：
t
-
0
f (t)
t
-
2
2
f (2t)
A
2020/2/29-
t
44
- 0
F ( ) A
- 2 0 2
1 F(1)
22
1 A
2
- 4
0
4
26
9
尺度变换后语音信号的变化
f(t)
f(2t)
f(t/2)
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5
中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
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6
例1 试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频
谱函数F1(j)。
f1 (t )
A
f (t)
A
0
T
t
- 0
t
2
2
解： 无延时且宽度为 的矩形脉冲信号f(t) 如图，