沈阳师范大学数学分析2013考研专业课试题

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2013年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

代码： 855 科目名称： 数学分析 适用专业名称：基础数学、运筹学与控制论、应用数学

考生注意：请将答案写在答题纸上，写在本题签及草纸上无效。考试后本题签同答题纸一并交回。

一、（15分）求下列极限 1．3

1

0tan lim ;x x x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2

．2lim n n →∞ + + 二、（15分）证明：1.函数2()f x x = 在[,]a b 上一致连续，在),(∞+-∞上不一致连续，其中,()a b a b <是给定的实数。2. 函数21()sin g x x

=在),(∞+-∞上不一致连续。 三、（15分）设函数 (,,)z f x y x y xy =+-，其中函数f 具有连续二阶偏导数，求2,z dz x y

∂∂∂。 四、（15分）给定幂级数1

21(1)(21)n n n x n n -∞

=--∑， 1. 求该幂级数的收敛区间与和函数()S x ；

2. 求数项级数1

1(1)(21)2n n n n n -+∞

=--∑的和。 五、（15分）设函数2222222, 0,(,) 0, 0.x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩

，证明：

1. 函数),(y x f 在点()0,0连续且偏导数存在；

2. 函数),(y x f 在点()0,0不可微。

六、（15分）计算曲线积分

22,L xdy ydx I x y -=+⎰

其中L 为椭圆22

221x y b a

+=，方向取正向。 七、（15分）计算曲面积分

()()()22222,S I x

y dydz y z dzdx z y x dxdy =-+-+-⎰⎰

其中S 是上半椭球面222

2221x y z a b c

++= (0)z ≥的外侧。